ЗАДАЧИ НА ГРАФЫ. ИДЕЯ ЧЕТНОСТИ. РАСКРАСКА

Государственное образовательное учреждение дополнительного образования
(повышения квалификации) специалистов Московской области
Педагогическая Академия Последипломного Образования
________________________________________________________________________
Кафедра математических дисциплин
Практико-ориентированный проект на тему:
«ЗАДАЧИ НА ГРАФЫ. ИДЕЯ ЧЕТНОСТИ. РАСКРАСКА
(ПОДГОТОВКА МАТЕРИАЛОВ К КРУЖКОВОМУ ЗАНЯТИЮ С ПРЕЗЕНТАЦИЕЙ)»
Работу выполнила:
Лаирова Елена Михайловна,
учитель математики Дубковской СОШ «Дружба»
п. ВНИИССОК Одинцовского района Московской области
Научный руководитель:
КПН Мардахаева Елена Львовна
Москва 2011 год
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………..…………………….………….…..3
1. ГРАФЫ……………….……...…………………………………..…….……….....…4
1.1. История возникновения теории графов………….……………….………..….4
1.2. Основные понятия теории графов ………………………………………….....6
л
2. ЗАДАЧИ НА ГРАФЫ. ИДЕЯ ЧЁТНОСТИ. РАСКРАСКА……………….………………...8
л
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..………...…..15
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
3
ВВЕДЕНИЕ
В
современном
мире
в
условиях
динамично
развивающихся
информационных технологий, рыночных отношений, постоянного увеличения
темпа жизни, переизбытка информации особенно актуальной становится задача
развития комбинаторного мышления у ребёнка уже в школе с целью
формирования
представления
о
процессах
и
явлениях,
имеющих
вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире,
приобретения навыков поиска и анализа необходимой информации.
В настоящее время изучение теории вероятностей и математической
статистики
не
входит
в
обязательную
программу
5-6
классов
общеобразовательных учреждений Московской области. По причине того, что
эти науки являются относительно молодыми ветвями математики, они не
имеют единого общепринятого подхода к изучению: методы исследования,
базовые понятия, которыми пользуется наука, у различных авторов разнятся.
Вследствие этого отсутствуют и единые стандарты их преподавания.
Одним из разделов комбинаторики, позволяющих развить у ребёнка
логическое мышление, способность решать нестандартные задачи является
теория графов, которой посвящена данная работа.
Практико-ориентированный проект имеет целью решить следующие
задачи:
1. восполнить отсутствие методических разработок по данной теме
2. дать общее представление о теории графов
3. найти эффективный метод обучения школьников решению задач данного
типа на практике в наглядной и увлекательной форме
В решении этих задач заключается практическая значимость данного проекта.
Так как, данная работа выходит за рамки школьной программы, поэтому
использовалась
литература.
научная
литература
для
ВУЗов,
научно-практическая
4
1. ГРАФЫ
1.1. История возникновения теории графов.
Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер (1707-1783)
— швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный
вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда
прикладных наук. Эйлер является автором более чем 800 работ по
математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел,
приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике,
оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Почти полжизни
учёный провёл в России, где внёс существенный вклад в становление
российской науки, был академиком Петербургской Академии Наук. Хорошо
знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на
русском. Первые русские академики-математики (С. К. Котельников) и
астрономы (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера.
В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает
решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из
классических задач теории графов. Сам Эйлер о ней пишет: «некогда мне была
предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и
окруженном рекой, через которую перекинуто семь мостов. Спрашивается,
может ли кто-нибудь непрерывно обойти их, проходя только однажды через
каждый мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не мог
это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно».
В итоге Эйлер не только решил эту
конкретную
задачу,
но
и
придумал
общий метод решения подобных задач.
Он поступил следующим образом: "сжал"
сушу в точки, а мосты "вытянул" в
линии. В результате получилась фигура,
изображенная на рис.1.
