Тест № 1. Комбинаторика. Классическое определение вероятности

Тест № 1.
Комбинаторика. Классическое определение вероятности
Соединения – это множества, составленные из каких-либо предметов
(элементов).
Наиболее
часто
используются
три
вида
соединений:
размещения, перестановки и сочетания.
Размещения (от франц. аrrangement – размещение) из n элементов по m
– это соединения, в каждое из которых входит m элементов, взятых из
данных n элементов и которые отличаются между собой элементами (хотя
бы одним) или их порядком. Число возможных размещения
=n ∙ (n - 1) ∙ (n-2)….(n - (m - 1))
по формуле:
Например:
вычисляют
=8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 6720
Перестановки из n элементов по m – это соединения, каждое из
которых содержит все n элементов и которые отличаются лишь порядком
элементов. Число возможных перестановок
вычисляют по формуле:
= n! = 1 ∙ 2 ∙ 3∙…..∙ (n – 1) ∙ n
Например:
= 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5=120
Сочетания из элементов по m (m
n) – это такие соединения, в каждое
из которых входят m элементов, взятых из данных n элементов и
отличающиеся элементами (хотя бы только одним). Число возможных
сочетаний вычисляются по формуле:
=
Например:
=
Принимают, что
=
=
= 495
= 1 , 0! = 1 и 1! = 1
1
1. Из десяти спортсменов отбирают команду из 6-ти человек. Это можно
сделать … способами.
1) 210
2) 60
3) 3
2. В команде всего 12 спортсменов, из них 5 человек – мастера спорта.
Случайным образом выбирают 3-х спортсменов. Вероятность того, что
все выбранные окажутся мастерами спорта, составляет …
1) 1/22
2) 3/5
3) 1/4
3. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами: №1,
№2,….№10. Наудачу берут 6 деталей. Вероятность того, что среди
выбранных 6-ти деталей окажется деталь с №1, составляет …
1) 0,6
2) 1/6
3) 0,1
4) 0,15
4. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами: №1, №2, …,
№10. Наудачу берут 6 деталей. Вероятность того, что среди этих 6-ти
есть детали №1 и № 2, составляет …
1) 2/5
2) 1/3
3) 1/6
4) 1/4
5. На книжной полке случайным образом расставляют 6 учебников.
Вероятность того, что учебник математики и учебник русского языка
окажутся рядом, составляет …
1) 0,36
2) 0,72
3) 1/3
6. В группе спортсменов 10 человек, все разного роста. По команде
тренера
они
выстраиваются
в
шеренгу
случайным
образом.
Вероятность того, что они встали по росту, составляет…
1) 0,6
2) 0,2
3) 0,1
2
7. В ящике 4 красных и 2 синих шара. Из него наудачу берут 3 шара.
Вероятность того, что все эти 3 шара красные, составляет…
1) 3/4
2) 1/2
3) 1/4
4) 1/5
8. В лотерее «Честная игра» нужно открыть 10 букв из 20-ти, если
открываются буквы, составляющие слово «автомобиль», - то это
выигрыш. Вероятность выигрыша составляет …
1) 0,5
2) 0,01
3) 0,5∙
9. Выбирают 2-х игроков из 4-х заявленных на матч. Это можно сделать
... способами.
1) 6
2) 2
3) 4
10. Из группы 5 человек (№1, №2, №3, №4, №5) выбирают случайным
образом двух человек. Вероятность того, что выбраны №1 и №4,
составляет…
1) 2/5
2) 1/5
3) 1/10
11. Имеется слово «автор». Из букв этого слова можно составить
некоторое число различных последовательностей (не обязательно
осмысленных):
1) 25
12. Из
2) 120
букв
слова
«фонарь»
можно
3) 6
составить
некоторое
число
последовательностей (не обязательно осмысленных):
1) 20
2) 120
3) 720
3
13. В корзине 20 кубиков, помеченных номерами 21, 22,…,40 (20 штук).
Наудачу извлекают два кубика. Вероятность того, что извлечены
кубики №21 и № 40, составляет…
1) 1/190
2) 2/20
3) 1/5
14. В корзине имеется 15 шаров, из которых 10 окрашенных. Наудачу
извлекают 3 шара. Вероятность того, что извлеченные шары окажутся
окрашенными, составляет…
1) 2/3
2) 3/10
3) 24/91
15. В конверте имеются 100 фотографий. Наудачу извлекают 10 штук.
Вероятность того, что среди этих 10 штук окажется разыскиваемая
одна фотография, составляет …
1) 0,1
2) 0,01
3) 0,0001
16. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры, но
помнил, что эти три цифры различны, поэтому набрал их наудачу.
Вероятность того, что он набрал нужные цифры, составляет …
1) 1/720
2) 0,3
3) 0,03
17. В корзине 100 шаров, из них 10 окрашенных. Наудачу взяли 4 шара.
