Инальева С.В. 11 класс.

Инальева С.В.
11 класс.
Цели урока:
Показать, как используется
скалярное произведение
векторов при решении задач
на вычисление углов между
двумя прямыми, между
прямой и плоскостью.
Повторяем теорию:
• Как находят координаты вектора, если известны
координаты его начала и конца?
АВхВ  х А ; у В  у А ; z B  z A 
• Как находят координаты середины отрезка?
х А  хВ
;
2
• Как находят длину вектора?
у А  уВ
;
2
z A  zB
2
а  х2  у2  z 2
• Как находят расстояние между точками?
АВ 
х
 х А    у В  у А   z B  z A 
2
В
2
• Как вы понимаете выражение «угол между
векторами»?
2
Повторяем теорию:
• Какие векторы называются перпендикулярными?
• Что называется скалярным произведением векторов?
а  b  a  b  cos
• Чему равно скалярное произведение
перпендикулярных векторов?
• Чему равен скалярный квадрат вектора?
0
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
• Свойства скалярного произведения?
а 0
2
ab  ba
a  b c  ac  bc
k  ab   k a   b
Направляющий вектор прямой.
а
В
А
• Ненулевой вектор называется
направляющим вектором
прямой, если он лежит на
самой прямой, либо на прямой,
параллельной ей.
Визуальный разбор задач из учебника (п.48).
№1. Найти угол между двумя прямыми
(пересекающимися или скрещивающимися), если
известны координаты направляющих векторов этих
прямых.
qx ; y ; z 
p x ; y ;z

а)
р
1
1
1

б)
2
2
2
р


q
р
р
θ
q
q
q
θ
φ=θ
φ = 1800 - θ
Визуальный разбор задач из учебника (п.48).
№2. Найти угол между прямой и плоскостью, если
известны координаты направляющего вектора
прямой и координаты ненулевого вектора,
перпендикулярного к плоскости..
px1; y1; z1
а)
б)
пx2 ; y2 ; z2 
п
θ
п
а
θ
р
φ
р
φ
α
α
а
φ
№ 464 (а)
Дано: А3;2;4 В4;1;2 С 6;3;2 D7;3;1
Найти: угол между прямыми АВ и CD.
Ваши предложения…
1. Найдем координаты векторов
АВ 1;1;2 и CD 1;0;1
2. Воспользуемся формулой:
cos 
x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
x y z  x y z
2
1
2
1
2
1
2
2
φ = 300
2
2
2
2
№ 466 (а)
Дано: куб АВСDA1B1C1D1
точка М принадлежит АА1
АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС
Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1
z
1. Введем систему координат.
D1
2. Рассмотрим DD1 и МN.
A1
3. Пусть АА1= 4, тогда
М 0;4;3
N 4;2;0
4. Найдем координаты
векторов DD1 и MN.
5. По формуле найдем cosφ.
3
Ответ: 29
C
1
B1
М
D
A
у
C
B
N
х
Задача.
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2; DD1 = 3.
Найти угол между прямыми СВ1 и D1B.
Ваши предложения…
1. Введем систему координат Dxyz
2. Рассмотрим направляющие A1
прямых D1B и CB1.
CВ1 1;0;3
D1 B1;2;3
z
D1
C
1
B1
3
3. По формуле найдем cosφ.
4
cos 
35
  47 0 28 '
1
х
A
D
2
C
B
у
№ 467 (а)
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
1 способ:
D1
1. Введем систему координат Bxyz
2. Пусть АА1= 2, тогда
A1
АВ = ВС = 1.
z
C1
B1
В0;0;0 С 1;0;0 D1;1;0 D1 1;1;2
3. Координаты векторов:
ВD1;1;0
CD1 0;1;2
4. Находим косинус угла между
прямыми:
1
cos 
10
у
A
х
D
C
B
№ 467 (а)
Дано: прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1
Найти угол между прямыми ВD и CD1.
2 способ:
D1
1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы
между ВD и ВА1; ВD и СD1 –
A1
равны.
2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5
z
C1
B1
3. ΔВDА: по теореме Пифагора
BD  AD 2  AB 2
BD  2
4. По теореме косинусов:
A1 D 2  A1 B 2  BD2  2 A1 B  BD  cos
1
cos 
у
A
10
х
D
C
B
П. 48,
№466 (б, в)
№467 (б) – двумя способами.