Дискретная математика - Учебно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ФИЛИАЛ ТЮМГУ В Г. ТОБОЛЬСКЕ
Кафедра физики, математики и методик преподавания
УТВЕРЖДАЮ
Директор Института
_______________________ /Ф.И.О./
__________ _____________ 201__г.
Валицкас А.И.
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
Направление подготовки 05.01.00. “Педагогическое образование”,
профиль подготовки: “Математика, Информатика”
форма обучения: заочная
Тюменский государственный университет
2014
Содержание
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Пояснительная записка
1.1. Цели и задачи дисциплины ………………………………………………………..
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы …………………...
1.3. Компетенции обучающегося ………………..……………………………………...
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине …………………..
Структура и трудоёмкость дисциплины …………………………………….................
Содержание дисциплины ………………………………………………………………...
Планы практических занятий …………………………………………………………...
Лабораторный практикум ………………………………………………………………..
Примерная тематика курсовых работ ………………………………………………….
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины …………………………………………………………………….
Контрольные материалы промежуточной аттестации……………………………….
Образовательные технологии ……………………………………………………………
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ………………...
Перечень информационных технологий и справочных систем ………………………..
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………………………
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины …………...
Приложение: Контрольная работа по теории чисел ОЗО …………..............................
2
3
3
4
5
5
6
7
7
8
8
8
11
12
13
14
14
14
16
1. Пояснительная записка
1.1 Цели и задачи дисциплины. Цель преподавания дисциплины “Дискретная математика”:
 формирование цельного представления о математике на основе изучения
фундаментальных понятий дискретной математики;
 развитие комбинаторной, логической и алгоритмической культуры студентов;
 применение знаний по дискретной математике для решения практических
задач;
 демонстрация тесной связи отдельных разделов дискретной математики с
информатикой и другими науками;
 формирование необходимого уровня математической подготовки для понимания других фундаментальных и прикладных дисциплин
В результате изучения дисциплины “Дискретная математика” у студентов
формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом высшего профессионального образования:

научно-исследовательская и научно-изыскательская:
–
применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;
–
решение математических проблем, соответствующих направленности
(профилю) образования, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;
–
подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии
по тематике проводимых исследований;
–
участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и
подготовка
публикаций
по
результатам
исследовательских работ.
 производственно-технологическая:
3
проводимых
научно-
–
использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;
–
применение численных методов решения базовых математических задач
и классических задач естествознания в практической деятельности;
–
сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники.

педагогическая деятельность:
–
преподавание физико-математических дисциплин и информатики в образовательных организациях общего образования и среднего профессионального образования;
–
разработка методического обеспечения учебного процесса в образовательных организациях общего образования и среднего профессионального образования.
1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы. Дисциплина “Дискретная математика” относится к базовой части Федерального
государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ПО) по направлению 05.01.00 “Педагогическое образование”.
Дисциплина “Дискретная математика” базируется на знаниях, полученных
в рамках школьного курса математики или соответствующих дисциплин среднего
профессионального образования.
В ходе изучения дисциплины “Дискретная математика” студенты должны
усвоить основные понятия и методы работы с основными дискретными структурами, их использование для решения стандартных прикладных задач. Освоение
дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими
учебниками, учебными пособиями и монографиями.
4
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с
обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
п/п
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Модуль 1
1.
2.
3.
Численные методы
Основы теории
автоматического управления и
робототехники
Технология NXT и ее программирование
Модуль 2
Модуль 3
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы. В результате освоения ОП выпускник
должен обладать следующими компетенциями:
 деятельности, применять методы математической обработки информации,
теоретического и экспериментального исследования (ОК-4).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен
ЗНАТЬ
• основные дискретные структуры: множества, графы, комбинаторные структуры;
• методы перечисления для основных дискретных структур;
• основные методы и алгоритмы комбинаторики, теории графов, теории отношений, связанные с моделированием и оптимизацией систем различной природы.
