ЗАДАЧА 1 - 100balov.com

ЗАДАЧА 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн.
руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
Y
12
4
18
27
26
29
1
13
26
5
21
10
26
33
34
37
9
21
32
14
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости =0,05).
5. Вычислить коэффициент детерминации R2; проверить значимость уравнения
регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости =0,05);
найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о
качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости =0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
 логарифмической;
 степенной;
 показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
2
РЕШЕНИЕ
Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.
1. С помощью надстройки «Анализ данных» EXCEL проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии
yˆ  b0  b1  x (меню «Сервис»  «Анализ данных…»  «Регрессия»):
(Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen.)
В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:
yˆ  8,12  0,968  x (прил. 1).
Угловой коэффициент b1=0,968 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в
среднем на 0,968 млн. руб.
2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были
определены остатки регрессии ei  yi  yˆ i (i=1, 2, …, n, где n=10 — число
наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и
рассчитана остаточная сумма квадратов
n
SS ост   ( y i  yˆ i ) 2  11,4
i 1
(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).
Стандартная ошибка линейной парной регрессии Sрег определена там же:
n
S рег 
SS ост

n  p 1
(y
i 1
i
 yˆ i ) 2
n2
 1,19 млн. руб.
(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1), где p=1 — число факторов в ре-
3
грессионной модели.
График остатков ei от предсказанных уравнением регрессии значений результата ŷ i (i=1, 2, …, n) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка» прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню
«Вставка»  «Диаграмма…»  «Точечная»:
График остатков приведен в прил. 2.
3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших
квадратов.
1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков
не выявляет в них какой-либо явной закономерности.
Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема
выпускаемой продукции Y (выбросов). С этой целю сравним абсолютные величины стандартизированных остатков (см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа
степеней
свободы
остатка
регрессии
df  df ост  n  p  1  n  1  1  n  2  10  2  8 , которое составляет tтаб=2,306.
Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по
абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.
2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда
выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b0, парамет-
4
ры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей
модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нуe  e    en 0
лю: e  1 2
  0 (см. прил. 1).
n
n
Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались
встроенные функции EXCEL «СУММ» и «СРЗНАЧ».
3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение
данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной
зависимости среднего квадратического отклонения возмущений ( i ) от предсказанных уравнением регрессии значений результата ŷ i (i=1, 2, …, n). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции r e , yˆ между абсолютными величинами остатков ei и ŷ i (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из
встроенных функций:
=КОРРЕЛ(ABS(«Остатки»);«Предсказанное Y»)
Коэффициент корреляции оказался равным r e , yˆ  0,032 (см. прил. 1).
Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости
=0,05 и числа степеней свободы df  n  2  10  2  8 составляет rкр=0,632.
Так как коэффициент корреляции r e , yˆ не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости =0,05.
4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков
упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений
результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе
остатка» прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на
панели инструментов нажимается кнопка « » («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d-статистику Дарбина–
Уотсона
n
d
 (e
i 2
i
 ei 1 ) 2
n
e
i 1
 1,95 (см. прил. 1).
2
i
Для расчета d-статистики использовалось выражение, составленное из
встроенных функций EXCEL:
=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)
Критические значения d-статистики для числа наблюдений n=10, числа
факторов p=1 и уровня значимости =0,05 составляют: d1=0,88; d2=1,32.
Так как выполняется условие
(d 2  1,32)  (d  1,95)  (4  d 2  4  1,32  2,68) ,
статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости =0,05.
Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициен-
5
ту автокорреляции остатков первого порядка
n
r(1) 
e
i
i 2
 ei 1
n
e
i 1
 0,006 (см. прил. 1).
2
i
(ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности).
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение,
составленное из встроенных функций:
=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)
Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости =0,05 составляет r(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.
5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой
предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле
R/S 
emax  emin 1,27  (1,99)

