Связь системной функции с частотной характеристикой

Лекция № 10
Связь системной функции с
частотной характеристикой
Структурную схему дискретной системы можно составить
либо по разностному уравнению, либо с помощью
системной (передаточной) функции. Применяя Zпреобразование к обеим частям разностного уравнения,
получим выражение для системной функции:
1
2
l
b0  b1 z  b2 z  ...  bl z
H ( z) 
.
1
2
m
a0  a1 z  a2 z  ...  am z
Связь системной функции с
частотной характеристикой
• Системная функция есть Z-преобразование от импульсной
характеристики системы:
H ( z) 


h( n) z  n
n 
• Частотный коэффициент передачи также может выражаться через
значения импульсной характеристики:
K ( j ) 


h(n)e  j nT
n 
Очевидно, чтобы получить частотный коэффициент передач
(частотную характеристику) дискретной системы из его
системной функции, в последней нужно сделать подстановку:
z  exp( jT )
Связь системной функции с
частотной характеристикой
Пример. Определить системную функцию рекурсивного
фильтра второго порядка.
x ( n)
X ( z)
y ( n)
u ( n)
1
2
1
z
1
z 1
4
Y ( z)
Связь системной функции с
частотной характеристикой
Решение. Введем для анализа промежуточный сигнал u (n) и
запишем уравнения относительно двух сумматоров в
форме разностных уравнений:
1
1
u (n)  x(n)  u (n  1)  u (n  2);
2
4
y (n)  u (n)  u (n  1).
Применяя Z-преобразование к этим уравнениям,
получаем:
1 1
1 2
U ( z )  X ( z )  z U ( z )  z U ( z );
2
4
Y ( z )  U ( z )  z 1U ( z ).
Связь системной функции с
частотной характеристикой
После преобразований получаем:
1
1
U ( z)  X ( z)
;
Y
(
z
)

U
(
z
)(1

z
).
1
2
1 z 2  z 4
z ( z  1)
H ( z)  2
.
z  z 2 1 4
Разностные уравнения обычно определены при
и имеют набор начальных условий. Поэтому при n  0
решении практических задач обычно вводят
одностороннее Z-преобразование, определяемое как

X ( z )   x ( n) z  n
n 0
Обратное Z-преобразование
Функция X ( z ) определяет всю бесконечную совокупность
отсчетов x(0), x(1), ..., x(n),.... Умножим обе части ряда Zпреобразования на множитель z n 1 :
z n1 X ( z )  x(0) z n1  x(1) z n2  ...  x(n) z 1  ...
Вычислим интегралы от обеих частей полученного
равенства, взяв в качестве контура интегрирования
замкнутую кривую, лежащую целиком в области
аналитичности и охватывающую все полюса функции X ( z ).
При этом воспользуемся теоремой Коши:

2 j , если n  1
z dz  
если n  1.
0,
n
Обратное Z-преобразование
•
Получаем выражение, называемое обратным Zпреобразованием, оно позволяет найти отсчеты x(n) по
Z-изображению X ( z ) :
x ( n) 
1
2 j

X ( z ) z n 1dz  Z 1  X ( z )
C
Здесь C – замкнутый контур окружностью C  R1 , где
R1 – радиус сходимости X ( z ) .
•
Обратное Z-преобразование существует только для
таких функций X ( z ) , которые могут иметь лишь
конечное число особых точек (полюсов), причем
особенность в каждой из них является устранимой.
Обратное Z-преобразование
• Для вычисления обратного Z-преобразования чаще всего пользуются
теоремой о вычетах, согласно которой интеграл по замкнутому
контуру от функции комплексного аргумента с точностью до
множителя 1 (2 j) равен сумме вычетов подынтегральной функции
X 0 ( z )  X ( z ) z n 1 в особых точках (полюсах pi ), охватываемых
контуром интегрирования C :
x(n) 
1
X

2 j
0

( z )dz   Re s X 0 ( z ) z  p
i
C
i

• Определение вычетов связано с представлением функции X 0 ( z ) в
виде:
X 0 ( z )  X ( z ) z n 1 
N ( z)
k
 (z  p )
i 1
где pi является полюсом порядка
mi
,
i
mi
.
Обратное Z-преобразование
Для нахождения вычетов используют следующие
формулы:
 В случае простого (однократного) полюса, т.е. полюса
с mi  1 ,


Re s X 0 ( z ) z  p  lim  z  pi  X 0 ( z )    z  pi  X 0 ( z ) 
i
z  pi
z  pi
 В случае m  кратного полюса, т.е. полюса m го
порядка,
1
d m1 
m
Re s X 0 ( z ) z  p 
lim m1  z  pi  X 0 ( z ) 
i

(m  1)! z  pi dz 


Обратное Z-преобразование
• Пример 1. Определить по изображению
отсчеты сигнала x(n) .
X ( z )  z ( z  e )
Подынтегральное выражение обратного Z-преобразования
равно:
zn
n 1
X 0 ( z)  X ( z) z 
( z  e )
Функция X 0 ( z ) имеет один простой полюс в точке p1  e ,
поэтому получаем:

x(n)   Re s X 0 ( z ) z  z
i 1
1

zn

n
 lim
(
z

e
)

e

z e ( z  e )
Обратное Z-преобразование
• Вторым методом вычисления обратного Z-преобразования,
применяемым на практике, является метод разложения
функции X ( z ) на простые дроби. Функцию X ( z )
представляют в виде суммы элементарных дробей:
ai
X ( z)   X i ( z)  
1
(1

p
z
)
i
i
i
где X i ( z ) – z-преобразование с одним простым полюсом. С
ai
учетом того, что каждое слагаемое 1  pi z 1 имеет
обратное Z-преобразование вида ai ( pi ) n , получаем:
N
n
a
(
p
)
 i i , n  0,
x(n)   i 1
0,
n  0.
