Введение в теорию множеств 1. Основные определения

Введение в теорию множеств
1. Основные определения, терминология
Под множеством А мы понимаем совокупность объектов
произвольной природы, объединенных общим свойством
Р(х).
Обозначение
A  x P x  .
Читается:
"А есть множество х, таких, что Р(х)".
Пример 1
B  x x 2  3x  2  0 .
Легко заметить, что множество состоит из двух чисел: 1
и 2.


Определение 1
Множество А называется подмножеством В, если для любого
х ( x  A  x B )
Обозначение:
A  B
Другими словами, символ " A  B" есть сокращение для
высказывания  x  A  x  B
Теорема 2
Для любых множеств А, В, С верно следующее:
а) A  A ;
б) A  B и B  C  A  C .
Доказательство
Для доказательства а) надо убедиться в истинности
высказывания  x  A  x  A , но оно очевидным образом
истинно, так как представляет собой импликацию, в которой
посылка и заключение совпадают.
Для доказательства б) надо убедится в истинности
высказывания
 x  A  x  B    x  B  x  C    x  A  x C
Обозначим: " x  A " через U, " x  B " через V , " x  C " через .
Тогда надо убедиться в истинности высказывания .
Упростим это высказывание:
F  U  V   V  Z   U  Z  

 

 U  V  U  Z  VZ  U  Z 
 UV  U Z  VZ  U  Z 



 U  V  U  Z V  Z  U  Z 



 U  VU  U Z  V Z V  Z  U  Z 



 U V Z V  Z U  Z 
 UV  U Z  V Z  U  Z 

 

 UV  U  U Z  Z  V Z 
 V  U  U  Z  V Z  1.
Конечно, теорема 2 интуитивно очевидна, но если мы,
кроме очевидности, стремимся еще и к строгости, то
приходится проделывать непростые логические
вычисления. Доказательство этой теоремы является
неплохим упражнением по алгебре высказываний.
Определение 3
Множества А и В называются равными, если они состоят из
одних и тех же элементов (A=В). Другими словами,
обозначение А=В служит сокращением для высказывания
 x  A  x  B.
Если множество А конечно и состоит из элементов
а1,а2,...,аn, то пишем:
А={а1, а2,...,аn}.
Иногда подобное обозначение распространяется и на
некоторые бесконечные множества. Так,
N={1,2,3,...,n,...}
Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.
Вопрос
Можно ли подобным образом записать множество Q
рациональных чисел? А множество R вещественных
чисел?
Вернемся к определению равенства множеств
Пример 1
{a, b, c, d} = {c, d, a, b}.
Пример 2
{a, b, c, d} {a, c, b}.
Пример 3
{x|x2-3x+2=0} = {1,2}.
Теорема 4
Для любых множеств А и В А=В тогда и только тогда, когда
A B и B A
Доказательство
Доказательство этого факта основано на том, что
эквивалентность X  Y равносильна конъюнкции двух
импликаций  X  Y   Y  X  .
Таким образом, для того, чтобы доказать равенство множеств А
и В, надо доказать два включения: A  B и B  A , что часто
используется для доказательства теоретико-множественных
равенств.
Определение 5
A  B тогда и только тогда, когда A  B и A  B.
Теорема 6
Для любых множеств А, В, С, если A  B и B  C, то A  C
Доказательство
Доказать самостоятельно.
Определение 7
Множество называется пустым, если оно не содержит ни
одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству
(для любого х). Обозначение: .
Отметим, что понятия элемента и множества довольно условны.
Один и тот же объект в одной ситуации может выступать как
элемент, а в другой – как множество.
Например, N, Z, Q, R – числовые множества, но в множестве
А={N, Z, Q, R} каждое из них является элементом
четырехэлементного множества А. В этом отношении
достаточно привлекательным является множество x   .
Отметим, что   X и   X одновременно. В связи с этим
возникает следующая
Задача 1
Существует ли объект X , такой, что X  X ?
2. Операции объединения и пересечения
Определение 1
Объединением двух множеств А и В называется множество
A  B   x x  A  x  B .
A  x B
Другими словами, x  A  B  x 
(теоретико-множественной
операции "объединение" соответствует логическая операция
"или").
Пример
Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда
= {1,2,3,4,6,8}.
A B
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда:
а) A  A  A
– идемпотентность объединения;
б) A  B  B  A
– коммутативность объединения;
в)  A  B  C  A   B  C – ассоциативность объединения;
г) A    A ;
д) A  B    A  B  
Доказательство
а) Возьмем
x  A  A  x  A  x  A  x  A.
При
последнем
переходе
мы
воспользовались
идемпотентностью
дизъюнкции.
Таким
образом,
идемпотентность объединения в теории множеств есть
следствие идемпотентности дизъюнкции в алгебре
высказываний.
б) Возьмем
x A B  x A x B  x B 
 x A  xB A
Мы доказали, что x  A  B  x  B  A .
Следовательно, A  B  B  A.
в) Возьмем
x  A  B  C  x  A  B  x C 
  x  A  x  B  x C  x  A   x  B  x C
(ассоциативность дизъюнкции). Мы доказали, что
x  A  B  C  x  A   B  C
Следовательно,
г) Возьмем
 A  B  C  A  B  C .
x  A   x  A  x   x  A ,
так как высказывание x   тождественно ложно.
Следовательно, A   A .
д) Если
A  B   , то
A B      .
В другую сторону. Пусть A  B  То есть, x  A  B  x   .
Значит высказывание является тождественно ложным. С
другой стороны, x  A  B  x  A  x  B , а дизъюнкция
двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда ложны
оба эти высказывания. Следовательно,
и x 
x A 
x  B  x   а значит A  B   .
Теорема 3
Пусть А, В – произвольные множества, тогда:
а) A  A  B ;
б) A  A  B  B  A .
Доказательство
а) Возьмем
x A  x A xB
(свойство импликации)
 x A B .
Итак, A  A  B .
б) Пусть A  A  B . Докажем, что
B  A . Возьмем
x B  x  A  B  x  A .
Итак, мы доказали, что
x  B  x  A , то есть B  A .
Теперь пусть B  A. Чтобы доказать равенство
A  A ,надо
B
доказать два включения:
A  B  .A
A  A иB
Первое включение – есть пункт а).
Докажем второе включение. Возьмем
x A B  x A x B  x A x A ,
так как B  A ,  x  A .
Следовательно, A  B  A .
Теорема доказана.
Определение 4
Пересечением множеств А и В называется множество
A  B  x x  A  x  B .
Пример
Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда
A  B = 1,7,8 .
Теорема 5
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A  A  A
- идемпотентность пересечения;
б) A  B  B  A - коммутативность пересечения;
в)  A  B  C  A   B  C - ассоциативность пересечения;
г) A     .
Доказательство
а) Возьмем
x  A  A  x A x A  x A .
Следовательно,
A A  A .
б) Возьмем
x  A  B  x  A  x B 
 x B  x  A  x B  A .
Следовательно,
в) Возьмем
A B  B A .
x  A  B  C  x  A  B  x C 
 x  A  x  B   x  C 
 x  A   x  B  x  C  x  A  x  B  C 
 x  A   B  C
Следовательно,
г)
 A  B  C  A   B  C
x  A   x  A  x   x 
.
, так как
тождественно ложное высказывание.
Теорема 6
Пусть А, В – произвольные множества. Тогда:
а) A  B  A ;
x 
–
б) A  B  A  A  B
Доказательство
а) Возьмем
.
x A B  x A xB  x A ,
то есть A  B  A .
б) Пусть
A  B  A . Возьмем
x  A  x  A  B  x  A  x B  x B ,
то есть A  B . Теперь пусть A  B. Включение A  B  A
уже доказано.
Докажем включение в другую сторону.
Возьмем
x A  x A xB ,
так как A  B,  x  A  B .
Следовательно, A  A  B , поэтому A  A  B
.
Теорема 7 (дистрибутивные законы)
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A   B  C   A  B   A  C – дистрибутивность
пересечения относительно объединения;
б) A  B  C    A  B   A  C  – дистрибутивность
объединения относительно пересечения.
Доказательство
а) Возьмем
x  A  B  C   x  A  x  B  C 
 x  A   x  B  x C 
  x  A  x  B   x  A  x C 
 x  A  B  x  A  C 
 x  A  B   A  C
3. Разность множеств, дополнение, симметрическая
разность
Определение 1
Разностью множеств называется множество
A \ B  x | x  A и x  B .
Пример
Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10},
B\A={2,5,6}.
Теорема 2
Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда:
а) A \ A   ;
б) A \ B    A  B ;
в) A  B \ C  A \ C  B \ C ;
г) A \ B  C    A \ B \ C .
Доказательство
x A\ A  x A x A
а) Возьмем
– тождественно
ложное высказывание. Оно равносильно другому
тождественно ложному высказыванию , поэтому A \ A   .