• примеры использования абстрактных математических понятий и методов при
решении задач компьютерной математики.
УМЕТЬ
• употреблять специальную математическую символику для выражения количественных и качественных отношений между комбинаторными объектами;
5
• применять аппарат производящих функций и рекуррентных соотношений для
решения перечислительных задач;
• решать оптимизационные задачи на графах.
ВЛАДЕТЬ
 методами решения рассмотренных при изучении дисциплины задач;
 навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики;
 методикой построения, анализа и применения математических моделей для
прикладных задач математики и информатики.
2. Структура и трудоёмкость дисциплины
Курс: V . Форма промежуточной аттестации: зачёт и контрольная работа
на V курсе. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единицы,
108 академических часа, из них 8 часов аудиторных занятий и 94 часа – на самостоятельную работу студентов.
Таблица 2.
Вид учебной работы
Аудиторные занятия
В том числе:
Лекции
Практические занятия
Самостоятельная работа
КСР
Общая трудоемкость 3 зач. ед.
108 часов
Вид промежуточной аттестации
6
Всего
часов
Семестры
V
8
–
2
6
94
2
3
108
8
–
2
6
94
2
3
108
экзамен
3. Содержание дисциплины
МОДУЛЬ 1: Простейшие комбинаторные объекты
Основные принципы комбинаторики. Размещения без повторений. Перестановки. Размещения и перестановки с повторениями. Сочетания. Сочетания с повторениями. Бином Ньютона. Формула включения-исключения. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Метод производящих функций.
МОДУЛЬ 2: Элементы теории графов
Основные понятия теории графов: графы, мультиграфы, орграфы, степени вершин,
связность. Компоненты связности. Укладки графов. Плоские графы. Теорема Эйлера
для плоского графа. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского. Эйлеровы и
уникурсальные графы. Гамильтоновы графы. Деревья. Коды Прюфера. Базисные циклы и разрезы. Деревянные скелеты и леса.
МОДУЛЬ 3: Алгоритмы на графах
Представление неориентированных и ориентированных графов в ЭВМ: матрицы
смежности, инцидентности, списки смежности. Алгоритмы поиска в ширину и глубину.
Алгоритм нахождения циклов. Жадный алгоритм Краскала построения деревянного
скелета графа. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути между вершинами.
Алгоритм топологического упорядочения ориентированного ациклического графа. Алгоритм нахождения кратчайшего пути между вершинами ориентированного ациклического графа. Работа с деревьями. Алгоритм Флойда-Уоршолла нахождения всех кратчайших путей между вершинами графа.
6. Планы практических занятий
Таблица 3.
№
Модуль
План практического занятия
1
Модуль 1:
Простейшие
комбинаторные
объекты
Размещения без повторений. Перестановки. Размещения и
перестановки с повторениями. Сочетания. Сочетания с повторениями. Бином Ньютона. Формула включенияисключения. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.
2
Модуль 2:
Элементы
теории
графов
Основные понятия теории графов: графы, мультиграфы,
орграфы, степени вершин, связность. Лемма о рукопожатиях. Компоненты связности. Эйлеровы и уникурсальные
графы. Деревья. Коды Прюфера.
3
Модуль 3:
Алгоритмы на
графах
Представление неориентированных и ориентированных
графов в ЭВМ: матрицы смежности, инцидентности, списки смежности.
7
5. Лабораторный практикум
Лабораторный практикум по дисциплине не предусмотрен.
6. Примерная тематика курсовых работ
Курсовые работы по дисциплине не предусмотрены.
7. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины
МОДУЛЬ I. Простейшие комбинаторные объекты
Тема: Функция Эйлера.
1. Что такое функция Эйлера ?
2. Почему (x) > 0 ?
3. Чему равно (1) ?
4. Приведите примеры вычисления значений (n) при малых n.
5. Как вычисляется (p) для простого числа p ?
6. Как вычисляется (p) для степени простого числа p ?