 2,91 ,
Se
1,12
где emax=1,27; emin=(–1,99) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);
Se 
e12  e22    en2
 1,12 — стандартное отклонение ряда остатков (определено
n 1
с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН») (см. прил. 1).
Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня
значимости =0,05 имеют значения: (R/S)1=2,67 и (R/S)2=3,69.
Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости =0,05.
Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок
обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности
регрессионной модели исследуемому экономическому явлению.
4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b0 и b1 уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии
df  df ост  n  2  10  2  8 составляет tтаб=2,306.
t-статистики коэффициентов
Коэффициент
,
t  статистика 
Стандартная ошибка коэффициента
были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют
следующие значения: tb011,41; tb125,81 (см. прил. 1). Анализ этих значений
показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости
6
обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности
случайного формирования коэффициентов b0 и b1, которые ниже допустимого
уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение»).
Статистическая значимость углового коэффициента b1 дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.
5. Коэффициент детерминации R2 линейной модели также был определен
при проведении регрессионного анализа в EXCEL:
n
R2 
  yˆ
i 1
n
 y
i 1
 y
2
i
i
 y
2
 0,99
(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1).
Значение R2 показывает, что линейная модель объясняет 99 % вариации
объема выпускаемой продукции Y.
F-статистика линейной модели имеет значение
F
MS рег
MS ост

SS рег / df рег
SS ост / df ост

SS рег / 1
SS ост /( n  2)
 666,1
(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).
Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости =0,05 и
чисел степеней свободы числителя (регрессии) df1  dfрег  1 и знаменателя
(остатка) df 2  df ост  n  2  8 составляет Fтаб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в
том виде, в каком оно получено, составляет 5,4510-9 (см. «Значимость F» в
«Дисперсионном анализе» прил. 1), что ниже допустимого уровня значимости
=0,05.
Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле
E отн 
S рег
1 n y i  yˆ i
1,19

 100 %  0,8 
 100 %  0,8 
 100 %  4,0 % ,
n i 1
yi
y
23,7
где y  23,7 млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный
с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ» (см. «Исходные данные» в прил.
1).
Значение Еотн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений
в среднем на 4,0 %. Линейная модель имеет хорошую точность.
По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать
вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции.
7
6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных:
 максимальное значение X — xmax=29 млн. руб. (см. «Исходные данные»
в прил. 1);
 прогнозное значение X — x0  0,8  xmax  0,8  29  23,2 млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно
yˆ 0  8,12  0,968  x0  8,12  0,968  23,2  30,58 млн. руб.
Стандартная ошибка прогноза фактического значения объема выпускаемой продукции y0 рассчитывается по формуле
2
1  x0  x 
1 23,2  16,1


1
,
19

1


 1,25 млн. руб.,
n (n  1)  S x2
10 (10  1)  10,6 2
2
S y 0  S рег  1 
где x  16,1 млн. руб. — средний объем капиталовложений; S x  10,6 млн. руб. —
стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью
встроенных функций «СРЗНАЧ» и «СТАНДОТКЛОН») (см. «Исходные данные» в прил. 1).
Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой
продукции y0 с надежностью (доверительной вероятностью) =0,9 (уровень значимости =0,1) имеет вид:
y 0  yˆ 0  t таб  S y 0  30,58  1,860  1,25  (30,58  2,33) млн. руб.,
где tтаб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости =0,1 и числе степеней свободы df  df ост  8 .
Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 %
будет находиться в интервале от 28,25 до 32,91 млн. руб.
7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню
«Вставка»  «Диаграмма…»  «Точечная»). Далее строим линию линейного
тренда (меню «Диаграмма»  «Добавить линию тренда…»  «Линейная»), и
устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2:
8
Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную
(прил. 3).
8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с
помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка»  «Диаграмма…»  «Точечная»). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню
«Диаграмма»  «Добавить линию тренда…»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R2:
Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R2 приведены
в прил. 4. Рассмотрим последовательно каждую модель.
9
1) Логарифмическая модель:
yˆ  2,7988  8,6672  ln x .
Значение параметра b1=8,6672 показывает, что при увеличении объема
капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в
среднем на 29,9 / 100  0,0867 млн. руб.
Коэффициент детерминации R20,8562 показывает, что логарифмическая
модель объясняет 85,62 % вариации объема выпускаемой продукции Y.
F-статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R2 по формуле
F
R2
0,8562

 42,81 .
2
(1  R ) /( n  2) (1  0,8562) /(10  2)
Табличное значение F-критерия Фишера одинаково как для линейной, так
и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (Fтаб=5,32). Так как Fстатистика превышает табличное значение F-критерия, то это свидетельствует
о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии.
Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается
через коэффициент детерминации R2 по формуле
S рег  S y  (1  R 2 ) 
n 1
10  1
 10,3  (1  0,8562) 
 4,14 млн. руб.,
n2
10  2
где S y  10,3 млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см.
«Исходные данные» в прил. 1).
Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле
Eотн  0,8 
S рег
y
 100 %  0,8 
4,14
 100 %  13,97 % .
23,7
Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема
выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на
13,97 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность.
2) Степенная модель:
yˆ  7,142  x 0,4531 .
Показатель степени b1=0,4531 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на
0,4531 %.
Коэффициент детерминации R20,9277 показывает, что степенная модель
объясняет 92,77 % вариации объема выпускаемой продукции Y.
F-статистика степенной модели
F
R2
0,9277

