Арифметические функции с неопределенными значениями

Цмакаог - 2015
О неклассической теории
вычислимости
С.А. Нигиян
Ереванский государственный университет
Цмакаог – 2015
Классическая теория вычислимости, 1936 год.
Алонзо Черч (1903-1995), лямбда-исчисление
Алан Тьюринг (1912-1954), машины Тьюринга
Эмиль Пост (1897-1954), машины Поста
Курт Гедель (1906-1978), Стефан Клини (1909-1994),
рекурсивные функции
• Kleene S. Introduction to Metamathematics. // D.Van Nostrand Company,
Inc., 1952.
• Rogers H. Theory of Recursive Functions and Effective Computability. //
McGraw-Hill Book Company, 1967.
• Barendregt H. The Lambda Calculus. Its Syntax and Semantics. // NorthHolland Publishing Company, 1981.
Цмакаог – 2015
Арифметические функции с неопределенными
значениями аргументов.
MN{}, где N{0,1,2,...} – множество натуральных чисел,
 – элемент, соответствующий неопределенному
значению.
Введем на множестве М частичный порядок . Для всякого
mM имеем: m и mm.
Всякое отображение φ:MкM, k1, назовем арифметической
функцией с неопределенными значениями аргументов.
Цмакаог – 2015
Функцию φ назовем монотонной, если для всяких (m1,…,mk)
и (1,…,k), где mii, mi,iM, i1,…,k, имеем:
φ(m1,…,mk)φ (1,…,k).
Функцию φ назовем естественно расширенной, если
φ( ... ,  , ...). Легко видеть, что всякая естественно
расширенная функция монотонна.
Такие функции рассматривались в монографии:
• Manna Z. Mathematical Theory of Computation. // McGraw-Hill Book,
Co.1974.
Цмакаог - 2015
Вычислимость и Сильная вычислимость.
Функцию φ назовем вычислимой, если существует алгоритм
(машина Тьюринга), который для всяких m1,…,mkM
останавливается со значением φ(m1,…,mk), если
φ(m1,…,mk) и, останавливается со значением , либо
функционирует бесконечно, если φ(m1,…,mk).
Функцию φ назовем сильно вычислимой, если существует
алгоритм (машина Тьюринга), который для всяких
m1,…,mkM останавливается со значением φ(m1,…,mk).
Цмакаог – 2015
Пример 1. Сильно вычислимая, естественно расширенная
арифметическая функция с неопределенными значениями аргументов:
add(x,y) равно , если x= или y=,
равно x+y, если x≠, y≠.
Примеры 2,3,4 являются примерами сильно вычислимых, не
естественно расширенных, монотонных арифметических функций с
неопределенными значениями аргументов.
Пример 2.
if(x,y,z) равно , если x=,
равно y, если x≠ и x>0,
равно z, если x≠ и x=0.
Цмакаог – 2015
Пример 3.
and(x,y) равно 0, если x0 или x, x1, y0,
равно 1, если x,y и x,y1,
равно  в остальных случаях.
Пример 4.
(x,y) равно 0, если x0 или y0,
равно 1, если x,y и x,y1,
равно  в остальных случаях.
Цмакаог – 2015
Пример 5. Вычислимая, естественно расширенная арифметическая
функция с неопределенными значениями аргументов, которая не
является сильно вычислимой.
Пусть Т0, Т1, … Тn, … геделева нумерация машин Тьюринга,
n≥0. Определим функцию h:
h(x) равно , если x=,
равно , если x≠ и машина Тьюринга Тx
не останавливается на входе 0,
равно 1, если x≠ и машина Тьюринга Тx
останавливается на входе 0.
Цмакаог - 2015
-определимость арифметических функций с
неопределенными значениями аргументов.
Зафиксируем счетное множество переменных V. Определим
множество термов .
1. если xV,то x;
2. если t1,t2 , то (t1t2);
3. если xV и t , то (xt) .
Введем сокращенную запись термов: терм (… (t1t2)…,tk), где
ti, i1,…k, k1, условимся обозначать t1t2…tk; терм
(x1(x2(…(xnt)…), где xjV, t, j1,…,n, n0,
условимся обозначать x1x2…xn.t.
Цмакаог – 2015
Термы t1 и t2 назовем конгруэнтными (обозначим t1t2), если один терм
можно получить из другого переименованием связанных переменных.
Далее мы не будем отличать конгруэнтные термы.
Подстановку терма  в терм t вместо всех свободных вхождений
переменной x (обозначим t[x]) назовем допустимой, если ни одно
свободное вхождение переменной терма  не связывается в результате
подстановки. Мы будем рассматривать только допустимые
подстановки.
Понятие -редукции:
  {( (x.t), t[x] ) | t,, xV}
Одношаговая -редукция (), -редукция () и -равенство ()
определяются обычным образом.
Терм (x.t) называется -редексом, а терм t[x] – его сверткой.
Цмакаог – 2015
Нормальные формы.
Терм, не содержащий β-редексов, называется -нормальной формой
(далее просто нормальной формой). Множество всех нормальных
форм условимся обозначать NF. Будем говорить, что терм t имеет
нормальную форму, если существует такой терм tNF, что tβt.
Терм вида:
x1x2…xn.xt1t2…tk,
где x,xiV, tj, i1,…,n, n0, j1,…,k, k0, называется головной
нормальной формой. Множество всех головных нормальных форм
условимся обозначать HNF. Будем говорить, что терм t имеет
головную нормальную форму, если существует такой терм tHNF,
что tβt.
Известно, что NFHNF, но HNFNF.
Цмакаог – 2015
Вводятся обозначения для некоторых термов:
Ix.x, Txy.x, Fxy.y, (x.xx)(x.xx),
if t1 then t2 else t3  t1t2t3, Zerox.xT, , 0I,
nx.xFn, где x,yV, t1,t2,t3, nN.
Терм  не имеет головной нормальной формы,
if T then t2 else t3 β t2, if F then t2 else t3 β t3, Zero0βT,
Zeron1βF, Zero не иммеет головной нормальной
формы, терм n является замккнутой нормальной формой,
причем, если n1n2, то термы n1 и n2 не конгруэнтны,
где n,n1,n2N.
Цмакаог – 2015
Функцию φ:MкM, k1, назовем -определимой, если
существует терм  такой, что для любых m1,…,mkM
имеем:
m1…mk βφ( m1,…,mk), если φ( m1,…,mk) и
m1…mk не имеет головной нормальной формы,
если φ( m1,…,mk).
В этом случае будем говорить, что терм  -определяет
функцию φ.
Цмакаог – 2015
Теорема 1. Всякая -определимая арифметическая функция
с неопределенными значениями аргументов монотонна.
Теорема 2. Всякая -определимая арифметическая функция
с неопределенными значениями аргументов вычислима.
Теорема 3. Всякая вычислимая, естественно расширенная
арифметическая функция с неопределенными значениями
аргументов -определима.
Цмакаог – 2015
Теорема 4. Существуют сильно вычислимые, монотонные,
не естественно расширенные арифметические функции с
неопределенными значениями аргументов, которые определимы.
Терм And  xy. if Zero x then 0 else (if Zero y then 0 else 1)
-определяет функцию and.
Теорема 5. Существуют сильно вычислимые, монотонные,
не естественно расширенные арифметические функции с
неопределенными значениями аргументов, которые не определимы.
Таковой является функция .
Цмакаог – 2015
Теорема 6.
Вычислимые, естественно расширенные арифметические
функции с неопределенными значениями аргументов

