1-39 Раздел II. Алгебра Содержание раздела алгебры Преамбу

1-39
Раздел II. Алгебра
Содержание раздела алгебры
1. Преамбула………………………………………………………………………… 4
2. Подраздел II.1. Элементарная алгебра…………………………………………… 9
Темы:
II.1.1. Обыкновенные и десятичные дроби. Целые, рациональные,
иррациональные алгебраические, трансцендентные и комплексные числа……. 9
Исследовательская работа по теме II.1.1. ……………………………………… 11
II.1.2. Множества. Отображения множеств: многочлены, рациональные
и алгебраические иррациональные функции. Алгебраическая точка зрения……. 12
Исследовательская работа по теме II.1.2. ……………………………………… 12
II.1.3. Алгебраические свойства линейных, показательных, логарифмических,
степенных и тригонометрических функций.……………………………………..…... 14
Исследовательская работа по теме II.1.3. ………………………………………. 14
II.1.4. Тождественные преобразования. Сочетания и бином Ньютона…………. 14
Исследовательская работа по теме II.1.4. ………………………………………. 15
II.1.5. Уравнение, неравенства и системы, сводящиеся к алгебраическим.
Задачи на составление уравнений и неравенств……………………………………… 15
Исследовательская работа по теме II.1.5. ………………………………………. 16
II.1.6. Последовательности, ряды, суммы и произведения…………………………. 16
Исследовательская работа по теме II.1.6. ………………………………………. 17
3. Подраздел II.2. Многочлены………………………………………………………18
Темы:
II.2.1. Операции над многочленами (сложение, вычитание, умножение, деление,
разложение на множители, интерполирование)……………………………………... 18
Исследовательская работа по теме II.2.1. ……………………………………….. 19
II.2.2.Алгебраические уравнения …………….………………………………………….… 19
Подтемы:
II.2.2.1. Алгебраические уравнения: решение уравнений третей и четвертой
степени, основная теорема алгебры, уравнения частного вида, рациональные
и иррациональные уравнения, уравнения с модулями ( | x | x 2 )…………….… 18
Исследовательская работа по подтеме II.2.2.1……………………………… 21
II.2.2.2. О разрешимости алгебраических уравнений в радикалах…………….. 22
Исследовательская работа по подтеме II.2.2.2………………………………. 22
II.2.3. Корни многочленов и геометрические построение чисел
с помощью циркуля и линейки……………………………………………………………… 23
Исследовательская работа по теме II.2.3………………………………………… 23
II.2.4. Системы уравнений, содержащие модули, многочлены, рациональные,
иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические
функции. Алгебраические методы их решения……………………………………….. 23
Исследовательская работа по теме II.2.4………………………………………… 24
II.2.5. Многочлены специального вида (многочлены Бернулли, Гаусса,
Лагранжа, Люка, Фибоначчи, Чебышева, симметрические, целозначные,
круговые).……………………………………………….…………………………………….. 25
Исследовательская работа по теме II.2.5………………………………………… 25
2-39
II.2.6. Многочлены от многих переменных.
Подтемы:
II.2.6.1. Симметрические многочлены и их применение к разложению на
множители, вычислению сумм, освобождению от иррациональности,
решению уравнений, неравенств, систем, нахождению
максимумов и минимумов.……………………………………………………………. 25
Исследовательская работа по подтеме II.2.6.1.…………………………....... 26
II.2.6.2.2. Многочлены от многих переменных …………………………………………… 26
4. Подраздел II.3. Линейная алгебра………………………………………………... 27
Темы:
II.3.1. Определители и решение систем линейных уравнений……………………… 27
Исследовательская работа по теме II.3.1……………………………………….. 27
II.3.2. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений……….. 27
Исследовательская работа по теме II.3.2………………………………………... 27
II.3.3. Линейные преобразования плоскости и трехмерного пространства……………. 27
Исследовательская работа по теме II.3.3………………………………………... 28
II.3.4. Аффинная группа преобразований плоскости и трехмерного
пространства и её подгруппы……………………………………………………………. 29
Исследовательская работа по теме II.3.4………………………………………... 29
II.3.5. Системы линейные неравенства и линейное программирование………….. 30
Исследовательская работа по теме II.3.5………………………………………... 30
5. Подраздел II.4. Элементы алгебраической геометрии………………………….. 28
Темы:
II.4.1. Линейные уравнения от многих пременных и их рациональные корни.
Геометрические методы решения………………………………………………………. 31
II.4.2. Алгебраические кривые второго порядка и их рациональные корни.
Подтемы:
II.4.2.1. Рациональные корни (пифагоровы тройки) уравнения x 2  y 2  z 2 .
Геометрические методы решения. …………………………………………………. 31
II.4.2.2. Рациональные корни уравнения x 2  Ay 2  1 (уравнение Пелля).
Геометрические методы решения. …………………………………………………. 31
II.4.2.3. Кривые второго порядка (коники) и рациональные корни……………. 31
II.4.3. Некоторые алгебраические кривые выше второго порядка
и их рациональные корни…………………………………………………………………… 31
II.4.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений
и рациональные решения……………………………………………………………………. 31
6. Подраздел II.5. Неравенства ……………………………………………………………. 32
Темы:
II.4.1. Числовые неравенства……………………………………………………………… 32
II.4.2. Классические неравенства и следствия из них………………………………… 32
II.4.3. Алгебраические методы решение неравенств (метод симметрии и подстановки). Метод математической индукции (неравенство Йенсена и др.). Метод
монотонных последовательностей (неравенство Чебышева и др.)………………. 32
II.4.4. Средне взвешенные величины и соотношения между ними (неравенство
Мюрхеда)……………………………………………………………………………………… 32
3-39
II.4.5. Элементарное введение в теорию мажоризации…………………………….. 33
Исследовательская работа по подразделу II.4. Неравенства……………………… 33
7. Подраздел II.6. Абстрактная алгебра…………………………………………….. 33
Темы:
II.5.1. Необычные алгебры: алгебра множеств, алгебра логики…………………... 33
Исследовательская работа по теме II.5.1………………………………………… 33
II.5.2. Отношения и его интерпретация на различных структурах…………….. 33
Исследовательская работа по теме II.5.2………………………………………… 33
II.5.3. Упорядоченные множества. Первое знакомство с абстрактным
алгебраическим понятием – решетки...................................................................... 34
Исследовательская работа по теме II.5.3............................................................... 34
II.5.4. Преобразования и перестановки..................................................................... 34
Исследовательская работа по теме II.5.4………………………………………… 34
II.5.5. Понятие группы. Группы подстановок. Изоморфные группы. Теорема Келли.
Циклические группы. Группы самосовмещений. Инвариантные подгруппы.
Гомоморфные отображения. Разбиение группы на классы по данной подгруппе.
Факторгруппа………………………………………………………………………………………… 34
Исследовательская работа по теме II.5.5………………………………………… 34
II.5.6. Поля. Кольца……………………………………………………………………………34
II.5.7. Группы Галуа………………………………………………………………………….. 35
Исследовательская работа по теме II.5.7………………………………………….35
II.5.8. Алгебры над полем действительных чисел (алгебраические
методы построения числовых систем)………..........………………………………….. 35
Общий список литературы, используемый в разделе II. Алгебры ………………… 36
Литература по истории алгебры и о математиках, внесших существенный
вклад в развитее алгебры............................................................................................39
4-39
Преамбула
Что такое алгебра? — Является ли она областью математики, методом или психологической установкой? На такие вопросы, конечно, не может быть дано ни однозначного, ни короткого ответа. Место, занимаемое алгеброй в математике, можно попытаться описать, обратив внимание на процесс, который Герман Вейль
(09.11.1885 – 08.12.1955) назвал трудно произносимым именем “координатизации”.
Человек может ориентироваться во внешнем мире, опираясь исключительно на
свои органы чувств, на зрение, осязание, на опыт манипулирования предметами
внешнего мира и на возникающую отсюда интуицию. Однако возможен и другой
подход: путем измерения субъективные ощущения превращаются в объективные
знаки – числа, которые способны сохраняться неограниченно долго, передаваться
другим лицам, не воспринимавшим тех же ощущений, а главное – с которыми
можно оперировать и таким образом получать новую информацию о предметах,
бывших объектом измерения. Эти две тенденции и отражаются: одна – в геометрии, другая – в алгебре. При этом алгебра играет приблизительно ту же роль, что и
язык или письменность в контакте человека с внешним миром. Обе тенденции тесно связаны алгебро-геометрическим дуализмом. Обе обладают сильной эстетической компонентой. При сопоставлении с искусством геометрию можно сравнить с
живописью, алгебру – с музыкой.
Древнейшим примером являются пересчет (координатизация) и счет оперирование), дающие возможность делать заключения о числе предметов, не перебирая
их. Из попыток «измерить» или «выразить» числом различные объекты возникли,
вслед за целыми, дробные и отрицательные числа. Стремление выразить числом
диагональ квадрата со стороной один привело к известному кризису в раннеантичной математике и построению иррациональных чисел.
Измерение задает вещественными числами точки прямой и, гораздо шире, выражает числами многие физические величины. Галилею (15.02.1564 – 08.01.1642)
принадлежит самая крайняя формулировка идеи координатизации в его эпоху:
«Измерить все, что измеримо, и сделать измеримым все, что таковым еще не является». Успех этой идеи, начиная именно со времени, когда жил Галилей, был
блистателен. Создание аналитической геометрии дало возможность задавать точки
плоскости парами, а точки пространства – тройками чисел и путем оперирования с
числами открывать все новые геометрические факты. Однако успех аналитической
геометрии основывается, главным образом, на том, что она «сводить» к числам не
только точки, но и кривые, и поверхности, и т. д. Например, кривая на плоскости
задается уравнением F ( x, y )  0 . Если это прямая, то F ( x, y )  многочлен 1-й степени и задается своими тремя коэффициентами: при x, при у и свободным членом. В
случае конического сечения мы имеем кривую второго порядка. которая задается
своими шестью коэффициентами. Если F ( x, y )  многочлен степени n, то он имеет,
как легко видеть, (n  1)(n  2) 2 коэффициентов, которыми, соответствующая кривая задается так же, как точка – координатами.
Чтобы выразить числом корни уравнения, были введены комплексные числа и
тем сделан шаг в совершенно новую область математики, включающую эллиптические функции и римановы поверхности.
Долгое время могло казаться, что путь, намеченный Галилеем, сводится к измерению «всего» при помощи известного, необсуждаемого запаса чисел, и проблема
заключается лишь в том, чтобы создавать все более тонкие методы такого измере-
5-39
ния вроде метода координат или новых физических приборов. Правда, иногда тех
чисел, которые считались известными (или просто, считались числами), оказывалось недостаточно: тогда возникал кризис, преодолевавшийся расширением понятия числа, созданием нового вида чисел, которые вскоре опять воспринимались как
единственно возможные. Во всяком случае, в каждый данный момент понятие числа, как правило, считалось вполне ясным и развитие шло лишь в направлении его
расширения: 1 и 2 (а потом «много»)  натуральные числа  целые  рациональные  вещественные  комплексные. Но, например, матрицы представляют
собой совершенно самостоятельный мир «числоподобных» объектов, никак не
укладывающийся в эту последовательность. Одновременно с ними возникли кватернионы, потом другие гиперкомплексные системы? (теперь называемые алгебрами). «Бесконечно малые преобразования» привели к дифференциальным операторам, для которых естественной оказалась операция совсем нового типа: «скобка
Пуассона». В алгебре возникли конечные поля, в теории чисел р-адические числа.
Постепенно стало очевидным, что попытки найти единое, всеобъемлющее понятие
числа абсолютно безнадежно. В этой ситуации прокламируемый Галилеем принцип можно было обвинить в нетерпимости. Ведь требование «сделать все, что таковым еще не является» явно дискредитирует то, что не хочет становиться измеримым, вытесняет его из сферы интересов науки, а может быть и разума. Даже если
полемический термин «все» скромно ограничить объектами физики и математики,
то среди них все больше появлялось таких, которые «измерить» при помощи обычных» чисел было невозможно.
Принцип координатизации все же можно было сохранить, допустив, что множество «числоподобных объектов», при помощи которых осуществляется координатизация, столь же разнообразен как и мир физических и математических объектов, которые ими координатизируется. Объекты служащие «координатами», должны удовлетворять лишь некоторым условиям общего характера.
Они должны быть индивидуализируемы. Например, в то время как все точки
прямой обладают одинаковыми свойствами (прямая однородна), тем не менее, точку прямой можно фиксировать, лишь указав на нее пальцем, – числа все индивидуальны: 5, 11/6, 2 ,  ,  . (тот же принцип применяется, когда новорожденным
щенкам, не различимым для хозяина, привязывают на шею разноцветные ленточки,
чтобы отличать их друг от друга).
Они должны быть достаточно абстрактны, отражать свойства, общие для широкого круга явлений.
Некоторые фундаментальные черты изучаемых объектов отражаются в операциях, которые можно проводить над “координатизирующими” их объектами: сложении, умножении, сравнении по величине, дифференцировании, составлении
скобки Пуассона и т.д. Мы можем теперь сформулировать наш тезис подробнее:
Любые объекты, являющиеся предметом математического исследования, –
кривые и поверхности, отображения, симметрии, кристаллы, кванто-механические
величины и т д. – могут быть «координатизированы» или «измерены». Однако, для
такой координатизации «обычных» чисел далеко не достаточно.
Наоборот, сталкиваясь с новым типом объектов, мы вынуждены конструировать (или открывать) и новые типы координатизирующих их «величин». Построение и исследование возникающих таким образом «величин» – этим и характеризуется (конечно, очень приближенно) место алгебры в математике.
6-39
С этой точки зрения, развитие любого раздела алгебры состоит из двух этапов.
Первый из них – рождение нового типа алгебраических объектов из некоторой
проблемы координатизации; второй — их дальнейшая жизнь, т. е. систематическое
развитие теории этого класса объектов, иногда тесно связанное, а иногда почти и
не связанное с той областью, в связи с которой объекты возникли.
Закончим преамбулу примером координатизации, несколько менее стандартными, чем уже рассматривавшиеся нами.
Пример 1. Конечные интерпретации системы аксиом соединения и параллельности.
Начнем с небольшого отступления. При аксиоматическом построении геометрии
(для конкретности будем сейчас говорить только о планиметрии) часто рассматривают не всю совокупность аксиом, а лишь ее часть. Тогда возникает вопрос о возможных реализациях выбранной группы аксиом: существуют ли, кроме «обычной»
планиметрии, другие системы объектов, для которых аксиомы этой группы выполняются? Обратим сейчас внимание на очень естественную группу аксиом «соединения и параллельности»: а) через любые две различные точки проходит одна и
только одна прямая; б) для каждой прямой и не принадлежащей ей точки существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая
этой прямой (т.е. параллельна ей); в) существуют три точки, не лежащие на одной
прямой. Оказывается, что эта группа аксиом допускает
B
D много реализаций и среди них и такие, которые, в резком
противоречии с нашей интуицией, имеют лишь конечное
число точек и прямых. Такая реализация изображена на
рис. 1. В реализации, изображенной на рис.1, мы имеем 4
точки: А, В, С, D и 6 прямых: АВ, DС; АD, ВС; АС, BD.
A
C Легко проверить, что выполняются аксиомы а), б) и в) (в
нашем перечне прямых мы разделили точкой с запятой
Рис. 1
семейства параллельных прямых).
