Стратегическое взаимодействие фирм, действующих по Курно

Стратегическое взаимодействие
фирм, действующих по Курно,
и ценополучателей
Филатов А.Ю.
Иркутский государственный университет,
Институт систем энергетики им.Л.А.Мелентьева
http://math.isu.ru/filatov,
http://polnolunie.baikal.ru/me,
http://fial_.livejournal.com,
alexander.filatov@gmail.com
Олигополия
Олигополия:
1. Небольшое количество фирм (максимальное число которых зависит от
информационной открытости рынка).
2. Однородный либо дифференцированный продукт.
3. Наличие барьеров входа.
4. Стратегическое взаимодействие между производителями.
Стратегии поведения:
1. «Курно» – оптимальный объем в зависимости от поставок конкурентов.
2. «Ценополучатель» – оптимальный объем в зависимости от сложившейся
на рынке цены, из условия p = MC.
Причины использования стратегии «ценополучатель»:
1) Фирме неизвестны отраслевой спрос и функции издержек конкурентов;
2) Фирма не задумывается о своем влиянии на параметры равновесия.
«Недальновидное» поведение «ценополучателей» заведомо приводит
к сокращению прибылей, если происходит в одностороннем порядке.
Однако стратегические конкуренты подстраиваются…
Формализация модели
1. Линейный спрос p  a  bQ.
2. n одинаковых фирм с издержками TC q   dq 2  cq  f .
3. k стратегических фирм, действующих по Курно и m ценополучателей.
Ценополучатели:
 m  pqm  dqm2  cqm  f  max ,
qm 
a  bkqk  c
.
mb  2d
qm
p  2dqm  c  0,
a  bmqm  bkqk  c  2dqm  0,
Стратегические фирмы:
 i  pqi  dqi2  cqi  f  a  bqi  k  1qk  mqm qi  dqi2  cqi  f  max ,
a  2bqk  k  1bqk  mbqm  2dqk  c  0,
a  c  mbqm
qk 
.
k  1b  2d
qi
Равновесие и его свойства:
При фиксированном числе фирм n = m + k
ac
a  c 1  b 2d   q 1  b  .
,
q



m
n  1b  2d  mb2 2d
n  1b  2d  mb2 2d k  2d 

ac
b  2d
1 

Q
b  n  1b  2d  mb 2 2d 
qk 
Свойство 1.
Оптимальные объемы поставок ценополучателей превышают объемы поставок
фирм, действующих по Курно в фиксированное число раз, не зависящее от числа тех и других фирм, и определяющееся только параметрами функций спроса и
издержек, а именно, соотношением коэффициентов b и d.
Свойство 2.
При фиксированном количестве фирм на рынке переход части из них в ценополучатели сокращает поставки каждой из них, увеличивает суммарные поставки
продукции и роняет цены.
Сравнение ценополучателя
и лидера по Штакельбергу
Последователи:
a  c  bq0
2
2
q

.
 i  pqi  dqi  cqi  f  a  bq0  bqi  k  1bqk qi  dqi  cqi  f  max , k
qi
k  1b  2d
Единственный лидер:
a  c 1  b 2d  .

a  c  bq0 
q0  dq02  cq0  f  max , q0 
 0  pq0  dq02  cq0  f   a  bq0  kb
2
q


k

3
b

2
d

b
d


k

1
b

2
d


Ценополучатель:
a  c 1  b 2d   q 1; k  , q 1; k   q 2; k   q 1; k .
qm 2; k  
m
m
0
k  3b  2d  b 2 d 0
0
Свойство 3.
При наличии на рынке единственного ценополучателя его объем поставок всегда превышает оптимальный для лидера по Штакельбергу. В то же время прибыли могут как превышать исходные прибыли Курно-конкурентов, так и быть меньше их (в последнем случае становиться ценополучателем невыгодно).
Выгодно ли быть ценополучателем?
Прибыли стратегических фирм и ценополучателей:
2

