Лекция 9 РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В ТЕРМОЯДЕРНЫХ УСТАНОВКАХ. ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ. Z-ПИНЧИ.

Лекция 9
РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В ТЕРМОЯДЕРНЫХ УСТАНОВКАХ.
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ. Z-ПИНЧИ.
Проблемы равновесия плазменных конфигураций, МГД-устойчивость
плазмы, лежащей на магнитном поле, устойчивость скинированного
пинча.
Важный круг задач, в которых с успехом применяется
магнитная гидродинамика, связан со стационарными течениями
плазмы, т.е. с такими, когда параметры течения явно не зависят от
времени и частные производные по времени в уравнениях можно
опустить. Частным случаем стационарных процессов являются
статические равновесия, когда скорость плазмы тождественно равна
нулю. Это именно равновесия, так как из условия вытекает , а,
следовательно, действующие на любой элементарный объем плазмы
силы должны быть уравновешены. При этом, должно быть выполнено
условие: 1  
j  B  p
c
Это условие и представляет собой уравнение равновесия плазмы в 

магнитной гидродинамике. Из него, очевидно, следует, что вектора j и B
лежат на поверхностях, ортогональных к градиенту давления, то есть на
поверхностях постоянного давления p=const.
Проблемы равновесия плазменных конфигураций
С другой стороны, если магнитной конфигурации сопоставить
семейство магнитных поверхностей, на которых лежат силовые
линии, то, очевидно, что именно на этих поверхностях давление
плазмы должно быть постоянно. Таким образом, магнитные
поверхности удерживающего плазму магнитного поля с
необходимостью должны быть изобарическими для плазмы.
В простейшем случае, когда силовые линии магнитного поля
являются прямолинейными и параллельными друг другу, их радиус
кривизны равен бесконечности, то можно записать: 1  
B2
j  B   
c
8
Выбрав направление силовых линий за ось z системы координат, для
единственной отличной от нуля компоненты
 поля Bz из уравнения
B 0
соленоидальности магнитного поля divB  0
получим
z z
и магнитная индукция может меняться только поперек направления
силовых линий. Следовательно, давление плазмы также не меняется
вдоль силовых линий, а поперек силовых линий должна быть
постоянна сумма давления плазмы и магнитного давления: Bz 2
 p  const
8
МГД-устойчивость плазмы
Согласно этому условию вне области, занятой плазмой, магнитное
поле является однородным, пусть здесь Bz=B0. Тогда постоянную
2
2
B
B
можно выбрать так, что во всем пространстве будет
z
0
8
p
8
Видно, что в области, занятой плазмой, магнитное поле меньше
внешнего. Можно сказать, что плазма «выталкивает» магнитное
поле, как и любой другой диамагнетик. Уравнение для
рассматриваемого частного случая устанавливает условие
равновесного состояния системы “плазма  магнитное поле”, причем
давление магнитного поля вне плазмы в равновесии должно быть
больше магнитного давления внутреннего поля как раз на величину
газокинетического давления плазмы, что наглядно демонстрирует
идею удержания плазмы магнитным полем. Подчеркнем, что в
уравнениях равновесия нет каких-либо ограничений на
происхождение магнитного поля, поэтому оно может быть создано
как внешними токами, так и током, протекающим по плазме.
Устойчивость скинированного пинча.
Примером квазистационарного
процесса может служить
равновесное состояние
самосжимающегося длинного
цилиндрического столба плазмы
с продольным током - так
называемый Z-пинч.
 Разряд с геометрией Z-пинча
возникает, например, при
пропускании сильного тока
через газ между двумя
параллельными электродами,
расположенными
перпендикулярно оси z.
Уравнение равновесия примет вид:
p 1

 jz B
r c
Если считать ток пинча распределенным равномерно по его сечению,
то jz=const и B  2 rjz , так как по теореме о циркуляции
2
c
4
4 2
B
dl

B
rd


B

2

r

J
(
r
)

r jz

   0 
c
c
Устойчивость скинированного пинча.
Таким образом, распределение магнитного поля пинча следующее
r
a , r  a
B ( r )  B ( a )
a
 ,r  a
r
где B ( a )  2 I магнитное поле на
ca
границе плазмы. Подстановка распределения поля в уравнение
2 2
равновесия приводит к соотношению p
  2 jz r
r
c
Интегрируем и, учитывая, что на границе столба (при r=a)
газокинетическое давление равно нулю (р=0), получаем
2
a 2 2 
r2 
I2 
r 2  B ( a ) 
r2 
p  2 j 1  2   2 2 1  2  
1  2 
c
a  a c 
a 
4 
a 

