Презентация к уроку по теме "Производная"

ПРОИЗВОДНАЯ
МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ
ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ
Зависимость пройденного пути от времени,
движущегося материального тела, называют
законом движения.
Например:
S(5) -расстояние пройденное за 5 сек.
Найдите: S (3)
S (m)
S ( a  b)
)
Ответ:
S (3)  3  9  3  10  36( м)
S (m)  3m  m  10( м)
2
S (a  b)  3(a  b)  (a  b)  10( м)
2
2

(
a
Особый интерес представляет скорость движения.
Что такое скорость движения?
При равномерном движении скорость постоянна.
Если же движение неравномерно, то говорят о
скорости в данный момент времени, то есть о
мгновенной скорости.
Рассмотрим движение по закону
Найдем скорость тела через 1 сек. после начала
движения
S(1)
3
S (1,8)  S (1)
v AB 
 12,6
S (10,8,8)  S (1)
v AD 
 12,6
0,8
S(1,01)
S(1,1)
S(1,2)
S(1,5)
S(1,8)
3,06
3,662
4,456
7,75
12,664
v AB
S (1,01)  S (1)
S (1,2)  S (1)
v

 6,06

 7,28 AM
0,01
0,2
S S(1(,15,)5)ss(1(1))
S (1,1)  S (1)
v AC
v AC 
99,5,5 v AN 
 6,62
00,5,5
0,1
Мы получили последовательность средних скоростей на
рассматриваемых промежутках.
12,664; 9,5; 7,28; 6,62; 6,06 ; …
 vt
,где t=1
Вывод:
Пределом данной последовательности, очевидно ,
будет скорость данного тела в точке А.
Решим задачу о нахождении мгновенной
скорости в общем виде.
Задача: Пусть тело движется по закону S(t).
Найти скорость тела в момент времени t.
S(tt)
S(t)
tt
v AB
S (t  t )  S (t )

t
t  0  v AB  vt
S (t  t )  S (t )
vt  lim
t
t 0
Воспользуемся полученной формулой для
вычисления мгновенной скорости тела
движущегося по закону S (t )  2t 3  1 в момент
времени t.
S (t  t )  2(t  t )  1;
3
S (t )  2t  1;
3
S (t  t )  S (t )  2(t  t )3  1  2t 3  1  2((t  t )3  t 3 ) 
 2(t  t  t )((t  t ) 2  (t  t )t  t 2 )
2
v  lim
t
t 0
2
2
2t (( t  t )  (t  t )t  t )
t
2
2
2
 lim 2(( t  t )  (t  t )t  t ) 
t  0
2 2 2
2
2
 2(t  t t  t )  2(t  t  t ) 3t 2  6t
Распространим полученный предел, выражающий
скорость движущегося тела, на
произвольную функцию
y=f(x).
Предел примет вид
lim
x 0
f ( x  x)  f ( x)
 f ( x)
x
Данный предел называют ПРОИЗВОДНОЙ функции
y=f(x) и обозначают
f (x ).
Рассмотрим график функции y=f(x).
x - приращение аргумента
f ( x  x)  f ( x)  f ( x)
-
приращение функции
Механический смысл производной:
ПРОИЗВОДНАЯ показывает СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ
ФУНКЦИИ.