a  c  b  d  b 2 4d 
m 
 f.
2
2
n  1b  2d  mb 2d 
2

a  c  b  d 
k 
 f,
2
2
n  1b  2d  mb 2d 
Базовый вариант:
ac
qk 0; n  
,
n  1b  2d
2

a  c  b  d 
 k 0; n  
 f.
2
n  1b  2d 
Разность прибылей:



 a  c 2 b  d  b 2 4d
  a  c 2 b  d 


.
 m m; k    k 0; m  k   

f

f

 n  1b  2d  mb2 2d 2
  n  1b  2d 2


 
 x  b 2 4d
x 
2

 m m; k    k 0; m  k   a  c 

, x  b  d , y  n  1b  2d .
 y  mb2 2d 2 y 2 







Свойство 4.
На выгодность или невыгодность перехода фирм в число ценополучателей не
влияют коэффициенты a, c, f, однако влияет соотношение коэффициентов b и d,
число фирм на рынке n и число ценополучателей m.
Выгодно ли быть ценополучателем?
 m m ; k    k 0 ; m  k  
 2 b2 y 2
mb2 xy m 2b 4 x  C1 2 2
2
2
2 4


 C1  xy 
 xy 


b
dy

4
mb
dxy

m
b x 
2 
2
4d
d
4d  4d

C
2
 12 b 2 dy 2  4mb2 dxy  m 2b 4 x  b 2 d n  1b  2d   4mb2 d b  d n  1b  2d   m 2b 4 b  d  
4d
5
C 
2
 12  b 2 d 3 4  8m b3d 2 4n  1  4mn  1  8m b 4 d n  1  m 2  4mn  1  m 2b .
0
4d 
0
0
0, 0




Предположение b = 2αd:
 m m; k    k 0; m  k  





 C2 4 2 4  8m  8 3 4n  1  4mn  1  8m  16 4 n  1  m 2  4mn  1  32 5 m 2 
C
2
 2 2  2 n  1  m 2  4mn  1  2 3m 2  2  2m  mn  1  n  1  2m  1 
16
C
 2 2 f  .
16
 

2

Исследование функции f (α)

f    2 n  1  m

 4mn  1 6 m
f     2 n  1  m 2  4mn  1  2 3m 2  2  2m  mn  1  n  1  2m  1.
2
2
2
Вершина параболы:  0
2
2
 22m  mn  1  n  1.
2

n  1  m 2  4mn  1

.
6m 2
f 0  22m  m 1n  1  0, f 0  2m 1  0.
n  12  m2  4mn  1  0
10

ценополучателем становиться невыгодно
ни при каком соотношении параметров!
5
f
f'
При слабо положительных значениях 
функция f () убывает, достигая локального минимума, а затем начинает возрастать. При достаточно больших значениях
n она выходит в положительную область.
0
0
1
2
3
-5
Типичный вид f (α) и f ’(α)
Выгодно ли быть ценополучателем?
Вероятность того, что ценополучателем становиться выгодно, невелика, но,
как правило, увеличивается при росте параметров n и b, а также уменьшении
параметров m и d. То есть ценополучателем выгодно быть на большом рынке
с неэластичным спросом и большим числом фирм, издержки которых растут
медленно. Ценополучателей при этом должно быть мало, в идеале – единственный.
Свойство 5.
При любом фиксированном числе ценополучателей m есть такое суммарное
количество фирм n0, что при n  n0 существует диапазон    min ; max , в котором при b = 2αd ценополучателем становиться выгоднее, чем быть стратегической фирмой. Диапазон асимметрично (сильнее вправо) расширяется при
росте n .
Единственный ценополучатель: n0=5.
Два ценополучателя: n0=11.
f (α) для случая
единственного ценополучателя
200
1;2
1;3
100
1;4
1;5
1;6
0
0
-100
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f (α) для случая
двух ценополучателей
2000
1500
2;9
2;10
1000
2;11
2;12
2;13
500
2;14
0
0
-500
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Спасибо
за внимание!
http://math.isu.ru/filatov,
http://polnolunie.baikal.ru/me,
http://fial_.livejournal.com,
alexander.filatov@gmail.com