3.2 Сложение гармонических колебаний. Биения

Лекция №3
СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
Тема 3 СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
3.1 Способы представления гармонических колебаний
3.2 Сложение гармонических колебаний. Биения
3.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
3.4 Фигуры Лиссажу (частные случаи)
2.1 Способы представления гармонических колебаний
Гармонические колебания можно представить
несколькими способами:
аналитический:
υ x  υ m cos( ωt  φ 0 )
x  A cos( ωt  φ 0 )
ax  am sin( ωt  φ0 )
графический;
• геометрический, с помощью вектора амплитуды
(метод векторных диаграмм).
x  A cos( ωt  φ 0 )
x0  A cos φ 0
Ox – опорная прямая
3.2 Сложение гармонических колебаний. Биения
Круговая волна на
поверхности жидкости,
возбуждаемая гармонически
колеблющимся шариком.
Интерференция между двумя
круговыми волнами от
точечных источников,
колеблющихся в фазе друг с
другом. На поверхности
жидкости образуются узловые
линии, в которых колебание
max. или отсутствует.
Пусть точка одновременно участвует в двух
гармонических колебаниях одинакового периода,
направленных вдоль одной прямой.
x1  A1 cos( ωt  φ1 ) и x2  A2 cos( ωt  φ 2 )
Такие два колебания называются когерентными.
Их разность фаз не зависит от времени
φ 2  φ1  const
x1  A1 cos( ωt  φ1 )
x2  A2 cos( ωt  φ 2 )
Ox
–
прямая
опорная
A1 – амплитуда
1-го колебания
φ1 – фаза
колебания
1-го
По правилу сложения
суммарную
амплитуду,
колебания:
A 
2
2
A1

2
A2
векторов найдем
результирующего
 2 A1 A2 cos( φ 2  φ1 )
Начальная фаза определяется из соотношения
A1 sin φ1  A2 sin φ 2
tgφ 
A1 cos φ1  A2 cos φ 2
амплитуда А результирующего колебания
зависит от разности начальных фаз
Рассмотрим несколько простых случаев.
1. Разность фаз равна нулю или четному числу π,
то есть φ 2  φ1  2 πn, где n  0,  1,  2,  3, ...
Тогда cos( φ 2  φ1 )  1 и
A  A1  A2
колебания синфазны
2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть
φ 2  φ1  π(2n  1), где n  0,  1,  2,  3, ...
Тогда cos( φ 2  φ1 )  1. Отсюда
A  A2  A1
колебания в противофазе
3. Разность фаз изменяется
произвольным образом
во
времени
 x1  A1 cos[ω1t  φ1 (t )]

 x2  A2 cosω 2 t  φ 2 (t )
Это некогерентные колебания
Здесь интересен случай, когда частоты близки
ω1  ω 2
Периодические изменения амплитуды колебания,
возникающие при сложении двух гармонических
колебаний с близкими частотами, называются
биениями.
Δω
x  Aб cos ωt
Aб  2 A cos
2
t
Метод биений используется для настройки
музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.
колебания вида x  A(t ) cosωt  φ(t ) называются
модулированными.
Любые сложные периодические колебания
можно представить в виде суперпозиции
одновременно совершающихся гармонических
колебаний
с
различными
амплитудами,
начальными фазами, а также частотами кратными
циклической частоте ω:
A0
S (t )  f (t ) 
 A1 cos(ω  φ1 ) 
2
 A2 cos( 2ωt  φ 2 )  ...  An cos( mωt  φ n )
Слагаемые
ряда
Фурье,
определяющие
гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω,
..., называются первой (или основной), второй,
третьей
и
т.д.
гармониками
сложного
периодического колебания.
3.3 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
x  A1 cos( ωt  φ1 );
y  A2 cos( ωt  φ 2 )
1  2  ; t  1  1; t  2  2 ;
  2  1.
x / A1  cos 1; y / A2  cos 2  cos(1   ) 
 cos 1 cos   sin 1 sin  .
y / A2  x / A1 cos   1  ( x / A1 ) sin .
2
После преобразований получаем уравнение:
2
2
y
x
2 xy
2
 2
cos(2  1 )  sin (2  1 ).
2
A2 A1 A1 A2
В результате
получили
уравнение эллипса
с произвольно
расположенными
осями
3.4 Фигуры Лиссажу (частные случаи)
1. Начальные фазы колебаний одинаковы
φ1  φ 2 ,
A2
y
x
A1
Это уравнение прямой, проходящей через начало
координат
а)
Такие
колебания
поляризованными.
называются
линейно
2. Начальная разность фаз равна π.
cos π  1
A2
y
x
A1
б)
A
2
A1