5
Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки,
называют графом. Точки А, В, С, D называют вершинами графа, а линии,
которые соединяют вершины - ребрами графа. На рисунке из вершин A, C, D
выходят по 3 ребра, а из вершины В -5 ребер. Вершины, из которых выходит
нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из
которых выходит четное количество ребер - четными.
Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил следующие
свойства графа:

если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая
карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии)
начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и
окончить в той же вершине.

граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним
росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а
заканчивать на другой нечетной вершине.

граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним
росчерком.
В задаче о семи кенигсбергских мостах все четыре вершины
соответствующего графа нечетные, при этом количество вершин больше двух,
следовательно, нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там,
где он был начат.
Данная задача и подобные ей вместе с совокупностью методов их
исследования и составляют очень важный в практическом отношении раздел
математики, называемый теорией графов. В дальнейшем над этой теорией
работали
Кениг
(1774-1833),
Гамильтон
математиков - К.Берж, О.Оре, А.Зыков.
(1805-1865),
из
современных
6
1.2. Основные понятия теории графов.
Теория графов, как и любая другая математическая дисциплина, включает
в себя необходимые понятия.
Граф – это совокупность конечного
числа
точек,
называемых
вершинами
графа, и попарно соединяющих некоторые
из
этих
вершин
линий,
называемых
ребрами или дугами графа. Вершины
обозначаются
латинскими
заглавными
буквами - A, B, C, ребра (дуги) строчными
– a, b, c (рис.2).
Изолированная вершина – вершина, которая не принадлежит ни одному
ребру (вершина D).
Нуль-граф - граф, состоящий только из изолированных вершин.
Полный граф – граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром.
Степень вершины - число ребер, которые выходят из данной вершины.
Вершина называется нечетной, если ее степень - число нечетное. Вершина
называется четной, если ее степень - число четное.
Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и
их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить
полный граф.
Плоский граф – который можно представить на плоскости в таком виде,
когда его ребра пересекаются только в вершинах (рис.3).
7
Например, на рисунке б) показан плоский граф, изоморфный (равный)
графу, изображённому на рисунке а). При этом не каждый граф является
плоским, хотя обратное утверждение верно, т. е. любой плоский граф можно
представить в обычном виде.
Грань
-
многоугольник
плоского графа, не содержащий
внутри себя никаких вершин или
ребер графа. Понятия плоского
графа и грани графа применяется
при
решении
"правильное"
задач
на
раскрашивание
различных карт (рис.4).
Раскраска называется правильной, если образы любых двух смежных
вершин различны.
Хроматическим числом графа называется минимальное количество
красок, необходимое для правильной раскраски графа.
Путем от A до X называется последовательность ребер, ведущая от A к
X, такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое
ребро не встречается более одного раза.
Цикл – путь, в котором совпадают начальная и конечная точка. Простым
циклом называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более
одного раза.
Эйлеровым называется цикл, проходящий по каждому ребру
графа ровно один раз. Граф, имеющий эйлеров цикл, тоже будем называть
эйлеровым.
Длина пути, проложенного на цикле – число ребер этого пути.
Дерево — это связный ациклический граф (то есть граф, не содержащий
циклов, между любой парой вершин которого существует ровно один путь).
Трехмерной моделью графа-дерева служит, например, настоящее дерево с его
8
замысловато разветвленной кроной; река и ее притоки также образуют дерево,
но уже плоское - на поверхности земли.
Деревья
-
очень
инструмент
удобный
представления
информации самого разного вида.
Деревья
отличаются
от
простых
графов тем, что при обходе дерева
невозможны
графы
циклы.
очень
Это
удобной
делает
формой
организации данных для различных
алгоритмов. Таким образом, понятие
дерева
активно
используется
в
информатике и программировании.
Без основных определений теории графов невозможно доказательство
теорем, и решение задач.
При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть
прямолинейными или криволинейными, длины отрезков и расположение точек
произвольны.
Например, все три фигуры на рисунке 6 изображают один и тот же граф.