 

б) Пусть A \ B   . Возьмем x  A , так как A \ B  
, то x  A \ B , значит x  B , то есть A  B .
Теперь пусть A  B . Возьмем
x A\ B  x A
 x  B  x  B  x  B  x 
, то есть A \ B   .
в) Возьмем
x  A  B \ C  x  A  B  x C 
  x  A  x  B  x C 
  x  A  x C   x  B  x C 
 x  A \ C  x B \ C 
г) Возьмем
 x  A \ C   B \ C
x  A \ B  C   x  A  x  B  C 
 x  A  x  B  x C 
 x  A  x  B  x C   x  A \ B  x C 
 x  A \ B \ C
Теорема 3 (законы Моргана)
A \  B  C   A \ B   A \ B ;
а)
б)
A \  B  C   A \ B   A \ B .
Доказательство
а) Возьмем
x  A \  B  C  x  A  x  B  C 
 x  A   x  B  x  C 
  x  A  x  B   x  A  x C 
 x A\ B x A\C 
 x  A \ B   A \ C
б) Возьмем
x  A \ B  C   x  A  x  B  C 
 x  A  x  B  x C 
x  A  x  B  x  C  
  x  A  x  B   x  A  x C 
 x  A \ B   A \ C
Множество U назовем "универсальным", если оно содержит
все элементы и все множества являются его
подмножествами. Понятие абсолютно универсального
множества, то есть множества, для которого истинно
высказывание "для любого х ", несмотря на кажущуюся его
простоту, мгновенно приводит к так называемым теоретикомножественным
парадоксам.
Поэтому
понятие
"универсального множества" у нас будет зависеть от круга
задач, которые мы рассматриваем.
Довольно часто под универсальным множеством понимают
множество R –– множество вещественных чисел или
множество С – комплексных чисел. Возможны и другие
примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что
мы понимаем под универсальным множеством U.
Определение 4
Пусть U – универсальное множество и . Дополнением А в U
(или просто дополнением А) называется множество .
Пример
Если U – множество вещественных чисел и А – множество
рациональных чисел, то – множество иррациональных
чисел
Теорема 5
а)   U ;
б) U   ;
в) A  A
Доказательство
Доказать самостоятельно
Теорема 6 (законы Моргана для дополнений)
а) A  B  A  B ;
б) A  B  A  B .