7. Докажите предыдущую формулу.
8. Сформулируйте свойство мультипликативности функции Эйлера.
9. Проиллюстрируйте свойство мультипликативности функции Эйлера примерами.
10. Приведите примеры вычисления значений (n) для составных n.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема: Формула обращения Мёбиуса.
Что такое функция Мёбиуса ?
Какие свойства функции Мёбиуса Вам известны ?
Докажите мультипликативность функции Мёбиуса.
Приведите примеры вычисления значений µ(n) некоторых n.
Напишите и объясните формулу обращения.
Каким условиям должна удовлетворять функция в этой формуле ?
Докажите формулу обращения Мёбиуса.
1.
2.
3.
4.
5.
Тема: Числа Стирлинга и Каталана.
Дайте определение чисел Стирлинга.
Перечислите несколько свойств чисел Стирлинга.
Приведите примеры задач, в которых используются числа Стирлинга.
Дайте определение чисел Каталана.
Перечислите несколько свойств чисел Каталана.
8
6. Приведите примеры задач, в которых используются числа Каталана.
МОДУЛЬ II. Элементы теории графов
Тема: Теорема (формула) Эйлера и плоские графы.
1. Что такое граф ?
2. Какой граф называется плоским ?
3. Приведите примеры плоских графов.
4. Сформулируйте теорему Эйлера.
5. Приведите примеры, показывающие существенность условий в её формулировке.
6. Докажите формулу Эйлера.
7. Сформулируйте несколько свойств плоских графов.
8. Приведите примеры неплоских графов.
9. Докажите, что приведённые графы не являются плоскими.
10. Сформулируйте критерий Понтрягина-Куратовского планарности графа.
Тема: Гамильтоновы графы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что такое граф ?
Что такое путь в графе ?
Дайте определение гамильтонова графа.
Приведите пример гамильтонова и негамильтонова графов.
Какие достаточные условия гамильтоновости графов Вы знаете ?
Сформулируйте теорему Дирака.
Докажите теорему Дирака.
Перечислите наиболее известные приложения гамильтоновых графов.
Тема: Теорема о пяти красках.
1. Что такое раскраска графа ?
2. Приведите пример правильной раскраски графа.
3. Сформулируйте проблему четырёх красок.
4. Приведите пример плоского графа, который нельзя правильно раскрасить в
три цвета.
5. Что такое хроматическое число графа ?
6. Какое хроматическое число у полного графа Kn ?
7. Сформулируйте теорему о пяти красках.
8. Опишите основные этапы рассуждений в доказательстве теоремы о пяти красках.
9. Докажите теорему о пяти красках.
10. Сформулируйте алгоритм 5-раскрашивания произвольного плоского графа.
9
МОДУЛЬ III: Алгоритмы на графах
1. Зачем нужны разные формы представления графов в ЭВМ ?
2. Какая форма представления графов удобнее, если в графе мало рёбер ?
3. Покажите, как переходить от матрицы смежности к матрице инцидентности и
обратно.
4. Покажите, как переходить от матрицы смежности к списку смежности и обратно.
5. Покажите, как переходить от матрицы инцидентности к списку смежности и
обратно.
6. Докажите, что в результате обходов графа в ширину и глубину получаются
леса обхода (графы без циклов).
7. Какова трудоёмкость алгоритмов обхода в ширину и в глубину ?
8. Почему алгоритм Краскала называется жадным ?
9. Какой результат даст алгоритм Краскала, если его применить к дереву ?
10. Какова трудоёмкость алгоритма Краскала ?
11. Какое ограничение на веса требуется в алгоритме Дейкстры ?
12. Покажите, что алгоритм Дейкстры может дать не верный результат, если веса
в графе отрицательны.
13. Какова трудоёмкость алгоритма Дейкстры ?
14. Что такое топологически упорядоченный ориентированный граф ?
15. Почему для топологического упорядочения граф должен быть ациклическим?
16. Придумайте алгоритм превращения дерева в ациклический ориентированный
граф.
