Пространство и время в теории относительности

Пространство и время в
теории относительности
Д-р физ.-мат. наук Сергей М. Копейкин
Кафедра физики и астрономии
Университет Миссури-Колумбия
США
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
1
Определение координат
Системой координат называется
совокупность одной, двух, трех или более
пересекающихся координатных осей, точки, в
которой эти оси пересекаются, – начала
координат – и единичных отрезков на
каждой из осей. Каждая точка в системе
координат определяется упорядоченным
набором нескольких чисел – координат. В
конкретной невырожденной координатной
системе каждой точке соответствует один и
только один набор координат.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
2
Пример: декартовы координаты (x;y)
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
3
Пример: полярные координаты
Полярные координаты легко
преобразовать в декартовы.
Пусть (x; y) – координаты точки в
декартовой системе координат,
(ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно,
что:
x   cos 
y   sin 
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
4
Преобразование координат в
Эвклидовом пространстве
Пусть на плоскости заданы две
бесконечно-близкие точки с
координатами ( x1 , y1 ) и ( x2 , y2 ).
Обозначим dx  x2  x1 , dy  y2  y1 ,
dl --- расстояние между точками.
По теореме Пифагора
dl 2  (dl )2  dx 2 +dy 2 .
Если мы сдвинем и/или
повернём систему координат,
то формула для dl² по
прежнему будет работать,
но уже для новых
штрихованных координат.
dl 2  (dl )2  (dx ')2 +(dy ')2 .
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
5
Пространство Минковского
Выберем «геометризованную» систему
единиц с=1.
Если взять все события интервал от
которых до начала координат постоянен,
т.е.
s² = t² - x² = C,
то получится:
при s² = t² - x² = C > 0 --- гипербола (blue),
Пусть на плоскости (t,x) заданы
две бесконечно-близкие точки с
координатами (t1 , x1 ) и (t2 , x2 ).
Обозначим ds --- «расстояние»
между точками. По «теореме
Пифагора»
при s² = t² - x² = C = 0 --- две прямые t = x, и
t = - x, (green)
при s² = t² - x² = C < 0 --- гипербола (red).
ds 2  (ds)2  c 2dt 2 +dx 2 .
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
6
Преобразование координат в
пространстве Минковского
Знак выражения для ds²
позволяет разделить все
отрезки в пространствевремени на три типа:
ds² > 0 т.е. dt > dx или dx/dt < 1
--- времениподобный
интервал
Пусть на плоскости Минковского заданы
две бесконечно-близкие точки с координатами
(t1 , x1 ) и (t2 , x2 ) . Обозначим
dt  t2  t1 , dx  x2  x1
ds --- интервал между точками.
По определению
ds² = 0 т.е. dt = dx или dx/dt = 1
--- нулевой интервал
ds² < 0 т.е. dt < dx или dx/dt > 1
--пространственноподобный
интервал
ds 2  (ds)2  dt 2 +dx 2 .
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
7
Нулевой (световой) конус
Нулево́й ко́нус (световой конус) — поверхность в пространстве
Минковского, множество всех точек, для которых интервал,
отделяющий их от данного события А (вершины нулевого
конуса), светоподобен (то есть равен нулю). Вершина разделяет
поверхность нулевого конуса на две части. Одна часть
поверхности лежит в области будущего по отношению к
вершине и содержит все события, которых может достичь
световой сигнал из вершины. Другая часть содержит все
события в прошлом, такие, что испущенный из них «световой»
сигнал может достичь вершины. Ось нулевого конуса в любой
системе отсчёта совпадает с проходящей через вершину
мировой линией частицы, неподвижной в данной системе
отсчёта. Поскольку никакой сигнал не может распространяться
быстрее скорости света, нулевой конус имеет прямое
отношение к причинно-следственной структуре пространства, а
именно, он разделяет всё пространство Минковского на три
части по отношению к вершине А: область абсолютного
прошлого (все события в прошлом, которые могут повлиять на