2
A2
3. Начальная разность фаз равна π/2.
cos( / 2)  0
2
2
x
y
 2 1
2
A1 A2
– это уравнение эллипса с полуосями А1 и А2
(Случай эллиптически поляризованных колебаний).
При A1  A2 – получим уравнение окружности
(циркулярно-поляризованные колебания).
Все остальные разности фаз дают эллипсы с
различным углом наклона относительно осей
координат.
Фигуры, получаемые при сложении взаимно
перпендикулярных колебаний разных частот,
называются фигурами Лиссажу.
здесь рассматривались простейшие случаи, когда
ω1  ω 2  ω. Если ω1  ω 2 тогда в результате будут
получаться уже не эллипсы, а более сложные
фигуры Лиссажу.
Сегодня: суббота, 7 мая 2016 г.
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
1 Свободные затухающие колебания
2 Коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания
3 Вынужденные механические колебания
4 Автоколебания
1 Свободные затухающие механические колебания
Все реальные колебания являются затухающими.
Энергия механических колебаний постепенно
расходуется на работу против сил трения и
амплитуда колебаний постепенно уменьшается.
сила трения (или сопротивления)
Fтр  r ,
где r – коэффициент сопротивления,
υ – скорость движения.
Второй
закон
Ньютона
для
затухающих
прямолинейных колебаний вдоль оси x
ma x   kx  rυ x
где kx – возвращающая сила, r x– сила трения.
2
d x r dx k

 x0
2
m dt m
dt
Введем обозначения
r
 β;
2m
k
 ω02
m
2
d x
dx
2
 2β  ω0 x  0
2
dt
dt
Решение этого уравнения имеет вид (при β  ω0 )
x  A0e
βt
При   0 и β  ω 0
k
ω0 
;
m
cos( ωt  φ 0 )
ω
r
;
β
2m
2
ω0
β
2
2
k  r 
ω
  .
m  2m 
2π
2π

,
условный период T 
ω
ω02  β 2
2 Коэффициент затухания и
логарифмический декремент затухания
β – коэффициент затухания.
Декремент затухания – отношение амплитуд
двух последующих через период колебаний
Логарифмическим
декрементом
затухания
называется натуральный логарифм отношения
амплитуд, следующих друг за другом через период
Т.
A(t )
  ln
 ln e  T   T ;    T .
A(t  T )
Введем параметр τ – время, в течение которого
амплитуда колебания уменьшается в е раз
(время релаксации).
A0
1
βτ
1
 e  e , откуда βτ  1; β  .
Aτ
τ
Следовательно, коэффициент затухания β – есть
физическая
величина,
обратная
времени
релаксации.
χ  βT
1
β .
τ
Когда
сопротивление
становится
равным
критическому r  rкр , а β  ω0 , то круговая частота
обращается в нуль (ω  0), ( T  ), колебания
прекращаются.
Такой
процесс
называется
апериодическим:
В случае апериодического движения
энергия тела при возвращении в
положение
равновесия
оказывается
израсходованной на преодоление сил
сопротивления трения.
3 Вынужденные колебания
Рассмотрим систему, на которую кроме упругой
силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует
добавочная периодическая сила F – вынуждающая
сила. Для колебаний вдоль оси x запишем
ma x   kx  rυ x  Fx
– основное уравнение колебательного процесса,
при вынужденных колебаниях
2
d x
dx
2
 2β  ω0 x  Fx
2
dt
dt
Fx  F0 cos ωt.
Уравнение установившихся вынужденных колебаний
x  Asin( ωt  φ)
Основная задача: найти амплитуду А и разность фаз φ
между смещением вынужденных колебаний и
вынуждающей силой и провести анализ полученных
результатов.
Величина амплитуды вынужденных колебаний
равна
F
A
m
2
(ω0
0
2 2
 ω )  4β ω
Начальная фаза колебаний
2
2
2 
tg  2
.
2
0  
F0
A
m
2
(ω0
 ω )  4β ω
2 2
2
2
Проанализируем это выражение.
1) ω  0   0.
(частота вынуждающей силы равна нулю)
A  F0 / m – амплитуда колебания постоянна.
2) β  0 (затухания нет). С увеличением ω (но при
ω  ω0), амплитуда растет и при ω  ω0 , амплитуда
резко возрастает ( А  ). Это явление называется
– резонанс. При дальнейшем увеличении ( ω  ω0 )
2
0
амплитуда опять уменьшается.
Зависимость А= f(ω). Анализ колебаний с разными
коэффициентами затухания β.
3) β  0.
ωрез 
2
ω0
 2β
2
где ωрез – резонансная частота.
Явление возрастания амплитуды вынужденных
колебаний при приближении частоты вынуждающей
силы к ωрез называется резонансом.
С увеличением коэффициента затухания β
явление резонанса проявляется все слабее и
исчезает при
ω0
β .
2
4 Автоколебания
Наблюдая
колебания
листьев
деревьев,
дорожных знаков над проезжей частью улиц,
полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех
перечисленных случаях незатухающие колебания
происходят за счет энергии постоянно дующего
ветра.
Классическим примером автоколебательной
системы служат механические часы с маятником и
гирями.
Периодическим поступлением энергии
в колебательную систему от источника
энергии по каналу АВ управляет сама
колебательная
система
посредством
обратной связи.
В
конструкции
часового
механизма
присутствует специальное устройство – анкер,
выполняющий роль ключа. Этот анкер,
представляющий собой коромысло, приводится
в колебание самим маятником часов.