17. Какова трудоёмкость алгоритма топологического упорядочения графа ?
18. Почему алгоритм Флойда-Уоршолла быстрее, чем многократное применение
алгоритма Дейкстры ?
19. Какова трудоёмкость алгоритма Флойда-Уоршолла ?
20. Можно ли применять алгоритма Флойда-Уоршолла к несвязному графу ?
ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
МОДУЛЬ I. Простейшие комбинаторные объекты
1. Сколько путей ведут из A в C, если между A и B, B и C есть по 3 дороги, а между A
и D и D и B – по 2 ?
2. Сколькими способами можно расставить на полке трёхтомники трёх авторов, чтобы никакая
книга одного автора не стояла между книг других авторов ?
3. Составьте линейное однородное рекуррентное соотношение для un = n2 + n.
4. Найдите общее решение f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) – f(n) + n – 1.
10
МОДУЛЬ II. Элементы теории графов
1. Нарисуйте неориентированный граф с 7 вершинами и рёбрами {1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {2,
3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}.
2. Найдите матрицу смежности и количество путей длины 3 из вершины 1 в вершину 3 для
графа задания 1.
3. Найдите цикломатическое число, остов и базис циклов графа задания 1.
4. Докажите, что если каждый из 7-ми мальчиков имеет не менее 3-х братьев, то все 7 – братья (брат брата – мой брат).
5. Найдите эйлеров цикл графа
МОДУЛЬ III. Алгоритмы на графах
1. Задайте граф с 7 вершинами и рёбрами
{1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7} тремя способами.
2. Постройте минимальный остов этого графа и найдите его код Прюфера.
3. Разложите цикл по базисным: 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 6 – 5 – 1.
4. Восстановите дерево по коду Прюфера (7; 7; 6; 6; 1; 1; 6; 6).
5. Можно ли нарисовать 9 отрезков, чтоб каждый пересекался с 3-мя ?
6. По алгоритму Дейкстры найти кратчайшие пути между вершинами s и t :
4
5
2
6
5
1
5
7
4
5
G = (V = {s, a, b, c, e, k, t}, E = { s  a , s  b , s  c , b  k , a  b , b  c , c  e , a  e , e  t , k  t });
7. Найдите кратчайшие пути в графах между вершинами g и d: V = {a, b, c, d, e, f, g},
4
3
1
2
3
1
4
3
2
1
E = { a  b, b  c, b  d, b  f, b  e, c  d, e  d, f  c, g  a, g  b};
8. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
характеризующих этапы формирования компетенций
Экзамен по дисциплине состоит из контроля теоретической части и умения
решать стандартные задачи. В каждом билете – один вопрос и одна задача по теме билета.
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ
1.
Основные принципы комбинаторики. Примеры.
11
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
Размещения без повторений. Перестановки. Размещения и перестановки с повторениями. Примеры.
Сочетания. Сочетания с повторениями. Бином Ньютона. Формула включенияисключения.
Метод производящих функций на примере чисел Фибоначчи.
Решение линейных однородных рекуррентных соотношений k-го порядка. Примеры.
Решение линейных неоднородных рекуррентных соотношений k-го порядка. Примеры.
Основные понятия теории графов. Примеры. Компоненты связности графов.
Лемма о рукопожатиях и её применения. Примеры.
Лемма о выламывании ребра. Примеры.
Укладки графов. Теорема об укладке графа в R3.
Плоские графы и их простейшие свойства. Формула Эйлера. Примеры.
Плоские графы. Критерий планарности Понтрягина-Куратовского и доказательство существования непланарных графов.
Эйлеровы и уникурсальные графы. Критерий эйлеровости. Примеры.
Эйлеровы и уникурсальные графы. Критерий уникурсальности графа. Примеры.
Гамильтоновы графы. Примеры. Теорема Оре и другие достаточные условия гамильтоновости.
Деревья. Эквивалентные условия для дерева. Примеры.