 103,08
2
(1  R ) /( n  2) (1  0,9277) /(10  2)
также превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии.
10
Стандартная ошибка степенной регрессии равна
S рег  S y  (1  R 2 ) 
n 1
10  1
 10,3  (1  0,9277) 
 2,93 млн. руб.
n2
10  2
Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение
Eотн  0,8 
S рег
y
 100 %  0,8 
2.93
 100 %  9,92 % .
23,7
Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 9,92 %.
Степенная модель имеет хорошую точность.
3) Показательная (экспоненциальная) модель:
yˆ  9,9238  e 0,0474x  9,9238  [exp( 0,0474)] x  9,9238  1,0474 x ,
где е=2,718… — основание натуральных логарифмов; exp( a )  e a — функция
экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»).
Параметр b1=1,0474 является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн.
руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем в 1,0474 раза, то
есть на 4,7 %.
Коэффициент детерминации R20,9413 показывает, что показательная
модель объясняет 94,13 % вариации объема выпускаемой продукции Y.
F-статистика показательной модели
F
R2
0,9413

 134,47
2
(1  R ) /( n  2) (1  0,9413) /(10  2)
превышает табличное значение F-критерия Фишера (Fтаб=5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии.
Стандартная ошибка показательной регрессии:
S рег  S y  (1  R 2 ) 
n 1
10  1
 10,3  (1  0,9413) 
 2,65 млн. руб.
n2
10  2
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
Eотн  0,8 
S рег
y
 100 %  0,8 
2,65
 100 %  8,95 % .
23,7
Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема
выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на
8,95 %. Показательная модель имеет хорошую точность.
Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R2 четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной),
можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R2.
ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах.
11
ЗАДАЧА 2
Задача 2а и 2б
Номер
варианта
Номер
уравнения
Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые
заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы
одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.
9
1
2
3
Задача 2а
переменные
у3
Задача 2б
переменные
у1
у2
х1
х2
х3
x4
у1
у2
у3
х1
х2
х3
x4
-1
0
0
b12 0 a11
-1 b23 a21
b32 -1 a31
a12
0
a32
a13
a23
a33
0
a24
0
-1 b12 b13 a11
b21 -1 b23 0
b31 b32 -1 0
a12
0
0
0
a23
a33
0
a24
a34
РЕШЕНИЕ
Задача 2а
Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:
 yˆ1  b12  yˆ 2  a11  x1  a12  x 2  a13  x3 ,

 yˆ 2  b23  yˆ 3  a 21  x1  a 23  x3  a 24  x4 ,
 yˆ  b  yˆ  a  x  a  x  a  x .
32
2
31
1
32
2
33
3
 3
Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
В первом уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем
отсутствует одна экзогенные переменные x2 (D=1). Необходимое условие идентификации D 1  H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:
Уравнения, из которых взяты
коэффициенты при переменных
2
3
Переменные
у3
b23
-1
x4
a24
0
Определитель данной матрицы не равен нулю:
1 
b23 a24
 b23  0  a24  (1)  a24 ,
1 0
а ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений две эндогенные переменные
— y1 и y2 . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.
12
Во втором уравнении две эндогенные переменные: y2 и y3 (H=2). В нем
отсутствует одна экзогенная переменная x2 (D=1). Необходимое условие идентификации D 1  H выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y1 и x3, которые отсутствуют во втором уравнении:
Уравнения, из которых взяты
коэффициенты при переменных
1
3
Переменные
y1
-1
0
x3
a13
a33
Определитель данной матрицы не равен нулю:
2 
 1 a13
 (1)  a33  a13  0  a33 ,
0 a33
а ее ранг равен 2. Достаточное условие идентификации выполнено, и второе
уравнение считается идентифицируемым.
В третьем уравнении две эндогенные переменные: y2 и y3 (H=2). В нем
отсутствует экзогенные переменные x4 (D=1). Необходимое условие идентификации D 1  H выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х4 и у1, которые отсутствуют в третьем уравнении:
Уравнения, из которых взяты
коэффициенты при переменных
1
2
Переменные
у1
-1
0
x4
0
a24
Определитель данной матрицы равен
3 
1
0
0
a 24
 (1)  a 24  0  0  a 24 ,
а ее ранг — 2. Значит достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым.
Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы,
а значит, идентифицируема и вся система в целом.
Задача 2б
Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:
 yˆ1  b12  yˆ 2  b13  yˆ 3  a11  x1  a12  x2 ,