-определимые арифметические функции с
неопределенными значениями аргументов

Вычислимые, монотонные арифметические функции с
неопределенными значениями аргументов.
Цмакаог – 2015
Проблема δ-редекса для сильно вычислимых,
монотонных арифметических функций с
неопределенными значениями аргументов.
Пусть :MкM, k1, сильно вычислимая, монотонная
арифметическая функция с неопределенными значениями
аргументов. Выражение φ(υ1,…,υk), где υi либо элемент из
M, либо переменная, i1,…,k, назовем δ-редексом, если
при любых значениях переменных, входящих в φ(υ1,…,υk),
значение данного выражения одно и то же.
Цмакаог – 2015
Проблема δ-редекса для функции φ формулируется
следующим образом: существует ли алгоритм, который по
всякому выражению вида φ(υ1,…,υk), где υi либо элемент
из M, либо переменная, i1,…,k, определяет: является ли
данное выражение δ-редексом или нет.
Теорема 7. Существуют сильно вычислимые, λ-определимые арифметические функции с неопределенными
значениями аргументов, для которых проблема δ-редекса
неразрешима.
Цмакаог – 2015
Приведем пример такой функции f:M2M.
Пусть Т0, Т1, … Тn, … геделева нумерация машин Тьюринга, n≥0.
f(x,y) равно , если x= или y=,
равно , если x≠, y≠ и машинаТьюринга Тx не
останавливается на входе 0, проделав ≤y шагов,
равно 1, если x≠, y≠ и машина Тьюринга Тx
останавливается на входе 0, проделав ≤y шагов.
Машина Тьюринга Тn не останавливается на входе 0  f(n,y)
является δ-редексом.
Цмакаог – 2015
• Nigiyan S.A. On Non-classical Theory of Computability. // Proceedings of
the YSU, Physical and Mathematical Sciences, N1, 2015, p.52-60.