Существование деревянного скелета в графе. Примеры.
Векторное пространство графа. Циклы и хорды. Примеры.
Базисные циклы. Цикломатическое число графа. Примеры.
Коды Прюфера для задания деревьев. Алгоритмы кодирования и раскодирования.
Примеры.
Различные способы задания графов: матрицы смежности и инцидентности, списки
смежности. Примеры.
Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах. Примеры.
Жадный алгоритм Крускала построения минимального деревянного скелета. Примеры.
Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайшего пути между вершинами в графе.
Примеры.
Топологически упорядоченные ориентированные графы. Критерий топологической
упорядочиваемости графа. Алгоритм топологического упорядочения ориентированного ациклического графа. Примеры.
Алгоритм Флойда-Уоршолла нахождения всех кратчайших путей между вершинами графа.
9. Образовательные технологии
Используются:



а) аудиторная работа:
информационные лекции,
проблемные лекции,
активные и интерактивные формы занятий.
12


б) внеаудиторная работа
домашние контрольные и самостоятельные работы,
внеаудиторные индивидуальные консультации.
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.
2. Асеев. Дискретная математика: Учеб. пособие – Ростов н / Д.: Феникс,
2003.
3. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по дискретной математике. Учеб. пособие. – М.: Физматлит, 2004.
4. Журавлёв Ю.И. и др. Сборник задач по дискретному анализу. Комбинаторика. Элементы алгебры и логики. Теория графов. – М.: МФТИ-рио, 2004.
5. Зыков А.А. Основы теории графов: Учебник. – М.: Вузовская книга, 2004.
6. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер,
2002.
7. Оре О. Теория графов. – М.: Ком Книга, 2006.
8. Редькин Н.П. Дискретная математика. – СПб.: Издательство “Лань”, 2006.
9. Харари Ф. Теория графов. – М.: Едиториал, 2003.
10. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М.: Высшая школа,
2006.
б) дополнительная литература:
11. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. – М.: Мир,
1978.
12. Матросов В.Л., Стеценко В.А. Лекции по дискретной математике. – М.:
МПГУ, 1997.
13. Холл М. Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.
в) периодические издания:
14. Appel K., Haken W. Every Planar Map Is Four Colorable. // Contemporary
Mathematics. Providence (R.I.): Amer. Math Soc., 1989. Vol. 98. – P. 308.
15. Thomas R. An Update on the Four-Color Theorem // Not. Amer. Math. Soc.
1998. Vol. 45, – P. 848-859.
13
д) Интернет-ресурсы:
1.
2.
Теория алгоритмов // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан.
– Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Графы
Машина Тьюринга // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан.
– Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Комбинаторика
11. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине, включая перечень программного обеспечения и информационных справочных
систем (при необходимости)
При выполнении практических работ в качестве информационных технологий может использоваться следующее программное обеспечение:
 Microsoft Word.
 Microsoft Excel.
 Microsoft PowerPoint.
12. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Компьютерный класс, оснащённый средствами мультимедиа и компьютерами:
микропроцессор не ниже Pentium IV, объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ, объем ОЗУ
не меньше 512 МБ, операционная система Windows XP / 7 с текстовым редактором Word – 2003 и средами программирования TurboPascal или Delphi.
13. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Дисциплина “Дискретная математика” изучается на V курсе. Форма промежуточной аттестации: зачёт и контрольная работа. Общая трудоёмкость дисциплины составляет 3 зачётных единицы, 108 академических часа, из них 8
часов аудиторных занятий и 94 часа – на самостоятельную работу студентов.
Дисциплина “Дискретная математика” является важным для подготовки бака14
лавра по направлению подготовки 05.01.00 – “Педагогическое образование”. Эта
дисциплина должна развивать математическую культуру, вооружать студентов
фундаментальными понятиями, алгоритмами и методами, позволяющими в будущем овладеть самостоятельно дополнительными знаниями, необходимыми в их
дальнейшей работе.