событие в вершине), область абсолютного будущего (все
события в будущем, на которые влияет событие в вершине
конуса) и область абсолютно удаленного (события, отделённые
от вершины пространственноподобным интервалом, т. е. не
связанные с вершиной причинно-следственными связями).
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
8
Неравенство треугольника C
в геометрии Эвклида:
Неравенство треугольника
в геометрии Минковского
C
AB+BC  AC
AB+BC  AC
Прямая АС имеет
минимальную длину.
имеет
B Прямая
максимальную «длину».
B
Двигающиеся часы идут
медленнее покоящихся.
A
A
Небольшое
«сглаживание» сторон
треугольника не нарушает
неравенства:
C
Прямая АС имеет
минимальную длину.
C
B
AB+BC  AC
A
Небольшое «сглаживание»
сторон треугольника
(движение с ускорением)
не нарушает
неравенства:
B
A
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
AB+BC  AC
Часы, двигающиеся с
ускорением, идут
медленнее, чем часы,
двигающиеся с постоянной
скоростью.
9
•
•
•
•
•
•
Инерциальная система отсчёта
Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив
закон инерции: любое тело, на которое не действуют внешние силы, находится в
состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Всякая система отсчёта, движущаяся относительно ИСО равномерно и
прямолинейно, также является ИСО. Согласно принципу относительности, все ИСО
равноправны, и все законы физики в них действуют одинаково.
Предположение о существовании хотя бы одной ИСО в изотропном пространстве
приводит к выводу о существовании бесконечного множества таких систем,
движущихся друг относительно друга со всевозможными постоянными скоростями.
Если такая совокупность ИСО существует, то пространство называется однородным
и изотропным, а время — однородным; согласно теореме Нётер однородность
пространства относительно сдвигов даст закон сохранения импульса, изотропность
приведет к сохранению момента импульса, а однородность времени - к сохранению
энергии движущегося тела.
Если скорости относительного движения ИСО, реализуемых действительными
телами, могут принимать любые значения, связь между координатами и моментами
времени любого «события» в разных ИСО осуществляется преобразованиями
Галилея.
В специальной теории относительности скорости относительного движения ИСО,
реализуемых действительными телами, не могут превышать некоторой конечной
скорости «с» (скорость распространения любого безмассового поля в вакууме) и
связь между координатами и моментами времени любого «события» в разных ИСО
осуществляется преобразованиями Лоренца.
С разной степени точности и в зависимости от области использования,
инерциальными системами можно считать системы отсчёта, связанные с Землёй,
Солнцем, галактикой, или всей вселенной (В астрометрии глобальная ИСО
неподвижна относительно «звезд»)
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
10
Лоренц-инвариантность — свойство физических законов записываться одинаковово
во всех инерциальных системах отсчета (с учетом преобразований Лоренца).
Если ИСО K' движется относительно ИСО K с постоянной скоростью V вдоль
оси x, а начала координат совпадают в начальный момент времени в обеих
системах, то преобразования Лоренца имеют вид:
где c — фундаментальная предельная скорость («каноническая» физическая
реализация с: скорость света вакууме).
Формулы, выражающие обратное преобразование, то есть x',y',z',t' через x,y,z,t
получается заменой V на V' = - V.
Формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной
скоростью v
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
11
Релятивистский эффект
замедления времени
Пусть, например, в некоторой точке x' системы K' происходит процесс
длительностью  0  t '2  t '1 (собственное время), где t '1 и t '2 – показания
часов в K' в начале и в конце процесса. Длительность  этого процесса в
системе K будет равна
  t2  t1 
t '2  vx '/ c 2
1 
2

