Движение материальной точки в центральном силовом поле

ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 7:
ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
(продолжение)
1. Движение вдоль орбиты.
Уравнение Кеплера
a
p
1  2
OO1 
d 2c 2c
2
 2  2 1   cos  
dt r
p
d
Закон площадей
p
1  2
a
O1
A1
E r
B
O
A
p2
t  t0 
2c

 1   cos  
0
Замена переменных   E
a cos E  r cos   OO1
p
p cos 
p
cos
E


1  2
1   cos  1   2
1  
 2   cos 

1   cos E 


1   cos 
1   cos 
1   cos 
2
2 cos  1   cos     sin 
cos E dE  1  
d 
2
1   cos 
cos E
2
 1 
d
1   cos 
1   cos 
2
2
эксцентрическая
аномалия
  cos 
1   cos 
1   2 sin 
sin E 
1   cos 
cos E 
1  

1   cos E  dE 
2 3/ 2
d
1   cos  
2
2. Движение вдоль орбиты.
Уравнение Кеплера
E
n  t  t0    1   cos E  dE  E   sin E
n
0
n  t  t0   E   sin E
Период обращения
E  2
T
2c 1  

2 3/ 2
p2
Уравнение Кеплера
2
n
2
 t  t0   E   sin E
T
T
 p2
c 1  

2 3/ 2
3. Задача двух тел: движение
одного тела относительно другого
d 2r1
mm r
m1 2  f 1 2 2
dt
r r
M1
d 2r2
mm r
m2 2   f 1 2 2
dt
r r
2
r
F2
r1
d r d r 
m m (m  m2 ) r
m1m2  22  21    f 1 2 21
dt 
r
r
 dt
2
F1
M2
z
r2
(m1  m2 ) r
d r


f
dt 2
r2
r
2
O
y
x
Материальная точка M2 движется относительно M1 как вокруг неподвижного
центра с массой m  m1  m2
Пренебрежение меньшей массой вносит в расчеты малую погрешность при m


c  f M  c  f  M  m   f M  1 
Солнце-Земля
m M  3  106
3
Солнце-Юпитер m M  10
m

M
M
4. Задача двух тел: движение
относительно центра масс
d 2r1
d 2r2
m1 2  m2 2  0
dt
dt
1
rC 
 m1r1  m2r2 
m
dr1
dr
 m2 2  m A
dt
dt
r1
drC
1  dr1
dr2  M 1
F1
vC 

 m2
 m1

C
dt m  dt
dt 
m1
vC  A
d 2r1
m1m2
m1 2   f
2
dt
 r1  r2 
d 2r2
m1m2
m2 2   f
2
dt
r

r
 1 2
r1
r1
r2
r2
d 2r1
m22
m1m2 r1
m1 2   f
2
2
dt
r
m

m
 1 2  1 r1
d 2r2
m12
m1m2 r2
m2 2   f
2
2
dt
r
m

m
 1 2  2 r2
r1 m2

r2 m1
r2
F2 M
2
m1  m2
r1
m2
m  m2
r1  r2  1
r2
m1
r1  r2 
Движение каждой точки относительно центра
масс происходит как движение относительно
неподвижного притягивающего центра
5. Задача двух тел: картина
движения
Траектории – софокусные подобные эллипсы. Отношение их размеров
равно отношению масс тел
M1
C
M2
M2
M1
C
Земля-Солнце
M1C  2 108  3 106  600км
RC  6 105 км
Неподвижный центр
глубоко внутри Солнца
6. О задаче трех тел
Задача трех тел: В пустоте находятся три материальные точки,
взаимодействующие по закону всемирного тяготения Ньютона. Заданы
начальные положения и скорости точек. Требуется найти положения всех
точек как функции времени.
Ограниченная задача трех тел состоит в изучении движения точки
малой массы под действием притяжения двух конечных масс в
предположении, что точка малой массы не влияет на движение
точек конечных масс.
В ограниченной задаче трех тел точки конечных масс движутся по
орбитам, определяемым задачей двух тел, так что движение этих двух
точек известно. Таким образом, анализ ограниченной задачи трех тел
сводится к исследованию движения только одной точки малой массы. Эта
задача значительно проще общей задачи трех тел. Но и она не
интегрируется (точнее, не проинтегрирована) в квадратурах.
7. Пример: олимпиадная
задача 2007 г.
Две материальные точки М1 и М2 с одинаковыми массами m, соединенны
пружиной жесткостью с. Длина недеформированной пружины l. Условие
разрыва пружины М1М2 =L (L>l). Вначале пружина недеформирована. Точка
v0
М1 получает начальную скорость под острым
углом к М1
М2.
Начальная скорость М2 равна нулю. Какой должна быть v0, чтобы через
некоторое время произошел разрыв пружины.
v0
1) Задача сводится к исследованию движения М1 при
закрепленной М2 с пружиной удвоенной жесткости
-
d 2r1
r r
m 2  c  r1  r2  l  1 2
dt
r1  r2
d 2r2
r1  r2
m 2   c  r1  r2  l 
dt
r1  r2
d 2r
r
m 2  2 c  r  l 
dt
r
r  r1  r2

