Document 4702429

Лекция №6. Неизэнтропическое движение газа
1.1. Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Для поддержания равномерного движения реальной жидкости в трубе
постоянного сечения необходимо к сечениям трубы, ограничивающим
участок длиной
, приложить движущий перепад давления Δp , который смог бы
уравновесить сопротивление трения, препятствующего движению
жидкости по трубе. Этот перепад давления выразится формулой.

p  тр

2
l Vср
d 2
где d – диаметр трубы; – плотность жидкости, принимаемая постоянной;
Vср – средняя по сечению трубы скорость движения жидкости;  тр –
коэффициент сопротивления трения.
Будем считать среднюю скорость Vср совпадающей со скоростью V одномерного
движения, а тр – постоянной величиной, т.к. при больших скоростях он слабо
зависит от Re, а сам критерий Рейнольдса на данном участке трубы меняется
незначительно.
Движение газа по трубе постоянного сечения при
наличии сопротивления трения
Применим формулу сопротивления к сжимаемому газу на участке
длиной dx
dp тр   тр
2

V
dx
d
2
Применим уравнение Эйлера в дифференциальной форме
для одномерного стационарного движения реального газа
dp ).
(для идеального газа оно имеет вид
VdV  

Для учета трения введем дополнительный перепад давления d тр. В
результате получим
dp dpтр
dp
V2
VdV   
    тр
dx



2d
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Представим это уравнение в виде
dp

2
 V 2
где dL   V– удельная
работа сил трения
dx
тр
тр
dV
 dLтр
V
(35)
2d
Использовать дифференциальные формы уравнение неразрывности
( dp /p = - dv/v ) и состояния ( dp = R( pdT +Tdp) получим
dp
RdT  RTd 
d
dV (36)



 RdT  RT

 RdT  RT
V
Подставим значение dp/p из ( 35) получим


dV
dV
2 dV
2
RdT  RT
V
 dLmp  RdT  V  RT
 dLтр  0
V
V
V
С помощью выражения
а  kRT
2
придадим уравнению следующий вид
 2 a 2  dV
RdT  
V  k 
 V  dLтр  0


(37)
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Так как T0  const (процесс энергетически изолированный), это
эквивалентно условию
k
V2
k
RT0 

RT ,
k 1
2
k 1
Отсюда
V 2 (k  1) ,
T0  T 
2 Rk
2VdV (k  1) k  1 2 dV

V
 dT  0
kR
kR
V
k  1 2 dV
RdT  
V
k
V (38)
dT0  dT 
или
Подставляя (38) в (37), приходим к соотношению, связывающему
изменение скорости вдоль трубы постоянного сечения с работой сил
трения.
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения


dV
k
M 1
  2 dLтр
V
a
2
(39)
Работа сил трения всегда положительна ( dLтр  0 ). Поэтому согласно
под влиянием трения дозвуковой поток (М  1) ускоряется (dV  0),
асверхзвуковой (M  1) замедляется (dV  0). Непрерывный переход
через скорость звука при воздействии только трением невозможен.
Выведем формулы, определяющие изменение параметров газа вдоль
изолированной трубы при наличии трения.
Так как температура торможения не меняется, т.е.
Т 01  Т 02  const
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
то термодинамическая температура определяется ранее полученными
формулами
k 1 2
1
2
T2
  2  (40)
k

1


k 1 2
T1
 1 
1
1
k 1
Вследствие постоянства температуры торможения критическая
скорость вдоль трубы также не изменяется; отсюда отношение
скоростных коэффициентов равно отношению скоростей и на
основании уравнений неразрывности – обратному отношению
1
V1
2
плотностей


2 V2
1 (41)
Подставив (40) и (41) в уравнение состояния, получим зависимость
давления от
k 1 2
1

2
приведенной скорости р 2
1
1   2 (42)
k 1
р1

 2 1  k  1 2
1
k 1

 2  1 
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
В виду постоянства температуры торможения полное давление
пропорционально плотности заторможенного газа
k 1 2

