Метод размерности

Метод размерности
Идея проекта: Яшкова Е. Ю.
В физике… нет места
для путаных мыслей…
Действительно
понимающие природу
того или иного явления
должны получать
основные законы из
соображений
размерности.
Э.Ферми
Система единиц –
СГС
(Сантиметр –
грамм - секунда)
совокупность единиц физических величин,
образованных в соответствии с принятыми
принципами для некоторой
системы физических величин.
МКГСС
(Метр - килограмм-сила – секунда)
СИ
(Метр – килограмм –
секунда - Ампер –
Кельвин – моль –
кандела)
Преимущества:
1.Отсутствуют
переводные
коэффициенты.
2.Нет дробных
размерностей
Размерность ф.в. - выражение, показывающее связь
данной физической величины с
величинами, положенными в
основу системы единиц.
Записывается в виде символов соответствующих
основных величин с определенными показателями
степеней.
Пример:
формула
размерность
u=L/t (РПД)
[ u ]=[L/T]=[L·T-1]
a=2L/t2
[a]=[L/T2]=[L·T-2]
Безразмерные величины- величины, в которые все
основные
величины входят в степени, равной
нулю.
Таблица основных единиц СИ
Величина
Наименование
Единица
Размерность
Наименование
обозначение
Что принято за единицу
Длина
L
метр
м
Метр представляет
собой расстояние,
проходимое в вакууме
плоской
электромагнитной
волной за 1/299792458
долю секунды
Время
T
секунда
с
Секунда равна
9192631770 периодов
излучения,
соответствующего
переходу между двумя
сверхтонкими уровнями
основного состояния
атома цезия-133
Масса
М
килограмм
кг
Килограмм равен массе
международного прототипа
килограмма
Температура
Т0
кельвин
К
Кельвин равен 1/273,16 части
термодинамической температуры
тройной точки воды
Количество
вещества
N
моль
моль
Моль равен количеству вещества
системы, содержащий столько частиц,
сколько содержится атомов в углероде12 массой 0,012кг
Сила
электрического
тока
I
ампер
А
Ампер равен силе неизменяющегося
тока, который при прохождении по
двум параллельным проводникам
бесконечной длины и ничтожно малой
площади кругового поперечного
сечения, расположенным в вакууме на
расстоянии 1м один от другого, вызвал
бы на каждом участке проводника
длиной 1м силу взаимодействия
=2*10ˉ7Н
Сила света
J
кандела
кд
Кандела равна силе света в
заданном направлении
источника, испускающего
монохроматическое
излучение частотой 540*10¹²
Гц, энергетическая сила света
которого в этом направлении
составляет1/683 Вт/ср
Таблица производных единиц СИ
Величина
Единица
Комментарий
наименование
размерность
наименование
обозначение
площадь
L²
Квадратный метр
м²
плотность
MLˉ³
Килограмм на
кубический метр
кг/м³
сила
МLТˉ²
ньютон
Н
F=ma
давление
Lˉ¹MTˉ²
паскаль
Па
p=F/S
жесткость
МТˉ²
Ньютон на метр
Н/м
K=F/х
импульс
МLТˉ¹
Килограмм-метр
в секунду
Кг·м/с
p=mu
энергия
L²МТˉ²
джоуль
Дж
Е=mv2/2=mgh
Количество
теплоты
L²МТˉ²
Удельная
теплоемкость
джоуль
Дж
джоуль- на
килограммкельвин
Q=FL
C=Q/m∆T
Электрический
заряд
ТI
кулон
Кл
Напряженность
электрического
поля
LМТˉ³
Вольт на метр
В/м
Удельное
сопротивление
L³MTˉ³Iˉ²
Ом на метр
Ом·м
Магнитная
индукция
MTˉ²Iˉ¹
тесла
Тл
Алгоритм решения задач методом
размерности
1. Записать дано.
2. Составить уравнение
зависимости искомой
величины от заданных в
виде:
A=CBα Eβ Dγ …. ,где Сбезразмерная const; B,E,Dф.величины
α,β,γ - действительные
числа
3. Записать наименование
единиц измерения всех
величин через основные
единицы СИ.
4. Подставить наименования
физ.величин в
составленные уравнения
5. Составить равенства
показателей степеней
однородных величин с
учетом правил действий со
степенями.
6. Решить систему, найти
показатели степеней
7. Подставить найденные
показатели степеней в
записанное уравнение.
NB! Числовой коэффициент из теории размерности
определить нельзя.
Задача:
Как зависит от пройденного пути h скорость
свободного падения тела, если начальная скорость его
равна нулю?

h
H2
Энергетический
ЗСЭ: mgH1=mu²/2 + mgH2
mu²/2=mg(H1-H2)
Н1
u
u= 2g(H1-H2)= 2gh
Метод размерности
U=Cgαhβ, где С=const
[U]=[м/с]=[мс-1]; [g]=[м/с2]=[мс-2]; [h]=[м]
мс-1=( мс-2)α(м)β
мс-1=мαс-2αмβ
1=α + β
-1=-2α → α=1/2 → β=1/2

U=Cg1/2h1/2=С√gh
Эксперименты показали, что скорость звука в газах
зависит от давления и плотности среды. Сравните
скорости звука в газе для двух состояний. Плотности и
давления в средах считать заданными.
V=С· рα· ρβ, где С=const
 [V]=[м· с-1]; [р]= [Н/м2]=[кг· м/(с2· м2)] =
=[кг· м-1· с-2]; [ρ]=[кг/м3]=[кг· м-3]
 м· с-1=кгα· м -α· с -2α· кгβ· м -3β
 1=-α-3β
-1=-2α → α=½
0=α+β → β=-½
 V=C· √р/ρ → V1/ V2=√(р1/р2)· (ρ2/ ρ1)

