Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики МИЭМ
Программа дисциплины
«Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
для магистерской программы «Математические методы естествознания и компьютерные
технологии»
Автор программы: В.Л. Попов, д. ф.-м. н., профессор, vlpopov@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики « 31 » января 2013 г.
Зав. кафедрой
Карасев М. В.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатики», обучающихся по магистерской программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» изучающих дисциплину «Группы, квазикристаллы и
дискретная геометрия».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 Образовательной программой «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра по программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», утвержденным в 2013г.
2
Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия» является формирование у студентов базисных знаний в математической теории симметрий твердых
тел и демонстрация ее связей с глубокими результатами алгебры и современными актуальными
исследованиями по физике квазикристаллов и наноструктур.
3
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к дисциплинам по выбору (2 из 6) по данному
направлению обучения.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ;
 Дифференциальные уравнения;
 Физика.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знание основ квантовой и классической механики;
 Навыками решения типовых задач курса «Дифференциальные уравнения».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Математическая физика наноструктур;
 Фундаментальные модели квантовой механики.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
4
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название раздела
3
4
Кристаллы: математика и физика
Многогранники, разбиения пространства и
наногеометрия
Квазикристаллы: математика и физика
Всего
5
Формы контроля знаний студентов
1
2
тип кон- форма контроля
троля
текущий контроль(неделя) ная работа
домашнее
задание
итоговый
1 год
1
Самостоятельная
работа
60
60
12
12
12
12
36
36
42
162
8
32
8
32
26
98
параметры **
2
4-6 неделя
5-7 неделя
экзамен
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
х
Домашняя контрольная работа по теме «Многогранники, разбиения пространства и наногеометрия» с устной защитой. Контрольная работа содержит от 4 до 6
задач. Задание выдается на 11-ой неделе курса. Выполненное задание в письменном виде сдается студентами на 13-ой неделе курса (на семинаре). Устная защита проходит в течение недели после сдачи письменной работы в часы дополнительных консультаций.
Письменное домашнее задание по теме «Кристаллы:
математика и физика» с устной защитой. Домашнее
задание включает от 4 до 6 задач. Задание выдается на
5-ой неделе курса. Выполненное задание в письменном виде сдается студентами через две недели после
выдачи задания. Устная защита проходит в течение
недели после сдачи письменной работы в часы дополнительных консультаций.
Устный ответ после 60 минутной подготовки. Задание
включает 1 теоретический вопрос и 1задачу по всем
темам курса.
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Оценка за контрольную работу, самостоятельную (домашнюю) работу и экзамен рассчитывается как доля успешно решенных студентом задач от общего числа задач, умноженная на 10.
5.1
6
Содержание дисциплины
Содержание дисциплины разбито на 3 раздела. Разделы 1, 2 и 3, включают соответственно 4, 4 и 3 темы. По темам 1 всех разделов, теме 3 раздела 1 и теме 2 раздела 2 проводятся 2
лекции и 2 семинара. По всем остальным темам проводится 1 лекция и 1 семинар.
1. Раздел 1. Кристаллы: математика и физика.
Тема 1. Группа изометрий (перемещений) n-мерного евклидова пространства.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Конечные группы изометрий прямой, плоскости и пространства (n=3).
Группы симметрий правильных многогранников.
Тема 2. Кристаллические множества и их группы симметрий. Кристаллографические
группы. Двумерные кристаллографические группы.
Тема 3. Первая, вторая и третья теоремы Бибербаха и теорема Цассенхауза о кристаллографических группах. 18-я проблема Гильберта.
Тема 4. Класс и арифметический класс кристаллографической группы. Подгруппы Браве. Решетки в n-мерном евклидовом пространстве. Теория приведения, случай плоскости
(n = 2). Обзор федоровских (т.е. трехмерных кристаллографических) групп.
Литература по разделу:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
М. Берже, Геометрия, том 1, Мир, М., 1984.
Г. Я. Любарский, Теория групп и ее применения в физике, Физматгиз, М., 1958.
Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия, Наука,
М., 1979.
С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля,
МЦНМО, М, 2005.
Э.Б.Винберг, О.В.Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Итоги науки и техники, Современные проблемы математики,
Фундаментальные направления, том. 29, ВИНИТИ, М., 1988.
Б.Делоне, Н.Падуров, А.Александров, Математические основы структурного анализа кристаллов, ОНТИ, ГТТИ, 1934.
