Document 471221

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Кафедра
Математики и информатики
Контрольная работа
по эконометрике
вариант №10
Студент
Специальность
Образование
№ личного дела
Группа
Преподаватель
Барнаул 2011
1
Задача
По предприятиям легкой промышленности региона получена
информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции Y
(млн. руб.) от объема капиталовложений Х (млн. руб.).
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую
интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить
дисперсию остатков Se2, построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с
помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость
уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти
среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о
качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при
уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х составит
80% от его максимального значения.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки
прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
 гиперболической;
 степенной;
 показательной.
Привести графики построенных моделей.
Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,
коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки
аппроксимации.
9. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
2
Решение задачи
Для 10 предприятий легкой промышленности зафиксирована
зависимость объема выпуска продукции (Y, млн руб.) от объема
капиталовложений (X, млн руб.). Данные представлены в таблице 1.
Таблица 1
X
26
18
33
42
41
44
15
27
41
19
Y
43
28
51
62
63
67
26
43
61
33
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую
интерпретацию коэффициента регрессии.
Построим линейную модель YT=a+b*X.
Для удобства выполнения расчетов предварительно упорядочим всю
таблицу исходных данных по возрастанию факторной переменной X.
Коэффициенты модели найдем используя программу РЕГРЕССИЯ
3
Результаты вычислений представлены в таблицах 2-5
Таблица 2
Таблица 3
Таблица 4
4
Таблица 5
Коэффициенты модели содержатся в таблице 4 в столбце Коэффициенты.
Таким образом, модель построена, и её уравнение имеет вид
YT = 5,43+1,38*X.
Коэффициент регрессии b=1,38, следовательно, при увеличении объема
капиталовложений (X) на 1 млн руб. объем выпуска продукции (Y)
увеличивается в среднем на 1,38 млн руб.
Свободный член a=5,43 в данном уравнении не имеет реального
смысла.
2. Вычислить остатки, найти остаточную сумму квадратов, оценить
дисперсию остатков Se2, построить график остатков.
Остатки модели Ei = yi – yTi содержатся в столбце Остатки итогов
программы РЕГРЕССИЯ (таблица 5).
Программой РЕГРЕССИЯ найдены также остаточная сумма квадратов
SSост = 14,58 и дисперсия остатков MSост = 1,82 (таблица 3).
Для построения графика остатков нужно выполнить следующие действия:
1) Вызвать Мастер диаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с
соединенными точками).
5
2) Для указания данных для построения диаграммы зайти во вкладку
Ряд, нажать кнопку Добавить; в качестве значений X указать
исходные данные X (таблица 1); значения Y – остатки (таблица 5).
В результате получим график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
Предпосылками построения классической линейной регрессионной модели
являются четыре условия, известные как условия Гаусса-Маркова.
1) В уравнении линейной модели Y = a+b*X+ε слагаемое ε – случайная
величина, которая выражает случайный характер результирующей
переменной Y.
2) Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении
равно нулю, а дисперсия постоянна.
3) Случайные члены для любых двух разных наблюдений независимы
(некоррелированы).
6
4) Распределение случайного члена является нормальным.
1) Проведем проверку случайности остаточной компоненты по
критерию поворотных точек.
Количество поворотных точек определим по графику остатков: p=5.
Вычислим критическое значение по формуле
pкр =
. При n=10 найдем pкр=[2,98]=2.
Сравним p = 5 > pкр = 2, следовательно, свойство случайности для ряда
остатков выполняется.
2) Равенство нулю математического ожидания остаточной компоненты
для линейной модели, коэффициенты которой определены по
методу наименьших квадратов, выполняется автоматически.
С помощью функции СРЗНАЧ для остатков можно проверить: Ē = 0.
Свойство постоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по
критерию Голдфельда-Квандта.
В упорядоченных по возрастанию переменной X исходных данных
(n=10) выделим первые 4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не
рассматриваем.
С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым трём
наблюдениям (регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов
SS1 = 6,600.
С помощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним
трём наблюдениям (регрессия-2), для этой модели остаточная сумма
квадратов SS2 = 4,083.
Рассчитаем статистику критерия: F =
=
= 1,616.
Критическое значение при уровне значимости α = 5% и числах
степеней свободы k1 = k2 = 4 – 1 – 1 = 2 составляет Fкр = 19,00.
7
Сравним F = 1,616 < Fкр = 19,00, следовательно, свойство постоянства
дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.
3) Для проверки независимости уровней ряда остатков используем
критерий Дарбина-Уотсона
.
Предварительно по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН
определим
= 29,8439; используем найденную программой
РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты
SSост =
= 14,58.
Таким образом, d = 29,8439/14,58 = 2,047.
