Эпиграф к уроку:

Эпиграф к уроку:
Николай Иванович Лобачевский,
русский математик
девятнадцатого века:
« Нет ни одной области
математики, как бы
абстрактна она ни была,
которая когда-нибудь не
окажется применима к
явлениям действительного
мира.»
Тема урока:
Определение арифметической прогрессии.
Формула n-го члена арифметической
прогрессии.
Основная цель: познакомиться с
определением арифметической
прогрессии, формулой n-го члена
арифметической прогрессии и
примерами их применения при решении
задач.
Теоретическая разминка:






Последовательность –
это ряд чисел.
Последовательности обозначаются
( аn ),( bn ),(с n ).
Числа, образующие последовательность,
называются членами этой последовательности.
Последовательность можно задать
описанием, графически, с помощью формулы.
Способ задания последовательности, позволяющий найти
любой член последовательности через предыдущий,
называется
рекуррентным.
По количеству членов, содержащихся в
последовательности, различают
конечные и бесконечные последовательности.
Математический диктант:
1.Конечной или бесконечной является последовательность чисел,
кратных 5?
2.Конечной или бесконечной является последовательность делителей
числа 100?
3.Какой член последовательности ( аn ) следует за членом а18? а123?
ах ?
4.Какой член последовательности ( bn ) предшествует b8? b345 ? b2х?
5.Последовательность ( аn ) задана формулой n-го члена:
аn =5n+2. Укажите, чему равен её десятый член.
6.Последовательность ( bn ) задана рекуррентной формулой:
bn+1 = bn-4, где b1 =5. Укажите, чему равен её второй член.
7.Укажите первый член последовательности всех двузначных чисел.
8.Укажите последний член последовательности правильных дробей со
знаменателем 15.
9. Сколько всего членов содержит последовательность однозначных
простых чисел?
Проверим:
1.Конечной или бесконечной является последовательность чисел, кратных 5?
БЕСКОНЕЧНОЙ
2.Конечной или бесконечной является последовательность делителей числа
100?
КОНЕЧНОЙ
3.Какой член последовательности ( аn ) следует за членом а18?
а19 , а124 , ах+1.
а123?
ах ?
4.Какой член последовательности ( bn ) предшествует b8? b345 ? b2х? b7 , b344
, b2х-1.
5.Последовательность ( аn ) задана формулой n-го члена:
аn =5n+2. Укажите, чему равен её десятый член. а10 =5·10+2=52
6.Последовательность ( bn ) задана рекуррентной формулой: bn+1 = bn-4, где
b1 =5. Укажите, чему равен её второй член. 5-4=1
7.Укажите первый член последовательности всех двузначных чисел. 10
8.Укажите последний член последовательности правильных дробей со
знаменателем 15. 14/15
9.Сколько всего членов содержит последовательность однозначных простых
чисел? Четыре: 2,3,5,7.
Обрати внимание:
В жизни часто бывает так, что величины с течением
времени изменяются на одно и то же их значение.
Пример 1: Верблюд , двигающийся по пустыне, ежедневно
уменьшает запасы воды в своих горбах на одну и ту же
величину.
Пример 2: Настоящий спортсмен, чтобы достичь высоких
результатов, ежедневно увеличивает время на
тренировки на одно и то же количество минут.
Пример 3: Возраст человека ежегодно увеличивается на
один год; а время, отведённое человеку на жизнь,
ежегодно уменьшается на один год.
Все эти примеры, примеры числовых
последовательностей, каждая из которых является
арифметической прогрессией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ:
Последовательность, в которой каждый член,
начиная со второго, равен предыдущему,
сложенному с одним и тем же числом, называется
арифметической прогрессией.
Определение задаёт арифметическую прогрессию рекуррентно,
т. к. по определению , если (аn ) – арифметическая прогрессия, то
для любого натурального числа n выполняется условие
аn +1 = аn + d , где d – некоторое число.
Из определения следует, что разность между любым её членом,
начиная со второго, и предыдущим равна d, т. е. d = аn +1-аn .
Неслучайно, d называют разностью арифметической прогрессии.
Какие из данных последовательностей являются
арифметическими прогрессиями? Укажите
каждой для них первый член а1 и разность d.
1; 4; 7; 10;..
2) 1; 4; 15; 18;..
3) 1; -2; -5; -6;..
4) 1; -1; -3; -5;..
5) 1; 1; 1; 1;..
Что достаточно указать, чтобы задать
арифметическую прогрессию?
1)
Заполните таблицу, используя
определение арифметической
прогрессии:
а1
10
1,7
-3,5
d
4
-0,2
0
а2
а3
а4
а5
14
18
22
26
1,5
1,3
1,1
0,9
-3,5
-3,5
-3,5
-3,5
При каком значении d
арифметическая прогрессия является
возрастающей? Убывающей? Постоянной?
Рассмотрим задачу:
На склад сразу было завезено 500 т овощей. Ежедневно на склад привозили по 30 т овощей.
Сколько тонн овощей стало на второй день? На третий? На четвёртый? А на двадцатый? На
сотый?
Дано: ( аn ) - арифметическая прогрессия
а1 =500
d = 30
Найти: а2, а3, а4, а20, а100.
Решение: По определению арифметической прогрессии аn +1 = аn + d,
значит а2 = а1 + d=500+30=530
а3 =а2 +d =530+30=560
а4 =а3 +d=560+30=590
а20 =а19 +d=?+30=?
а100 =а99 +d=?+30=?
Вывод:
использование только определения арифметической прогрессии при решении задач приводит к
выполнению большого количества лишних действий и нахождению ненужных для данной
задачи членов этой прогрессии.
Нужна формула, позволяющая быстро найти любой член последовательности, не прибегая к
нахождению всех предшествующих ему членов, т.е. нужна формула n-го члена
арифметической прогрессии.
ТЕОРЕМА: Для любого члена арифметической прогрессии
верно равенство:
аn = а1 + d(n-1).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1.Убедимся в справедливости этого равенства для первого члена
арифметической прогрессии:
равенство верно
а1 = а1 + d(1-1 )
а1 = а1
2.Убедимся в справедливости этого равенства для других членов арифметической
прогрессии:
а2 = а1 + d(2-1 )
а3 = а1 + d(3-1 )
а4 = а1 + d(4-1 )
а2 = а1 + d
а3 = а1 + 2d
а4 = а1 + 3d
равенство верно и для них
а3= а1 + d+d
а4= а1 + 2d+d
а3 = а2 + d
а4 = а3 + d
а5 = а1 + 4d, а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d, а8 = а1 + 7d, а9 = а1 + 8d и т. д.
Чтобы найти любой член арифметической прогрессии по формуле n-го
члена, нужно к первому члену прибавить разность, взятую столько
раз, сколько членов стоит перед искомым членом .
Рассмотрим задачу:
Кот Васька научился
ловить мелких
рыбёшек на
мелководье.
В первый день поймал
1 рыбку, а в каждый
следующий день
ловил на 2рыбки
больше, чем в
предыдущий. Сколько
рыбёшек Василий
поймал на десятый
день охоты удачной
охоты?