Конечно, за отведённое для аудиторных занятий время невозможно одинаково глубоко изучить все темы, составляющие основу трёх дисциплин: дискретной
математики, математической логики и теории алгоритмов. Некоторые из них планируется выносить на самостоятельное изучение, осуществляя контроль на коллоквиумах. Объём дисциплины не позволяет осуществить полноценный аудиторный контроль всех разделов курса. Поэтому предполагается проводить домашнюю контрольную работу или семестровое задание по некоторым разделам.
Предполагается широко использовать в обучении нестандартные задачи и
упражнения, богатый запас которых имеется на кафедре физики, математики и
МП. Поэтому приведённые стандартные задачи для контрольных работ далеко не
исчерпывают всего арсенала средств обучения.
15
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИМЕРНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО
ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
6.
7.
8.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
В компании из 5-ти человек среди любых трёх найдутся двое знакомых и двое незнакомых. Докажите, что всю компанию можно рассадить за круглым столом так, чтобы два соседа каждого были
его знакомыми.
По кругу сидят 2014 человек: лжецы и рыцари. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда
лгут. Каждому на голову надели колпак белого или чёрного цвета, причём цвет колпака, надетого на
собственную голову, никто не знает. На вопрос: “Сколько белых колпаков Вы видите ?” каждый из
сидящих ответил: “В два раза больше, чем чёрных.” Сколько было рыцарей, если известно, что их
не меньше, чем лжецов ?
Сергею вдвое больше лет, чем Володе было тогда, когда Сергею было столько лет, сколько Володе теперь. Когда Володе будет столько лет, сколько Сергею теперь, сумма их возрастов станет
равной 45 годам. Сколько лет Володе и сколько Сергею ?
Нарисуйте граф G = (V, E), найдите его матрицу смежности:
V = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {{1, 2}, {2, 3}};
Найдите по матрице смежности предыдущего графа число путей длины 4 из вершины 1 в вершину 3 и приведите все такие пути.
Найдите компоненты связности предыдущего графа по его булевой матрице смежности.
В стране из каждого города выходит 5 или 10 дорог, причём из любого города можно проехать в
любой другой. Может ли в стране быть 359 дорог ?
Нарисуйте неориентированный граф с 7 вершинами и рёбрами {1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4},
{3, 6}, {4, 7}, {5, 6}, {6, 7}. Существуют ли в графе гамильтонов и эйлеров циклы ?
Найдите цикломатическое число, остов и базис циклов графа задания 1.
Постройте минимальный остов графа задания 1, если w({i, j}) = i + j.
Если каждый из 7-ми мальчиков имеет не менее 3-х братьев, то все 7 – братья (брат брата – мой брат).
Найдите цикломатическое число, остов и базис циклов графа задания 6.
Постройте минимальный остов графа задания 6, если w({i, j}) = i + j.
Если каждый из 7-ми мальчиков имеет не менее 3-х братьев, то все 7 – братья (брат брата – мой брат).
Задайте граф с 7 вершинами и рёбрами {1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {3, 6}, {4, 7}, {5, 6},
{6, 7} тремя способами.
Постройте остов графа из задания 12 и найдите его код Прюфера.
Разложите цикл графа из задания 12 по базисным: 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 6 – 5 – 1.
Восстановите дерево по коду Прюфера (7; 7; 6; 6; 1; 1; 6; 6).
Можно ли нарисовать 9 отрезков, чтоб каждый пересекался с 3-мя ?
2
3
3
3
2
4
17. В графе с рёбрами 1  2, 1  4, 1  7, 1  9, 2  3, 2  8, 2  5, 3  4, 4  6, 4  9, 5  6, 5  7,
2
2
6  7, 7  9, 8  9 найдите кратчайший путь из 3 в 7 (Дейкстра).
2
3
2
7
2
5
3
18. Найдите кратчайший путь из a в f в графе с рёбрами a  b, a  c, a  g, b  d, c  e, e  f, d  f, g  d .
16