1
1

p 02  02
p2 
k 1


k 1 2
p 01  01
p1 
1

2

k 1

,
Отсюда получим
р 02
 02

р 01
 01

1
1 


2  1 


k
k
k
k
1 2
1
1
1 2
2
1












k
k 1
1
k 1
(43)
Присвоим 1 какое-либо постоянное значение, и будем рассматривать
2 как переменную величину, а параметры Т 2 ,  2 , p2 , p02 , 02 –
как функции переменной 2.
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Трение ускоряет дозвуковой поток, что приводит к росту 2, и замедляет
сверхзвуковой, вызывая уменьшение этой величины.
На рисунке изображены кривые
Т ,  , p , Т 0 , p0 в функции
скоростного коэффициента 2 для дозвукового потока ( 1  0,1), и для
сверхзвукового потока (   2,3 ) при k  1,4. Стрелки на кривых
1
указывают направление протекания процесса.
Подчеркнем что значительное ускорение дозвукового и торможение
сверхзвукового потоков под действием силы трения сопряжено с
существенным расходованием полного давления.
Из рисунка видно, что в дозвуковом потоке при
T 2/T 1
наличии трения скорость увеличивается, наиболее p2/p1
 2/1
интенсивно падают статическое давление,
p 02/p 01
плотность и полное давление, тогда как
0,6
уменьшение температуры происходит в меньшей
0,4
степени.
0,2
T0
T
p0

p
0
0,5
1,0
1,5
2,0

Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
В сверхзвуковом потоке скорость падает, интенсивно падает
полное давление, все остальные параметры растут в
последовательности: статическое давление, температура и плотность.
Исследуем влияние трения на изменение скоростного коэффициента
турбулентного газового потока в трубах постоянного диаметра. V 2
dx
Работа силы трения записана ранее выражением : dLтр  тр
2d
Подставив d  тр в формулу (39) получим
М
2

dV
k
V2
M2
1
  2 mp
dx  тр k
dx
V
2d
2d
a
Воспользовавшись постоянством критической скорости в трубе, из
V 
которого следует равенство
d

и формулой
M2
2
2

 K 1
K 1
2
1

K 1
перейдем в соотношении (44) от М к

dV

V
1
*
 a   d
V

a*
d
k
dx
( 2  1) 
р (45)

 k 1
d
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Поскольку в трубе постоянного поперечного сечения согласно
уравнению неразрывности V  const , то Re по длине трубы
изменяются незначительно (только за счет изменения коэффициента
динамической вязкости М).
На основании вышесказанного полагаем в уравнении (45)  тр  const и
после интегрирования получим
 2 
х 2 (46)
1
1
2k



 2 ln


12
22
 
 1
k 1
тр
d
Здесь 1 – значение приведенной скорости в начале трубы при х = 0; 2–
значение приведенной скорости в сечении х = х2 от начала.
По уравнению (46) можно определить значение скоростного
коэффициента в произвольном сечении трубы x, если известно  , d, ТР и k.
1
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
1
Введем функцию
и назовем безразмерную величину,
 ( ) 

2
 2 ln 
находящуюся в правой части уравнения (46) приведенной длиной
трубы
2k
x
 тр
  (47)
k 1
d
Тогда уравнение можно представить в следующем виде
(48)
 1    2   
Таким образом, изменение скорости потока между двумя сечениями
трубы таково, что разность функций   в них равна приведенной
длине данного участка трубы. Пользуясь графиком функции   ,
можно определить изменение скоростного коэффициента потока по
длине трубы в зависимости от значения  и  .
тр
Функция    имеет минимум, равный единице, при   1 .
 
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения











Вследствие этого при заданном значении величина разности в левой
части уравнения, будет наибольшей при 2  1 . Этому наибольшему
значению соответствует некоторая критическая величина приведенной
длины трубы  кр.
 кр   1  1 (49)
 
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Действительно, приравняем нулю производную приведенной длины
по 2 при   const :
1
Отсюда находим

d
d
2
2

 2   3 
0
d2
d2
2 2
2  1 , так как
при
2  1
d 2
6
2
  4  2  4
2
d2
2
2
То условие   1определяет максимум величины приведенной длины
2
трубы для заданного 1 .
Если поток на входе дозвуковой и приведенная длина трубы равна
критической (максимальной) величине для данного 1, то на выходе
из трубы скорость потока равна скорости звука и 2  1 .
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
На рисунке представлена зависимость предельного значения приведенной
скорости на входе в трубу 1прот безразмерной длины трубы х/d для
дозвукового потока при  тр  0,015 и k  1,4. При этих значениях  три
пр
0,8
x k 1 1