Возвращаясь к нашей основной теме, попытаемся «координатизировать» построенную реализации аксиом а), б) и в). Применим следующую конструкцию:
обозначим через Ч и Н свойства целого числа быть четным или нечетным и определим действия сложения и умножения над символами Ч и Н по аналогии с тем,
как ведут себя соответствующие свойства при сложении и умножении. Например
так как сумма четного и нечетного числа нечетна, положим Ч + Н = Н и т. д. Результаты можно выразить в таблицах «сложения и умножения», изображенных на
+
Ч
Н
×
Ч
Н
Ч
Ч
Н
Ч
Ч
Ч
Н
Н
Ч
Н
Ч
Н
Рис. 2
Рис. 3
рис.3 и 4. Пара величин Ч и Н с определенными так действиями будет служить нам
для координатизации «геометрии» на рис.1. Для этого зададим точки координатами
(Х, У):
А – (Ч, Ч), В – (Ч, Н), С – (Н, Ч), В – (Н, Н).
Легко проверить, что прямые определяются при этом линейными уравнениями;
АВ: Н ∙ Х = Ч;
СВ: Н ∙ Х = Н;
AD: Н ∙ Х + Н ∙ Y = Ч;
7-39
ВС: Н ∙ Х + Н ∙ Y = Н;
АС: Н ∙ Y = Ч;
BD: Н ∙ Y = Н,
притом это единственные непротиворечивые линейные уравнения, которые можно
образовать при помощи двух величин Ч и Н. Здесь Х , Y – переменные.
Уже этот пример дает первое представление, какими могут быть объекты, используемые при том или ином варианте координатизации. Во-первых, их запас
должен быть строго очерчен. Иными словами, должно быть указано некоторое
множество (или, может быть, несколько множеств), элементами которого могут
быть эти объекты. Во-вторых, мы должны иметь возможность с ними оперировать,
т. е. должны быть определены операции, которые по одному или нескольким элементам множества или множеств дают возможность строить новые элементы. Пока
мы больше ничем не ограничиваем природу используемых множеств. Точно так же
и операция может быть совершенно произвольным правилом, по которому некоторому набору из элементов сопоставляется новый элемент. Однако обычно эти операции будут все же сохранять некоторое сходство с действиями над числами.
Образно говоря, принцип координатизации заключается в переводе знаний,
полученных посредством нашими органами чувств или математических абстракций на язык алгебры. При этом не надо забывать, что может не существовать даже
символов (первичных обозначений), которыми можно выразить, имеющееся знание, а тем более операций над ними через которые мы приобретаем новое знание
об объекте.
Нами описана только та сторона познания, которая породила современную
алгебру. Кроме вопросов координатизации алгебра занималась и другими вопросами – тождественными преобразованиями, решением уравнений и систем, разрешимости многочленов от одной переменой в радикалах. Много сил было затрачено на
исследование последнего вопроса, вследствие чего алгебру многие связывают с
многочленами.
Алгебра находилась на протяжение длительного времени под влиянием геометрии и отсутствие удобной и хорошо развитой символики сковывало дальнейшее
развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной
форме. Тому ярким примером служит арифметика Магницкого (Леонтий Филиппович Магницкий (16.06.1669 – 30.10.1739) – русский математик-педагог – издал в
1703 году книгу «Арифметику», которую М. В. Ломоносов назвал «вратами своей
учености» )
Р. Декарту (31.03.1596 – 11.02.1650) удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопросы
решения уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача об отыскании точки пересечения двух линий
свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих линий.
Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии.
В конце ХVI в. французский математик Ф. Виет (1540 – 13.12.1603) ввел
буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных. Символика Виета была усовершенствована многими учеными. Окончательный вид ей придал в начале ХVII в. французский философ и математик Р. Декарт
(31.03.1596 – 11.02.1650), который ввел (употребляемые и поныне) обозначения
для показателей степеней.
В начале ХIХ в. были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в
первом тысячелетии её развития. Она получила самостоятельное обоснование, не
8-39
опирающееся на геометрические понятия, и, более того, алгебраические методы
стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила
буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен
вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло бы показаться, что теперь
математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако, развитие алгебры пошло
иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в
общую науку об операциях и их свойствах.
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании
«гиперкомплексных чисел» – чисел с несколькими «мнимыми единицами». Такую
систему чисел, имевших вид a  bi  cj  dk , где i 2  j 2  k 2  1 , построил в 1843 г.
ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действий над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их
умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, ij  k , ji  k
С операциями, свойства которых лишь отчасти напоминают свойства арифметических операций, математики ХIХ в. столкнулись и в других вопросах. В 1858
г. английский математик А. Кэли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц сводятся и многие изучавшиеся ранее операции. Английский логик Дж. Буль в середине ХIХ в. начал изучать
операции над высказываниями, позволяющие из двух данных высказываний построить третье, а в конце ХIХ в. немецкий математик Г. Кантор ввел операции над
множествами: объединение, пересечение и т.д. Оказалось, что как операции над
высказываниями, так и операции над множествами обладают свойствами коммутативности (переместительности), ассоциативности (сочетательности) и дистрибутивности (распределительности), но некоторые их свойства не похожи на свойства
операций над числами.
Таким образом, в течение ХIХ в. в математике возникли разные виды алгебр:
обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств и т. д. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил
алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы, которые в VI классе
устанавливают для рациональных значений букв, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) значений тех же букв. Одинаковыми оказались и правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это
привело к созданию абстрактного понятия композиции, т. е. операции, которая
каждой паре (а, b) элементов некоторого множества Х сопоставляет третий элемент
с того же множества. Композициями были сложение и умножение как натуральных, так и любых целых, а также рациональных, действительных и комплексных
чисел, «умножение» матриц, пересечение и объединение подмножеств некоторого
множества U и т. д. А вычитание и деление в множестве натуральных чисел не являются композициями, так как и разность, и частное могут не быть натуральными
числами.
Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная
задача алгебры – изучение свойств операций, рассматриваемых независимо от объектов, к которым они применяются. Иными словами, алгебра стала рассматривать-
9-39
ся как общая наука о свойствах законов композиции, свойствах операций. При этом
два множества, в каждом из которых заданы композиции, стали считаться тождественными с точки зрения алгебры (или, как говорят, «изоморфными»), если между
этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одно из них, мы узнаем алгебраические свойства другого.
Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами
композиции необозрима, были выделены типы таких множеств, которые хотя и не
изоморфны друг другу, но обладают общими свойствами композиции. Например,
изучив свойства операций сложения и умножения в множествах рациональных,
действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля –
множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные
свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является сейчас одним из важнейших не только в алгебре, но и
во всей математике.
В наши дни алгебра – одна из важнейших частей математики, находящая
приложения как в сугубо теоретических отраслях науки, так и во многих практических вопросах.
Раздел алгебра состоит из 5 подразделов:
1) Элементарная алгебра;
2) Многочлены;
3) Системы алгебраических уравнений и неравенств с несколькими неизвестными;
4) Неравенства;
5) Абстрактная алгебра.
Изучение данного раздела можно начинать с пятого класса и изучать в течение всего обучения – семи лет.
Подраздел II.1. Элементарная алгебра
Темы:
II.1.1. Обыкновенные и десятичные дроби. Целые, рациональные, иррациональные,
алгебраические, трансцендентные и комплексные числа.
Литература к теме II.1.1:
1. Гельфанд И. М., Шень А. Х. Алгебра. М.: Фазис,2000. – 192 с. (Для 5 – 7 классов). (4. Сложение столбик. 4. Таблица умножения. Умножение столбиком. 6. Деление «уголком». С.
9 – 16. 8. Коммутативность. 9. Ассоциативность.10. Расстановка скобок. 11. Дистрибутивность. С.19 –
25. 13. Сложение отрицательных чисел. 14. Умножение отрицательных чисел. 15. Действия с дробями.
С. 28 – 37)
2.
Нивен А. Числа рациональные и иррациональные. М.: Мир, 1966. – 198 с. (Для
старшеклассников). (Глава I. Натуральные и целые числа. § 3. Целые числа Упражнения. § 4.
Четные и нечетные целые числа. Упражнения. § 5. Свойства замкнутости. С. 17 – 32. Глава II. Рациональные числа. § 1. Определение рациональных чисел. Упражнения. § 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби. Упражнение. § 4. Периодические десятичные дроби. Упражнение. § 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби. Упражнения § 6.
Краткие выводы.С.33 – 53. Глава III. Действительные числа. § 1. Геометрическая точка зрения. § 2. Десятичные представления. § 3. Иррациональность числа
2 . § 4. Иррациональность числа 3 .§ 5. Ир-
рациональность чисел 6 и 2  3 . Упражнения. § 6. Слова, которыми мы пользуемся. § 7. Приложение к геометрии. § 8. Краткие выводы С. 54 – 71. Глава IV. Иррациональные числа. § 1. Свойства
замкнутости. Упражнения. § 2. Алгебраические уравнения. Упражнения. § 3. Рациональные корни ал-
10-39
гебраических уравнений. Упражнения. § 4. Дальнейшие примеры. Упражнения. § 5. Краткие выводы.С.
72 – 89. Глава V. Значения тригонометрических и логарифмических функций. § 1. Иррациональные
значения тригонометрических функций. Упражнения. § 2. Одно общее правило. Упражнения. § 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов. Упражнения. § 4. Трансцендентные числа. Упражнения. § 5. Три знаменитые задачи на построение. Упражнения. § б. дальнейший анализ числа 3 2 .
Упражнения. § 7. Краткие выводы. С. 90 – 110. Глава VI. Приближение иррациональных чисел рациональными. § I. Неравенства. Упражнения. § 2. Приближение целыми числами. Упражнения. § З. Приближение рациональными числами. Упражнения. § 4. Лучшие приближения. Упражнения. § 5. При2
ближения с точностью до 1 n . Упражнения. § 6. Ограничения точности приближений. Упражнения. §
7. Краткие выводы. С. 111 – 136. Глава VII. Существование трансцендентных чисел. § 1. Предварительные сведения из алгебры. Упражнения. § 2. Один способ приближения числа
  10 1!  10 2!  10 3!   . § 3. План доказательства. Упражнения. § 4. Свойства многочленов. § 5.
1!
2!
3!
Трансцендентность числа   10  10  10   . § 6. Краткие выводы. С. 147 – 150. Приложение А. Доказательство бесконечности простых чисел. С. 151 – 152. Приложение Б. Доказательство основой теоремы арифметики. 153 – 158. Приложение В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел. С. 159 – 167. Приложение Г. И. М. Яглом. Доказательство иррациональности значений тригонометрических функций. С. 168 – 187)
3. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников.
М.: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Для старшеклассников). (Глава 1. Целые числа. §1. Иррациональность 2 . §2. Иррациональность других квадратных
корней. С. 7 – 15. Глава 5. Действительные числа и многочлены (Тема: Число и многочлен). §14. Аксиомы действительного числа. С. 200 – 207. §16. Задание действительных чисел десятичными дробями.
С. 215 – 224)
4.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с. (Для
старшеклассников). (Глава II. Математическая числовая система §1. Рациональные числа.1. Рациональные числа как средство измерения. 2. Возникновение надобности в рациональных числах внутри самой математики. Принцип обобщения. 3. Геометрическое представление рациональных чисел. §2.
Несоизмеримые отрезки. Иррациональные числа, пределы. 1. Введение. 2. Десятичные дроби: конечные
и бесконечные. 3. Пределы. Бесконечные геометрические прогрессии. 4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. 5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся
отрезков. *6. Иные методы определения иррациональных чисел. Дедекиндовы сечения. §5. Комплексные числа. 1. Возникновение комплексных чисел. 2. Геометрическое представление комплексных чисел.
3. Формула Муавра и корни из единицы. *4. Основная теорема алгебры.§6. Алгебраические и трансцендентные числа. 1. Определение и вопросы существования. *2. Теорема Лиувилля и конструирование
трансцендентных чисел)
5. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Логико-математические основания понятия числа. §1. Понятие натурального числа С. 273. §2. Определение рационального числа как линейной
функции. С. 282. §3. Основные подходы к определению вещественного числа. 1. определение вещественного числа как фундаментальной последовательности. С. 287. 3. Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение. С. 291. 4. Определение вещественного числа как сечения. С. 296. 5. Определение вещественного числа как последовательности знаков. С. 301. Основные подходы к определению комплексного числа. С. 308. §4. Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности и
упорядоченности среди свойств комплексных и вещественных чисел. С. §5. Связь полей вещественных
и комплексных чисел. Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое пополнение и метрическое пополнение. С. 320 – 323. Приложение 3 (к главе IV). Доказательство некоторых вспомогательных утверждений. С. 346 – 363)
6. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. – 488 с. (Для старшеклассников). (Первая книга. Основные структуры. Первая
глава. Терминология и символы теории множеств. Операции. С. 17 – 25. Вторая глава. Числа. С. 25 –
53. Третья глава. Векторные пространства. С. 53 – 65. Четвертая глава. Отображения одного множества в другое. Точечные преобразования. Числовые функции. Алгебраическая точка зрения. С. 65 – 76.
Вторая книга. Арифметика и алгебра. Первая часть. Теория чисел. Первая глава. Целые числа. С. 145 –
175. Вторая глава. Дроби. Рациональные числа. Десятичные дроби. С. 175 – 183. Третья глава. Вещественные числа. С. 183 – 195. Вторая часть. Алгебраические выражения. Решения уравнений. Первая
глава. Многочлены. Рациональные функции. С. 196 – 220. Вторая глава. Решения уравнений. С. 220 –
229. Третья книга. Анализ. Шестая глава. Комплексные числа. I. Исторические сведения. II. Поле ком-
11-39
плексных чисел. Основная теорема алгебры (теорема Даламбера). IV. Обзор приложений комплексных
чисел. С. 279 – 294)
7. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – 6-е издание. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2001. – 480 с. (9. Комплексные числа. Задачи № 222 – 239)
8. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (Для старшеклассников). (5. Числа, дроби, системы счисления.
5.1. Рациональные и иррациональные числа. 5.2. Десятичные дроби. 86 – 91. 7. Комплексные числа. 7.1.
Комплексная плоскость. 7.2. Преобразование комплексной плоскости. 7. 3. Целые гауссовы числа. С.
118 – 137)
9.
Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005
(Для старшеклассников). (Глава 6. Рациональные и иррациональные числа. С. 71 – 83. Глава 23.
Комплексные числа. 23.1. Тождества и неравенства для комплексных чисел. 23.2. Формула Муавра.
23.3. Корни из единицы. С. 258 – 261).
10.
Яглом И. М. Комплексные числа. М.: ФМ, 1963. 192 с.
Исследовательская работа по теме II.1.1.
1. Исследование по алгебраическим и трансцендентным чисел аналитическим
методом для 9 – 11 классов.
1. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные. М.: Мир, 1966. – 198 с.
2. Исследование алгебраическим и трансцендентным чисел методом теории
множеств для 8 – 10 классов.
1. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Мир, 1963. – 256 с. (Глава 2. В мире
чудес бесконечного.Тайны бесконечности. Необыкновенная гостиница, или тысяча первое путешествие Йона Тихого. От автора. Как сравнивать множества. На танцплощадке. На каждый прилив —
по отливу. Равна ли часть целому? Счетные множества. Алгебраические числа. Восьмерки на плоскости. Неравные множества. Счетное множество – самое маленькое из бесконечных. Несчетные
множества. Несостоявшаяся перепись. Несчетность континуума. Существование трансцендентных
чисел. На длинном и коротком отрезках поровну точек. Отрезок и квадрат. Одна задача почему-то
не выходит. Существует ли множество самой большой мощности? Арифметика бесконечного. Возведение в бесконечную степень. По порядку номеров. Вполне упорядоченные множества.
Непонятная аксиома. Из одного яблока – два. Конечные разбиения).
