4.В е к т о р ы

В е к т о р ы.
О с н о в н ы е п о н я т и я.
a
Вектором
отрезок.
называется
направленный
Обозначают векторы символами a
или AB , где А- начало, а B-конец
направленного отрезка .
В
А
a
• Нулевым вектором (обозначается 0 )
называется вектор, начало и конец
которого совпадают.
• Расстояние между началом и концом
вектора называется его длиной, или
модулем или абсолютной величиной.
• Векторы называются коллинеарными,
если они расположены на одной прямой
или на параллельных прямых
• Векторы называются
компланарными, если они параллельны
одной плоскости.
• Векторы называются равными,
если они сонаправлены и имеют
равные длины.
• Два вектора, имеющие равные длины,
коллинеарные и противоположно
направленные, наз. противоположными.
• Вектор, длина которого равна 1,
называется единичным вектором или
ортом.
• Ортом вектора a называется
соноправленный ему вектор и
обозначается
a0
Линейные операции
над векторами
Линейными операциями называют
операции сложения и вычитания
векторов и умножения вектора на
число.
Сложение
векторов
c  ab
Правило треугольника.
c
b
a
c
Правило параллелограмма
a
c
b
Сумма нескольких векторов
b
c
a
a bcd
d
Вычитание векторов
a
c
b
c  a b
Свойства
abba
a0a
a  (b  c)  (a  b)  c
a  (a)  0
Умножение вектора на число
Произведением вектора a на
действительное число  называется
вектор b (обозначают b   a ),
определяемый следующими условиями:
1. b    a ,
2. b  a
 0 .
при   0 и b  a при
Умножение вектора на число
a
1
 b
2
3a
c
c
b
Свойства
( )a   (  a)   ( a)
(   )a   a   a
 ( a  b)   a   b
1 a  a
(1)  a  a
• Отсюда вытекает условие коллинеарности
векторов: два ненулевых вектора
коллинеарны тогда и только тогда, когда
имеет место равенство
•
b    a,   0.
Если a 0 орт вектора a , то
a  a  a0
и тогда
a0 
1
a
a
Пример
В треугольнике ABC сторона AB разделена на три равные
части точками M и N.
Пусть CA  a , CB  b, выразить вектор
CM
через
a
b.
и
Решение
А
M
N
С
В
1
AM  AB,
3
AB  b  a,


1
1
1
2
1
CM  CA  AM  a  b  a  a  b  a  a  b
3
3
3
3
3
Угол между двумя
векторами
• Углом между векторами наз-ся
наименьший угол  0      , на который
надо повернуть один из векторов до его
совпадения со вторым.
• Под углом между вектором и осью понимают
угол между вектором и единичным вектором,
расположенным на оси
a

l0
l
Проекция вектора на ось
и
составляющая вектора
на оси
B
A
l0
A1
)

B1
l
l
• Проекцией вектора AB на ось
называется разность x2  x1 между
координатами проекций конца и начала
вектора на эту ось.
Обозначается
прl AB .
• Если
если
 - острый, то прl AB  0;
 - тупой, то прl AB  0;
если  

2
, то
прl AB  0.
• Вектор A1 B1 наз. составляющей вектора
AB по оси l и обозначается
A1 B1  состl AB  прl AB  l0  x2  x1   l0
 
1) пр l AB  АВ cos AB, l ;