Так как p=2nT, то, вводя полное число частиц на единицу длины
плазменного столба N (так называемое погонное число частиц) и считая
a
I2
температуру плазмы Т постоянной, определим
2
N  2  nr dr 
I
откуда получаем соотношение 4 NT  2 известное как
c
соотношение Беннета.
0
4c 2 T
Устойчивость скинированного пинча.
Равновесное состояние витка может
быть получено также (на временах
масштаба скиновых), если его
поместить в хорошо проводящий
металлический кожух. Смещение
витка приводит к возникновению
токов Фуко в кожухе, и магнитные
поля этих токов играют роль поля Вz.
В этом случае время существования
равновесного состояния зависит от
соотношения радиуса плазменного
шнура a, радиуса камеры тора R,
проводимости и толщины r
проводящего кожуха.
Стабилизация положения плазменного витка с током вертикальным магнитным
полем и проводящим массивным металлическим кожухом реально использовались
в токамаках для обеспечения равновесия по большому радиусу тора. Равновесие по
малому радиусу обеспечивается (в совокупности с полем тока) сильным
тороидальным магнитным полем.
Магнитогидродинамический метод рассмотрения дает возможность
качественно и наглядно представить условия равновесия плазменного шнура
различной геометрии, а расчеты позволяют оценить необходимые соотношения
макроскопических параметров.
Быстрые процессы
В уравнении инерцией плазмы пренебрегаем. Однако при быстрых процессах
это недопустимо. Более того, опыт показал, что на первых стадиях развития
импульсного разряда можно пренебречь газокинетическим давлением по
сравнению с инерционным членом. При быстром процессе пробой газа
происходит первоначально по периферии разрядной камеры. В
формировании плазменной оболочки существенную роль играют
элементарные процессы  ионизация, рекомбинация и перезарядка. На этой
стадии образуется тонкий проводящий цилиндр плазмы. По мере разогрева и
роста тока эта плазменная оболочка отрывается от стенки камеры, сжимается
к центру, ионизует и “сгребает” при сжатии находящийся внутри нее
нейтральный или слабо ионизованный газ, вовлекая его в движение к центру.
Такой процесс получил название движущейся магнитной стенки (в
английской литературе сложился термин snow-plow  снежный плуг) и
теоретически был рассмотрен в СССР Леонтовичем и Осовцом, а в США Розенблютом. После схождения плазменной оболочки к оси в центре камеры
образуется цилиндрический плазменный «столб», сжимающийся под
действием магнитного поля собственного тока и, в результате, быстро
разогревающийся - по этой причине пренебречь давлением плазмы уже
нельзя. По мере разогрева давление плазмы растет и тормозит процесс
дальнейшего сжатия. Эта стадия завершается образованием цилиндрического
токового канала, почти равновесного, но, как показали эксперименты,
неустойчивого, вскоре разрушающегося, главным образом, за счет развития
перетяжек, ведущих к обрыву тока, и изгибов-змеек, разрушающих токовый
канал.
Быстрые процессы
На заключительной стадии
разряда, когда токовый канал
разрушается, возникают
электромагнитные поля,
приводящие к ускорению части
частиц плазмы, всплеску
рентгеновского излучения и
нейтронному излучению, если
разряд производится в дейтерии.
Мощный импульсный разряд, в
котором реализуется описанная
выше (весьма фрагментарно!)
совокупность событий, получил
название Z-пинч, главным
образом за счет геометрии
цилиндрической разрядной
камеры, ось которой принято
обычно выбирать за ось z
системы координат.
Разновидности цилиндрического (а,б) и
нецилиндрического (в,г) Z-пинча: а 
классический Z-пинч, б  микропинч, в 
плазменный фокус Филиппова, г  пушка
Мейзера. Р разрядник, С  батарея
конденсаторов, стрелка  направление тока
Быстрые процессы
На фазе движения плазменной оболочки к оси, сопровождающемся
сгребанием газа и ростом массы плазмы, радиальная координата
плазменной оболочки, которая считается тонкой, согласно теории
Леонтовича  Осовца, определяется уравнением:
2
B

d  dr  1 
2 I( t )

B 
 2r
 m   ( j  B )r  2r  
cr
dt  dt  c
8
Внутри оболочки при цилиндрической симметрии магнитное поле,
очевидно, равно нулю. По этой причине в правой части уравнения
представляющей собой радиальную силу, действующую на оболочку
в расчете на единицу ее длины вдоль оси, знак обязательно должен
быть отрицательным! Иногда в левую часть вводят дополнительный
коэффициент k, учитывающий долю захватываемой массы и равный
единице при полном сгребании.
Для определения величины разрядного тока I(t) необходимо
дополнительное уравнение - электротехническое уравнение цепи для
разрядного контура. Это, конечно, усложняет решение. Но на
начальной стадии можно полагать, что ток растет линейно по
I0
времени, так что I( t )  I0 t где
- темп нарастания тока .
Взаимное проникновение плазмы и магнитного поля
Магнитное давление действует на проводник в
направлении перпендикулярном к магнитным
силовым линиям, в течение времени, меньшем
скинового времени t<s. За время, большее скинового
t>s, магнитное поле успевает “просочиться” в
проводник и величины индукции магнитного поля
внутри и вне проводника выравниваются. В случае,
когда рассматривается проникновение магнитного
поля в плазму, нужно учитывать, что процесс
проникновения взаимный  не только поле проникает
в плазму, но и плазма проникает в магнитное поле,
например, за счет диффузии, имеющей место и в
случае, когда магнитное поле однородно.
Произвольный скачок плотности постепенно
размывается с течением времени (рис. 9.4,б). Заметим,
что скачок размывается в обе стороны от его начального
положения, только если плотность плазмы
первоначально была не нулевой по обе стороны от него.
Если же плотность плазмы тождественно равна нулю с
одной стороны от скачка (например, справа, как
показано на рис. 9.4,а), то проникновение плазмы в эту
область оказывается невозможным.
Диффузионное
расплывание скачка
плотности плазмы:
а  автомодельные
профили для нескольких
значений величины скачка
(пунктир - ||1/2); б 
эволюция скачка
плотности с ростом
времени