3. Исследование применений комплексных чисел из единицы для 8 – 10 классов
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Глава IV. Алгебраические уравнения. § 4.5. Корни из комплексных
чисел. С. 226 – 232)
4. Исследование по обобщению числа для 8 – 11 классов.
1. Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. М.: Наук, 1986. (Б-чка «Квант». Вып. 54)
2. Кириллов А. А. Что такое число? М. : Наука, 1993. – 80 с.
3. Яглом И. М. Комплексные числа. М.: ФМ, 1963. 192 с.
5. Исследование по гауссовым числам для 9 – 11 классов.
1. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (7. Комплексные числа. 7.1. Комплексная плоскость. 7.2. Преобразование комплексной плоскости. 7. 3. Целые гауссовы числа. С. 118 – 137). (Число вида
b – целые, называются целыми гауссовыми числами)
a  bi , где a,
II.1.2. Множества. Отображения множеств: многочлены, рациональные и алгебраические иррациональные функции. Алгебраическая точка зрения.
Литература к теме II.1.2:
1. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Мир, 1963. – 256 с. (Для 6 – 8 классов). Глава 1. Множества и действия над ними. Что такое множество. Как задают множества. Брить
или не брить? Пустое множество Теория множеств и школьная математика. Подмножества. Теория
множеств и комбинаторика. Универсальное множество. Пересечение множеств. Сложение множеств.
12-39
Разбиение множеств. Арифметика остатков. Вычитание множеств. Алгебра множеств. Планета мифов.
Булевы алгебры.
2. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. – 72 с. (ПЛпМ. Вып.45).
(Для 6 – 8 классов).
(Предисловие. § 1. Алгебра чисел и алгебра множеств. § 2. Алгебра Буля. § З.
Дальнейшие свойства алгебр Буля: принцип двойственности; булевские равенства и неравенства. § 4.
Множества и высказывания; алгебра высказываний. § 5. «3аковы мысли» и правила вывода. § 6. Высказывания и контактные схемы. Приложение. Определение алгебры Буля. Литература. Ответы и указания
к упражнениям)
3. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с. (Для
старшеклассников). (Д о по л не н ие к главе II. Алгебра множеств. 1. Общая теория. 2. Применение
к математической логике. С. 134 – 140)
4. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников.
М.: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Для 7 – 11 классов).
(Глава З. Конечные множества (Тема: Множество). § 7. Множества и подмножества. § 9. Алгебра множеств.)
5. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвеще-
ние. 1967. – 488 с. (Для 8 – 11 классов). (Первая книга. Основные структуры. Первая глава.
6.
Терминология и символы теории множеств. Операции. С. 17 – 25. Вторая глава. Числа. С. 25 – 53. Третья глава. Векторные пространства. С. 53 – 65. Четвертая глава. Отображения одного множества в
другое. Точечные преобразования. Числовые функции. Алгебраическая точка зрения. С. 65 – 76. Вторая
часть. Алгебраические выражения. Решения уравнений. Первая глава. Многочлены. Рациональные
функции. С. 196 – 220)
Энциклопедия элементарной математики. Книги 3. М. – Л. 1952 [Глава II. Обзор
элементарных функций и их графиков. §6. Классификация рациональных функций. §7. Целые положительные степени. §8. Многочлены первой степени (линейные функции). §9. Многочлены (трехчлены)
второй степени. §10. Многочлены третей степени. §11. Биквадратные многочлены. §12. Многочлены
высших степей. §13. Целые отрицательные степени. §14. Дробно-линейные функции. §15. Дробные
функции второй степени. §16. Дробно-рациональные функции (общий случай). §17. Алгебраические иррациональные функции. §18. Примеры исследования алгебраических функций. С. 42 – 78]
7. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Предисловие. Основные понятия и символы, используемые в книге. Глава I. Элементарные функции. Угол. Введение. С. 19. §1. Линейная функция. 1.
Аксиоматическое определение линейной функции. С. 22. 2. Свойства линейной функции. С. 22. 3. Теорема существования и единственности линейной функции. С. 24. §2. Показательная функция. 1. Аксиоматическое определение показательной функции. С. 24. 2. Свойства показательной функции. С. 24. 3.
Теорема существования и единственности показательной функции. С. 26. §3. Логарифмическая функция. 1. Аксиоматическое определение логарифмической функции. С. 30. 2. Свойства логарифмической
функции. Теорема существования и единственности логарифмической функции. С. 31. §4. Степенная
функция. 1. Аксиоматическое определение степенной функции. С. 32. 2. Теорема существования и
единственности степенной функции. С. 32. 3. Свойства степенной функции. С. 34. §5. Функции косинус
и синус числового аргумента. Экспоненциальная функция и её периодичность. С. 35. 2. Теорема существования и единственности экспоненциальной функции. С. 40. 3. Функции косинус и синус числового
аргумента: аксиоматическое определение и свойства. С. 45. §6. Угол. Функции косинус и синус углового
аргумента. Измерение углов. 1. Введение. С. 48. 2. Определение угла в арифметической плоскости. С.
49. 3. Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. С. 53. 4. Измерение
углов. С. 55. 5. Обсуждение полученных результатов. С. 60 – 64. Приложение 1 (к главе I). 1. Группы,
изоморфные прямой и окружности. С. 324. 2. Длина дуги. Определение функции косинус и синус числового аргумента на омнове понятие длины дуги. С. 332 – 340).
Исследовательская работа по теме II.1.2.
1. Исследование по экзотическим объектам в математике для 8 – 11 классов.
1. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Мир, 1963. – 256 с. (Глава 3. Удивительные функции и линии, или прогулки по математической кунсткамере. Как развивалось понятие о функции. Джин выходят из бутылки. Мокрые точки. Чертова лестница. Колючая линия. Замкнутая линия бесконечной длины. Математический ковер. Евклид отказывает в помощи. Нужны
ли строгие определения? Линия — след движущейся точки. Теорема очевидна, доказательство –
нет. Кривая проходит через все точки квадрата. Все лежало в развалинах. Как делают статуи. Континуумы. Канторовы линии. Всегда ли площадь линии равна нулю. Области без площади. Неожи-
13-39
данные примеры. Области и границы. Большие ирригационные работы. «Недиссертабельная» тема.
Индуктивное определение размерности. Работу надо не рецензировать, а печатать! Заключение.
Примеры и упражнения)
2. Исследование по тонким («худым») множествам, т. е. мера которого сколь
угодно мала, для 9 – 11 классов.
1. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников. М.: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Глава З. Конечные множества (Тема: Множество). § 7. Множества и подмножества. § 9. Алгебра множеств. Глава
б. Бесконечные множества (Тема: Множество). § 18. Равномощность. §19. .Континуум. § 20. Тонкие множества. Приложение. Нормальные числа. Глава 7. Степенные ряды. (Тема: Многочлен).
§21. Многочлены как производящие функции. §22. Степенные ряды. §23. Partitio numerous (разбиение чисел). Приложение 1. Пентагональная теорема Эйлера. Приложение 2. Производящие функции для чисел Бернулли. С. 311 – 385)
II.1.3. Алгебраические свойства линейных, показательных, логарифмических, степенных и тригонометрических функций.
Литература к теме II.1.3:
1. Гельфанд И. М., Шень А. Х. Алгебра. М.: Фазис, 2000. – 192 с. (для 5 – 11 классов). (2. Перемена мест слагаемых. 3. Перемена мест сомножителей. 12. Буквы в алгебре. 16. Степени.
m
n
17. Отрицательные степени. 18. Как умножить a на a , или почему наше определение удобно.19.
Правило умножения степеней. 29. Формулы сокращенного умножения. 21. Как объяснить формулу
(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 . 22. Квадрат разности. 23. Разность квадратов. 24. Куб суммы. 25. Четвертая
5
6
степень суммы. 26. (a  b) , (a  b) и треугольник Паскаля. 27. Многочлены. 28. Отступление: какие многочлены считать равными? 29. Сколько одночленов остается? 30. Коэффициенты и значения.
31. Разложение на множители. 32. Рациональные выражения. 33. Преобразование рационального выражения в частное двух многочленов. 34. Многочлены и рациональные дроби с одной переменной. 35. Деление многочленов с остатком. 36. Остаток при делении на x  a . 37. Многочлены, значения, интерполяция. 45. Уравнения. 46. Квадратное уравнение. 47. Случай p  0 . Квадратный корень. 48. Свойства
a 2  px  q  0 . 50. Теорема Виета 51. Разложение квадратного
2
трехчлена на множители. 52. Формула для корней квадратного уравнения ax  bx  c  0 ( a  0) .
квадратных корней. 49. Уравнение
53. Еще одна формула для корней квадратного уравнения. 54. Квадратное уравнение становиться линейным. 55. График квадратного трехчлена. 56. Квадратные неравенства. 57. Максимум и минимум
квадратного трехчлена. 58. Биквадратные уравнения. 59. Возвратные уравнения. 62. Степень с дробным
показателем. 64. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. 65. Среднее геометрическое не
больше среднего арифметического. 67. Геометрические иллюстрации. 68. Среднее многих чисел. 69.
Среднее квадратическое. 70. Среднее гармоническое. 71. Книги для дальнейшего чтения)
2. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Предисловие. Основные понятия и символы, используемые в книге. Глава I. Элементарные функции. Угол. Введение. С. 19. §1. Линейная функция. 1.
Аксиоматическое определение линейной функции. С. 22. 2. Свойства линейной функции. С. 22. 3. Теорема существования и единственности линейной функции. С. 24. §2. Показательная функция. 1. Аксиоматическое определение показательной функции. С. 24. 2. Свойства показательной функции. С. 24. 3.
Теорема существования и единственности показательной функции. С. 26. §3. Логарифмическая функция. 1. Аксиоматическое определение логарифмической функции. С. 30. 2. Свойства логарифмической
функции. Теорема существования и единственности логарифмической функции. С. 31. §4. Степенная
функция. 1. Аксиоматическое определение степенной функции. С. 32. 2. Теорема существования и
единственности степенной функции. С. 32. 3. Свойства степенной функции. С. 34. §5. Функции косинус
и синус числового аргумента. Экспоненциальная функция и её периодичность. С. 35. 2. Теорема существования и единственности экспоненциальной функции. С. 40. 3. Функции косинус и синус числового
аргумента: аксиоматическое определение и свойства. С. 45. §6. Угол. Функции косинус и синус углового
аргумента. Измерение углов. 1. Введение. С. 48. 2. Определение угла в арифметической плоскости. С.
49. 3. Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. С. 53. 4. Измерение
углов. С. 55. 5. Обсуждение полученных результатов. С. 60 – 64. Приложение 1 (к главе I). 1. Группы,
изоморфные прямой и окружности. С. 324. 2. Длина дуги. Определение функции косинус и синус числового аргумента на основе понятие длины дуги. С. 332 – 340).
14-39
3. Энциклопедия элементарной математики. Книги 3. Функции и пределы. М. –
Л. 1952 [Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков. §6. Классификация рациональных
функций. §7. Целые положительные степени. §8. Многочлены первой степени (линейные функции). §9.
Многочлены (трехчлены) второй степени. §10. Многочлены третей степени. §11. Биквадратные многочлены. §12. Многочлены высших степей. §13. Целые отрицательные степени. §14. Дробно-линейные
функции. §15. Дробные функции второй степени. §16. Дробно-рациональные функции (общий случай).
§17. Алгебраические иррациональные функции. §18. Примеры исследования алгебраических функций.
§19. Элементарные трансцендентные функции. §20. Показательные функции. §21. Функции, связанные
с показательной. §22. §23. §18. §18. §18. С. 42 – 78]
4. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. М.: МЦНМО,
2003. – 200 с.
5. Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005
(Глава 11. Тригонометрия. С. 122 – 149).
6. Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении:
Задачи по комбинаторике и теории вероятностей, задачи из разных областей
математики. М.: КомКнига, 2006. – 544 с. (Для 8 – 11 классов). (Раздел II. Задачи из
разных областей матемаматики.11. Четыре формулы для числа  . Задачи № 136 – 141. Доказываются
тригонометрические тождества необходимые для вычисления числа  )
7. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. – 488 с. (Для 8 – 11 классов). (Вторая книга. Арифметика и алгебра. Первая
часть. Теория чисел. Первая глава. Третья глава. Вещественные числа. § 2. Логарифмы. Обобщение
понятия показателя степени. С. 190 – 195)
Исследовательская работа по теме II.1.3.
1. Исследование по методам упрощения выражений для 7 – 9 классов.
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (§ 2. Применения к элементарной алгебре. I . 13. Разные задачи.
Упражнения.§ 3. Симметрические многочлены от трёх переменных. 17. Орбиты одночленов. 18.
Доказательство основной теоремы. Упражнения. § 4. Применения к элементарной алгебре. II. 25.
Освобождение от иррациональности в знаменателе. Упражнения. § 6. Применения к элементарной
алгебре. III. 33. Доказательство тождеств и упрощение алгебраических выражений. Упражнения. §
7. Симметрические многочлены от нескольких переменных. 35. Элементарные симметрические
многочлены от нескольких переменных. 36. Основная теорема о симметрических многочленах от
нескольких переменных. 40. Словарное расположение многочленов; старшие члены. 41. Отбор слагаемых многочлена φ(σ1, σ2, . . ., σn) с помощью старших членов. 42. Антисимметрические многочлены от n переменных. Упражнения. 43. Общий метод освобождения от иррациональности в знаменателе. Решения)
2. Исследование по методам приведение подобных членов для 8 – 10 классов.
1. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы
элементарной математики. Арифметика и алгебра. – 6-е издание. – М.:
ФИЗМАТЛИТ,2001. – 480 с. (8. Алгебра многочленов. Задачи № 196 – 200)
2. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика: основания информатики. М.: Мир, 1998. – 708 с.
3. Исследование по комплексной тригонометрии для 9 – 11 классов.
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Глава IV. Алгебраические уравнения. §4.16. Комплексная тригонометрия. С. 280 – 286)
II.1.4. Тождественные преобразования. Сочетания и бином Ньютона.
Литература к теме II.1.4:
1. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Советская наука, 1957. – С. 666. (Для 7 – 11 классов). (Часть I. Алгебра. Глава
I. Тождественные преобразования многочленов. § 1. Тождественные преобразования многочленов. § 2.
Условные тождества между многочленами. § З. Симметрические многочлены. § 4. Делимость много-
15-39
членов. § 5. Разложенние на множители. § б. Разные задачи на многочлены. Глава II. Алгебраические
дроби. § 1. Тождественные преобразования алгебраических дробей. § 2. Условные тождества. Глава III.
Радикалы и иррациональные выражения. § 1. Тождественные преобразования иррациональных выражений. § 2. Условные тождества. Преобразование равенств, содержащих иррациональные выражения. С. 7
– 27. Глава V. Линейные уравнения и линейные неравенства. § 4. Составление линейных уравнений. п. 1.
Составление линейных уравнений с одним неизвестным. п. 2. Составление систем линейных уравнений
с несколькими неизвестными. Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней. § 15. Составление
нелинейных уравнений. п. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным. п. 2 Составление нелинейных уравнений с одним неизвестным. п. 3. Составление систем нелинейных уравнений.
Глава VII. Показательная и логарифмическая функции над полем действительных чисел. § 1. Доказательство различных равенств, содержащих показательную и логарифмическую функции. § 2. Логарифмические и показательные уравнения с одним неизвестным. § 3. Системы логарифмических и показательных уравнений. § 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функции.
Глава ХII. Бином Ньютона. Часть III. Тригонометрия. Глава ХХVI. Тождественные преобразования. § 1.