t '1  vx '/ c 2
1 
2

t '2  t '1
1 
2

0
1 
2
 0
.
где β = v/c Двигающиеся часы идут медленнее покоящихся. Аналогичным
образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает
релятивистское сокращение длины.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
12
Относительность одновременности
•
Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' ( x '1  x '2 )
одновременно с точки зрения наблюдателя в K' ( t '1  t '2  t ' ) происходят
два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в
системе K будет иметь
t1 
•
t ' vx '1/ c 2
1 
2
,
t2 
t ' vx '2 / c 2
1 
2

t2  t1 
v( x '2  x '1 )
1 
2
0
Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно
разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак
разности t2  t1 определяется знаком выражения v( x '2  x '1 ) , поэтому
в одних системах отсчета первое событие может предшествовать
второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе
событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к
событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно
из событий является физическим следствием другого. Можно показать,
что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок
следования причинно-следственных событий одинаков во всех
инерциальных системах отсчета.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
13
Релятивистское преобразование скорости
•
•
•
В классической механике Ньютона скорости преобразуются при
переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно
преобразованиям Галилея. Если скорость тела в системе отсчёта S
была равна v, а скорость системы отсчёта S' относительно системы
отсчёта S равна u, то скорость тела в при переходе в систему отсчёта
S' будет равна v‘ = v – u.
Для скоростей, близких к скорости света преобразования Галилея
становятся несправедливы. При переходе из системы S в систему S'
необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей:
в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S.
Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей
преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
14
Аберрация света
•
Аберрация света - изменение направления светового луча вследствие
движения наблюдателя относительно источника света.
•
Пусть система отсчёта К' движется со скоростью v относительно
системы отсчёта К в положительном направлении оси X. Углы,
образуемые направлением распространения света с направлением
движения К' относительно К, обозначим в К и К' соответственно  и .
Тогда, согласно специальной теории относительности, справедливо
следующее соотношение между  и  :
cos   v / c
1  v2 / c2
cos  ' 
,
sin  ' 
sin 
1  (v / c) cos 
1  (v / c) cos 
1 v / c
 '
 
tan   
tan  
1 v / c
 2
2
Последняя формула указывает на то, что аберрация света может быть
интерпретирована как конформное отображение сферы (звездного неба
наблюдателя): S² → S², а на языке комплексных функций аберрация
света – дробно-линейное отображение.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
15
Аберрация и сокращение размеров
движущихся тел
(1/3)
Лоренцево сокращение (сокращение длины движущегося
тела) — физический эффект, заключающийся в том, что
с
«точки зрения наблюдателя» движущиеся относительно него
предметы имеют меньшие линейные размеры (в направлении
движения), чем если бы они не двигались. Для объяснения
эффекта обычно приводится такой пример: пусть мимо
неподвижной линейки пролетает стержень с собственной
длиной 1 м. Однако, когда стержень поравняется с линейкой,
неподвижный наблюдатель «увидит», что длина стержня
меньше 1 м.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
16
Аберрация и сокращение размеров
движущихся тел
(2/3)
«Увидеть» предмет можно только с помощью световых
лучей. Рассмотрим параллелный пучок света и выберем
два луча разделенных растоянием r в системе отсчета
движущегося стержня. Другими словами, мы
рассматриваем два события P и Q, взятые в один и тот
же момент времени (t=0 ) по часам стержня и
разделенные чисто пространственным расстоянием r. В
системе отсчета наблюдателя эти же два события не
являются одновременными и разделены интервалом
времени t =v r/c². Пространственное разделение P и
Q в системе отсчета наблюдателя равно r=  r.
Интервал в пространстве Минковского (s)²= -c²(t)²+(r)²
= (r)² является инвариантным. Поэтому параллельный
пучок световых лучей, хотя и изменяет направление
движения при переходе от одной ИСО к другой, остатется
параллельным при преобразовании Лоренца, с
«перпендикулярным» расстоянием между лучами
равным расстоянию в покоящейся системе отсчета.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
17
Аберрация и сокращение размеров
движущихся тел
(3/3)
В частности, это означает, что размер
сферы, полученный при её
фотографировании посредством
параллельного пучка лучей, не будет
зависеть от конкретного наблюдателя, и
всегда будет равен размеру сферы на
фотографии, сделанной в системе
покоя сферы, то есть r. Аберрация
изменяет направление пучка лучей.
Фотографическая пластинка должна
быть поставлена так, чтобы лучи света
падали на неё перпендикулярно.
Протяженная двигающаяся сфера
наблюдается как повернутая на
некоторый угол (равный углу
аберрации!); при этом наблюдаемое
поперечное сечение сферы остается
неизменным – то есть Лоренцево
сокращение сферы не наблюдается!
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
Фотография сферы
18
Наблюдаемая форма движущегося куба:
постановка задачи
Куб с ребром l0 движется со
скоростью v относительно
наблюдателя. Наблюдатель
фотографирует куб в момент,
когда лучи, испущенные кубом,
достигнут фотопластинки
одновременно под прямым углом
к направлению движения. Куб
виден под малым телесным
углом – поэтому пучок лучей
предполагается параллельным.
Какой вид имеет изображение
куба на фото-пластинке?
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
19
Наблюдаемая форма движущегося куба:
решение
Изображение создается квантами света,
которые достигают фотопластинки
одновременно. Эти кванты излучаются
разными частями куба неодновременно по
причине того, что:
1) Свет от разных частей куба проходит разные
геометрические расстояния;
2) События, одновременные в системе отсчета
фото-пластинки, не являются
одновременными в системе отсчета куба.
Свет от ребра Е’F’ проходит расстояние l в
0
дополнение к расстоянию, проходимому
светом от ребра A’B’. Поэтому этот свет
излучен раньше, на время t= l0 /c, и
изображения рёбер EF и AB не сливаются.
Рёбра AD и BC испытывают лоренцево
сокращение вследствие неодновременности
событий A’ и D’, а также B’ и С’.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
Изображение
куба на фотопластинке (=v/c).
20
Пространство-время как
математическое многообразие
• Многообразием размерности N называется множество точек
удовлетворяющих в окрестности любой из этих точек аксиомам
N-мерного (псевдо)-Евклидова пространства. Таким образом,
любая точка многообразия может рассматриваться как начало
локальной координатной системы.
• Координаты точек, лежащих в окрестности начала локальных
координат, задаются посредством N параметров, непрерывно
изменяющимся от нуля до некоторого максимального значения,
лежащего на границе координатной системы.
• Непрерывное многообразие также предполагается
дифференцируемым, то есть функции, задающие
преобразование координат, являются дифференцируемыми.
• Многообразие отличается от поверхности тем, что поверхость
вложена в пространство большего числа измерений.
Многообразие обладает самодостаточностью, и не требует
вложения в высшие измерения.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
21
Атлас многообразия
x
  