Г.Вейль, Симметрия, Наука, М., 1968.
L. E. Schwarzenberger, N-dimensional Crystallography, Pitman, San Francisco, 1980.
C.T.Benson, L.C.Grove, Finite Reflection Groups, Bogden&Quigle, New York, 1971.
R.C.Lyndon, Groups and Geometry, London Math. Soc. Lecture Note Series, Vol. 101,
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1985.
2. Раздел 2. Многогранники, разбиения пространства и наногеометрия.
Тема 1. Правильные многогранники в евклидовом пространстве, их символы Шлефли и
классификация.
Тема 2. Разбиения евклидова пространства. Мозаики и калейдоскопы. 18 проблема Гильберта. Конечные группы отражений, их схемы Кокстера и классификация.
Тема 3. Системы корней, решетки, инвариантные относительно конечных групп отражений, и их классификация.
Тема 4. Приложения в физике: наногеометрия.
Литература по разделу:
1. М. Берже, Геометрия, том 1, Мир, М., 1984.
2. Э.Б.Винберг, О.В.Шварцман, Дискретные группы движений
3.
4.
5.
6.
7.
пространств постоянной кривизны, Итоги науки и техники,
Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, том. 29, ВИНИТИ, М., 1988.
Дж. Хамфрис, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений, МЦНМО, М., 2003.
H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, Chelsea, New York, 1973.
C.T.Benson, L.C.Grove, Finite Reflection Groups, Bogden&Quigle, New York, 1971.
D.Duvivier, O.van Overschelde, M.Wautelet, Nanogeometry, Eur. J. Phys. 29 (2008) 467–
474.
Nanocrystal, http://en.wikipedia.org/wiki/Nanocrystal
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Раздел 3. Квазикристаллы: математика и физика
Тема 1. Покрытие плоскости ромбами Пенроуза. Квазирешетки. Квазипериодические
покрытия и функции. Квазикристаллы и их группы симметрий. Теорема об их локальной
метрической повторяемости.
Тема 2. Квазикристаллографические группы. Двумерный случай:
бесконечная группа дифференциалов (примеры), конечная
группа дифференциалов (классификация). Случай конечной группы
дифференциалов в размерности ≥ 3.
Тема 3. Приложения в физике: икосаэдрический порядок в наноструктурах,
фотонные кристаллы.
.
Литература по разделу:
1. С. П. Новиков, И. А. Тайманов, Современные геометрические структуры и поля, МЦНМО, М,
2005.
2. В.И.Арнольд, Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук, Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов, Наука, М., 1989.
3. В.И.Арнольд, Замечания о квазикристаллической симметрии, Physica D—Nonlinear Phenomena, 1988 (эта статья содержится в качестве Дополнения Б к книге Ф.Клейн, Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени, Наука, М., 1989.
4. В.А.Артамонов, Квазикристаллы и их симметрии, Фундаментальная и прикладная математика 10 (2004), №3, 3-10.
5. Ле Ты Куок Тханг, С. А. Пиунихин, В. А. Садов, Геометрия квазикристаллов, Успехи математических наук 48 (1993), вып. 1(289), 41-102.
6. C. Janot, Quasicrystals, 2nd ed., Crandon Press, Oxford, 1994.
7. Квазикристаллы и их симметрии, http://sinsam.kirsoft.com.ru/KSNews_141.htm
8. П. Стейнхардт. Квазикристалл — привет из космоса (видеозапись
лекции), http://digitaloctober.ru/events/knowledge_stream_pol_steynhardt
9. Квазикристалл,
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D1%80%D0%B
8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D1%8B
10. Фотонные кристаллы, http://fdtd.kintechlab.com/ru/pc
11. Фотонный кристалл,
http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%BD%
D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%BB&oldid=56
506711%C2%BB
7
Порядок формирования оценок по дисциплине
Итоговая оценка К по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма:
K = 0,3R +0,3H+0,4E
10-балльных оценок за контрольную работу R, домашнее задание H и экзамен E с округлением до целого числа баллов. Оценка округляется вверх. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
 0 ≤ К ≤ 3 - неудовлетворительно,
 4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,
 6 ≤ К ≤ 7 - хорошо,
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Группы, квазикристаллы и дискретная геометрия»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра

8 ≤ К ≤10 -отлично.
При итоговой оценке за экзамен ниже 4 баллов, итоговая оценка за весь курс равняется оценке
за экзамен.