Тождественные преобразования. п. 1. Тождества. п. 2. Условные тождества. Глава ХХVII. Обратные
тригонометрические функция)
2. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. – 488 с. (Для 8 – 11 классов). (Вторая книга. Арифметика и алгебра. Вторая
часть. Алгебраические выражения. Решения уравнений. Первая глава. Многочлены. Рациональные
функции. I. Определение многочлена.II. Числовые значения многочлена. Делимость на x  a . III. Деление в кольце многочленов. 1.Точное частное . 2. Евклидово деление многочленов. 3. Деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням. IV. Рациональные дроби от одного неизвестного. V.
Многочлены и рациональные дроби от нескольких неизвестных. VI. Замечание о применении тригонометрии к алгебраическим задачам. С.196 – 220).
3.
4.
Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.: МЦНМО, 2002. – 240 с. (Для 8 – 11 классов). (§ 2. Применения к элементарной алгебре. I . 12.
Разложение симметрических многочленов на множители. Упражнения. 13. Разные задачи. Упражнения.
С. 37 – 42. § 4. Применения к элементарной алгебре. II. 22. Разложение на множители. Упражнения. 23.
Доказательство тождеств. Упражнения. 24. Неравенства. Упражнения. 25. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Упражнения. § 6. Применения к элементарной алгебре. III. 32. Разложение на
множители. Упражнения. 33. Доказательство тождеств и упрощение алгебраических выражений.
Упражнения. 34. Разложение симметрических многочленов от трёх переменных на множители. Упражнения. § 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных. 43. Общий метод освобождения от
иррациональности в знаменателе. С. 126 – 132. До по л не н ие . Некоторые сведения об алгебраических
уравнениях высших степеней. 45. Теорема Безу. Упражнения. 46. Нахождение целых корней многочленов с целыми коэффициентами. Упражнения. 47. Нахождение целых комплексных корней. Упражнения.
48. Основная теорема алгебры и разложение многочленов на множители первой степени. С. 136 – 144.
Решения)
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с. (Для
старшеклассников). (Глава I. Натуральные числа §1. Операции над целыми числами *6. Биномиальная теорема)
5. Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005
(Глава 5. Тождества. С. 63 – 70)
Исследовательская работа по теме II.1.4.
1. Исследование по алгебраическим методам преобразованиям для 8 – 9 классов.
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с.
II.1.5. Уравнение, неравенства и системы, сводящиеся к алгебраическим. Задачи на
составление уравнений и неравенств.
Литература к теме II.1.5:
1. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Советская наука, 1957. – С. 666. (Для 7 – 11 классов). (Часть I. Алгебра. Глава
V. Линейные уравнения и линейные неравенства. § 4. Составление линейных уравнений. п. 1. Составление линейных уравнений с одним неизвестным. п. 2. Составление систем линейных уравнений с несколькими неизвестными. Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней. § 15. Составление не-
16-39
линейных уравнений. п. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным. п. 2 Составление
нелинейных уравнений с одним неизвестным. п. 3. Составление систем нелинейных уравнений. Глава
VII. Показательная и логарифмическая функции над полем действительных чисел. § 2. Логарифмические и показательные уравнения с одним неизвестным. § 3. Системы логарифмических и показательных
уравнений. § 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функции.)
2. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. – 488 с. (Для старшеклассников).Вторая часть. Алгебраические выражения. Решение уравнений. Первая глава. Многочлены. Рациональные функции. VI. Замечание о применении
тригонометрии к алгебраическим задачам. С. 217 – 219)
3. Лурье М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство. М.: Наука, 1990. – 96 с.
4. Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005
(Глава 7. Текстовые задачи. С. 84 – 91).
5. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. Биб-ка”Квант”. Вып. 61. М.:
Наука, 1987. – С. 160. (Для 9 – 11 классов). (Глава V. Барицентрические модели в различных областях знания. § 16. Применение к химии и металлургии. С. 129 – 132. Решение задач на растворы и сплавы с помощью геометрии масс)
Исследовательская работа по теме II.1.5.
1. Исследование по нестандартным методам решения текстовых задач для 8 –
11 классов.
1. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. Биб-ка”Квант”. Вып. 61. М.:
Наука, 1987. – С. 160. (). (Глава V. Барицентрические модели в различных областях знания. §
16. Применение к химии и металлургии. С. 129 – 132. Решение задач на растворы и сплавы с помощью геометрии масс)
2. Островский А. И., Кордемский Б. А. Геометрия помогает арифметике. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 1960. – 168 с.
3. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические бильярды. Биб-ка
“Квант”,№77. М.: Наука, 1991. – 192 с. (Задачи на переливания решаются
посредством траекторий зеркального отражения С.10 – 13).
II.1.6. Последовательности, ряды, суммы и произведения
Литература к теме II.1.6:
1. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – 6-е издание. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2001. – 480 с. (6. Оценки сумм и произведений. Задачи № 131 -159. 12. Ряды разностей и
сумм числовых последовательностей. Задачи № 309 – 320)
2. Маркушевич А. И. (Для 9 – 11 классов). Возвратные последовательности. ПЛМ.
Вып.1. М.: Наука, 1975. – С. 47. (Находятся суммы последовательностей посредством рекуррентных уравнений)
3.
Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников.
М: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Глава 7. Степенные ряды
(Тема: Многочлен). §21. Многочлены как производящие функции. §22. Степенные ряды. §23.
Partitio numerous (разбиение чисел). Приложение 1. Пентагональная теорема Эйлера. Приложение 2.
Производящие функции для чисел Бернулли. С. 311 – 385)
Табачников С. Л. Многочлены. М.: Фазис, 2000. – 200 с. (8. Ряды. С. 40 – 47)
4.
5. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (11. Последовательности и ряды. С. 180 – 199)
6. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.: МЦНМО, 2002. – 240 с. (§1. Симметрические многочлены от х и у. 3. Выражение степенных сумм че-
рез σ1 и σ2. С.11 – 12. 6. Формула Варинга (дается метод вычисления степенных сумм). С. 15 – 17. § 3.
Симметрические многочлены от трёх переменных. 19. Формула Варинга. 20. Обратные степенные
17-39
суммы. С. 53 – 55. § 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных37. Выражения степенных сумм через элементарные симметрические многочлены. Упражнения. Решения)
7.
Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005
Глава 1. 1.3. Разные задачи. Задача № 1.17
n 2 
sn
(n  m  1)! n2m m
  (1) nm
a
b (формула Варинга).
n m 0
m!(n  2m)!
2
n
n
Здесь s n  x1  x 2 , где x1 , x2  корни квадратного трехчлена ax  bx  c  0 (решение см. на стр.
22. Глава 9. Вычисление сумм и произведений. С. 110 – 118)
8.
Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении:
Задачи по комбинаторике и теории вероятностей, задачи из разных областей
математики. М.: КомКнига, 2006. – 544 с. (Несколько свойств числовых последовательностей. Задачи № 122 – 125)
9. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика: основания информатики. М.: Мир, 1998. – 708 с. (2 Исчисление сумм. С. 39 – 87)
10. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973. – 462 с.
11. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1 – 391 с., т. 2 – 432 с. М..:
Наука, 1978.
12. Избранные задачи (из журнала «American Mathematical Monthly»). М.: Мир,
1977. – 597 с.
Исследовательская работа по теме II.1.6.
1. Исследование по гауссовым суммам для старшеклассников
1. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.:
«Гелиос АРВ», 2001. – 256 с. (7 Гауссовы суммы. С. 137 – 152)
2. Исследование по последовательностям вложенных друг в друга радикалов для
старшеклассников
1. Вавилов В. В. Радикалы правые левые и нейтральные. М.: Школа им. А.Н.
Колмогорова, 1999. – 28 с.
3. Исследование по применению k-сумм в диофантовых уравнениях и комбинаторике для старшеклассников
1. Кохась К. П. Наборы кратных сумм, стр. 152 – 179. // Задачи СанктПетербургской олимпиады по математике. Спб: Санкт-Петербургский государственный университет. 2003. (Набором k-сумм называется совокупность
всех чисел вида: ai  ai   ai , где ai , ai , ai {a1 , a2 ,an } , 1  i1  i2  ····
1
 ik  n )
2
k
1
2
k
18-39
Подраздел II.2. Многочлены
Темы:
II.2.1. Операции над многочленами (сложение, вычитание, умножение, деление,
разложение на множители, интерполирование).
Литература к теме II.2.1:
1. Гельфанд И. М., Шень А. Х. Алгебра. М.: Фазис, 2000. – 192 с. (для 5 – 11
классов).( 27. Многочлены. 28. Отступление: какие многочлены считать равными? 29. Сколько
одночленов остается? 30. Коэффициенты и значения. 31. Разложение на множители. 35. Деление
многочленов с остатком. 36. Остаток при делении на x  a . 45. Уравнения. 46. Квадратное уравнение. 47. Случай p  0 . Квадратный корень. 48. Свойства квадратных корней. 49. Уравнение
a 2  px  q  0 . 50. Теорема Виета 51. Разложение квадратного трехчлена на множители. 52. Фор2
мула для корней квадратного уравнения ax  bx  c  0 ( a  0) . 53. Еще одна формула для корней квадратного уравнения. 54. Квадратное уравнение становиться линейным. 55. График квадратного трехчлена. 58. Биквадратные уравнения. 59. Возвратные уравнения. 60. Как завалить на экзамене.
Советы экзаменатору. 71. Книги для дальнейшего чтения).
2.
Табачников С. Л. Многочлены. М.: Фазис, 2000. – 200 с. (Для 7 – 9 классов).
(1. Что такое многочлен? 2. Системы счисления. 3. Вы числим значение многочлена. 4. Многочлены
четные и нечетные. 5. Умеете ли Вы умножать многочлены? 6. Умеете ли Вы делить многочлены? 7.
Рациональные функции. 8. Ряды. 9. Алгоритм Евклида. 10. Теорема Безу. 11. Графики много членов.
12. Многочлены Чебышева. 13. Графики рациональных функций. 14. Многочлены с целыми коэффициентами. 16. Арифметика остатков.16. Угадаем корень. 17. Числа целые, рациональные и иррациональные. 18. Разложение многочленов на множители. 19. Формулы Виет. 20. Квадратный трехчлен.
21. Метод наименьших квадратов. 22. Порешаем уравнения. 23. Симметрические многочлены. 24.
Неравенство о средних. 25. Докажем тождество. 26. Интерполяция. 27. Найдем разность. 28. Бином
Ньютона. 29. Кубический трехчлен. 30. Решение кубического уравнения. 31. Комплексные числа)
3. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы
элементарной математики. Арифметика и алгебра. – 6-е издание. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 480 с. (8. Алгебра многочленов. Задачи № 196 – 221). (Практикум по
приобретению навыков работы с многочленами)
4. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (6. Многочлены. 6.1. Квадратный трехчлен. 6.2. Алгоритм Евклида для
многочленов и теорема Безу. 6.3. Разложение на множители. 6.6. Интерполяционный многочлен
Лагранжа.). (Практикум по приобретению навыков работы с многочленами)
5. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава III. Многочлены. § 3.1. Кольцо
многочленов. § 3.2. Алгоритм Евклида и теорема Безу. § 3.3. Интерполяция. § 3.5. Схема Горнера. §
3.8. Разложение на множители § 3. 11. Быстрое умножение. § 3.12. Разложение на бесквадратные
множители. Приложение. Образцы контрольных работ разных лет, экзаменационных вопросов и задач. Предметный указатель).
6.
Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
Кольцо многочленов и поле рациональных функций (Л. Я. Окунев). Глава I. Кольцо многочленов от
одного неизвестного. § 1. Кольцо многочленов. § 2. Свойства делимости многочленов от одного неизвестного. § 3. Деление на линейный двучлен x  a . Корень многочлена. § 4. Многочлены над полем рациональных чисел. § 5. Разложение многочлена на неприводимые множители. Признак неприводимости. С. 129 – 188.
7.
Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.:
Просвещение. 1967. – 488 с. (Для старшеклассников). (Вторая книга. АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА. Вторая часть. Алгебраические выражения. Решение уравнений Первая глава. Многочлены. I. Определение многочлена. II. Числовые значения многочлена. Делимость на x  a . III.
Деление в кольце многочленов. 1 Точное частное. 2 Евклидово деление многочленов. 3 Деление многочленов, расположенных по возрастающим степеням. IV. Рациональные дроби от одного неизвестного. V. Многочлены и рациональные дроби от нескольких неизвестных. VI. Замечание о применении тригонометрии к алгебраическим задачам. Рациональные функции Вторая глава. Решение уравнений. I. Определения. II. Равносильность (эквивалентность) уравнений. III. Классические уравнения
19-39
и системы. A. Основные уравнения. B. Уравнения, приводящиеся к предыдущим преобразованием
неизвестных. С. 196 – 226)
8.
Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005.
(Для старшеклассников). (Глава 10. Многочлены I. 10.1. Выделение полного квадрата. 10.2.
Корни многочлена. 10.3. Коэффициенты многочлена. 10.4. Теорема Виета. 10.5. Делимость. 10.8.
Разные задачи. 10.9. Интерполяционный многочлен. 10.10. Целозначные многочлены. 10.11. Многочлены от нескольких переменных. Решения. С. 118 – 132.)
Исследовательская работа по теме II.2.1.
1. Исследование по неприводимости многочленов для 9 – 11 классов.
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
Кольцо многочленов и поле рациональных функций (Л. Я. Окунев). Глава I. Кольцо многочленов от
одного неизвестного. § 4. Многочлены над полем рациональных чисел. § 5. Разложение многочлена на неприводимые множители. Признак неприводимости.
2. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. § 3.8. Разложение на множители. § 3.12. Разложение на бесквадратные множители).
2. Исследование по быстрому умножению многочленов и наименьшему числу
арифметических операций при получении алгебраических выражений для 9 –
11 классов.
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.
М.: МЦНМО, 2006. – 328 с. Глава III. Многочлены. § 3.6. Аддитивные цепочки. § 3. 11.
Быстрое умножение.
2. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вы-
числений. М: Высшая школа, 2000. – 320 с. (§17. Быстрые вычисления с целыми,
многочленами и дробями. С. 299 – 319. Указания)
3. Исследование по интерполированию многочленами для 9 – 11 классов.
1. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики.
М.: «Гелиос АРВ», 2001. – 256 с. (1 Многочлены и алгебраические уравнения. 1.2 Интерполяция. С. 15 – 18)
2. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.
М.: МЦНМО, 2006. – 328 с. (Глава III. Многочлены. § 3.3. Интерполяция).
3. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. Биб-ка ”Квант”. Вып. 61. М.:
Наука, 1987. – С. 160. (Для 9 – 11 классов). V. Барицентрические модели в различных областях знания. § 19. Барицентрические координаты в теории интерполяции. С. 148 – 151.
II.2.2. Алгебраические уравнения.
Подтемы:
II.2.2.1. Алгебраические уравнения: решение уравнений третей и четвертой
степени, основная теорема алгебры, уравнения частного вида, рациональные
и иррациональные уравнения, уравнения с модулями ( | x | x 2 ).
Литература к подтеме II.2.2.1:
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Кольцо многочленов и поле рациональных функций (Л. Я. Окунев). Глава I. Кольцо многочленов от
одного неизвестного. § 6. Основная теорема алгебры. § 7. Проблема решения уравнения в радикалах.
Двучленные уравнения. § 8. Уравнения второй и третьей степени. § 9. Уравнение четвертой степени.
§ 10. Алгебраическое расширение и другая постановка проблемы решения уравнения в радикалах. С.
188 – 234. )
2. Курош А. Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. М.: Наука,
1975. – 32 с. (ПЛпМ. Выр. 7)
3. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения.