9
2. ЗАДАЧИ НА ГРАФЫ. ИДЕЯ ЧЁТНОСТИ. РАСКРАСКА.
Рассмотрим задачи, которые можно использовать в школе на уроках
математики. Условно их можно классифицировать следующим образом: задачи
о мостах, логические задачи, задачи о "правильном" раскрашивании карт,
задачи на построение уникурсальных графов.
Рассмотрим несколько типичных примеров решения задач. Самая
известная задача о мостах решена самим Эйлером, её решение приведено выше
в параграфе 1.1 данного проекта, все остальные сформулированы похожим
образом и решаются по тому же принципу. Основой применения графов для
решения логических задач служит выявление и последовательное исключение
возможностей, заданных в условии. Это выявление логических возможностей
часто может быть истолковано с помощью построения и рассмотрения
соответствующих графов.
Задача №1.
Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись
рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего
рукопожатий было сделано?
Решение. Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует
определенная точка на плоскости, названная первой буквой его имени (рис.7а),
а производимому рукопожатию — отрезок или часть кривой, соединяющая
конкретные точки — имена (рис.7б).
10
Точки А, Б, В, Г, Д являются вершинами графа, а производимые
рукопожатия — ребрами графа.
Рассмотрим процесс соединения точек А, Б, В, Г, Д ребрами.
Ситуация, соответствующая моменту, когда рукопожатия еще не совершались,
представляет собой точечную схему, изображенную на рисунке а). Такая схема,
состоящая
из
«изолированных»
вершин
является
нулевым
графом.
Ситуация, когда совершены еще не все рукопожатия, может схематически быть
изображена, например, с помощью рисунка б): пожали руки А и Б, Б и Г, Г и В,
В и Д. Такой граф называется неполным, т.к. не построены все возможные
ребра.
На рисунке 8 изображен граф, соответствующий всем совершенным
рукопожатиям. Этот граф является полным графом.
Если подсчитать число ребер этого
графа, то это число и будет равно
количеству совершенных рукопожатий
между пятью молодыми людьми. Их 10.
Заметим, что если полный граф
имеет n вершин, то количество ребер
будет равно n(n-1)/2.
Действительно, количество ребер в
полном
графе
с
n
вершинами
определяется как число неупорядоченных пар, составленных из всех n точекребер графа, т. е. как число сочетаний из n элементов по 2.
Ответ: 10 рукопожатий.
Связный граф - граф, в котором каждая пара вершин соединена хотя бы
одним путем. Если граф является связным и его вершины имеют чётную
степень, то граф является Эйлеровым, т.е. существует путь, по которому можно
пройти все рёбра по одному разу, выйдя из любой вершины и в неё же придя.
11
Граф можно обойти, пройдя по каждому ребру только один раз в том
случае, если граф связный и нечетных вершин у него 0 или 2. Если нечетных
вершин нет, т.е. все вершины чётные, то маршрут может начаться в любой
вершине и в ней же кончиться. При этом, если нечетных вершин две, то
маршрут начинается в одной из них, а заканчивается в другой. Такие фигуры
называются уникурсальными.
Задача №2.
Какую из фигур можно нарисовать одним росчерком, не отрывая
карандаша от бумаги?
Ответ: Фигуры 1, 2, 4, 5 – можно, фигуру 3 – нельзя, т.к. только у этой
фигуры количество нечётных вершин больше двух.
Задача №3.
Алёша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы
на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе. Однажды после
уроков Алёша пошёл проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них
проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе
тетрадь!» Кто на чём ездит домой?
Решение. Обозначим мальчиков большими буквами, а виды транспорта –
маленькими (рис.10).
12
Проанализируем все ходы решения.
А - не на автобусе;
А - не на троллейбусе;
А - на трамвае;
Б - не на троллейбусе;
Б - на автобусе;
В - на троллейбусе;
Ответ: Алёша ездит домой на трамвае, Боря - на автобусе, Витя – на
троллейбусе.
Задача №4.
Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое
сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля –
Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий –
Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и
Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?
Решение. Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а
маршруты ракет – линиями.
13
Ответ: теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.
Задача №5.
Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из
квадрата 4x4 убрать угловые клетки.
Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную
клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу?
Решение:
Пронумеруем последовательно клетки доски и с помощью
рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен
(рис.12).
Ответ: да, можно.
Задача №6.
Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер,
соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в
каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.
Решение. Если озёра принять за вершины графа, то степень каждой из них
равна 7, так как по условию в каждое озеро впадают 3 реки, а вытекают 4 реки.
А мы знаем, что если число нечётных вершин графа больше 2, то нельзя пройти
14
по его вершинам по одному разу. А реки не текут по одному руслу дважды.
Значит, Дима ошибся.
Раскрашивать можно как ребра графа, так и вершины. Заметим, что если
данный граф является полным, т. е. любые две вершины являются смежными,
то хроматическое число такого графа равно п, где п – число вершин.
K-раскрашиваемый граф — граф, хроматическое число которого не
превосходит K. То есть его вершины можно раскрасить K разными цветами так,
что у любого ребра концы будут разного цвета.
K-хроматический граф — граф, хроматическое число которого равно K.
То есть вершины графа можно раскрасить K цветами так, что у любого ребра
концы будут разного цвета, но так раскрасить (K − 1) цветами — уже нельзя.
Хроматический класс графа G — минимальное
число цветов, в которые можно раскрасить ребра
графа G так, чтобы смежные ребра имели разные
цвета. Проблема реберной раскраски произвольного
плоского кубического графа без мостов тремя цветами
эквивалентна знаменитой Проблеме четырех красок.
Задача №7.
Раскрасить вершины графа так, чтобы
любые
две
смежные
вершины
были
раскрашены в разные цвета, при этом число
использованных
наименьшим.
цветов
Это
должно
число
быть
называется
хроматическим (цветным) числом графа. В
данной задаче хроматическое число равно 3.
15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В этой работе мы рассмотрели основные моменты теории графов и
рассмотрели простейшие задачи, решение которых основано на применении
свойств графов. С помощью графов решать задачи очень удобно, интересно,
увлекательно, можно рассмотреть несколько вариантов решения одной и той же
задачи и выбрать наиболее легкое, удобное, красивое, интересное решение
задачи.
В последнее время теория графов стала простым, доступным и мощным
средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем: это
проблемы
проектирования
интегральных
схем
и
схем
управления,
исследования автоматов, логических цепей, блок-схем программ, экономики и
статистики, химии и биологии, теории расписаний и дискретной оптимизации.
Изучение и осмысление теории вероятности и стохастических вопросов
не только развивает комбинаторное мышление, так необходимое в нашем
перенасыщенном информацией мире, но и является чрезвычайно полезным при
решении многих, внешне не похожих друг на друга задач.
Итак, из всего вышесказанного неопровержимо следует практическая
ценность теории графов.
Данный практико-ориентированный проект даёт общее представление о
теории графов, содержит ряд интересных задач, наглядно решаемых с их
помощью. В проекте в доступном виде изложена методика решения этих задач.
Наличие множества рисунков и наглядного материала, подобранного по данной
теме, обуславливает эффективность восприятия материала учащимися.
В этом и заключается практическая значимость данного проекта.
16
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. 2. Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика / Ю.Н.Тюрин,
А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. – 2-е изд., переработанное. –
М.:МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2008. – 256 с.
2. Бродский Я.С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика / Я.С.Бродский.
– М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и Образование»,
2008. – 544 с.
3. Шахмейстер А.Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность. – М.:
Издательство МЦНМО: Спб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2010. – 296 с.
4. http://ru.wikipedia.org
5.
Шеврин Л.Н., Гейм А.Г. и др, «Учебник-собеседник для 6 класса
общеобразовательных учреждений, - 4 издание переработанное - М.:
«Просвещение», 2001. – 288 с.: ил.