ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКОГО И УСЛОВНО- ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЙ В СПУТНИКОВОМ ВАРИАНТЕ ДВУКРАТНО-

Институт Космических Исследований
Российской Академии Наук
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПЕРИОДИЧЕСКОГО И УСЛОВНОПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЙ В
СПУТНИКОВОМ ВАРИАНТЕ ДВУКРАТНООСРЕДНЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ
Виктория И. ПРОХОРЕНКО
ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 28 октября 2004
1
Аннотация (1из 3)
• Рассматривается параметрический анализ эволюции
орбитального элемента  ( долготы восходящего узла орбиты
спутника на плоскости орбиты возмущающего тела) в рамках
ограниченной двукратно осредненной задачи трех тел. В
качестве параметров используются значения интегральных
констант дух первых интегралов c1, c2.
• Этот анализ является составным элементом в решении
практической задачи исследования эволюции орбит ИСЗ и
времени их существования с учетом влияния прецессии орбиты
Луны. Численные эксперименты на примерах ИСЗ серии
ПРОГНОЗ позволили обнаружить существенную роль
параметра  , определяющего эволюцию углового расстояние
между линиями узлов орбиты спутника и орбиты Луны на
плоскости эклиптики.
2
2
Аннотация (2 of 3)
• Для исследования эволюции орбитального элемента 
вводится упрощенная аппроксимация параметра , благодаря
которой удалось получить выражение зависимости параметра
 от времени через элементарные функции.
• Эволюция параметра  представлена в виде суммы
ротационной и либрационной составляющих.
• Получено выражение для периода ротационной составляющей
эволюции параметра ..
•Проведено исследование области применимости предлагаемой
упрощенной аппроксимации.
3
3
Аннотация (3 of 3)
•Изучение спектра частот ротационной и либрационной
составляющей процесса эволюции параметра  для всей
области возможных значений параметров c1, c2 позволяет
выделить те значения параметров c1, c2, которым
соответствуют орбиты с периодическим характером
эволюции параметра  , среди тех значений, которым
соответствуют орбиты с условно-периодическим
характером эволюции.
4
4
ИСЗ ПРОГНОЗ-2 (с1=0.068, с2=-0.025)
Старт 29.04.1972,  = 70, Tb = 7 лет
Гипотетический старт 29.04.1981,  = 247, rTb = 56 лет
rTb = 43 года
Эволюция радиуса
перицентра и
время
существования
фактического
и гипотетического
вариантов
орбиты
Эволюция
гипотетической
орбиты под
влиянием только
солнечных
гравитационных
возмущений5
Полученные М.Л. Лидовым [1961] аналитические решения двукратно
осредненной ограниченной задачи трех тел в хилловском приближении
c0  a; c1   cos 2 i; c2  (1   )( 2 / 5  sin 2  sin 2 i );
(1)
3

1
d
15 M 1  a  3 / 2
  1 ; (2)
N  N0   
; A 
1/ 2
2
A  0 (1   ) sin i sin 2
2 M  a1 
N
  0   A 
No
cos i ((1   ) sin 2    / 5)dN

1/ 2
,
c0  a0 ; c1  ε 0 cos 2 i0 ; c2  (1  ε 0 )( 2 / 5  sin 2 ω0 sin 2 i0 ).
a - большая полуось,  = 1 - e2, e – эксцентриситет;
i, , и  - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение
восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты
возмущающего тела; N – номер витка; 1 – параметр  орбиты
возмущающего тела; M, M2 – масса центрального и возмущающего тел
Критическое значение * , соответствующее
соударению спутника с центральным
телом радиуса R: * = 1- (1-R/a)2
(3)
С1
С2
Область возможных значений интегральных констант 6с1, с2
Зависимость эволюции орбитальных элементов от времени
•Время и период эволюции орбитальных элементов (, i),
определяемые квадратурой (2), в работе Ю.Ф. Гордеевой
[1968] выражены через неполный и полный эллиптические
интегралы первого рода, а значения параметра 
определяются обращением неполного эллиптического
интеграла первого рода и выражаются через эллиптическую
функцию Якоби sn.
•Эволюция параметра , определяемая квадратурой (3), в
работе М.А. Вашковьяка [1999] выражена через через
эллиптические интегралы первого и третьего рода и
эллиптические функции Якоби.
7
7
Выражение для периода эволюции тех орбитальных элементов,
эволюция которых носит либрационный характер (, i), через
параметр подобия возмущений LD, большую полуось орбиты
спутника и удвоенный полный эллиптический интеграл
первого рода (LC(с1,с2) )
3
3/ 2
Воспользуемся полученным
2a
15 M 1  a  3 / 2
  1
T