§4.1. Решение кубических уравнений. §4.2. Неприводимый случай. §4.6. Кубические уравнения над
20-39
полем комплексных чисел. §4.7. Уравнения четвертой степени. § 4.8. Решение кубического уравнения методом Лагранжа. § 4.9. Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени. §4.10. Решение методом Эйлера уравнений четвертой степени. § 4.11. Основная теорема алгебры. §4.12. Как
решать уравнения на экзаменах. §4.12. Как решать уравнения на экзаменах (Предлагаются методы
решения уравнений возвратных, f ( f ( x))  x , иррациональных, с модулями (см. также в этом
списке литературу под № 4), Бхоскары, Бомбелли, Луки Пачоли стр. 253 – 254, Хариота, Стевина,
Жирара, Декарта, Кардано, Монферрье стр. 260 и др.). §4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными. § 4.13. Системы уравнений. §4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно
трудными).
4. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.:
«Гелиос АРВ», 2001. – 256 с. (Для старшеклассников). (1.3 Решение уравнения третьей степени. 1.4 Метод Виета.. 4 Резольвенты уравнений. 4.1 Резольвенты Лагранжа. 4.2 Решение
общего уравнения четвертой степени. 4.3 Резольвенты уравнения четвертой степени)
5.
Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Советская наука, 1957. – С. 666. (Для 8 – 11 классов). (Глава VI.
Уравнения и неравенства высших степеней. § 1. Квадратный трехчлен. § 2, Корни целой
рациональной функции от одного аргумента. § 3. Рациональные уравнения с одним неизвестным. § 4.
Рациональные уравнения с одним неизвестным, содержащие параметры. С. 70 – 75. § 10.
Иррациональные уравнения с одним неизвестным. § 11. Иррациональные уравнения с одним
неизвестным, содержащие параметры. С. 81 – 85).
6.
Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения степеней,
меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью алгебраических
уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические уравнения и квадратичные расширения. С. 210. 2. Построение циркулем и линейкой. С. 212. 3. Проблемы удвоения куба,
трисекция угла, и построения правильного семиугольника. С. 218. 4. Геометрические построения,
включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре. С. 221. 5. Построение с помощью одного циркуля. С. 221. §2. Задача о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.
Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени. 1. Постановка задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения. С. 227. п. 2. Понятие разрешимой группы. С. 232. Определение симметрической и знакопеременной групп. С. 233. 3.
Разрешимость симметрической и знакопеременной групп. С. 236. 5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа. С. 251. 6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени. С. 247. 7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа. С. 245. §3. Решение алгебраических уравнений степеней, меньше или равных 4, в радикалах. 1. План решения алгебраических уравнений в радикалах с разрешимой группой Галуа. С. 261. 2.
Разрешимость алгебраических уравнений с циклической группой Галуа. С. 262. 3. Разрешимость в
радикалах квадратного уравнения. С. 266. 4. Разрешимость алгебраических уравнений с разрешимой
группой Галуа. С. 262. 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения. С. 269 – 273).
7.
Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005.
(Для старшеклассников). (Глава 10. Многочлены I. 10.4. Теорема Виета. 10.6. Неравенство
для корней. 10.7. Количество вещественных корней. 10.8. Разные задачи. 10.11. Многочлены от нескольких переменных. Решения С. 118 – 132. Глава 24. Уравнения разрешимы в радикалах. 24.1. Решение кубических уравнений. 24.2. Дискриминант кубического уравнения. 24.3. Решение уравнений
4-ой степени. 24.4. Другие уравнения разрешимые в радикалах. Решения. С. 267 – 273. Глава 32.
Многочлены II. 32.1. Разделение корней. 32.2. Неприводимый случай. 32.3. Симметрические многочлены. 32.4. Многочлены Чебышева. 32.5. Алгебраические и трансцендентные числа. 32.6.
Присоединение корней многочлена. Решения)
8.
Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (Для 8 – 11 классов). (25. Освобождение от иррациональности
в знаменателе. Упражнения. 43. Общий метод освобождения от иррациональности в знаменателе.
Решения)
9. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М: МЦНМО, 2001. – 40
с. (Для старшеклассников).
Исследовательская работа по подтеме II.2.2.1:
21-39
1. Исследование по методам решения алгебраического уравнения третьей и
четвертой степеней
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Глава IV. Алгебраические уравнения. §4.1. Решение кубических
уравнений. §4.2. Неприводимый случай. §4.6. Кубические уравнения над полем комплексных чисел. §4.7. Уравнения четвертой степени. § 4.8. Решение кубического уравнения методом Лагранжа. § 4.9. Решение методом Лагранжа уравнений четвертой степени. §4.10. Решение методом Эйлера уравнений четвертой степени)
2. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики.
М.: «Гелиос АРВ», 2001. – 256 с. (Для старшеклассников). (1.3 Решение уравнения третьей степени. 1.4 Метод Виета.. 4 Резольвенты уравнений. 4.1 Резольвенты Лагранжа. 4.2
Решение общего уравнения четвертой степени. 4.3 Резольвенты уравнения четвертой степени)
2. Исследование по алгоритмам решений алгебраических уравнений
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (§4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными).
2. Гашков С. Б., Чубариков В. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М: Высшая школа, 2000. – 320 с. (§17. Быстрые вычисления с целыми,
многочленами и дробями. С. 299 – 319. Указания)
3. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвеще-
ние, 1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения
степеней, меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью
алгебраических уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические
уравнения и квадратичные расширения. С. 210. §2. Задача о разрешимости алгебраического
уравнения в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени. 1. Постановка задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения. С. 227. п. 2. Понятие разрешимой группы. С. 232. Определение симметрической и
знакопеременной групп. С. 233. 3. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп. С.
236. 5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа. С. 251. 6. Пример алгебраического
уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени. С. 247. 7.
Доказательство необходимого условия в теореме Галуа. С. 245. §3. Решение алгебраических уравнений степеней, меньше или равных 4, в радикалах. 1. План решения алгебраических уравнений в
радикалах с разрешимой группой Галуа. С. 261. 2. Разрешимость алгебраических уравнений с
циклической группой Галуа. С. 262. 3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения. С. 266.
4. Разрешимость алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа. С. 262. 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения. С. 269 – 273).
3. Исследование по иррациональным уравнениям и уравнениям с модулями.
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения§4.12. Как решать уравнения на экзаменах (Предлагаются методы решения уравнений иррациональных, с модулями).
2. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (Для 8 – 11 классов). (25. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Упражнения. 43. Общий метод освобождения от иррациональности в знаменателе. Решения)
4. Исследование по применению метода параметра.
1. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. Киев: Евроиндекс, 1995. – 326 с.
2. Амелькин В. В., Рябцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ. Пособие по
математике. Мн. : Асар, 1886. – 464 с. (Имеется указатель по методам решения)
II.2.2.2. О разрешимости алгебраических уравнений в радикалах.
Литература к подтеме II.2.2.2:
22-39
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Кольцо многочленов и поле рациональных функций (Л. Я. Окунев). Глава I. Кольцо многочленов от
одного неизвестного. § 9. Уравнение четвертой степени. § 10. Алгебраическое расширение и другая
постановка проблемы решения уравнения в радикалах. С. 225 – 234)
2. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения степеней,
меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью алгебраических уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические уравнения и
квадратичные расширения. С. 221. §2. Задача о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5й степени. 1. Постановка задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения. С. 227.
п. 2. Понятие разрешимой группы. С. 232. Определение симметрической и знакопеременной групп.
С. 233. 3. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп. С. 236. 5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа. С. 251. 6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени. С. 247. 7. Доказательство необходимого
условия в теореме Галуа. С. 245. §3. Решение алгебраических уравнений степеней, меньше или равных 4, в радикалах. 1. План решения алгебраических уравнений в радикалах с разрешимой группой
Галуа. С. 261. 2. Разрешимость алгебраических уравнений с циклической группой Галуа. С. 262. 3.
Разрешимость в радикалах квадратного уравнения. С. 266. 4. Разрешимость алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа. С. 262. 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения.
С. 269 – 273).
3. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения. §4.18. Расширения полей. С.297 – 307)
4. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М: МЦНМО, 2001. – 40
с. (Для старшеклассников).
Исследовательская работа по подтеме II.2.2.2:
1. Исследование о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах для 9=
11 классов.
1. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения
степеней, меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью
алгебраических уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические
уравнения и квадратичные расширения. С. 221. §2. Задача о разрешимости алгебраического
уравнения в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени. 1. Постановка задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения. С. 227. п. 2. Понятие разрешимой группы. С. 232. Определение симметрической и знакопеременной групп. С. 233. 3. Разрешимость симметрической и знакопеременной
групп. С. 236. 5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа. С. 251. 6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени. С. 247. 7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа. С. 245. §3. Решение алгебраических уравнений степеней, меньше или равных 4, в радикалах. 1. План решения алгебраических уравнений в радикалах с разрешимой группой Галуа. С. 261. 2. Разрешимость алгебраических уравнений с циклической группой Галуа. С. 262. 3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения. С. 266. 4. Разрешимость алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа. С. 262. 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения. С. 269 – 273).
2. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М: МЦНМО, 2001. –
40 с. (Для старшеклассников).
II.2.3. Корни многочленов и геометрические построение чисел с помощью циркуля
и линейки.
Литература к теме II.2.3:
23-39
1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с.
(Для старшеклассников). (Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
155. Введение 155. Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра. §1. Основные геометрические построения. 1. Построение полей и извлечение квадратных корней 158 2. Правильные многоугольники 161 3. Проблема Аполлония 164 2. Числа, допускающие построение, и числовые поля 166
1. Общая теория 166. §2. Числа, допускающие построение, и числовые поля. 1. общая теория. 2. Все
числа, допускающие построения – алгебраические 173. §3. Неразрешимость трех классических проблем 174 1. Удвоение куба 174 2. Одна теорема о кубических уравнениях 176 3. Трисекция угла 177
4. Правильный семиугольник 179 5. Замечания по поводу квадратуры круга 181).
2. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения степеней,
меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью алгебраических
уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические уравнения и квадратичные расширения. С. 210. 2. Построение циркулем и линейкой. С. 212. 3. Проблемы удвоения куба,
трисекция угла, и построения правильного семиугольника. С. 218. 4. Геометрические построения,
включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре. С. 221. 5. Построение с помощью одного циркуля. С. 224 – 227).
3. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения.
§4.15. Алгебра и геометрия. §4.18. Расширения полей. § 4.19. Построения циркулем и линейкой. Приложение. Образцы контрольных работ разных лет, экзаменационных вопросов и задач. Предметный
указатель)
Исследовательская работа по теме II.2.3:
1. Исследование по геометрическим построениям чисел для 9 – 11 классов.
1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с.
(Для старшеклассников). (Глава III. Геометрические построения. Алгебра числовых полей
155. Введение 155. Часть 1. Доказательства невозможности и алгебра. §1. Основные геометрические построения. 1. Построение полей и извлечение квадратных корней 158 2. Правильные
многоугольники 161 3. Проблема Аполлония 164 2. Числа, допускающие построение, и числовые
поля 166 1. Общая теория 166. §2. Числа, допускающие построение, и числовые поля. 1. общая
теория. 2. Все числа, допускающие построения – алгебраические 173. §3. Неразрешимость трех
классических проблем 174 1. Удвоение куба 174 2. Одна теорема о кубических уравнениях 176 3.
Трисекция угла 177 4. Правильный семиугольник 179 5. Замечания по поводу квадратуры круга
181).
2. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.
М.: МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические
уравнения. §4.15. Алгебра и геометрия. §4.18. Расширения полей. § 4.19. Построения циркулем и
линейкой. Приложение. Образцы контрольных работ разных лет, экзаменационных вопросов и
задач. Предметный указатель)
II.2.4. Системы уравнений, содержащие модули, многочлены, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические
функции. Алгебраические методы их решения
Литература к теме II.2.4:
1. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Советская наука, 1957. – С. 666. (Для 8 – 11 классов). (Предисловие.
Часть I. Алгебра. Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней. § 5. Системы рациональных
уравнений с двумя неизвестными. § 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие параметры. §7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными. § 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными, содержащие параметры. § 12. Системы, содержащие иррациональные уравнения. § 13. Системы, содержащие иррациональные уравнения
с параметрами. § 15. Составление нелинейных уравнений. п. 1. Составление квадратных уравнений с
одним неизвестным. п. 2 Составление нелинейных уравнений с одним неизвестным. п. 3. Составление систем нелинейных уравнений. Глава VII. Показательная и логарифмическая функции над полем
действительных чисел. § 3. Системы логарифмических и показательных уравнений. § 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функции. Разные задачи. Часть III. Триго-
24-39
нометрия. Глава ХХVI. Глава ХХVII. Обратные тригонометрические функция. Глава ХХVIII. Тригонометрические и трансцендентные уравнения и неравенства. § 2. Системы тригонометрических
уравнений. § 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком аркфункции. § 6.
Трансцендентные уравнения. § 8. Разные задачи).
2. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Предисловие. Глава IV. Алгебраические уравнения § 4.13. Системы уравнений. §4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно
трудными. §4.15. Алгебра и геометрия. Приложение. Образцы контрольных работ разных лет, экзаменационных вопросов и задач. Предметный указатель).
3. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (См. оглавление).
4. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Векторные пространства и линейные преобразования (А. И. Узков)..(Глава II. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений. § 8. Векторные пространства. Абстрактная точка
зрения. § 9. Простейшие свойства операций над векторами. § 10. Линейная зависимость векторов. §
11. Подпространства. § 12. Применение к системам уравнений. §13. Базис подпространства. Координаты.§14. Ранг произвольной системы векторов. § 15. Решение произвольной системы линейных
уравнений. § 16. Геометрическая интерпретация. Система с тремя неизвестными. § 17. Применение к
системам высших степеней. § 18. Дополнительные замечания. С. 42 – 83).
5. Рукшин С. Е. Математические соревнования в Ленинграде – Санкт-
Петербурге. Первые 50 лет. Ростов н/Д,2000. – 320 с. (См. в указателе по темам «Уравнения системы» на стр. 315)
6. Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО, 2005.
(Для старшеклассников). (Глава 3. Системы уравнений. 3.1. Нахождение всех решений. С. 31.
3.2. Нахождение вещественных решений С. 32. 3.3. Положительные решения. С. 33. 3.4. Количество
решений системы. С. 33. 3.5. Системы линейных уравнений. С.36. Решения. С. 36 – 41)
Исследовательская работа по теме II.2.4:
1. Исследование алгебраическими методами систем уравнений
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.
М.: МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Предисловие. Глава IV.
Алгебраические уравнения § 4.13. Системы уравнений. §4.14. Почему уравнения могут быть неограниченно трудными. §4.15. Алгебра и геометрия. Приложение. Образцы контрольных работ
разных лет, экзаменационных вопросов и задач. Предметный указатель).
2. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Советская наука, 1957. – С. 666. (Для 8 – 11 классов). (Предисловие. Часть I. Алгебра. Глава VI. Уравнения и неравенства высших степеней. § 5. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными. § 6. Системы рациональных уравнений с двумя неизвестными, содержащие параметры. §7. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными. § 8. Системы рациональных уравнений с несколькими неизвестными, содержащие параметры. § 12. Системы, содержащие иррациональные уравнения. § 13. Системы, содержащие
иррациональные уравнения с параметрами. § 15. Составление нелинейных уравнений. п. 1. Составление квадратных уравнений с одним неизвестным. п. 2 Составление нелинейных уравнений
с одним неизвестным. п. 3. Составление систем нелинейных уравнений. Глава VII. Показательная и логарифмическая функции над полем действительных чисел. § 3. Системы логарифмических и показательных уравнений. § 4. Решение неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функции. Разные задачи. Часть III. Тригонометрия. Глава ХХVI. Глава ХХVII. Обратные тригонометрические функция. Глава ХХVIII. Тригонометрические и трансцендентные
уравнения и неравенства. § 2. Системы тригонометрических уравнений. § 5. Уравнения и неравенства, содержащие неизвестные под знаком аркфункции. § 6. Трансцендентные уравнения. § 8.