y


Локальные
координаты
Локальные
координаты
y  ( y1 , y 2 ,..., y n )
x  ( x1 , x 2 ,..., x n )
Локальные
координаты
z   ( z1 , z 2 ,..., z n )
z
  
y


x
  
z


1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
22
Тензоры
Физические законы не должны зависеть
от выбора локальных координат и
закона их преобразования. По этой
причине Эйнштейн сформулировал
законы теории относительности в
ковариантной форме с помощью
тензорного анализа.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
23
Тензорный закон
преобразования
Тензор определяется как геометрический
объект, который описывается многомерным
набором функций – компонент тензора. При
замене системы координат компоненты
тензора преобразуются по линейному закону.
Зная компоненты тензора в одной системе,
всегда можно вычислить его компоненты в
другой, если задана матрица преобразования
системы координат.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
24
Ньютоновская гравитация: чем процесс падения
яблока отличается от процесса «падения» Луна
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
25
Лифт движется
«вверх» с
ускорением
ПринципПринцип
эквивалентности
эквивалентности
Не существует способа различить
состояние прямолинейного движения
с постоянным ускорением от состояния
покоя в постоянном и однородном
гравитационном поле
Лифт находится
в покое в
гравитационном
поле
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
26
Равенство инертной и
гравитационной масс
mi a  mg g
Инертная масса
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
Гравитационная масса
27
Экспериментальное доказательство
принципа эквивалентности
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
28
Метрический тензор
•
Метрический тензор, совокупность величин, определяющих геометрические
свойства пространства (его метрику). В общем случае риманова пространства n
измерений метрика определяется заданием квадрата расстояния ds² между двумя
бесконечно близкими точками:
Двойную сумму часто не пишут,
подразумевая правило суммирования
Эйнштейна.
•
•
Совокупность величин
образует тензор второго ранга, который и называется
метрическим тензором. Этот тензор симметричен. Вид компонент
зависит от
выбора системы координат, однако ds² не меняется при переходе от одной
координатной системы к другой, то есть является инвариантом относительно
преобразований координат.
В каждой точке пространственно-временного четырехмерного многообразия
метрический тензор может быть приведен к диагональному виду и отнормирован к
метрике Минковского:

