ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ПРИКЛАДНАЯ КОМБИНАТОРИКА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТАГАНРОГСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ
Экономический факультет
Кафедра математики и информатики
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по научной работе
_____________/Н.Ф. Купчинов/
«____»___________2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«ТЕОРИЯ ГРАФОВ И ПРИКЛАДНАЯ КОМБИНАТОРИКА»
Программа разработана в соответствии с учебным планом по научной специальности
08.00.13 – Математические и инструментальные методы экономики
Квалификация (ученая степень)
Кандидат экономических наук
Общая трудоемкость 3 ЗЕ (108 часов), из них самостоятельная работа – 108 часов. Форма
итогового контроля - зачет
Автор (составитель) программы Карелин Владимир Петрович, д.т.н., профессор
контактный электронный адрес - v.karelin@tmei.ru
Рекомендована кафедрой Математики и информатики
Дата_19.10.2011 г., протокол № __2____, ____________________
(подпись заведующего кафедрой)
Утверждена Советом Экономического факультета
Дата_21.10.2011 г., протокол № __2____, _________________________
(подпись ученого секретаря)
Таганрог – 2011
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Экономико-математическое направление постоянно и неуклонно развивается,
опираясь на использование современных средств вычислительной техники, новых
информационных технологий и современных информационных систем. Для формального
описания и моделирования экономических систем и процессов, анализа многих
практических задач из области экономики и управления идеально подходит
математический аппарат теории графов и комбинаторики. Теория графов и прикладная
комбинаторика дают доступный и мощный инструмент построения и исследования
математических моделей экономических задач и систем. Теория графов является
фундаментальной и имеет широкую область применения, позволяя анализировать
широкий круг важных как теоретических, так и практических комбинаторных проблем.
Целью изучения дисциплины является углубление у обучающихся экономических
специальностей математических знаний в области теории графов и прикладной
комбинаторики; формирование практических навыков построения и исследования
графовых моделей, способностей к анализу систем и процессов, представленных в виде
графов и сетей, а также практических умений моделировать сложные экономические
системы и процессы.
Задачи изучения дисциплины. Задачей учебного курса является знакомство
слушателей с методами представления сложных практических оптимизационных задач
при помощи графовых моделей. Сформировать у обучающихся навыки использования
комбинаторных алгоритмов, дать представление о возможностях аппарата теории графов
и методах решения задач на графах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП АСПИРАНТА
Дисциплина «Теория графов и прикладная комбинаторика» (ОД.А.07) относится к
циклу дисциплин по выбору аспиранта по специальности 08.00.13 – Математические и
инструментальные методы экономики.
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В процессе изучения дисциплины обучающиеся должны:
Иметь представление о возможностях теории графов и прикладной комбинаторики,
о способах построения и исследования графовых моделей, о методах и алгоритмах теории
графов, применяемых для решения сложных задач дискретной оптимизации.
Знать: способы представления графов и их виды, характеристические числа графов,
основные понятия и возможности теории графов и прикладной комбинаторики, способы
организации перебора вариантов и сокращения перебора при решении сложных
практических задач дискретной оптимизации.
Уметь применять полученные знания по теории графов при решении и анализе
практических задач из области экономики и управления.
4. ПЛАН ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Общая трудоемкость 3 ЗЕ (108 часов), из них самостоятельная работа – 108 часов. Форма
итогового контроля - зачет
5. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. Основные понятия и определения графов. Виды графов.
Способы задания графов: геометрический, алгебраический, матричный. Матрица
смежности и матрица инцидентности. Степень вершины графа. Путь в графе. Подграф и
часть графа. Однородные графы. Неориентированные и ориентированные графы.
Изоморфизм графов. Изоморфное вложение и изоморфное пересечение графов. Плоские и
планарные графы. Теорема Понтрягина-Куратовского. Двудольные графы. Мультиграфы.
Взвешенные графы. Гиперграфы. Матрица инцидентности гиперграфа.
Тема 2. Связность графов
Понятие связности. Компоненты связности. Маршрут, длина маршрута. Цепи.
Простые цепи. Контур. Цикл. Простые и элементарные циклы. Ациклический граф.
Эйлеровы графы. Теорема Эйлера о существовании Эйлерова цикла. Гамильтоновы
графы. Достаточные условия существования гамильтонова цикла в графе.
Тема 3. Расстояния и основные числа графов
Расстояние
между
вершинами
графа.
Удаленность
вершины.
Центр
неориентированного графа. Радиус и диаметр графа. Матрица расстояний и алгоритм её
нахождения. Цикломатическое число. Независимые циклы. Теорема о связи числа
вершин и ребер графа с числом независимых циклов. Хроматическое число графа.