 
3) пр   a     пр a.
2) прl a  b  прl a  прl b;
l
l
Линейная зависимость
векторов
• Векторы
a1 , a2 ,..., an
наз-ся линейно
зависимыми, если существуют числа
1 , 2 ,...,n
не все равные 0, для
которых имеет место равенство
1  a1  2  a2  ...  n  an  0 (*)
3
n
2
a1   a2  a3  ...  an
1
1
1
a1   2 a2   3 a3  ...   n an
 2 a2  3 a3  ...   n an  линейная
комбинация векторов
• Векторы
a1 , a2 ,..., an
наз-ся
линейно независимыми, если равенство
1  a1  2  a2  ...  n  an  0
выполняется только при
1  2  ...  n  0
• Для того чтобы векторы были линейно
зависимы, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из этих векторов
можно было представить в виде
линейной комбинации остальных.
• Всякие три вектора на плоскости
линейно зависимы.
• Рассмотрим три вектора на плоскости
a , b, c
C
B1
B
A
D
D1
AC  AB1  AD1
AB1  1  AB
AD1  2  AD
AC  1 AB  2  AD
• Для того чтобы два вектора были
линейно независимы, необходимо и
достаточно, чтобы они были
неколлинеарны.
• Для того чтобы три вектора в
пространстве были линейно
независимы, необходимо и достаточно,
чтобы они были некомпланарны.
• Максимальное число линейно
независимых векторов на плоскости
равно двум.
• Максимальное число линейно
независимых векторов в пространстве
равно трём.
Базис на плоскости и в
пространстве
• Базисом на плоскости называют
два любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора
на плоскости по базису b, c
является единственным
a
• Базисом в пространстве называют
три любых линейно независимых
вектора.
Т. Разложение любого вектора a
в пространстве по базису b, c, d
является единственным
Прямоугольный
декартовый базис
Z
i  j  k,
i  j  k  1.
i
k
Y
j
X
Z
A
k
a
Y
O
i
X
j
Z
D
A
k
i
X
B
Y
a
O
j
C
E
OA  OB  BE  EA
OA  OB  OD  OC
OB  прox a  i
прox a  a x
OC  прoy a  j
прoy a  a y
OD  прoz a  k
прoz a  a z
a  ax  i  a y  j  az  k
Линейные операции над
векторами в
координатной форме
• Пусть
a  ax  i  a y  j  az  k
b  bx  i  by  j  bz  k
тогда:
1) a  b  (a x
2)
 bx )  i  (a y  by )  j  (az  bz )  k
a  a x  i  a y  j  a z  k
ax a y az

 
3) a || b 
bx by bz
4)
a  a a a
2
x
2
y
2
z
A x1 ; y1 ; z1  B x2 ; y 2 ; z 2 
AB  x2  x1 i   y2  y1  j  z 2  z1 k
AB 
x
 x1    y 2  y1    z 2  z1 
2
2
2
2
Направляющие
косинусы
Z
M
 a

))
O
X

Y
• Пусть дан вектор
a  ax  i  a y  j  az  k
a x  прox a  a cos
a y  прoy a  a cos 
a z  прoz a  a cos
ax
cos 
a
cos  
ay
a
az
cos 
a
2
2
2
cos   cos   cos   1
Координаты единичного вектора
a0  cos , cos , cos ,
Пример
Найти косинусы углов, которые, вектор AB составляет с
осями координат, если А (1,2,3) и В (2,4,5).
Решение.
AB  2  1;4  2;5  3   1;2;2,
AB  12  22  22  3,
тогда
1
2
2
cos  , cos   , cos 
3
3
3
Деление отрезка в данном
отношении
A2
M
A1
A1  x1 ; y1 ; z1 
A2  x2 ; y 2 ; z 2 
M  x; y; z 
A1 M

MA2
x1   x 2
x
1 
y1   y 2
y
1 
z1   z 2
z
1 
• Если 
1,
т.е.
A1 M  MA2
x
1  x2
x
2
y1  y2
y
2
z
1  z2
z
2
, то
Скалярное произведение
векторов
Скалярным произведением векторов
называется
произведение
их
модулей на косинус угла между
ними.
a  b  a  b  cos
Условие перпендикулярности
векторов
a  b  a b  0
a  b  a  прa b
a  b  b  прb a
Проекция вектора на вектор
a b
прb a 
b
Угол между векторами
cos 
a b
ab

x1  x2  y1  y 2  z1  z 2
.
2
x  y  z  x  y  z2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
Физический смысл скалярного
произведения
Работа постоянной силы на
прямолинейном участке пути равна
скалярному произведению вектора
силы на вектор перемещения.
Физический смысл скалярного
произведения
F

l
A  F l
Свойства скалярного
произведения
1) a  b  b  a
2) (a  b)  ( a)  b  a  (b)
2
3) a  a
a 
2
a
2
• Пусть даны два вектора
a  ax  i  a y  j  az  k
b  bx  i  by  j  bz  k
Найдем скалярное произведение этих
векторов
(ax  i  a y  j  az  k ) (bx  i  by  j  bz  k ) 
= axbx
 a yby  azbz
2
2
i i  i  i 1
2
2
2
2
j  j  j  j 1
k  k  k  k 1
i j 0
jk  0
ik  0
Пример
Дан вектор
угол

c  2a  3b , причем
между векторами
Найти модуль вектора
c.
a
и
a 4
b
равен
,
b 5
600.
,
Решение
с 

