РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПО КИНЕМАТИКЕ

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ПО ДИНАМИКЕ
Далее приводится комплект задач, которые могут быть
использованы в качестве контрольных или тренировочных при
изучении раздела ДИНАМИКА курса теоретической механики..
Материал представлен в виде таблиц. Каждая таблица содержит 120
вариантов задачи. Условие задачи и общие для всех вариантов
параметры приведены перед таблицей. Вариант составляется из
информации, заданной в ячейках таблицы – по одной ячейке из
каждого столбца. Номера ячеек задаются преподавателем в виде
трёхзначного числа.
Задание 1
Механическая система состоит из четырёх тел. Призма (тело 4)
может скользить по горизонтальной поверхности. По боковым
граням призмы катятся без проскальзывания катки 1 и 3, связанные
между собой тросами, переброшенными через блок 2 (Рис.1). Тросы
параллельны соответствующим боковым граням призмы.
Каток 1 представляет собой сплошной однородный цилиндр
массы m1  2m радиуса r1  2r . Блок 2 и каток 3 – одинаковые
сплошные однородные сдвоенные цилиндры массы m2  m3  m с
внутренним радиусом r2  r3  r и наружным радиусом R2  R3  2r.
3
2
считаются заданными. Масса призмы m4  16 m. Во всех вариантах
  60o ;   30o .
Даны радиусы инерции цилиндров  22  32  r 2 . Величины m и r
Система приводится в движение из состояния покоя моментом
M , приложенным к катку 1. Задан закон относительного движения
s (t ) оси A катка 1.
1. Считая, что трение между призмой и опорной поверхностью
отсутствует, определить закон движения призмы x(t ) .
2. Построить графики движения x(t ) и s (t ) .
3. Определить нормальную реакцию опорной поверхности.
4. Считая, что призма удерживается силой трения в покое,
определить силу трения.
Варианты схем и зависимость s (t ) приведены в Таблице 1.
Задание 2
Рассматривается механическая система, описанная в Задании 1.
Призма считается закреплённой. Система приводится в движение из
состояния покоя моментом M (t ) , приложенным к катку 1.
1. Используя общие теоремы динамики, составить систему
уравнений, описывающих движение заданной механической
системы. Исключая из этой системы уравнений внутренние
силы, получить дифференциальное уравнение, служащее для
определения зависимости s (t ) координаты точки A от времени
– дифференциальное уравнение движения системы.
2. Получить то же самое дифференциальное уравнение движения
системы, используя теорему об изменении кинетической
энергии в дифференциальной форме.
3. Получить дифференциальное уравнение движения
механической системы на основании общего уравнения
динамики.
4. Убедившись в совпадении результатов, полученных тремя
независимыми способами, проинтегрировать
дифференциальное уравнение движения системы, получив
зависимость s (t ) координаты точки A от времени.
5. Построить графики зависимостей M (t ) и s (t ) .
6. Определить натяжения тросов в начальный момент времени
(при t  0 ).
Варианты схем и зависимость вращающего момента от времени
приведены в Таблице 2.
Задание 3
Рассматривается механическая система, описанная в Задании 1.
Трение между призмой и опорной поверхностью отсутствует.
Система приводится в движение из состояния покоя моментом M (t ) ,
приложенным к катку 1.
1. Используя общие теоремы динамики, составить систему
уравнений, описывающих движение заданной механической
системы. Исключая из этой системы уравнений внутренние
силы, получить дифференциальные уравнения, служащие для
определения зависимости s (t ) координаты точки A от времени
и x(t ) - закон движения призмы.
2. Получить дифференциальные уравнения движения
механической системы на основании общего уравнения
динамики.
3. Получить дифференциальные уравнения движения
механической системы на основании уравнений Лагранжа 2-го
рода.
4. Убедившись в совпадении результатов, полученных тремя
независимыми способами, проинтегрировать
дифференциальные уравнения движения системы, получив
зависимости s (t ) и x(t ) .
5. Построить графики зависимостей s (t ) и x(t ) .
Варианты схем и зависимость вращающего момента от времени
приведены в Таблице 2.
Задание 4
Механическая система состоит из четырёх цилиндров,
связанных между собой нерастяжимыми тросами (Рис.2). Каток 1
3
2
массы m1  4m радиуса r1  r катится без проскальзывания по
неподвижной плоскости, наклонённой под углом   30o к
горизонту. Блоки 2 и 3 – одинаковые сплошные однородные
сдвоенные цилиндры массы m2  m3  20 m с внутренним радиусом
r2  r3  r и наружным радиусом R2  R3  2r. Даны радиусы инерции
3
2
цилиндров  22  32  r 2 . Величины m и r считаются заданными.
Система приводится в движение из состояния покоя моментом
M (t ) , приложенным к катку 1.
1. Используя общие теоремы динамики, составить систему
уравнений, описывающих движение заданной механической
системы. Исключая из этой системы уравнений внутренние
силы, получить дифференциальное уравнение, служащее для
определения зависимости s (t ) координаты точки A от
времени - дифференциальное уравнение движения системы.
2. Получить то же самое дифференциальное уравнение движения
системы, используя теорему об изменении кинетической
энергии в дифференциальной форме.
3. Получить дифференциальное уравнение движения
механической системы на основании общего уравнения
динамики.
4. Получить то же самое дифференциальное уравнение движения
системы, составив для неё уравнения Лагранжа 2--го рода.
5. Убедившись в совпадении результатов, полученных четырьмя
независимыми способами, проинтегрировать
дифференциальное уравнение движения системы, получив
зависимость s (t ) координаты точки A от времени.
6. Построить графики зависимостей M (t ) и s (t ) .
7. Определить натяжения тросов в начальный момент времени
(при t  0 .
Варианты схем и зависимость вращающего момента от времени
приведены в Таблице 3.
Задание 5
При равновесии системы, изображённой на Рис.3, стержень
OA вертикален. Пружина и стержни AD и EL горизонтальны.
Крепления в точках A, B, D, E и L шарнирные. Стержень OA , каток 2
и сдвоенный блок 3 – сплошные однородные тела. Осевой момент
инерции блока 3 вычисляется по формуле
Jz 
3
m3 r32 , где r3
2
–
внутренний радиус блока. Схемы соединений, массы тел и
жёсткости пружин приведены в Таблице 4. Величины m, a и c
считаются заданными. Каток 2 катится по поверхности без
скольжения.
1. Определить закон движения x(t ) груза 4 при малых
колебаниях системы, если в начальный момент времени этот
груз отклонили по вертикали от положения равновесия на
x (0) и отпустили без начальной скорости. Силами
сопротивления пренебречь.
2. Вычислить статические удлинения пружин.
Варианты схем приведены в Таблице 4.