Полученное значение d = 1,83>2, поэтому потребуется вычислить d' = 4
– 2,047 = 1,953. По таблице d – статистик Дарбина-Уотсона определим
критические уровни d1 = 0,88 и d2 = 1,32. Значение d = 1,83 лежит в интервале
от d2 = 1,32 до 2, следовательно, свойство независимости остаточной
компоненты выполняется.
Проверим выполнение свойства независимости ряда остатков по
первому коэффициенту автокорреляции
r(1) =
.
С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков
= -0,6648, следовательно, r(1) = -0,6648/14,58 = -0,0456.
Критическое значение для коэффициента автокорреляции определяется как
отношение rкр =
и составляет для данной задачи rкр =
= 0,62.
Сравнение показывает, что |r(1)| = 0,0456 < rкр = 0,62, следовательно,
ряд остатков некоррелирован.
4) Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения
проверим с помощью R/S – критерия
R/S =
.
8
С помощью функции МАКС и МИН для ряда остатков определим Emax =
1,65, Emin = -2,29. Стандартная ошибка модели найдена программой
РЕГРЕССИЯ и составляет SE = 1,35 (таблица 2).
Тогда R/S =
= 2,92.
Критический интервал определяется по таблице критических границ
отношения R/S и при n=10 составляет (2,67; 3,69).
2,92 ε (2,67; 3,69), значит, для построенной модели свойство нормального
распределения остаточной компоненты выполняется.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с
помощью t-критерия Стьюдента (α=0,05).
t – статистики для коэффициентов уравнения регрессии приведены в
таблице 4.
Для свободного коэффициента a = 5,43 определена статистика t(a) = 4,13.
Для коэффициента регрессии b = 1,38 определена статистика t(b) = 33,97.
Критическое значение tкр = 2,31 найдено для уровня значимости α=5%
и числа степеней свободы k = 10-1-1 = 8 (функция СТЬЮДРАСПОБР).
Сравнение показывает:
|t(a)| = 4,13 > tкр = 2,31, следовательно, свободный коэффициент a
является значимым, его и фактор объема выпуска продукции нужно
сохранить в модели.
|t(b)| = 33,97 > tкр = 2,31, значит, коэффициент регрессии b является
значимым, его и фактор объема капиталовложений нужно сохранить в
модели.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость
уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (α=0,05), найти
среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о
качестве модели.
Коэффициент детерминации R2 определен программой РЕГРЕССИЯ
(таблица 2) и составляет R2 = 0,993 = 99,3%.
9
Таким образом, вариация объема выпуска продукции Y на 99,3%
объясняется по полученному уравнению вариацией объема
капиталовложений X.
Проверим значимость полученного уравнения с помощью F – критерия
Фишера.
F – статистика определена программой РЕГРЕССИЯ (таблица 3) и
составляет F = 1154,15.
Критическое значение Fкр = 5,32 найдено для уровня значимости α=5% и
чисел степеней свободы k1=1, k2=8 (функция FРАСПОБР).
Сравнение показывает: F = 1154,15 > Fкр = 5,32; следовательно, уравнение
модели является значимым, его использование целесообразно, зависимая
переменная Y достаточно хорошо описывается в модель факторной
переменной X.
Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации
дополним таблицу 5 столбцом относительных погрешностей, которые
вычислим по формуле Eотнi =
с помощью функции ABS (таблица 6).
Таблица 6
По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение
отн
= 2,41% (функция СРЗНАЧ).
Сравним: 2,41% < 5%, следовательно, данная модель точная.
10
Вывод: на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента
и Фишера и величины коэффициента детерминации модель можно считать
адекватной и точной. Данную модель можно использовать для
прогнозирования в реальных условиях.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при
уровне значимости α=0,1, если прогнозное значение фактора Х
составит 80% от его максимального значения.
Согласно условию задачи прогнозное значение факторной переменной X
составит x* = 35,2. Рассчитаем по уравнению модели прогнозное значение
показателя Y: y*T = 5,4307+1,38135*35,2 = 54,05422.
Таким образом, если объем капиталовложений составит 35,2 млн руб., то
ожидаемый объем выпуска продукции будет около 54 млн руб.
Зададим доверительную вероятность γ = 1-α и построим доверительный
прогнозный интервал для среднего значения Y.
Для этого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования
S(y*T) = SE*
.
Предварительно подготовим:
- стандартная ошибка модели SE=1,35 (таблица 2).
- по столбцу исходных данных X найдем среднее значение
(функция СРЗНАЧ) и определим
= 30,6
= 1102,4 (функция
КВАДРОТКЛ).
Следовательно, стандартная ошибка прогнозирования для среднего
значения составляет S(y*T) = 1,35*
= 0,46609.
При tкр(10%,8) = 1,86 размах доверительного интервала для среднего
значения U(y*T) = tкр * S(y*T) = 1,85955 * 0,46609 = 0,86672.
Границами прогнозного интервала будут
Uнижн = y*T – U(y*T) = 54,05422 – 0,86672 = 53,1875;
Uверх = y*T + U(y*T) = 54,05422 + 0,86672 = 54,921.
