Частотная форма представления периодических сигналов

Лекция № 3
Математические модели сигналов
Сигнал – процесс изменения во времени
физического состояния какого-то объекта,
служащий для отображения, регистрации и
передачи сообщений.
Классификация сигналов:
Сигналы – детерминированные и случайные;
периодические и непериодические; импульсные
(видеоимпульсы, радиоимпульсы); аналоговые,
дискретные и цифровые.
Математические модели физических
сигналов: временная и частотная формы
представления аналоговых сигналов
Математические модели
сигналов
Временной формой представления
аналогового сигнала называют такое
разложение сигнала , при котором в качестве
базисных функций используются дельтафункции  (t ) . Пользуясь фильтрующим
свойством дельта-функции, можно
записать:
s(t ) 




 s( ) (  t )d   s( ) (t   )d
Таким образом, функция s (t ) выражена в виде
совокупности примыкающих друг к другу
импульсов бесконечно малой длительности.
Частотная форма представления
периодических сигналов
Математической моделью процесса, повторяющегося во
времени, является периодический сигнал:
s (t )  s (t  nT ), n  1, 2, 3,...
Ряд Фурье для периодического сигнала будет иметь вид:
s(t ) 
a0

2
  (an cos n1t  bn sin n1t )
n 1
Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье находят по
формулам:
T 2
T 2
T 2
2
2
2
a0 
s(t )dt , an 
s(t ) cos n1tdt , bn   s(t )sin n1tdt.

T T 2
T T 2
T T 2

Частотная форма представления
периодических сигналов
В общем случае периодический сигнал содержит не
зависящую от времени постоянную составляющую и
бесконечный набор гармонических колебаний, так
называемых гармоник с частотами  n  n1, ( n  1, 2, 3,...),
кратными основной частоте 1 .
Каждую гармонику можно описать ее амплитудой
и начальной фазой
An 
an2  bn2 ,
An
 n:
tg n  bn an .
и получить другую, эквивалентную форму ряда Фурье:

a0
s (t ) 
  An cos( n1t   n ).
2
n 1
Частотная форма представления
периодических сигналов
Ряд Фурье для периодического сигнала может быть
записан в комплексной форме:
1 
s(t )   A( jn1 )e jn1t ,
2 n 
T
где
2 2
 jn1t
A( jn1 ) 
s
(
t
)
e
dt .

T T
2
Функцию A( jn1 ) принято называть комплексным спектром
периодического сигнала . Этот спектр – дискретный, или
линейчатый, так как функция A( jn1 ) определена
только для целых значений n .
Частотная форма представления
периодических сигналов
Значение функции A( jn1 ) при конкретном
n
называют комплексной амплитудой. Запишем
комплексный спектр в форме модуля и аргумента:
A( jn1 )  A(n1 )e j ( n1 ) .
Модуль комплексного спектра
A(n1 ) называют
спектром амплитуд, а функцию  (n1 ) спектром фаз сигнала.
Спектры амплитуд и фаз периодического сигнала
являются дискретными. При этом спектр
амплитуд является четной функцией n, а спектр
фаз – нечетной функцией n .
Частотная форма представления
периодических сигналов
Спектральные характеристики периодической
последовательности прямоугольных импульсов u (t )
длительностью и амплитудой U 0 , следующих с
частотой 1  2 T найдем, записав сигнал u (t ) в виде
ряда Фурье в соответствии с выражением:

u (t ) 
a0

2
  (an cos n1t  bn sin n1t )
n 1
Значения коэффициентов равны:
a0 U 0

;
2
T
поэтому
2U 0
n1
an 
sin
;
n
2
U0
u (t ) 
N
bn  0;

sin  n1 2 


cos n1t  ,
1  2
n1 2
n 1


где N  T   скважность периодической последовательности
Частотная форма представления
периодических сигналов
Амплитуды гармоник периодической последовательности
импульсов, включая постоянную составляющую ,
определяются выражением:
A(n1 )  An
U 0 sin  n N 
2
,
N
n N
n  1, 2,3,...
Огибающая спектра амплитуд определяется видом
функции:
2U 0 sin( 2)
A( ) 
.
T
 2
Частотная форма представления
периодических сигналов
Анализ спектральных характеристик периодической
последовательности импульсов показывает:
 При больших значениях скважности импульсной
последовательности амплитудный спектр сигнала содержит
большое число медленно убывающих по амплитуде
гармоник. При этом расстояние между соседними линиями
мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине.
 Значение постоянной составляющей примерно вдвое
меньше амплитуды первой гармоники .
 На частотах, кратных 2  n , огибающая спектра

равна нулю. Следовательно, амплитуда гармоник, чей
номер кратен скважности N, будет равна нулю.