Общая математическая модель распределения вычислительных ресурсов в многопроцессорных системах М.Х. Прилуцкий, С.Ю. Петри

Общая математическая модель
распределения вычислительных ресурсов в
многопроцессорных системах
М.Х. Прилуцкий, С.Ю. Петри
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского, Н.Новгород
Введение
• Процесс управления решением совокупности задач в
многопроцессорных системах формально можно
представить как проблему распределения ограниченных
ресурсов в сетевых канонических структурах (см. [1-3]) .
• Формальная постановка проблемы позволяет
использовать хорошо разработанный аппарат решения
задач распределения ресурсов к решению задач
управления многопроцессорными системами.
Представление задачи
• Процесс решения задачи
представляется в виде
совокупности деятельностей.
• Последовательность
выполнения деятельностей
задается ориентированным
графом без петель и
контуров.
Ресурсы и деятельности
Взаимодействие ресурсов и
деятельностей.
• Деятельность в процессе
выполнения потребляет и
производит ресурсы.
• Роль ресурсов играют
вычислительные
устройства и каналы связи,
а роль деятельностей
операции и подпрограммы.
Содержательная постановка задачи
•
Ресурсы, используемые в процессе выполнения
деятельностей,
будем
подразделять
на
ресурсы
общедоступного и ресурсы эксклюзивного типа.
• При
моделировании
вычислительного
процесса
эксклюзивным ресурсом является канал передачи данных,
а общедоступными ресурсами являются
отдельные
процессоры.
Содержательная постановка задачи
• Процесс распределения ресурсов учитывает
технологические, ресурсные, и организационные условия.
• К технологическим условиям относятся ограничения
на интенсивности потребления ресурсов на
последовательность и длительности выполнения
деятельностей.
• К ресурсным условиям относятся ограничения на
количества потребления деятельностями ресурсов.
• К организационным условиям относятся ограничения
на возможные сроки начала и окончания выполнения
деятельностей.
Математическая модель
Исходные параметры модели
• T = {1,..,T0}- множество тактов планирования
• J – множество различных деятельностей,
• I - множество ресурсов, используемых в системе,
• Все ресурсы разбиваются на два подмножества: IЭ –
множество эксклюзивных ресурсов и IO – множество
общедоступных ресурсов, IЭIО =I, IЭIО=.
• Vit – количество ресурса i, которое поступит в систему в такт
t, iI, tT.
• K(j) – множество деятельностей, непосредственно
предшествующих деятельности j, K(j)J, jJ.
Математическая модель
Исходные параметры модели
•
R=(rij) матрица ресурсоемкостей, где rij обозначает
количество ресурса i, которое требуется для выполнения
деятельности j, jJ, iI..
t ij и t ij , соответственно, минимальная и максимальная
•
длительности потребления деятельностью j ресурс i, iI,
jJ.
•
hj – начальные сроки jJH .
•
dj – директивные сроки jJD .
Математическая модель
Варьируемые параметры математической
модели
• X=(x ij ) и Y=( y ij ) матрицы времен начала и окончания
x ij
потребления деятельностями ресурсов
T,
y ijT;
• z ijt величины интенсивности потребления
деятельностью j ресурса i в такт t, iI, jJ, tT;
• u ijk величины , определяющие очередность
расходования эксклюзивного ресурса i
деятельностью
j в такт
t:
если ресурс
i деятельнос
ть j начинает потреблять
1,

uijk  
раньше, чем деятельность k,

в противном случае,
iIЭ, j,kJ.
0,
Математическая модель
Ограничения математической модели
• Ограничения математической модели учитывают
технологические, организационные и ресурсные условия.
• Технологические условия:
(1)
xij  max max ylk , iI, jJ.
lI
kK ( j )
если xij  t  y ij ,
mij  z ijt  M ij ,
и z  0, если t  x , y ,
iI, jJ, tT.
ijt
ij
ij


t ij  yij  xij  t ij , iI, jJ,
x ij ≥ y ik , либо xik ≥ y ij
(2)
(3)
,
iIЭ, j,kJ,
(4)
Математическая модель
Ограничения математической модели
• Организационные условия:
xij  h j ,
iI, jJН.
iI, jJD.
yij  d j ,
•
(5)
(6)
Ресурсные условия:
iI, jJ .
 zijt  rij,
(7)
z
(8)
tT
jJ
ijt
 Vit ,
iI, tT .
x ij T, y ij T, z ijt  0 , iI, jJ, tT.
(9)
• Неформализованные условия (4) могут быть
приведены к формальному виду:
iIЭ, j,kJ, (10)
(T0  ( y ik  xik ))u ijk  xij  y ik ,
(To  ( yik  xik ))(1  u ijk )  xik  yij , iIЭ, j,kJ,
Постановка задачи
В рамках построенной общей математической модели
ставятся различные оптимизационные задачи такие, как
задача равномерного расходования ресурсов, задача
наилучшего выполнения организационных условий по
начальным и (или) директивным срокам и др.
Алгоритмы решения задачи
• Алгоритмы эволюционно-генетического типа. Особь в
популяции соответствует построенному расписанию, а
функция приспособленности задается в соответствии с
критериями задачи.
• Алгоритм Метрополиса. Основан на аналогии с процессом
охлаждения термодинамической системы, с применением
функции распределения вероятностей Больцмана.
• Детерминированные алгоритмы ограниченного перебора.
Литература
• 1. Прилуцкий М.Х., Батищев Д.И., Гудман Э.Д., Норенков
И.П. Метод декомпозиций для решения комбинаторных
задач
упорядочения и распределения ресурсов//
Информационные технологии. Москва, N1, 1997, с.29-33
• 2. Прилуцкий М.Х., Батищев Д.И., Гудман Э.Д., Норенков
И.П. Метод комбинирования эвристик для решения
комбинаторных задач упорядочения и
распределения
ресурсов. //Информационные технологии. Москва, N2,
1997, с.29-32
• 3. М.Х.Прилуцкий, Д.В.Попов.
Распределение и
упорядочение работ в многостадийных системах.
«Моделирование и оптимизация
сложных
систем».
Межвузовский тематический сборник научных трудов
ВГАВТ, ННовгород, 1999, стр. 84-93.