11
Таким образом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем
капиталовложений составит 35,2 млн руб., то ожидаемый объем выпуска
продукции будет от 53,1875 млн руб. до 54,921 млн руб.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки
прогноза.
Для построения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) –
покажем исходные данные (поле корреляции).
Затем с помощью опции Добавить линию тренда построим линию
модели:
Тип – линейная; параметры – показывать уравнение на диаграмме.
Покажем на графике результаты прогнозирования. Для этого в опции
Исходные данные добавим ряды:
Имя – прогноз; значения X - x*; значения Y - y*;
Имя – нижняя граница; значения X - x*; значения Y – Uнижн;
Имя – верхняя граница; значения X - x*; значения Y – Uверх.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
 гиперболической;
 степенной;
 показательной.
Привести графики построенных моделей.
Гиперболическая модель yT = a + не является стандартной.
12
Для её построения выполним линеаризацию: обозначим
и
получим вспомогательную модель yT = a + b . Вспомогательная модель
является линейной. Её можно построить с помощью программы
РЕГРЕССИЯ, предварительно подготовив исходные данные: столбец
значений yi (остается без изменений) и столбец преобразованных значений
=
(таблица 7).
Таблица 7
С помощью программы РЕГРЕССИЯ получим
Таким образом, a = 83,34; b = -947,94, следовательно, уравнение
гиперболической модели yT = 83,34 –
.
С помощью полученного уравнения рассчитаем теоретические
значения yTi для каждого уровня исходных данных xi.
Покажем линию гиперболической модели на графике. Для этого
добавим к ряду исходных данных (xi, yi) ряд теоретических значений (xi, yTi).
13
Степенная модель yT = a*
является стандартной. Для её построения
используем Мастер диаграмм: исходные данные покажем с помощью
точечной диаграммы, затем добавим линию степенного тренда и выведем на
диаграмму уравнение модели.
Таким образом, уравнение степенной модели yT = 2,3772
Показательная модель yT = a*
.
тоже стандартная (экспоненциальная).
Построим ее с помощью Мастера диаграмм:
14
Можно вычислить b =
= 1,0318 (функция EXP), тогда уравнение
показательной модели yT = 17,396*(1,0318)x.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации,
коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки
аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и
сделать вывод.
Заполним для каждой модели расчетную таблицу, в которую занесем
теоретические значения yTi = f(xi), найденные по соответствующему
уравнению для каждого уровня исходных данных xi; ошибки модели Ei = yi
– yTi и относительные погрешности Eотн i =
Среднюю относительную погрешность
(таблицы 8-10).
отн
найдем по столбцу Eотн i с
помощью функции СРЗНАЧ.
Индекс детерминации вычислим по формуле R2 = 1 подготовим числитель дроби
и знаменатель
, для чего
- функция СУММКВ для столбца ошибок
- функция КВАДРОТКЛ для столбца Y.
Таблица 8. Гиперболическая модель
15
Таблица 9. Степенная модель
Таблица 10. Показательная модель
Составим сводную таблицу характеристик качества построенных
моделей:
16
Столбец средних относительных погрешностей показывает, что
наиболее точной является степенная модель, её погрешность – наименьшая.
Степенная модель является точной, 2,39%<5%.
По величине индекса детерминации лучшая модель – степенная
(индекс детерминации наибольший). R2 = 99,4%, таким образом вариация
объема
выпуска
продукции
на
99,4%
объясняется
по
уравнению
показательной модели вариацией объема капиталовложений.
Для нелинейных моделей yT = f(x) коэффициенты эластичности
определяются соотношением Э(х) = f'(x) *
, согласно которому:
Для степенной модели yT = a*xb коэффициент эластичности Э = b и
представляет собой постоянную величину;
Для показательной модели yT = a*bx коэффициент эластичности
Э(х) = x*lnb и зависит от значения фактора X;
Для гиперболической модели yT = a +
Э(х) = -
коэффициент эластичности
и также зависит от значения фактора X.
Для построенной степенной модели yT = 2,3772х0,8785 получим Э = 0,88.
Следовательно, согласно этой модели увеличение объема капиталовложений
на 1% приводит к увеличению объема выпуска продукции на 0,88%.
Для показательной и гиперболической моделей результаты расчета
коэффициентов эластичности приведены в таблице
17
Таким образом, согласно показательной модели увеличение объема
капиталовложений на 1% приводит к росту среднего объема выпуска
продукции на величину от 0,46% до 1,37%. Согласно гиперболической
модели при увеличении объема капиталовложений на 1% происходит рост
среднего объема выпуска продукции в пределах от 3,13% до 0,34%.
Вывод: Наиболее подходящей является показательная модель, так как
наблюдаемый рост коэффициента эластичности соответствует реальной
ситуации: чем больше объем капиталовложений, тем сильнее это сказывается
на росте объема выпуска продукции.
18