Разные задачи).
3. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (См. оглавление)
4. Рукшин С. Е. Математические соревнования в Ленинграде – СанктПетербурге. Первые 50 лет. Ростов н/Д,2000. – 320 с. (См. в указателе по
темам «Уравнения системы» на стр. 315)
25-39
II.2.5. Многочлены специального вида (многочлены Бернулли, Гаусса, Лагранжа,
Люка, Фибоначчи, Чебышева, симметрические, целозначные, круговые).
Литература к теме II.2.5:
1. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников. М: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Глава 2. Простейшие свойства многочленов. Приложение. Многочлены и числа Бернулли. С. 86 – 92)
2.
3.
Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении:
Задачи по комбинаторике и теории вероятностей, задачи из разных областей
математики. М.: КомКнига, 2006. – 544 с. (Многчлены, наименее уклоняющиееся от нуля
(многочлены Чебышева). Задачи № 130 – 135). (12. Многочлены Чебышева. С. 66 – 77)
Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2003. – 336 с. (Глава 4. Многочлены специального вида. 22. Симметрические многочлены. 12. Целозначные многочлены. 13. Круговые многочлены. 14. Многочлены Чебышева. 15. Многочлены Бернулли. С. 91 – 150).
Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (Для старшеклассников). (См. Предметный указатель на стр. 316)
5. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. Для старшеклассников). (См. Предметный указатель на стр. 324)
Исследовательская работа по теме II.2.5:
1. Исследование по применению многочленов специального вида.
1. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников. М: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Глава 2.
4.
Простейшие свойства многочленов. Приложение. Многочлены и числа Бернулли. С. 86 – 92)
2. Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2003. – 336 с. (Глава 4. Многочлены
специального вида. 22. Симметрические многочлены. 12. Целозначные многочлены. 13. Круговые многочлены. 14. Многочлены Чебышева. 15. Многочлены Бернулли. С. 91 – 150).
3. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (Для старшеклассников). (См. Предметный указатель на стр.
316)
4. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях.
М.: МЦНМО, 2006. – 328 с. Для старшеклассников). (См. Предметный указатель на
стр. 324)
II.2.6. Многочлены от многих переменных.
Подтемы:
II.2.6.1. Симметрические многочлены и их применение к разложению на множители, вычислению сумм, освобождению от иррациональности, решению
уравнений, неравенств, систем, нахождению максимумов и минимумов.
Литература по подтеме II.2.6.1:
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (Для 8 – 11 классов). (Содержание. Введение.§ 1. Симметрические многочлены от x и y. 1. Примеры симметрических многочленов. 2. Основная теорема о
симметрических многочленах от двух переменных. 3. Выражение степенных сумм через σ1 и σ2. 4.
Доказательство основной теоремы. 5. Теорема единственности. 6. Формула Варинга. § 2. Применения к элементарной алгебре. I . 7. Решение систем уравнений. Упражнения. 8. Введение вспомогательных неизвестных. Упражнения. 9. Задачи о квадратных уравнениях. Упражнения. 10. Неравенства. Упражнения. 11. Возвратные уравнения. Упражнения. 12. Разложение симметрических многочленов на множители. Упражнения. 13. Разные задачи. Упражнения.§ 3. Симметрические многочлены от трёх переменных. 14. Определение и примеры. 15. Основная теорема о симметрических
многочленах от трёх переменных. 16. Выражение степенных сумм через σ1, σ2, σ3. 17. Орбиты одночленов. 18. Доказательство основной теоремы. Упражнения. 19. Формула Варинга. 20. Обратные
степенные суммы. § 4. Применения к элементарной алгебре. II. 21. Решение систем уравнений с
тремя неизвестными. Упражнения. 22. Разложение на множители. Упражнения. 23. Доказательство
тождеств. Упражнения. 24. Неравенства. Упражнения. 25. Освобождение от иррациональности в
знаменателе. Упражнения. § 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных. 35. Эле-
26-39
ментарные симметрические многочлены от нескольких переменных. 36. Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных. 37. Выражения степенных сумм через элементарные симметрические многочлены. Упражнения. 38. Элементарные симметрические многочлены от n переменных и алгебраические уравнения n-й степени. Формулы Виета. Упражнения. 39.
Метод неопределённых коэффициентов. Упражнения. 40. Словарное расположение многочленов;
старшие члены. 41. Отбор слагаемых многочлена φ(σ1, σ2, . . ., σn) с помощью старших членов. 42.
Антисимметрические многочлены от n переменных. Упражнения. 43. Общий метод освобождения
от иррациональности в знаменателе. 44. Извлечение корней с помощью симметрических многочленов. Решения).
Исследовательская работа по подтеме II.2.6.1:
1. Исследование по применению симметрических многочленов к нахождению
сумм для 9 – 11 классов.
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (§ 1. Симметрические многочлены от x и y. 3. Выражение степенных сумм через σ1 и σ2. 6. Формула Варинга. § 3. Симметрические многочлены от трёх переменных. 19. Формула Варинга. 20. Обратные степенные суммы. Упражнения. § 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных. 35. Элементарные симметрические многочлены
от нескольких переменных. 36. Основная теорема о симметрических многочленах от нескольких переменных. 37. Выражения степенных сумм через элементарные симметрические многочлены. Упражнения. Решения).
2. Исследование по применению симметрических многочленов к неравенствам
и нахождение максимума и минимума для 9 – 11 классов.
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (§ 1. Симметрические многочлены от x и y. § 2. Применения к
элементарной алгебре I . 10. Неравенства. Упражнения. 13. Разные задачи. Упражнения. § 4.
Применения к элементарной алгебре. II. 24. Неравенства. Упражнения.. Решения)
2. Исследование по теме освобождение от иррациональности (9 – 11 классы).
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (§ 4. Применения к элементарной алгебре. II. 25. Освобождение
от иррациональности в знаменателе. Упражнения. § 7. Симметрические многочлены от нескольких переменных. 43. Общий метод освобождения от иррациональности в знаменателе)
II.2.6.2. Многочлены от многих переменных.
Литература по подтеме II.2.6.2:
1. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.:
МЦНМО, 2002. – 240 с. (Для 8 – 11 классов). (§ 5. Антисимметрические многочлены
от трёх переменных. 26. Определение и примеры. 27. Основная теорема об антисимметрических
многочленах. Упражнения. 28. Дискриминант и его применение к исследованию корней
уравнения. Упражнение. 29. Применение дискриминанта к доказательству неравенств. Упражнение. 30.
Чётные и нечётные перестановки. 31. Чётно-симметрические многочлены.§ 6. Применения к элементарной алгебре. III. 32. Разложение на множители. Упражнения. 33. Доказательство тождеств и
упрощение алгебраических выражений. Упражнения. 34. Разложение симметрических многочленов
от трёх переменных на множители. Упражнения. § 7. Симметрические многочлены от нескольких
переменных. 42. Антисимметрические многочлены от n переменных. Упражнения. Решения).
2.
Калужнин Л. А., Сушанский В. И. Преобразования и перестановки. М.:
Наука, 1979. – 112 с. (§15. Симметрические и четносимметрические многочлены. С. 84 – 91)
Подраздел II.3. Линейная алгебра
Темы:
II.3.1. Определители и решение систем линейных уравнений
Литература по теме II.3.1:
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Векторные пространства и линейные преобразования (А. И. Узков). (Глава I. Определители и решения линейных уравнений. § 1. Векторы на плоскости. § 2. числовые векторы. определители любого по-
27-39
рядка. § 3. Свойства определителя, вытекающего из его определения. § 4. Перестановки. Выражения
определителя порядка п. § 5. Дальнейшие свойства определителей. § 6. Разложение определителя по
элементам ряда. Вычисление определителей. § 7. Решение систем линейных уравнений. С. 11 – 41)
Исследовательская работа по теме II.3.1:
1. Исследование по применению систем линейных уравнений для расчета та
электрических цепей (9 – 11 классы).
1. Варламов А. Правило Кирхгофа. // Журнал «Квант». №1, 1985
2. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (9. Уравнения и системы. 9.4. Системы линейных уравнений. Задачи № 9.110 (Правило Кирхгофа) и №111 (Тепловая мощность цепи)).
II.3.2. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений.
Литература по теме II.3.2:
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Векторные пространства и линейные преобразования (А. И. Узков)..(Глава II. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений. § 8. Векторные пространства. Абстрактная точка
зрения. § 9. Простейшие свойства операций над векторами. § 10. Линейная зависимость векторов. §
11. Подпространства. § 12. Применение к системам уравнений. §13. Базис подпространства. Координаты.§14. Ранг произвольной системы векторов. § 15. Решение произвольной системы линейных
уравнений. § 16. Геометрическая интерпретация. Система с тремя неизвестными. § 17. Применение к
системам высших степеней. § 18. Дополнительные замечания. С. 42 – 83).
Исследовательская работа по теме II.3.2:
1. Исследование по применению систем линейных уравнений для решение систем
высших степеней (9 – 11 классы).
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Векторные пространства и линейные преобразования (А. И. Узков)..(Глава II. Векторные пространства и исследование систем линейных уравнений. § 17. Применение к системам высших
степеней. § 18. Дополнительные замечания.).
II.3.3. Линейные преобразования плоскости и трехмерного пространства.
Литература по теме II.3.3:
2. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952.
(Векторные пространства и линейные преобразования (А. И. Узков). (Глава III. Линейные преобразования плоскости и трехмерного пространства. § 19. Метрика. Скалярное произведение векторов. §
20. Преобразование координат. § 21. Операции над матрицами. § 22. Линейные преобразования. § 23.
Представление линейных преобразований матрицами. § 24. Геометрические свойства линейных преобразований и свойства представляющих их матриц. § 25. симметрические преобразования. Случай
плоскости. § 26. Симметрические преобразования трехмерного пространства. § 27. Представление
произвольно преобразования произведением ортогонального и симметрического. § 28. Упрощения
уравнения линии и поверхности второго порядка. С. 84 – 126).
3. Энциклопедия элементарной математики. Книги 4. Геометрия. М. – Л. 1963.
(Геометрические преобразования (И. М. Яглом, Л. С. Атанасян).§ 1. Понятие преобразования. Примеры. С. 50. § 2. Применение геометрических преобразований к решению геометрических задач. С.
63. § 3. Аналитическая запись геометрических преобразований. С. 72. § 4. Произведение отображений
и преобразований. С. 80. § 5. Обратное преобразование С. 96. § 6. Общее определение геометрии.
Группы геометрических преобразований. С. 98. § 7. Группа проективных преобразований. С. 110. § 8.
Неточечные отображения С. 121. § 9. Принцип перенесения. С. 140. Литература. С. 157 – 159).
Исследовательская работа по теме II.3.3:
1. Исследование по применению линейных преобразований плоскости и трехмерного
пространства к решению геометрических задач.
28-39
1. Энциклопедия элементарной математики. Книги 4. Геометрия. М. – Л.
1963. (Геометрические преобразования (И. М. Яглом, Л. С. Атанасян).§ 1. Понятие преобразования. Примеры. С. 50. § 2. Применение геометрических преобразований к решению геометрических задач. С. 63. § 3. Аналитическая запись геометрических преобразований. С. 72. § 4. Произведение отображений и преобразований. С. 80. § 5. Обратное преобразование С. 96. § 6. Общее
определение геометрии. Группы геометрических преобразований. С. 98. § 7. Группа проективных
преобразований. С. 110. § 8. Неточечные отображения С. 121. § 9. Принцип перенесения. С. 140.
Литература. С. 157 – 159).
2. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава II. Вектор. Плоскость. Планиметрия. § 1. Сравнение различных подходов к понятию вектор. § 2. Понятие плоскости. § 3. Аксиоматический подход к определению плоскости. § 4. Основные группы школьной планиметрии и
их действие в плоскости. 1. Аффинные преобразования. С. 113 – 118. 2. Основные группы
школьной планиметрии, действующих в арифметической плоскости. С. 118 - 123. 3. Поднятие
группы биекции в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости. С. 123 – 126. §
5. Понятие планиметрии. 1. Клейновский подход: понятие о планиметрии данной группы. С. 126
– 129. 2. Евклидова планиметрия - планиметрия ортогональной группы. С. 129 – 133. Приложение 4. Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости. §1. Точки, прямые и отрезки в
сферической, гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 354. §2. Метрики в сферической,
гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 366. §3. Группы движений и измерения углов в
сферической, гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 383 – 400).
2.
Исследование по подгруппам линейных преобразований плоскости и трехмерного
пространства.
1. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава II. Вектор. Плоскость. Планиметрия. § 1. Сравнение различных подходов к понятию вектор. § 2. Понятие плоскости. § 3. Аксиоматический подход к определению плоскости. § 4. Основные группы школьной планиметрии и
их действие в плоскости. 1. Аффинные преобразования. С. 113 – 118. 2. Основные группы
школьной планиметрии, действующих в арифметической плоскости. С. 118 - 123. 3. Поднятие
группы биекции в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости. С. 123 – 126. §
5. Понятие планиметрии. 1. Клейновский подход: понятие о планиметрии данной группы. С. 126
– 129. 2. Евклидова планиметрия - планиметрия ортогональной группы. С. 129 – 133. Приложение 4. Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости. §1. Точки, прямые и отрезки в
сферической, гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 354. §2. Метрики в сферической,
гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 366. §3. Группы движений и измерения углов в
сферической, гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 383 – 400).
2. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. – 488 с. (Для старшеклассников). (Четвертая книга. ГЕОМЕТРИИ. Первая часть: Аффинная геометрия и проективная геометрия. Первая глава. Аффинная
геометрия. § 1. Основные фигуры. I. Геометрия плоскости (геометрия двух измерений). С. 300. II.
Геометрия трехмерного пространства R3. С. 304. III. Теория центра тяжести (барицентра). С. 306.
§ 2. Аффинные точечные преобразования. I. Общее аффинное преобразование. С. 309. II. Частные
случаи аффинных преобразований. С. 311. A. Параллельный перенос. B. Гомотетия . С. 312. C.
Аффинитеты. С. 319. D. Проекция одной плоскости на другую параллельно направлению некоторой прямой. С. 322. § 3. Линейные преобразования. Понятие о матрицах. С. 324. Вторая глава.
Понятия проективной геометрии. С. 333. I. Перспективное отображение плоскости на плоскость.
С. 334. II. Инвариант коллинеарных точек. С. 337. III. Введение координат в проективной геометрии. С. 341. IV. Проективные преобразования плоскости (коллинеации). С. 343. V. Гармоническое
деление. Гармонические пучки. С. 344. VI. Очерк прямого аксиоматического введения проективной геометрии. С. 348. Вторая часть. Метрические геометрии. Первая глава. Евклидова метрическая геометрия. § 1. Метрические соотношения. I. Соотношения между длинами. С. 355. II.
Метрическая аналитическая геометрия на плоскости. С. 358. III. Метрические соотношения, содержащие тригонометрические функции. С. 360. § 2. Окружности. Сферы. I. Окружность и углы.
С. 362. II. Степень точки относительно окружности. С. 368. III. Семейства окружностей. С. 372.