L
(
c
,
c
)
A


Гордеевой выражением для
C
1 2
2 M  a1 
A 
периода T:
Преобразуем выражение
для А, введем параметр
подобия возмущений LD
15  2a 3 / 2  3 / 2
A  LD
a1 ; L D  1a13  1/ 213 / 2
4   
Введем безразмерн ые параметры : a*  a / l , t*  t /  , *   2 / l 3 ,
используя характерные размер, время и массу : l  R,   1 год, m  R 3 / f 2 ;
f  гравитационная константа, R - радиус центрального тела, тогда
безразмерн ый параметр подобия воз мущений имеет вид : LD  1*a1*313 / 2 *1/ 2
Получим
безразмерный
период TC:
4 1 3 / 2
TС  LD a* LC (c1 , c2 )
15
T  TC
8
Аппроксимация параметра 
Введем угол , пропорциональный безразмерному времени
   C t* ;  C
2

.
TC
Применим следующую аппроксимацию для параметра :
     sin  ,

 max   min
2
; 
 max   min
2
;
Это позволяет выразить зависимость параметра  от
безразмерного времени через элементарные функции.
9
Выражение для  в функции параметра 
c1 
d
2  2c1  5c2 

;
 sign (cos i ) LC
1

d
5    c1   sin  
  sign (cos i ) LC
c1
(  (2  2c1  5c2 ) I ( ))
5
(  c1 )tg


d
2
2
I ( )  

arctg
2
2
  c1   sin 
(  c1 )  
(  c1 ) 2   2
(  c1 ) 2   2  ( max  c1 )( min  c1 )
10
Представление параметра  в виде
суммы ротационной и либрационной
составляющих в функции параметра 
( )  B  Bsf ( )  Bv ;
s
2  2c1  5c2
;
( max  c1 )( min  c1 )
f ( )    b  2arctg
b  2arctg
c1
B  sign (cos i ) LC (c1 , c2 )
5
  1  s;
( max   min  2c1 )tg
 max  c1 
 ;
 min  c1 2

2
  max   min
2 ( max  c1 )( min  c1 )
v  sb
- константа
11
Период ротационной составляющей
эволюции параметра 
4 a 3 / 2
T 
LB (c1 , c2 ) ;
15 L D
LB (c1 , c2 ) 
5
 c1
;
  1
2  2c1  5c2
;
( max  c1 )( min  c1 )
Безразмерный период ротационной составляющей параметра 
4 a*3 / 2
TB 
LB (c1 , c2 ) ;
15 LD
T  TB
12
Параметры
LC(с1,с2) ,LB (с1,с2) 
с1 > 0.6
в
с1  0.6
•Линии уровня
функции  LC(с1,с2) 
показаны на интервале
(6, 20) с единичным
шагом.
• Линии уровня
функции  LB(с1,с2) 
показаны на интервале
(12, 32) с шагом 2.
13
Квантовые числа n и m
ротационной и
либрационной
составляющих
эволюции долготы
восходящего узла 
орбиты спутника
на плоскости орбиты
возмущающего тела
Значения n и m, отмеченные кружками
со звездочкой, реализуются как при
положительных, так и при
отрицательных значениях с2.
Пустыми кружками отмечены
сочетания n и m, реализующиеся
только в области
положительных значений с2. 14
Цветные линии представляют
значения параметров с1,с2,
соответствующих периодическим
орбитам с квантовыми числами n = 1,
m = 1, 2, 3
15
Значения параметров с1,с2,
соответствующих периодическим
орбитам с квантовыми числами
n = 2, m = 3, 5, 7
16
Значения параметров с1,с2,
соответствующих периодическим
орбитам с квантовыми числами
n = 3, m = 4, 5, 7, 8, 10, 11
17
Значения параметров с1,с2,
соответствующих периодическим
орбитам с квантовыми числами
n = 4, m = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
18
Значения параметров с1,с2,
соответствующих периодическим
орбитам с квантовыми числами
n = 12, m = 11, 13, 17, 19
19
Сопоставление результатов
расчетов эволюции параметра ,
полученных двумя способами:
1. Путем обращения эллиптических интегралов
первого рода [Гордеева, 1968]
2. Путем аппроксимации  = sin
На следующем слайде результаты, полученные первым способом,
показаны сплошной линией, вторым способом - пунктирной линией
20
Параметрический анализ эволюции 
c1=0.01
c1=0.1
c1=0.4
c1=0.5
c1=0.6
c1=0.8
21
Модуль эллиптического
интеграла k2
в функции с1, с2
Линии уровня показаны для значений
k2 = 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8.
- значения с1, с2, для которых
проведены расчеты эволюции
орбитальных элементов в рамках
двукратно-осредненной задачи трех тел
с использованием аппроксимации:

