Теория Автоматов1_13

Теория Автоматов
Конечные функциональные
преобразователи
Формы представления булевых
функций
Семантические деревья
Семантическое дерево — это двоичное дерево,
корень которого помечен двоичной функцией от m
переменных, из каждого узла идут по два ребра,
соответствующих двум значениям очередной
переменной, а 2т листьев помечены
соответствующими значениями функции. Удобство
этого представления в том, что для многих функций
значения у всех листьев некоторых поддеревьев
совпадают и построение некоторых ветвей быстро
заканчивается, не доходя до самого нижнего уровня.
Формы представления булевых
функций
Бинарные диаграммы решений — БДР
Бинарная диаграмма решений (Binary Decision Diagrams, BDD)
[2] — это граф, являющийся модификацией семантического
дерева. В БДР узлы с известным значением функции
объединены. Если на каждом уровне БДР все вершины имеют
одну и ту же метку (одинаковые переменные), то такая БДР
называется упорядоченной (в англоязычной литературе такое
представление называется Ordered Binary Decision Diagrams,
или сокращенно OBDD). Будем называть такое представление
УБДР. Вершины УБДР расположены по уровням, каждому
уровню соответствует одна переменная, которая помечает
вершины, находящиеся на этом уровне. Из каждой вершины
выходят два ребра: одно соответствует нулевому значению
соответствующей переменной (будем его изображать
штриховой линией), а другое — единичному значению этой
переменной
Формы представления булевых
функций
Бинарные диаграммы решений используются как
компактная форма представления булевой функции.
Такое представление полезно во многих случаях,
например когда нужно многократно вычислять
значения функции при различных наборах значений
ее аргументов. Для того чтобы получить значение
функции 1.2, например, на языке С, вместо хранения
громоздкой таблицы истинности можно вычислить
оператор: f = q?(r?0:l):(p?0:l), который построен на
основании БДР (см. рис. 1.12). В этом примере
использование УБДР позволяет вычислить значение
булевой функции, выполнив всего две операции, в то
время как при ее вычислении по аналитическому
представлению требуется не менее 5 операций.
Формы представления булевых
функций
Формулы
Таблица истинности
Семантическое
дерево
Бинарная
диаграмма решений
f(p,q,r)=-1pvqerq(pvr)
f(p,q,r)=(-.pvq)(-iqv-,r)
f(p,q,r)=iep®pqeqr
p
q
r
f
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
Формы представления булевых
функций
Формы представления булевых
функций
Рис. 1.12. Четыре формы представления двоичной
функции
Сложность представления функции с помощью УБДР
существенно зависит от порядка переменных. Так,
например, УБДР для иного порядка переменных, чем
на рис. 1.12, содержит четыре вершины, а не три
(рис. 1.13). Интересной проблемой теоретической
информатики является нахождение алгоритма,
дающего оптимальный порядок переменных булевой
функции с точки зрения представления этой функции
упорядоченной БДР. В работе [5] представлен один
из таких алгоритмов, имеющий, однако,
экспоненциальную сложность.
Формы представления булевых
функций
Формы представления булевых
функций
Рис. 1.13. УБДР для функции примера 1.2
с порядком переменных [p,q,r]
Рассмотрим алгоритм, по которому из
семантического дерева можно построить УБДР.
Алгоритм состоит из трех шагов.
1. Выбрасывание дублирующих значений функции.
На рис. 1.14, а в семантическом дереве оставляем
только два листа, помеченных соответственно 0 и 1.
Результат представлен на рис. 1.14, б.
2. Выбрасывание дублирующих тестовых у злое.
Если два различных промежуточных узла в
диаграмме являются корнями структурно-идентичных
под диаграмм,
Формы представления булевых
функций
то заменяем их одним эквивалентным. На рис. 1.14, в три промежуточных узл помече
Формы представления булевых
функций
Формы представления булевых
функций
3. Выбрасывание избыточных
тестовых у злое. Если оба исходящих
из узла t ребра указывают на один и тот
же следующий узел, скажем, и, то узел t
можно выбросить, связав все входящие
в t ребра с узлом и. На рис. 1.14, г
выброшен один из узлов, помеченных у.
Булевы алгебры
(М,й), где М — множество элементов алгебры, а и —
множество операций алгебры над ее элементами
(называющееся сигнатурой). Результаты операций
всегда принадлежат М.
Пусть В — алгебра с произвольным множеством М
элементов, сигнатура которой содержит две
бинарные операции «+» и «•», одну унарную
операцию «'» и две нуль-арных операции (константы)
0 и I. Такая алгебра В называется булевой алгеброй
тогда и только тогда, когда для любых x,y,ze M в ней
справедливы следующие законы:
Булевы алгебры
С1. Идемпотентность:х + х = х, х-х^х;
С2. Коммутативность:х + у = у + х, х • у в у • х;
СЗ. Ассоциативность: х + (у + z) - (х + у) + z, х • (у • z) - (х • у) •
z;
Булевы алгебры 35
Поглощение: х • (х + у) - х, х + (х • у) = х;
Дистрибутивность: х + (у • z) - (х + у) • (х + z), х • (у + z) - (х • у)
+ (х • z);
0аях, x-I-x, x + I-I;
Универсальные границы: х-0яв0;х
Дополнение: х • х' = 0, х + х' = I;
Законы де Моргана: (х • у)1 = х' + у', (х + у)' = х1 • у';
Инволютивность: (х1)' - х.