Вероятность того, что среди взятых шаров нет окрашенных,
составляет …
1) 0,96
2) 0,65
3) 0,04
18. В корзине 100 шаров, из них - 10 окрашенные. Наудачу взяли 4 шара.
Вероятность того, что все они окрашенные, составляет …
1) 0,4
2) 0,04
3) 0,00005
4
19. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады
разыгрывают 4 билета на концерт. Вероятность того, что обладателями
билетов будут 2 женщины и 2 мужчин, составляет…
1) 2/3
2) 18/35
3) 1/2
4) 4/7
20. В ящике 8 красных и 7 синих шаров. Вынимают наудачу 5 шаров.
Вероятность того, что взяли 3 красных и 2 синих (из этих 5-ти),
составляет…
1) 0,3
2) 0,211
3) 0,392
5
Тест №
Пояснения
1.
Вычислим число сочетаний
:
=
2.
=
=
Ответ
210
= 210
Всего способов выбора из 12-ти 3-х равна:
=
=
=
= 220
Количество возможных способов выбора из 5-ти человек
трех:
=
=
= 10
Искомая вероятность: р =
3.
=
=
Общее число исходов равно числу способов, которыми
можно извлечь 6 деталей из 10-ти, т.е.
=
=
= 210
Интересующее событие – деталь №1 извлечена, тогда
0,6
остальные 5 деталей имеют любые номера, число таких
способов равно
=
= 126.
Искомая вероятность: р(№1) =
4.
= 0,6
Общее число исходов
Если среди взятых 6-ти есть №1 и №2, то число способов,
которыми можно взять еще 4 детали из оставшихся 8-ми:
= 70, т.е. искомая вероятность: р(№1, №2) =
=
6
5
Общее число возможных вариантов расположения 6-ти
книг на полке равно
= 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 6! = 720
Благоприятные исходы могут быть 2х видов:
1) Если учебник математики стоит на краю, а учебник
русского
–
рядом,
таких
вариантов
два,
а
оставшиеся 4 места можно занять 4! Способами, т.е.
всего таких исходов будет: 2∙4!=48
2) Если учебник математики находится в середине (а
таких способов 4), тогда учебник русского языка
можно поставить рядом (справа или слева), т.е.
двумя способами, а остальные 4 места можно
занять 4! способами. Итого благоприятных условий
в этом виде расстановки будет: 4 ∙ 2 ∙ 4! = 192
Всего благоприятных исходов будет
48 + 192 = 240
Искомая вероятность: р =
6.
=
Общее число равновозможных событий равно числу
перестановок из 10 спортсменов:
= 10!=3268800
Ученики по росту могут встать двумя способами: по
возрастанию или по убыванию, т.е. событию «встали по
0,6
росту» благоприятствует два исхода, тогда:
р =
7.
=
≈ 0,6 ∙
Вероятность этого события равна:
р=
8.
р=
=
=
= 0,05∙
=
0,5 ∙
7
9.
Это:
10.
Всего возможностей выбора:
=
=6
6
= 10 способов. Событию
(выбран №1 + №4) соответствует только один исход.
0,1
Вероятность этого составляет р =
11.
Это перестановки из 5-ти букв слова «Автор»:
120
= 5! = 120
12.
Это перестановки из 6-ти букв слова «Фонарь»:
720
= 6! = 720
13.
Надо взять два кубика из 20-ти. Это можно сделать
способами:
=
=
= 190
Благоприятное событие 1 (взяты №21 и №40), поэтому
р=
14.
Искомая вероятность будет:
р=
=
р=
15.
=
- число способов, которыми из 100 фотографий
можно взять 10 любых.
Если среди взятых 10-ти фотографий есть та, которая
нужна, то остальные 9 фотографий могут быть любыми.
Это можно сделать числом способов:
Тогда p =
=
0,1
.
= 0,1
8
16.
Благоприятный исход только один – набраны нужные
цифры и в нужной последовательности.
Всего возможных исходов:
, т.к. цифр 10-ть, а
размещения учитывают порядок цифр и их состав.
Тогда p =
17.
18.
19.
=
=
- число способов, которыми можно взять 4 шара из
100 шт.
– число способов, которыми можно взять 4
шара из 90 шт.
p=
≈ 0,65
p=
≈ 0,00005
0,65
0,00005
Всего пойдут на концерт 4 человека из 7, такой выбор
можно сделать
=
= 35 способами.
Из 4-х женщин 2-х можно выбрать
= 6 способами.
Из 3-х мужчин 2-х можно выбрать
= 3 способами.
Следовательно:
p=
20.
=
Общее число событий:
= 3003. Выбрать 3 красных из
8-ми:
= 56 способов. Выбрать 2 синих из 7-ми:
= 21
способов. Общее число благоприятных событий:
=1176. Вероятность: p =
0,392
≈ 0,392
9