Оцените силу сопротивления тел, движущихся в
жидкости.
F=C · Vα· ρβ· Sγ, где С=const
 [Н]=[кг· м· с-2]; [V]= [м· с-1]; [ρ]= [кг· м -3];
[S]=[м2]
 кг· м· с-2= мα· с-α· кгβ· м -3β· м2γ
 1=β
1=α-3β+2γ
→ γ=(1-α+3β)/2
-2=-α → α=2
γ=(1-2+3)/2=1
 F=C·V2·ρ· S

Найти связь скорости распространения
упругих волн V в стержне от модуля Юнга Е
и плотности материала ρ
V=С· Еα·ρβ, где С=const
 [V]=[м· с-1]; [Е]=[Па]= [кг· м-1· с-2]; [ρ]=[кг· м -3]
 м· с-1= кгα· м -α· с -2α· кгβ· м -3β
 1=-α-3β
-1=-2α → α=½
0=α+β → β= -½
 V=C· √Е/ρ

Объем газового пузыря, образовавшегося в
результате глубинного подводного взрыва
колеблется с периодом, пропорциональным рαρβεγ,
где р – давление, ρ – плотность воды, ε – полная
энергия взрыва. Найти α,β,γ.
Т = Срαρβεγ
 [Т]=[с]; [p]=[кг· с-2· м-1]; [ρ]=[кг· м-3];
[ε]=[кг· с-2· м2]
 с = кгα · с-2α · м-α · кгβ · м-3β · кгγ · м2γ · с-2γ
 1=-2α-2γ
(1)
0=α+β+γ
(2)
0=- α-3β+2γ (3)



(2)+(3):
0= -2β+3γ
β=3γ/2 (4)
Из (1): α=(-2γ-1)/2=-γ-½ (5)
(4) и (5) в (3):
0=γ+1/2 - 9/2γ+2γ
γ=1/3 (6)
(6) в (4): β=½
(6) в (5): α=-5/6
Т=Ср-5/6ρ1/2ε1/3
Ученые обратили внимание на то, что единицы длины, времени и
массы «приспособлены» к людям и связаны с особенностями
планеты Земля, но могут оказаться «неудобными» при контакте
с представителями внеземных цивилизаций. Поэтому было
предложено в качестве основных механических единиц взять
фундаментальные постоянные с=3·108м/с, G=7·10 -11Н·м2/кг2 и
ħ=1·10-34Дж·с. Тогда единицы длины lp, времени tp и массы mp
будут производными от этих физических величин и выражаться
через них. Такие единицы назвали планковскими. Выразите
единицы длины lp, времени tp и массы mp через «новые» основные
единицы с, G и ħ , взятые в соответствующей степени,
рассчитайте их. Примите коэффициент пропорциональности
между производной единицей и основными единицами равным 1.

1. lp=cαGβћγ
2. [с]=[м ∙с-1];
[G]=[Н ∙м2/с2]=[кг ∙м/с2∙ м2/с2]=[м3 ∙с -2 ∙ кг-1];
[ћ]=[Дж ∙ с]=[Н ∙м ∙с]=[кг ∙м2 ∙с-1]
3. м = мα ∙с-α∙ м3β ∙с -2β ∙ кг-β∙ кгγ ∙м2γ ∙с-γ
4. 1=α+3β+2γ (1)
0= -α-2β-γ (2)
0= -β+γ
β=γ (3)
(3) в (2): 0= -α-3γ
α=-3γ (4)
(3) и (4) в (1): 1=-3γ+3γ+2γ
γ=½ (5)
(5) в (3): β=½
(5) в (4): α=-3/2

lp=c-3/2G½ћ½=√Gћ/c3
lp=1,6∙10-35м
1. tp=cαGβћγ
2. с = мα ∙с-α∙ м3β ∙с -2β ∙ кг-β∙ кгγ ∙м2γ ∙с-γ
3. 1= -α-2β-γ (1)
0=α+3β+2γ (2)
0= -β+γ
β=γ (3)
(3) в (2):
α= -5γ (4)
(3) и (4) в (1):
1=5γ-2γ-γ
γ=½ (5)
(5) в (3):
β=½
tp=c-5/2 G½ћ½=√Gћ/c5
(5) в (4):
α=-5/2
tp=5,4∙10-44с
‼
tp= lp /с

1. mp=cαGβћγ
2. кг = мα ∙с-α∙ м3β ∙с -2β ∙ кг-β∙ кгγ ∙м2γ ∙с-γ
3. 1=-β+γ
(1)
0=α+3β+2γ (2)
0= -α-2β-γ
(3)
(2)+(3):
0=β+γ
β=-γ (4)
(4) в (1):
1=2γ
γ=½ (5)
(5) в (4):
β= -½ (6)
(5) и (6) в (3): α= ½
Тогда, mp=c½G-½ћ½=√cћ/G
mp=2,1∙10-8 кг
Применение:



Метод размерности нашел плодотворное
применение в тех областях физики
(гидравлика, аэродинамика…),где строгое
решение задачи часто наталкивается на
значительные трудности из-за большого
числа параметров, определяющих
физические явления.
В экономике
В математике (теорема Пифагора)
Обсуждение
метода
зачастую не
менее важно,
чем решение
задачи