Свойства хроматического числа. Теорема о минимальной раскраске плоского графа.
Число внутренней устойчивости графа. Максимальное внутренне устойчивое
подмножество графа. Число внешней устойчивости графа. Ядро графа.
Тема 4. Деревья и сети.
Определение дерева. Характерные свойства деревьев. Сеть. Транспортная сеть.
Поток транспортной сети. Разрез сети. Пропускная способность разреза. Задача о
наибольшем потоке.
Тема 5. Операции над графами
Сумма, пересечение, композиция графов. Декартово произведение графов. Операция
суммирования графов. Операция суммирования в матричной форме. Транзитивное
замыкание графов.
Тема 6. Элементы комбинаторики.
Основные комбинаторные конфигурации. Разбиения, перестановки, выборки.
Формулы числа конфигураций: перестановок, сочетаний, выборок, разбиений. Латинские
квадраты. Коды Хемминга. Прикладная комбинаторика. Комбинаторные задачи на
графах.
Задача о минимальной раскраске вершин графа. Задача о нахождении
максимального внутренне устойчивого подмножества графа, минимального внешне
устойчивого подмножества графа. Сложность решения комбинаторных задач. Класс P
задач, решаемых за полиномиальное время. Класс NP и NP- полных задач. Примеры
прикладных задач из класса NP- полных.
Тема 7. Оптимизационные задачи на графах и задачи выбора
Общие свойства задач выбора. Математические проблемы, связанные с задачами
выбора. Типы задач: оптимизационные и задачи на существование. Пути преодоления
сложности при решении комбинаторных задач. Способы организации перебора вариантов
решений и сокращения перебора. Понятие разумно организованного перебора. Примеры и
способы задания экстремальных задач выбора. Задача размещения вершин графа. Задача
декомпозиции (разрезания) графа. Задача о кратчайшем связывающем дереве. Задача
упаковки ранца. Задача коммивояжёра. Задача о максимальном потоке. Приближенные
(эвристические) и точные методы решения задач выбора. Идеи и методы, положенные в
основу построения эффективных алгоритмов. Идея градиентного алгоритма. Идея метода
динамического программирования. Идея потоковых алгоритмов. Идея методов ветвлений
с отсечениями, метода ветвей и границ. Идея генетических алгоритмов.
6. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Проводится в форме зачета (собеседование по темам).
7. ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Основная литература:
Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях / Нечепуренко М.И., Попков
В.К., Майнагашев С.М. и др. - Новосибирск: Наука.Сиб.отд., 1990.
Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М.: Гл. ред. Физ-мат. лит. Изд-ва "Наука",
1973.
Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов. М.: Наука,1990.
Илюхин А.А., Скобелев В.Г., Дискретная математика: Учебное пособие. Таганрог:
Изд-во ТИУиЭ, 2005.
Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.- М.: Мир, 1978.- 432с.
Компьютер и задачи выбора / Автор предисл. Ю.И. Журавлёв. М.: Наука, 1989.
Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Гл. ред. Физ-мат. лит. Изд-ва
"Наука", 1975.
Дополнительная литература
1. Авондо-Бодино Дж. Применение в экономике теории графов. М.: Изд-во "Прогресс",
1976.
2. Берж К. Теория графов и её применение. М. : ИЛ, 1962.
3. Зыков А.А. Основы теории графов.- М.: Наука, 1987.- 384с.
4. Курейчик В.М., Чернышев Ю.О. Методы оптимизации задач на графах: конспект
лекций. – Ростов н/Д: Изд-во Инст. Сельхоз машиностр., 1982.
5. Мелихов А.Н., Карелин В.П. Методы распознавания изоморфизма и изоморфного
вложения чётких и нечётких графов: Учебное пособие.- Таганрог: Изд.ТРТУ, 1995.112 с.
6. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложением к социальным,
биологическим и экономическим задачам.- М.: Наука, 1986.- 360 с.
7. Оре О. Графы и их приложения. М.: Мир, 1965.
8. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977.
9. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
10. Горелова Г.В., Карелин В.П. Методы теории графов в когнитивном анализе и
моделировании социально-экономических систем. // Вестник ТИУиЭ. Вып.1, 2005.
11. Карелин В.П., Лозовский А.В. Методы понижения сложности и сокращения перебора
при решении комбинаторных задач. // Вестник ТИУиЭ. Вып.1, 2005.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Соответствует требованиям «Положения об организации учебного процесса в
ТИУиЭ» и включает компьютерные классы с выходом в интернет и электроннообразовательную среду MOODLE (раздел обеспечение учебного процесса) и
библиотечный фонд института.