IV. Понятие о преобразовании методом взаимных поляр. С. 376. § 3. Точечные преобразования
метрической геометрии. С. 377. I. Аффинные преобразования в метрической геометрии. С.378. II.
Перемещения и антиперемещения. С. 379. 1) Введение. 2) Внутреннее исследование перемещений
и антиперемещений. С. 382. а) Одномерное пространство. б) Двумерное пространство. с) Трехмерное пространство. С. 388. д) Движение недеформируемой фигуры. С. 395. III. Подобие. С. 398)
29-39
II.3.4. Аффинная группа преобразований плоскости и трехмерного пространства
и её подгруппы.
Литература по теме II.3.4:
1. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава II. Вектор. Плоскость. Планиметрия. § 1.
Сравнение различных подходов к понятию вектор. § 2. Понятие плоскости. § 3. Аксиоматический
подход к определению плоскости. § 4. Основные группы школьной планиметрии и их действие в
плоскости. 1. Аффинные преобразования. С. 113 – 118. 2. Основные группы школьной планиметрии,
действующих в арифметической плоскости. С. 118 - 123. 3. Поднятие группы биекции в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости. С. 123 – 126. § 5. Понятие планиметрии. 1.
Клейновский подход: понятие о планиметрии данной группы. С. 126 – 129. 2. Евклидова планиметрия
- планиметрия ортогональной группы. С. 129 – 133. Приложение 4. Сферическая, гиперболическая и
эллиптическая плоскости. §1. Точки, прямые и отрезки в сферической, гиперболической и эллиптической плоскостях. С. 354. §2. Метрики в сферической, гиперболической и эллиптической плоскостях.
С. 366. §3. Группы движений и измерения углов в сферической, гиперболической и эллиптической
плоскостях. С. 383 – 400).
3. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просве-
щение. 1967. – 488 с. (Для старшеклассников). (Четвертая книга. ГЕОМЕТРИИ. Первая часть: Аффинная геометрия и проективная геометрия. Первая глава. Аффинная геометрия. § 1.
Основные фигуры. I. Геометрия плоскости (геометрия двух измерений). С. 300. II. Геометрия трехмерного пространства R3. С. 304. III. Теория центра тяжести (барицентра). С. 306. § 2. Аффинные точечные преобразования. I. Общее аффинное преобразование. С. 309. II. Частные случаи аффинных
преобразований. С. 311. A. Параллельный перенос. B. Гомотетия . С. 312. C. Аффинитеты. С. 319. D.
Проекция одной плоскости на другую параллельно направлению некоторой прямой. С. 322. § 3. Линейные преобразования. Понятие о матрицах. С. 324. Вторая глава. Понятия проективной геометрии. С. 333. I. Перспективное отображение плоскости на плоскость. С. 334. II. Инвариант коллинеарных точек. С. 337. III. Введение координат в проективной геометрии. С. 341. IV. Проективные преобразования плоскости (коллинеации). С. 343. V. Гармоническое деление. Гармонические пучки. С. 344.
VI. Очерк прямого аксиоматического введения проективной геометрии. С. 348. Вторая часть. Метрические геометрии. Первая глава. Евклидова метрическая геометрия. § 1. Метрические соотношения. I. Соотношения между длинами. С. 355. II. Метрическая аналитическая геометрия на плоскости.
С. 358. III. Метрические соотношения, содержащие тригонометрические функции. С. 360. § 2.
Окружности. Сферы. I. Окружность и углы. С. 362. II. Степень точки относительно окружности. С.
368. III. Семейства окружностей. С. 372. IV. Понятие о преобразовании методом взаимных поляр. С.
376. § 3. Точечные преобразования метрической геометрии. С. 377. I. Аффинные преобразования в
метрической геометрии. С.378. II. Перемещения и антиперемещения. С. 379. 1) Введение. 2) Внутреннее исследование перемещений и антиперемещений. С. 382. a) Одномерное пространство. b) Двумерное пространство. c) Трехмерное пространство. С. 388. d) Движение недеформируемой фигуры. С.
395. III. Подобие. С. 398)
Исследовательская работа по теме II.3.4:
1. Исследование по проективным преобразованиям и евклидовой геометрии с
проективной точки зрения.
1. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с.
(Для старшеклассников). Глава IV. Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы
геометрии 206 1. Введение 206 1. Классификация геометрических свойств. Инвариантность при
преобразованиях 206 2. Проективные преобразования 208 2. Основные понятия 209 1. Группа
проективных преобразований 209 2. Теорема Дезарга 212 3. Двойное отношение 213 1. Определение и доказательство инвариантности 213 2. Применение к полному четырехстороннику 220 4.
Параллельность и бесконечность 221 1. "Идеальные" бесконечно удаленные точки 221 2. Идеальные элементы и проектирование 224 3. Двойное отношение с бесконечно удаленными элементами
226 5. Применения 227 1. Предварительные замечания 227 2. Двумерное доказательство теоремы
Дезарга 229 3. Теорема Паскаля 230 4. Теорема Брианшона 232 5. Замечание по поводу двойственности 232 6. Аналитическое представление 233 1. Вводные замечания 233 *2. Однородные
координаты. Алгебраические основы двойственности 235 7. Задачи на построения с помощью одной линейки 239 8. Конические сечения и квадрики 241 1. Элементарная метрическая геометрия
конических сечений 241 2. Проективные свойства конических сечений 244 3. Конические сечения
как "линейчатые кривые" 248 4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных
конических сечений 252 5. Гиперболоид 255 9. Аксиоматика и неевклидова геометрия 257 1. Ак-
30-39
сиоматический метод 257 2. Гиперболическая неевклидова геометрия 261 3. Геометрия и
реальность 266 4. Модель Пуанкаре 267 5. Эллиптическая, или риманова, геометрия 269
2. Певзнер С. Л. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1980. – 128 с. (§21.
Евклидова геометрия с проективной точки зрения. 1. Условия, при которых аффинное преобразование является преобразованием подобия. 2. Группа подобий как группа автоморфизмов относительно несобственной прямой с заданной на ней абсолютной инволюцией. 3. Проективные
определения евклидовых понятий. С. 112 – 116)
II.3.5. Системы линейные неравенства и линейное программирование.
Литература по теме II.3.5:
1. Солодовников А. С. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977. – 112 с.
(ПЛпМ. Вып. 48). (Для старшеклассников). (Предисловие. С. 3. § 1. Несколько фактов из
аналитической геометрии. С. 5. § 2. Геометрический смысл системы линейных неравенств с двумя или
тремя неизвестными. С. 14. § 3. Выпуклая оболочка системы точек. С. 19. § 4. Выпуклый многогранный
конус. С. 23.§ 5. Область решений системы линейных неравенств с двумя неизвестными. С. 30. § 6. Область решений системы с тремя неизвестными. С. 43. § 7. Системы линейных неравенств с любым числом неизвестных. С. 52. § 8. Решение системы линейных неравенств путем последовательного уменьшения числа неизвестных. С. 57. § 9. Несовместные системы. С. 65. § 10. Однородная система линейных
неравенств фундаментальный набор решений. С. 71. § 11. Решение неоднородной системы неравенств.
С. 84. § 12. Задача линейного программирования. С. 87. § 13. Симплекс-метод. С. 23. § 14. Теорема
двойственности в линейном программировании. С. 105).
2. Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: МЦНМО, 2001. – 24
с.
Исследовательская работа по теме II.3.5:
1. Исследование по применению линейного программирования для решения оптимизационных задач (9 – 11 классы).
1. Солодовников А. С. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977. – 112 с.
(ПЛпМ. Вып. 48). (Для старшеклассников). (§ 12. Задача линейного программирования. С. 87. § 13. Симплекс-метод. С. 23. § 14. Теорема двойственности в линейном программировании. С. 105).
2. Исследование по применению линейных неравенств в теории графов (9 – 11
классы).
1. Вялый М. Н. Линейные неравенства и комбинаторика. М.: МЦНМО, 2003. –
32 с.
Подраздел II.4. Элементы алгебраической геометрии
Темы:
II.4.1. Линейные уравнения от многих переменных и их рациональные корни. Геометрические методы решения.
Литература к теме II.4.1:
II.4.2. Алгебраические кривые второго порядка и их рациональные корни.
Подтемы:
31-39
1.
2.
3.
4.
II.4.2.1. Рациональные корни (пифагоровы тройки) уравнения x 2  y 2  z 2 .
Геометрические методы решения.
Литература к теме II.4.2.1:
II.4.2.2. Рациональные корни уравнения x 2  Ay 2  1 (уравнение Пелля).
Геометрические методы решения.
Литература к подтеме II.4.2.2:
Арнольд В. И. Цепные дроби. (Биб-ка «Математическое просвещение».
Вып. 14. М: МЦНМО, 2001. – 40 с.
Бугаенко В. О. Уравнение Пелля. Биб-ка «Математического просвещения”.
М.: МЦНМО, 2001. – 52 с.
Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1983, - 64 с.
(ПЛпМ. Вып. 8).
Прасолов В. В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.:
Факториал, 1997. - 288 с. (Глава 5. Арифметика эллиптических кривых. §1. Метод секущих Диофанта. Диофантовы уравнения второй степени. С. 146 – 158. §2. Сложение точек кубической кривой. С. 158 – 163. §3. Некоторые задачи. С. 163 – 169. Задачи. С. 170)
II.4.2.3. Кривые второго порядка (коники) и рациональные корни.
Литература к подтеме II.4.2.3:
1. Прасолов В. В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.:
Факториал, 1997. - 288 с. (Глава 5. Арифметика эллиптических кривых. §1. Метод секущих Диофанта. Диофантовы уравнения второй степени. С. 146 – 158. §3. Некоторые задачи. С.
163 – 169. Задачи. С. 170)
II.4.3. Некоторые алгебраические кривые выше второго порядка и их рациональные корни.
Литература к теме II.4.3:
1. Прасолов В. В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.:
Факториал, 1997. - 288 с. (Глава 5. Арифметика эллиптических кривых. §2. Сложение точек
кубической кривой. С. 158 – 163. §3. Некоторые задачи. С. 163 – 169. Задачи. С. 170)
II.4.4. Системы нелинейных алгебраических уравнений и рациональные решения.
Литература к теме II.4.1:
1. Прасолов В. В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. М.:
Факториал, 1997. - 288 с. (Глава 5. Арифметика эллиптических кривых. §1. Метод секущих
Диофанта. Диофантовы уравнения второй степени. С. 146 – 158. §2. Сложение точек кубической
кривой. С. 158 – 163. §3. Некоторые задачи. С. 163 – 169. Задачи. С. 170)
2. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.:
«Советская энциклопедия».
3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1.М.: Наука,
1989. – 456 с. Т. 2. Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 203. – 240 с.
Подраздел II.4. Неравенства
Темы:
II.4.1. Числовые неравенства
Литература по теме II.4.1:
1. Гомонов С. А. Замечательные неравенства. Способы получения и примеры
применения. 10 – 11 классы. М: Дрофа, 2005. – 254 с.
2. Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967. – 304 с.
32-39
3. Коровкин П. П. Неравенства. М.: Наука, 1966. – 55 с. (ПЛпМ. Выр. 5)
II.4.2. Классические неравенства и следствия из них
Литература по теме II.4.2:
1. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. М.: Мир, 1965. – 166 с
2. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, 2007. – 280 с
3. Харди Г. Г., Литтльвуд Д Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ,1948.
4. Гомонов С. А. Замечательные неравенства. Способы получения и примеры
применения. 10 – 11 классы. М: Дрофа, 2005. – 254 с.
5. Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967. – 304 с
II.4.3. Алгебраические методы решение неравенств (метод симметрии и подстановки. Метод математической индукции (неравенство Йенсена и др.). Метод
монотонных последовательностей (неравенство Чебышева и др.).
Литература по теме II.4.3:
1. Садракян Н. М., Авоян А. М. Неравенства. Методы доказательства. М.:
ФИЗМТЛИТ,2002. – 256 с.
2. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.: МЦНМО, 2002. – 240 с. (Для 8 – 11 классов)
3. Храбров А. И. Вокруг монгольского неравенства, стр.146 – 167. // Задачи СанктПетербургской олимпиады по математике. Спб: Санкт-Петербургский государственный университет. Ежегодное издание. – 2002.
4. Храбров А. И.
1) Доказательство неравенства при помощи квазилинеаризации, стр. 374 – 381.
2) “Элементарное введение в теорию мажоризации”, стр. 382 – 423;
3) “Обращение классических неравенств”, стр. 424 – 439 //
Петербургские олимпиады школьников по математике 2000 – 2002 / Сост. К. П.
Кохась, А. И. Храбров, С. В. Иванов и др. – Сп б.: Невский диалект; БХВПетербург
II.4.4. Средне взвешенные величины и соотношения между ними (неравенство
Мюрхеда)
Литература по теме II.4.4:
1. Гомонов С. А. Замечательные неравенства. Способы получения и примеры
применения. 10 – 11 классы. М: Дрофа, 2005. – 254 с.
2. Петербургские олимпиады школьников по математике 2000 – 2002 / Сост. К.
П. Кохась, А. И. Храбров, С. В. Иванов и др. – Сп б.: Невский диалект; БХВПетербург. (Дается доказательно неравенства Караматы отличным от известных способов. Доказывается Неравенство Мюрхеда. Имеются многочисленные применения этой теории, в частности, к
монгольскому неравенству).
II.4.5. Элементарное введение в теорию мажоризации.
Литература по теме II.4.5:
1. Храбров А. И. Элементарное введение в теорию мажоризации, стр. 382 – 423 //
Петербургские олимпиады школьников по математике 2000 – 2002 / Сост. К.
П. Кохась, А. И. Храбров, С. В. Иванов и др. – Сп б.: Невский диалект; БХВПетербург. (Дается доказательно неравенства Караматы отличным от известных способов. Доказывается Неравенство Мюрхеда. Имеются многочисленные применения этой теории, в частности, к
монгольскому неравенству).
33-39
2. Маршалл А., Орлич И. Неравенства: теория мажоризации и её применение. М.:
Мир, 1983.
Исследовательская работа по подразделу II.4. Неравенства
1. Достаточно количество исследовательских тем предлагается в книге:
Гомонов С. А. Замечательные неравенства. Способы получения и примеры применения. 10 – 11 классы. М: Дрофа, 2005. – 254 с.
В этой книге имеется обширнейшая библиография по неравенствам.
Подраздел II.5. Абстрактная алгебра
Темы:
II.5.1. Необычные алгебры: алгебра множеств, алгебра логики
Литература по теме II.5.2:
1. Веленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Мир, 1963. – 256 с.
2. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. – 72 с. (ПЛпМ.
Вып.45). (Предисловие. § 1. Алгебра чисел и алгебра множеств. § 2. Алгебра Буля. § З. Дальнейшие
свойства алгебр Буля: принцип двойственности; булевские равенства и неравенства. § 4. Множества и
высказывания; алгебра высказываний. § 5. «3аковы мысли» и правила вывода. § 6. Высказывания и
контактные схемы. Приложение. Определение алгебры Буля. Литература. Ответы и указания к
упражнениям).
Исследовательская работа по теме II.5.1:
1. Исследование по применению алгебры логики в электрических цепях для 8 – 11
классов.
1. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. – 72 с. (ПЛпМ.
Вып.45).
II.5.2. Отношения и его интерпретация на различных структурах
Литература по теме II.5.2:
1. Березина Л. Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение, 1978. – 143 с. (Глава V. Отношения. С. 71 – 89)
2. Оре О. Графы и их применение. М.: Наука, 1965. – 174 с. (Глава VII. Отношения. С.
108 – 126).