 = sin .
Результаты этих расчетов
представленные на следующих слайдах
22
c2<0
c1= 0.001
c2>0



23
c2<0
c1= 0. 1
c2>0



24
c2<0
c1= 0. 2
c2>0



25
c2 > 0,
c1= 0.4, 0.5
c1= 0.4

c1= 0.5


26
c2 > 0,
c1= 0.6, 0.8
c1= 0.6

c1= 0.8


27
c1= 0.001
c1= 0.1
c1= 0.2
c1= 0.4
c2 < 0 Эволюция наклонения i c2 > 0
c1= 0.001;
c1= 0.1
c1= 0.2
c1= 0.4
28
Вспомогательные функции 1(t), 2(t) и 1m(t), 2m(t) для
исследования эффекта от прецессии орбиты Луны
• Для сопоставления аналитических решений с результатами
численного интегрирования полной системы уравнений будем в
процессе интегрирования следить за поведением функции 1(t) и
2(t) с начальными значениями 1(t0) = c1 и 2(t0) = c2
1(t) =  cos2i ; 2(t) = (1 - )(2/5 - sin2 sin2i).
• Параллельно рассмотрим другую пару функций 1m(t), 2m (t):
1m (t) =  cos2im; 2m (t) = (1 - )(2/5 - sin2m sin2im),
где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные
относительно плоскости орбиты Луны.
• Из определения этих пар функций следует, что области их
возможных значений совпадают с областью допустимых значений
параметров c1, c2.
29
29
Rp(RE)



1
2
ИСЗ ПРОГНОЗ-2
(с1=0.068, с2=-0.025)
с гипотетической
датой старта
29.04.1981
Сопоставление результатов
численного расчета эволюции
орбитальных элементов с учетом
влияния гравитационных
возмущений от Луны и Солнца
(штрих-пунктирная линия)
и результатов аппроксимации,
построенной на основе значений
функций 1, 2 в точках Rp max.
(сплошная линия красного цвета)
30
Резонансы m, n частот
прецессии орбиты
Луны и эволюции
ротационной
составляющей
параметра  и для
орбит с большой
полуосью a = 16 RE
31
Значения c1, c2,
соответствующие
резонансам 1:1 и 2:1
частот прецессии орбиты
Луны и эволюции
ротационной
составляющей параметра
 при a = 16 RE
32
Значения c1, c2, соответствующие
резонансам 1:1 и 2:1 частот
прецессии орбиты Луны и эволюции
ротационной и либрационной
составляющих параметра 
при a = 16 RE
Каждая из линий соответствует орбитам с
условно периодическим характером
эволюции.
В областях, выделенных овалами, находятся
точки лежащие на пересечении этих линий.
Соответствующие значения c1, c2 определяют
орбиты с периодической эволюцией.
33
Заключение
• Рассмотренный параметрический анализ является
составным элементом в решении практической задачи
исследования механизма влияния прецессии орбиты Луны на
характер эволюции орбит ИСЗ и время их баллистического
существования.
• Автор выражает благодарность Р.Р. Назирову за поддержку и
внимание и интерес к работе.
34
34
Список литературы
•
•
•
•
•
•
•
•
Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием
гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли. 1961.
№. 8. С. 5.
Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики,
получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек
Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, 1945.
Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях
в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед. 1968. Т. 6. № 4. С. 536.
Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон.
журн." 1999. Т. 25. № 7. С. 554.
Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой
двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед. 2001. Т. 39. № 6. С. 622.
Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно
осредненной задаче Хилла // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 1. С. 22.
Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ
долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ
серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 5. С. 538.
Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит
спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты
возмущающей точки // Письма в Астрон. журн. 1998. Т. 24. № 6, С. 474.
35
35