  57 
d
2k  тр
0,6
0,4
0,2
0
50
100
150
x/d
Следует отметить, что полученному изменению приведенной скорости
[формула (50)] как при 1  1, так и при 1  1 соответствует вполне
определенное изменение полного и статического давления газа. Выше мы
везде полагали, что такое изменение давления может быть всегда
осуществлено (это являлось условием сохранения постоянного значения 1
при изменении приведенной длины трубы вплоть до получения 2  1 ).
Если почему-либо указанное изменение давления невозможно при
определенной величине перепада давлений в трубе, то рассматриваемое
течение с заданной начальной приведенной скоростью может оказаться
нереальным.
k
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
При сверхзвуковом течении возможны следующие режимы:
• если при заданной начальной скорости 1приведенная длина меньше
максимальной (    кр ), то в конце трубы получается сверхзвуковое
течение ( 2  1 );
• если приведенная длина равна максимальной (    кр ), то в конце трубы
скорость равна критической (   1 );
2
• если же приведенная длина получается
больше максимальной, то при
• заданном значении скоростного коэффициента в начале трубы 1 , то
плавное торможение сверхзвукового потока на протяжении всей трубы
невозможно. В некотором сечении трубы произойдет скачок уплотнения,
за которым установится ускоренное дозвуковое течени.
Скоростной коэффициент перед скачком определяем из формулы
  '2 
xск
1
2k


 2  ln  2  
 тр
  ск
2
d
1  '
 1  k  1
1
(50)
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Скоростной коэффициент за скачком, где устанавливается ускоренное
дозвуковое течение (    1 ), связан с длиной дозвукового участка
трубы, в конце которого имеет место кризис ( 2  1), формулой (48)
отсюда
1
 1

1

ln
 2
2



  
x  xск
2k





    ск

тр
d
 k 1
 2  1  ln  2     ск
(51)
Решая совместно два уравнения (50) и (51) с двумя неизвестными
приходим к уравнению с одним неизвестным по которому вычисляем
  4 
скорость перед скачком
1
1
2
 '  2  1  2  ln  2   
(52)
1

 1 
После чего по формуле (51) определяем местоположения скачка.
Формулы (47) и ( 48) неудобны (приходится применять метод
последовательного приближения. Поэтому применим график.
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Кривая 1 отвечает вспомогательной зависимости
1
   
 ln 2 (53)
2
Кривая 2 изображает функцию
' 2 1  ln  '2     ск
Кривая 3 соответствует функции (48)
 кр
 1
 2  1  ln  2
1
 1
1




Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Поясним способ пользования этими кривыми на конкретном примере.
Пусть дана труба с приведенной длиной   0,6 . По кривой 3 видно,
что в этой трубе установится критический режим ( 2  1 ) при
значении приведенной скорости на входе 1  1,95 . Проверим сначала
характер течения в трубе в случае 1  1,95, например для   2,2 . По
1
Формуле(46) можно вычислить скорость в конце трубы
1

2
2
 ln  
2
2
1

2
1
 ln   
2
1



ск
1

2
или в соответствии (53)

ск

ск)
2  1  





з
бе
чка
а
ск

3

Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
На кривой 1 по значению 1  2,2 находим точку, у которой 1  1,78 .
Рассчитываем2  1,78  0,60  1,18 , и с помощью кривой 1 определяем
значение приведенной скорости в конце
трубы   1,4 . Итак, в трубе, имеющей приведенную длину , при
2
  0,6 начальном значении приведенной скорости 1 = 2,2
происходит плавное торможение сверхзвукового потока до значения
приведенной скорости 2 = 1,4.
Пусть теперь труба имеет приведенную длину больше максимальной
(
   кр ).
Данной задаче соответствуют значения 1 < 1,95. Положим 1 = 1,8.
Тогда, согласно кривой 3,  кр  0,48, т.е.  кр   .
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Теперь, пользуясь графиком, определим местоположение скачка
уплотнения в трубе при 1 = 1,8. По кривой 1 находим j1 = 1,48,
откуда     1,48  0,60  0,88 .
1
Остается найти значение ', при котором расстояние между
кривыми 1 и 2 равно согласно  '   ск   0,88 .
Из графика находим, что этой величине соответствуют значения
 ' . 1,4 и  '  1,18 .
по формуле 2  1   определим приведенное расстояние от
начала трубы до скачка уплотнения:
 ск  1   '  1,48  1,18  0,3
Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Описанным способом вычислены и нанесены на рисунок,
расположенный справа, кривые изменения скоростного коэффициента  (x)
в трубе с приведенной длиной = 0,6, получающиеся при различных
значениях приведенной скорости 1 в начале трубы (при =0).













Движение газа по трубе постоянного сечения при наличии
сопротивления трения
Как видим, скачок уплотнения располагается тем ближе к началу трубы,
чем меньше начальная сверхзвуковая скорость газа. Значения дозвуковой
скорости после скачка уплотнения лежат во всех случаях на
универсальной кривой, соответствующей формуле
1
 1 
 
 1  ln 
2
2 
 
   
При 1  1,6 скачок помещается в начале трубы , 1   ' т. е. участок
сверхзвукового течения вовсе ликвидируется.