 yˆ 2  b21  yˆ1  b23  yˆ 3  a 23  x3  a 24  x 4 ,
 yˆ  b  yˆ  b  yˆ  a  x  a  x .
31
1
32
2
33
3
34
4
 3
Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
В первом уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В нем
13
отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D 1  H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:
Переменные
Уравнения, из которых взяты
коэффициенты при переменных
2
3
x3
a23
a33
x4
a24
a34
Определитель матрицы не равен нулю:
1 
a23
a33
a24
 a 23  a34  a 24  a33 , ,
a34
а ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные — y1, y2 и y3. Если a13  a34  a24  a33 , то это означает, что достаточное
условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение
считается идентифицируемым.
Во втором уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В
нем отсутствует экзогенные переменные x1 и x2 (D=2). Необходимое условие
идентификации D 1  H выполнено. Для проверки на достаточное условие
составим матрицу из коэффициентов при переменных x1 и x2, отсутствующих в
данном уравнении, но имеющихся в системе:
Переменные
Уравнения, из которых взяты
коэффициенты при переменных
1
3
x1
a11
0
x2
a12
0
Определитель матрицы не равен нулю:
2 
a11
a12
0
0
 a11  0  a12  0  0, ,
а ее ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие идентификации для
данного уравнения выполнено. Второе уравнение считается идентифицируемым.
В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1, y2 и y3 (H=3). В
нем отсутствует одна экзогенная переменная x1 и x2 (D=2). Необходимое условие идентификации D 1  H выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x1 и x2, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:
14
Переменные
Уравнения, из которых взяты
коэффициенты при переменных
1
2
x1
a11
0
x2
a12
0
Определитель матрицы не равен нулю:
2 
a11
a12
0
0
 a11  0  a12  0  0, ,
а ее ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие идентификации для
данного уравнения выполнено. Третье уравнение считается идентифицируемым.
Таким образом, первое уравнение заданной системы идентифицируемо,
второе — идентифицируемо, а третье — идентифицируемо. Если хотя бы одно
уравнение системы неидентифицируемо, то вся система считается неидентифицируемой. Данная система является идентифицируемой и имеет статистическое
решение.
Задача 2в
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод
наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:
 y1  10  12  y2  11  x1  1 ,

 y2   20   21  y1   22  x2   2 .
Вариант
n
у1
у2
х1
х2
9
1
2
3
4
5
6
25,1
41,7
12,5
25,9
41,7
9,4
21,8
33,8
12,5
23,4
36,0
11,4
8
10
7
7
5
2
7
14
1
8
17
2
РЕШЕНИЕ
С помощью табличного процессора EXCEL строим два приведенных
уравнения системы одновременных уравнений регрессии (меню «Сервис» 
«Анализ данных…»  «Регрессия»):
15
Данные уравнения образуют приведенную форму системы одновременных уравнений регрессии:
 yˆ1  d10  d11  x1  d12  x2 ,

 yˆ 2  d 20  d 21  x1  d 22  x2 .
Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения:
d103,06; d111,06; d121,97; d207,43; d210,49 и d221,54 (см. прил.).
Таким образом, приведенная форма системы уравнений имеет вид:
 yˆ1  3,06  1,06  x1  1,97  x2 ,

 yˆ 2  7,43  0,49  x1  1,54  x2 .
Определим коэффициенты структурной формы системы уравнений
 yˆ1  a10  b12  yˆ 2  a11  x1 ,

 yˆ 2  a20  b21  yˆ1  a22  x2 .
Структурные коэффициенты определяются по формулам:
d 20  d12
7,43  1,97
 3,06 
 -6,44 ;
d 22
1,54
d
1,97
b12  12 
 1,28 ;
d 22 1,54
d d
1,97  0,49
a11  d11  12 21  1,06 
 0,43 ;
d 22
1,54
d d
3,06  0,49
a20  d 20  10 21  7,43 
 6,02 ;
d11
1,06
d
0,49
b21  21 
 0,46 ;
d11 1,06
d d
1,97  0,49
a22  d 22  12 21  1,54 
 0,63 .
d11
1,06
a10  d10 
Окончательно структурная форма системы одновременных уравнений регрессии примет вид:
16
 yˆ1  6,44  1,28  yˆ 2  0,43  x1 ,

 yˆ 2  6,02  0,46  yˆ1  0,63  x2 .
ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.