Булевы алгебры
Очевидна связь булевых алгебр и двоичных функций.
Множество М составляют все двоичные функции,
множество операций Q — дизъюнкция, конъюнкция и
отрицание, а нульарные операции — тождественные
функции 0 и 1. Но интересно, что и многие другие
модели являются булевыми алгебрами и для них
можно интерпретировать многие свойства двоичных
функций. Например, булеву алгебру представляет
собой любое множество всех подмножеств
произвольного множества А с операциями
объединения, пересечения и дополнения множеств, а
нульарные операции — это пустое подмножество и
полное множество А.
Булевы алгебры
Множество тождеств С1—С9 является избыточным в том смысле, что,
например, аксиомы С1, С8 и С9 следуют из остальных шести С2—С7.
Покажем это для С1. Соответствующее утверждение доказано
Дедекиндом.
Теорема 1.12. Законы идемпотентности С1 следуют из законов
поглощения С4.
Доказательство. Свойство С4: справедливо для любых элементов х и
у. Положим в первом тождестве С4 у - х • х. Тогда это тождество
свойства С4 перепишется так: х • [х + (х • х)] ж х. Из второго тождества,
в котором положим у - х, получим: х + (х • х) - х. Левая часть этого
тождества как раз совпадает с выражением в квадратных скобках
первого тождества. Заменив ее на х, в соответствии с правой частью
этого тождества, получим один из законов идемпотентности х • х = х.
Другой закон идемпотентности доказывается аналогично, если мы
заменим в предыдущем рассуждении операцию «+» на «•», и наоборот.
Это является частным проявлением так называемого «принципа
двойственности» в булевой алгебре
Булевы алгебры
Теорема 1.13. Любая общезначимая
теорема о булевых алгебрах, в
формулировке которой участвуют
только операции «+», «•» и «'»,
остается общезначимой, если в ее
формулировке всюду заменить «+» на
«•», и наоборот.
Доказательство этой теоремы весьма
просто. Все свойства С1—С9
сохраняются при такой замене.
Поскольку любые доказательства в
булевой алгебре базируются только на
этих свойствах, то любое такое
доказательство при вышеуказанной замене превращается в доказательство
двойственного утверждения.
Пороговая логика
В 1943 году Уоррен Мак-Каллок и Уолтер Питтс
предложили формальную модель нейрона (нервной
клетки мозга) как переключающей функции {9,1}" —>
{9,1} в виде логической схемы, имеющей конечное
число двоичных входов и один двоичный выход.
Каждый вход х, учитывается в нейроне с некоторым
приписанным ему весом Wj. Нейрон возбуждается,
если суммарное взвешенное возбуждение его входов
не меньше некоторого порога срабатывания 9.
Иными словами, выход нейрона равен 1, если I^Wj
*x{ > 9.
С изменением порога и весов входов логические
функции, реализуемые этим нейроном, изменяются.
Рассмотрим формальный нейрон с двумя входами
{xl, х2}, изображенный на рис. 1.15
Пороговая логика
Суммарное возбуждение Z для этой схемы рассчитывается так:
S = wl*xl + w2*x2. Пусть wl = w2 = l; тогда Z = xl + x2. Если 0 = 1,
эта схема реализует дизъюнкцию xl v х2; при 0 = 2 она
реализует конъюнкцию xl&x2.
Поставим обратную задачу: для заданного нейрона найти такие
веса входов и порог его срабатывания, что этот нейрон
реализует заданную двоичную функцию, например конъюнкцию
&. Очевидно, что для решения задачи для конкретного нейрона
рис. 1.14 нужно просто решить систему 4-х неравенств: ^ 4 ; .^^
для набора <9, 9>, I = wl * xl + w2 * х2 = 9 < 9 (поскольку 9&9 = 9)
для набора <9,1>, S = wl * xl + w2 * х2 = w2 < 9 (поскольку 9&1 =
для набора <1,9>, I = wl * xl + w2*x2 = wl< 9 (поскольку 1&9 = 9); '
" для набора <9, 9>, Z = wl*xl + w2*x2 = wl + w2>9 (поскольку 1&1
= 1).
Пороговая логика
Рис. 1.15. Пример формального
нейрона
Очевидно, что этой системе
неравенств удовлетворяет
решение 0 = 2, wl = w2 = 1.
Покажем, что в пороговой
логике не существует элемента
с двумя входами, реализующего функцию сложения по
модулю 2. Действительно,
Пороговая логика
Из второго и
третьего
неравенства имеем
wl + w2 > 6 + 6 и,
учитывая последнее
неравенство,
0>wl+w2>0 + 0. Это,
однако,
противоречит
первому
неравенству 0>0.