 1 0 0 0 


0

1
0
0


 diag - 1,1,1,1  
0 0 1 0 


 0 0 0  1


1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
29
Измерение длин и углов при помощи метрики
•
На Римановом многообразии, длина L сегмента кривой, заданной параметрически как
вектор-функция параметра t вдоль кривой, равна:
•
Угол  между двумя векторами,
и
, определен в касательном
пространстве c положительно-определенной метрикой формулой
•
В пространстве Минковского с псевдо-эвклидовой метрикой квадрат длины вектора может
быть положительным (пространственно-подобный вектор); равен нулю (изотропный или
нулевой вектор), или быть отрицательным (времени-подобный вектор).
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
30
Углы в релятивистской астрометрии
Мировая линия
наблюдателя



Наблюдател ь движется со скоростью V  γ 1,V / c .
α
время
пространство
 

Фотоны двигаются от звезды 1 в направлении k1   1 1,k1


и от звезды 2 в направлении k 2   2 1,k 2 , где  1 и  2

 
обозначают частоту света. Эти два напрвления
проектируются на пространство, ортогональное мировой
линии наблюдателя, с помощью оператора проекции
P  g   V V  , где g  - метрика пространства - времени.
Угол между двумя звездами на небесной сфере
определяется формулой :
cos 
P k1 k 2


P k1 k1


P k 2 k 2
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007

P k1 k 2
V k V k 

 1

 2
31
Движение пробных частиц
Пробные частицы двигаются вдоль геодезических мировых линий,
которые всегда располагаются либо внутри , либо на поверхности
нулевого конуса. Уравнение геодезической линии:
где
- символы Кристоффеля, s – афинный параметр вдоль
геодезической. Символы Кристоффеля физически эквивалентны
гравитационной силе, действующей на частицу. В локальноинерциальной системе координат все символы Кристоффеля
обращаются в нуль, гравитационная сила отсутствует, и частица
двигается вдоль прямой линии без ускорения. Это проявление
принципа эквивалентности, который справедлив в ОТО. В
альтернативных теориях гравитации принцип эквивалентности может
нарушаться.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
32
Связь метрического тензора и
символов Кристоффеля
Метрический тензор не изменяется при параллельном переносе
вдоль кривой, то есть его ковариантная производная равна нулю.
Это следствие двух условий паралелльного переноса:
– Длина вектора сохраняется
– Кручение отсутствует (символ Кристоффеля симметричен по

двум нижним индексам: 
  )
Вычисляя ковариантную производную, и приравнивая её нулю,
получаем:
1   g  g  g  

  g       
2
x
x 
 x
Так как символы Кристоффеля характеризуют гравитационную
силу, отсюда следует, что метрический тензор играет роль
гравитационного потенциала.
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
33
Кривизна
Кривизна пространства-времеи характеризуется тензором
Римана, который выражается через первые и вторые
производные метрического тензора
R 
R






  
  
x 
x
  R   R
R  R
R  R  R  0
1-я астрометрическая школа в
Москве, октябрь 22-26, 2007
34
Уравнения Эйнштейна
• Метрический тензор  гравитационный потенциал
• Афинная связность  гравитационная сила
• Принцип эквивалентности  правило ковариантного
дифференцирования



1   g  g  g  
 g       
2
x
x 
 x
•Уравнения гравитационного поля
R 
1 
8 G 
  R  4 T 
2
c
1 
 ( R    R)  0   T  0
2


Распределение вещества
Определяет кривизну
пространства-времени
Кривизна определяет
Закон движения вещества
Линеаризованная гравитация
g    h



1   h h h 
        
2
x
x 
 x
Гармоническая (Лоренцева) калибровка
h 
x
1 h 

0

2 x
Линеаризованные уравнения Эйнштейна
 1 2
16 G  
1  
2 
  2 2    h    4 T    T 
c 
2

 c t