2a  3b 
2
2

2
с
2
2
4a  12 a  b  9b .
2
a  a  4  16
2
2
2
b  b  5  25,
a  b  a b cos  4  5 cos 60
то

c 
4 16  12 10  9  25 
2
0
 10,
409 .
Векторное
произведение векторов
• Векторным произведением вектора a
на вектор b наз. вектор c  a  b,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
2)
c  a  b  sin 
c
a
c
b
3)векторы образуют правую тройку
Понятие «правой» тройки
векторов
a, b , c
Тройку векторов
называют правой, если
направление вектора c таково, что, смотря из его конца
вдоль вектора, кратчайший поворот от вектора
a
к вектору b будет виден против движения часовой
стрелки.
с
a, b , с
b
- правая тройка
a
Обозначение векторного
произведения векторов
c
c  ab
b

a
Физический смысл векторного
произведения
F
O
M
Физический смысл векторного
произведения
Если F – сила, приложенная к точке М,
то момент этой силы относительно точки
О равен векторному произведению
векторов F и OM .
Векторные произведения
координатных векторов
k
j
i
i  j  k,
j  i  k ,
k  i  j,
i  k   j,
j  k  i.
k  j  i.

 

a  b  ax i  a y j  az k  bx i  by j  bz k 
 axbx i  i  axby i  j  axbz i  k  a ybx j  i 
 a yby j  j  a ybz j  k  az bx k  i  az by k  j 
 az bz k  k 
 axby k  axbz j  a ybx k  a ybz i  az bx j  az by i 
 a ybz  az by  i  axbz  az bx  j  axby  a ybx k 
ay

by
az
ax
i 
bz
bx
ax
 j
bx
bz
az
ay
k
by
Векторное произведение в
координатной форме
i
j
a b  ax ay
bx b y
k
az
bz
Пример
Найти векторное произведение векторов
a  2i  3 j  k ,
b  3i  j  4 k .
Решение
i
j
k
ab  2
3
1 
3 1  4

2
1
3 4
 j
2
3
3 1
3
1
1  4
i 
 k  13i  5 j  11k .
B
a

A
b
C
S  a  b  sin 
Площадь параллелограмма
Sпар  a  b
Площадь треугольника
1
S  a  b
2
Свойства векторного
произведения
a  b  b  a
ab 0 a 0
или
b  0 или a b
aa 0
Свойства векторного
произведения
( a  b)  c  a  c  b  c
 (a  b)  ( a)  b  a  ( b)
Пример
Найти
2a  3b a  2b,
если
a  2, b  1,   900.
Решение
2a  3b a  2b 
 2a  a   3b  a   4a  b  6b  b  
 7 b  a  7 b  a sin  
 7 1  2  sin 90  14 .
0
Смешанное произведение
Смешанным произведением трёх
векторов называется произведение
вида :
( a  b)  c
ay
ab 
by
az
ax
i 
bz
bx
ax
az
 j
bx
bz
ay
k
by
c  cx  i  c y  j  cz  k
ay
abc 
by
az
ax
 cx 
bz
bx
ax
 cy 
bx
bz
az
ay
 cz
by
Смешанное произведение
ax a y az
abc  b x b y b z
cx c y cz
Компланарные векторы
Три вектора называются
компланарными, если они лежат в
одной или параллельных плоскостях.
p
a b
n

c
a, b, c  компланарны,

m
m, n, p  некомпланарны.
Условие компланарности трёх
векторов
Если
a , b, c
компланарны, то
ax
bx
cx
ay
by
cy
az
bz  0.
cz
Элементами определителя являются координаты
векторов
a , b, c
c
a
b
Объём параллелепипеда
V  abc
Объём тетраэдра
Vтет
1
 abc
6