Исследовательская работа по теме II.5.2:
1. Исследование по применению отношения в алгебре анализе, дискретной математике, геометрии для 8 – 11 классов
II.5.3. Упорядоченные множества. Первое знакомство с абстрактным алгебраическим понятием – решетки.
Литература по теме II.5.2:
1. Беран Л. Упорядоченные множества. М. : Наука, 1981. – 61 с. (ПЛпМ.
Вып.55). (Имеется предметный указатель). (Для старшекласссников)
Исследовательская работа по теме II.5.3:
b. Исследование по применению решеток (упорядоченных множеств) в алгебре
анализе, дискретной математике, геометрии для 8 – 11 классов
34-39
1. Беран Л. Упорядоченные множества. М. : Наука, 1981. – 61 с. (ПЛпМ.
Вып.55). (Имеется предметный указатель).
II.5.4. Преобразования и перестановки.
Литература по теме II.5.4:
1. Калужнин Л. А., Сушанский В. И. Преобразования и перестановки. М.: Наука,
1979. – 112 с. (§16. Решение алгебраических уравнений. С. 91 – 98)
2. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Предисловие. Глава 1. Числа и комбинаторика. § 1.9. Перестановки и подстановки. § 1.10. Циклы и транспозиции)
Исследовательская работа по теме II.5.4:
1. Исследование по применению к решению алгебраических уравнений. для 8 – 11
классов
1. Калужнин Л. А., Сушанский В. И. Преобразования и перестановки. М.:
Наука, 1979. – 112 с. (§16. Решение алгебраических уравнений. С. 91 – 98)
II.5.5. Понятие группы. Группы подстановок. Изоморфные группы. Теорема Келли.
Циклические группы. Группы самосовмещений. Инвариантные подгруппы. Гомоморфные отображения. Разбиение группы на классы по данной подгруппе. Факторгруппа.
Литература по теме II.5.5:
1. Александров П. С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980. – 144 с. (Б-чка
«Квант». Вып. 7).
2. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава II. Числа и группы. § 2.1.
Группа подстановок. §2.2. Группы и подгруппы. § 2.3. Циклические группы. § 2.4. Теорема Лагранжа.
§ 2.5. Кольца и поля вычетов. § 2.6. Прямое произведение. § 2.7. Конечные поля. § 2.8. Первообразные
корни. § 2.9. Алгебра и криптология)
Исследовательская работа по теме II.5.5:
1. Исследование по применению групп самосовмещений и перемещений в геометрии для 8 – 11 классов
1. Александров П. С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980. – 144 с. (Бчка «Квант». Вып. 7). (Предисловие. Введение. Глава V. Простейшие группы самосовмещений. Глава VI. Инвариантные подгруппы. Дополнение. Группы перемещений плоскости и пространства и их подгруппы. Ю. П. Соловьев).
II.5.6. Поля. Кольца.
Литература по теме II.5.6:
1. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников). (Глава II. Числа и группы. § 2.5.
Кольца и поля вычетов. § 2.6. Прямое произведение. § 2.7. Конечные поля. § 2.8. Первообразные корни. § 2.9. Алгебра и криптология).
II.5.7. Группы Галуа.
Литература по теме II.5.7:
1. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения степеней,
меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью алгебраических
уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические уравнения и квадратичные расширения. С. 221. §2. Задача о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени. 1.
35-39
Постановка задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения. С. 227. п. 2. Понятие разрешимой группы. С. 232. Определение симметрической и знакопеременной групп. С. 233. 3. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп. С. 236. 5. Понятие группы Галуа. Формулировка
теоремы Галуа. С. 251. 6. Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с
симметрической группой 5-й степени. С. 247. 7. Доказательство необходимого условия в теореме Галуа. С. 245. §3. Решение алгебраических уравнений степеней, меньше или равных 4, в радикалах. 1.
План решения алгебраических уравнений в радикалах с разрешимой группой Галуа. С. 261. 2. Разрешимость алгебраических уравнений с циклической группой Галуа. С. 262. 3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения. С. 266. 4. Разрешимость алгебраических уравнений с разрешимой группой
Галуа. С. 262. 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения. С. 269 – 273).
Исследовательская работа по теме II.5.7:
1. Исследование по применению групп Галуа при решении алгебраических уравнений для 8 – 11 классов.
1. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987. – 400 с. (Для старшеклассников). (Глава IV. Алгебраические уравнения
степеней, меньше или равных 5, геометрические построения. §1. Связь между разрешимостью
алгебраических уравнений и традиционными геометрическими построениями. 1. Кубические
уравнения и квадратичные расширения. С. 221. §2. Задача о разрешимости алгебраического
уравнения в радикалах. Критерий разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени. 1. Постановка задачи о разрешимости в радикалах алгебраического уравнения. С. 227. п. 2. Понятие разрешимой группы. С. 232. Определение симметрической и
знакопеременной групп. С. 233. 3. Разрешимость симметрической и знакопеременной групп. С.
236. 5. Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа. С. 251. 6. Пример алгебраического
уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени. С. 247. 7.
Доказательство необходимого условия в теореме Галуа. С. 245. §3. Решение алгебраических уравнений степеней, меньше или равных 4, в радикалах. 1. План решения алгебраических уравнений в
радикалах с разрешимой группой Галуа. С. 261. 2. Разрешимость алгебраических уравнений с
циклической группой Галуа. С. 262. 3. Разрешимость в радикалах квадратного уравнения. С. 266.
4. Разрешимость алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа. С. 262. 5. Разрешимость в радикалах кубического уравнения. С. 269 – 273).
II.5.8. Алгебры над полем действительных чисел (алгебраические методы построения числовых систем).
Литература по теме II.5.8:
1. Ларин С. В. Числовые системы: Учеб. пособие для студентов пед. Вузов. М:
Издательский центр «Академия», 2001. – 160 с.
2. Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение 1975. – 199 с.
Общий список литературы, используемый в разделе II. Алгебры:
1. Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. М.: Мир, 2006. – 256 с.
2. Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях. М: МЦНМО, 2001. – 40 с.
(Для старшеклассников).
3. Алфутова Н. В., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач. М:
МЦНМО, 2005. – 320 с. (Для старшеклассников)
36-39
4. Амелькин В. В., Рябцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ. Пособие по математике. Мн. : Асар, 1886. – 464 с. (Имеется указатель по методам решения)
5. Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975. – 112 с.
6. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. Биб-ка”Квант”. Вып. 61. М.:
Наука, 1987. – С. 160. (Для 9 – 11 классов).
7. Башмаков М. И., Беккер Б.М., Гольховой В. М. Задачи по математике. Алгебра и
анализ. Биб-ка «Квант». М.: Наука, 1983. – 192 с.
8. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. М.: Мир, 1965. – 166 с
9. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, 2007. – 280 с
10. Блох А. Ш., Неверов Г. С. Решение неравенств. Минск, 1962.
11. Болтянский В. Г. Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре многочлены. М.: МЦНМО, 2002. – 240 с.
12. Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. М.: МЦНМО, 2006.
– 62 с. (Для старшеклассников).
13. Вялый М. Н. Линейные неравенства и комбинаторика. М.: МЦНМО, 2003. – 32
с.
14. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.:
Наука, 1988. – 288 с. (Имеется тематический путеводитель по задачам на стр.
261 – 270)
15. Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия: книга для учащихся 10 – 11 классов
общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. –
320 с.
16. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические бильярды. Биб-ка “Квант”,№77.
М.: Наука, 1991. – 192 с.
17. Гашков С. Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. М.:
МЦНМО, 2006. – 328 с. (Для старшеклассников).
18. Гельфанд И. М., Шень А. Х. Алгебра. М.: Фазис,2000. – 192 с. (Для 5 – 7 классов).
19. Генкин С. А.., Итенберг И. А., Фомин Д. В. Ленинградские математические
кружки: пособие для внеклассной работы. Киров: АСА, 1994. – 272 с.
20. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. Киев: Евроиндекс, 1995. – 326 с.
21. Депман И. Я., Веленкин Н. Я. За страницами учебника математики: пособие для
учащихся 5 – 6 классы. М.: Просвещение, 1989. –
22. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования.
Арифметика и алгебра. М.: Наука, 1971. – с.
23. Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. М.: МЦНМО,
2003. – 200 с.
24. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика: основания информатики. М.: Мир, 1998. – 708 с. (Для старшеклассников).
25. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады по математике. // Спб: СанктПетербургский государственный университет. Ежегодное издание.
26. Избранные задачи (из журнала «American Mathematical Monthly»). М.: Мир,
1977. – 597 с.
27. Калужнин Л. А., Сушанский В. И. Преобразования и перестановки. М.: Наука,
1979. – 112 с.
28. Кириллов А. А. Что такое число? М. : Наука, 1993. – 80 с.
37-39
29. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1.М.: Наука,
30. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения вышей. Арифметика. Алгебра. Анализ. Том I. М.: Наука, 1987. – 432 с.
31. Колосов В. А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. М.:
«Гелиос АРВ», 2001. – 256 с. (Для старшеклассников).
32. Коровкин П. П. Неравенства. М.: Наука, 1966. – 55 с. (ПЛпМ. Выр. 5)
33. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2004. – 568 с. (Для
старшеклассников).
34. Ларин С. В. Числовые системы: Учеб. пособие для студентов пед. Вузов. М: Издательский центр «Академия», 2001. – 160 с.
35. Лефор Г. Алгебра и анализ. Задачи. М.: Наука, 1973. – 462 с.
36. Лурье М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. руководство. М.: Наука, 1990. – 96 с.
37. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение,
1987. – 400 с. (Для старшеклассников).
38. Маркушевич А. И. (Для 9 – 11 классов). Возвратные последовательности. ПЛМ.
Вып.1. М.: Наука, 1975. – С. 47. (Находятся суммы последовательностей посредством рекуррентных уравнений).
39. Маршалл А., Орлич И. Неравенства: теория мажоризации и её применение. М.:
Мир, 1983.
40. Математическая энциклопедия: Гл. редактор И. М. Виноградов, т.1 – 5, М.:
«Советская энциклопедия».
41. Маркушевич А. И. Деление с остатком в арифметике и алгебре. М. – Л.: АПН
РСФСР,1949
42. Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М.: Советская наука, 1957. – С. 666. (Для 7 – 11 классов)
43. Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение 1975. – 199 с.
44. Нивен А. Числа рациональные и иррациональные. М.: Мир, 1966. – 198 с. (Книга
рассчитана для старшеклассников)
45. Островский А. И., Кордемский Б. А. Геометрия помогает арифметике. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 1960. – 168 с.
46. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1 – 391 с., т. 2 – 432 с. М..:
Наука, 1978.
47. Понтрягин Л. С. Обобщения чисел. М.: Наук, 1986. (Б-чка «Квант». Вып. 54)
48. Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. М.: МЦНМО,
2005(Для старшеклассников).
49. Рукшин С. Е. Математические соревнования в Ленинграде – Санкт-Петербурге.
Первые 50 лет. Ростов н/Д,2000. – 320 с. (Имеется указатель по темам)
50. Солодовников А. С. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977. – 112 с.
(ПЛпМ. Вып. 48). (Для старшеклассников).
51. Сикорский К. Е. (сост.) Дополнительные главы по курсу математики 7 – 8 классов для факультативных занятий. – М.: Просвещение, 1969.
38-39
52. Табачников С. Л. Многочлены. М.: Фазис, 2000. – 200 с. Лефор Г. Алгебра и
анализ. Задачи. М.: Наука, 1973. – 462 с.
53. Тихомиров В. М. Выпуклый анализ и его приложения. М.: МЦНМО, 2001. – 24 с
54. Тригг Ч. Задачи с изюминкой. М.: Мин,2000. – 277 с.
55. Уфнаровский В. А. Математический аквариум. – Ижевск: Ижевская республиканская типография, 200. – 216 с.
56. Феликс Л. Элементарная математика в современном изложении. М.: Просвещение. 1967. – 488 с. (Для старшеклассников). (Это результат многолетних размышлений
французского педагога, ученицы Анри Лебега, относительно школьного курса математики и посторенние строгой логической системы основ математических знаний).
57. Харди Г. Г., Литтльвуд Д Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ,1948.
58. Хонсбергер Р. Математические изюминки. М.: Наука, 1992. – 176 с. (Б-чкм
«Квант». Вып. 83)
59. Храбров А. И. Неравенство Швейцера //
В сб. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады школьников по математике, 2005
год. Невский диалект, 2005, С. 89--96.
60. Храбров А. И. И снова неравенства Коши-Буняковского, стр.118 – 151. // Задачи
Санкт-Петербургской олимпиады по математике. Спб: Санкт-Петербургский
государственный университет. Ежегодное издание. – 2003.
61. Храбров А. И. Вокруг монгольского неравенства, стр.146 – 167. // Задачи СанктПетербургской олимпиады по математике. Спб: Санкт-Петербургский
государственный университет. Ежегодное издание. – 2002.
62. Храбров А. И.
1) Доказательство неравенства при помощи квазилинеаризации, стр. 374 – 381.
2) “Элементарное введение в теорию мажоризации”, стр. 382 – 423;
3) “Обращение классических неравенств”, стр. 424 – 439 //
Петербургские олимпиады школьников по математике 2000 – 2002 / Сост. К. П.
Кохась, А. И. Храбров, С. В. Иванов и др. – Сп б.: Невский диалект; БХВПетербург
63. Шарыгин И. Ф. Математический винегрет. М.: Мир. 2002. – 333 с.
64. Шафаревич И. Р. Избранные главы алгебры: учебное пособие для школьников.
М.: Журнал «Математическое образование», 2000. – 380 с. (Для старшеклассников).
65. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 452 с.
66. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. – 6-е издание. – М.: ФИЗМАТЛИТ,2001. – 480 с.
67. Школа в «Кванте»: Алгебра и анализ / под ред. А. А. Егорова. – М.: Бюро Квантум, 1994. – 128 с.
68. Школа в «Кванте»: Арифметика и алгебра / под ред. А. А. Егорова. – М.: Бюро
Квантум, 1994. – 128 с
69. Энциклопедия элементарной математики. Книги 2. Алгебра. М. – Л. 1952
70. Энциклопедия для детей. Т11. Математика. М.: Аванта+,2002. – 688 с. (Математические рассуждения. С.555-478)
71. Энциклопедический словарь юного математика. Для среднего и старшего возраста. М.: Педагогика, 1989. – 352 с.
72. Яглом И. М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. – 72 с. (ПЛпМ. Вып.45).
73. Яглом И. М. Комплексные числа. М.: ФМ, 1963. 192 с.
39-39
74. Яглом А. М., Яглом И. М. Неэлементарные задачи в элементарном изложении:
Задачи по комбинаторике и теории вероятностей, задачи из разных областей
математики. М.: КомКнига, 2006. – 544 с. (Для старшеклассников)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Литература по истории алгебры и о математиках, внесших существенный
вклад в развитее алгебры
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература,1963. – 292 с.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М.: Наука, 1987. –
368 с.
Жоль К. К. Логика в лицах и символах. М.: Педагогика-Премм, 1994. – 256 с.
(В этой книге больше истории в увлекательной форме)
История математики. М., т. 1 – 3, 1970 – 1972
Ван дер Вандер Б. Л. Пробуждающаяся наука. М., 1959
Миттаг-Леффлер Г. Нильс Хендрик Абель (05.08.1802 – 06.04.1829).
Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. – 68 с.
Рид К. Гильберт (23.01.1862 – 14.02.1943). М.: Наука, 1977. – 368 с.
Бюлер В. Гаусс (30.04.1777 – 23.02.1855). Биографические исследования. М.:
Наука,1989. – 208 с.