M2
M1
8. Пример: олимпиадная
задача 2007 г.
2) Силовое поле центральное, поэтому справедлив закон площадей
rv  const  lv0  lv0 sin 
3) Закон сохранения энергии
m 2
m 2
2
v  c  r  l   const  v0  0
2
2
v0  vкрит
4) При критическом значении v0 имеем
r  L, vr  0  v  v
Lv  lv0 sin 
m 2
m 2
2
v  c  L  l   v0
2
2
v0 
2c
m
v0  vкрит
L( L  l )
L2  l 2 sin 2 
v0  vкрит
L
9. Движение в поле тяготения Земли
A


O
v0
M
Сила притяжения на
поверхности Земли
R
0
P
v02 cos2 
p 

g
c2
Fr  
m
R2
  mg    gR 2
Постоянные площади
и энергии
Орбита
r
p
1   cos 
c  Rv0 cos 
v02  v02
e     gR
2 R 2
v02 cos2  2
  1 2 2 e  1
v0  2 gR 

2 2

g R
c2
Тело, получившее начальную скорость v0  2 gR , направленную под
любым углом к горизонту, будет неограниченно удаляться от Земли,
При начальной скорости v0  2 gR брошенное тело или превращается в
искусственный спутник Земли, или падает обратно на Землю.
Вторая космическая скорость vII  2 gR  11.2 км/с
10. Искусственные спутники
A


O
P
v0
rR
M
R
0
p
p

1   cos  1   cos 0
M -перигей 0  0
 0
2
p
v02 R
v02

1 
1 
1  0
2

gR
gR
v xp
v0  gR  vI 
vII
2
Первая космическая скорость
Чтобы тело, брошенное с земной поверхности, превратилось в искусственный
спутник Земли, необходимо выполнение двух условий   0 , vI  v0  vII
Практически для запуска ИСЗ используется ракета, которая поднимает спутник на
высоту H и сообщает ему в пункте М скорость v0 под углом
горизонту
 к 0
v0  vmin
vmin  v0  v1
v0
H
v0  v1
v1  v0  v2
v2  2v1
R
v1  gR
RH
vmin  v1
2R
2R  H
11. Эллиптические траектории
A
v0

M1

O
r
v02 cos 2 
p
g
M
R
0
Дальность полета
Оптимальный угол
5 /12
v02
2 gR
0.4
v02 
D  2 R
2 gR tg 
sin 2  2 cos 2  tg 
    0
tg    tg 0
F ( )  2 cos 2  2sin 2 tg   0
ctg 2  tg 
 /3
 /4
 /6
 
v0min  2 gR
0.3
 /12
0.2

4


2
sin 
1  sin 
   / 40
0.1
настильные тр-ии навесные тр-ии
0
v02 cos2  2
  1
 v0  2gR 
g 2 R2
v02 cos2 
 cos 0 
1
gR
v02 cos 2 
 sin 0 
tg 
gR
v02 cos 2 
tg  
tg 
gR  v02 cos 2 
P
0.5
p
1   cos 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6

Бухгольц I (изд. 1965 г.) с.400-402