n 1

ТЕОРИЯ ПЕРЕДАЧИ ПО ОПТИЧЕСКИМ ВОЛОКНАМ
Физические процессы в волоконных световодах
Передача по волоконным световодам
осуществляется в оптическом диапазоне волн
f=1014 – 1015 Гц (=3 – 0,3мкм)
Диаметр сердцевины и оболочки
6 – 50 и 125 – 500 мкм.
Точное описание процесса распространения световых воли
в волоконных световодах возможно лишь на основе
уравнений электродинамики, т.е. методами волновой теории.
Основные положения лучевой оптики при
распространении света в волоконных световодах
   отр
n1  sin   n2  sin  пр
пр
n2
n2
n1
n1

отр
а
кр кр
б
Рис. Падение плоской волны на границу двух сред при n1>n2
n1   1
n2   2
n2
 кр  arcsin
n1
r

n0
z
n1
2a
Рис. Двухслойная
модель световода
n2
n1
>кр
Рис. Прохождение косого луча в
ступенчатом световоде


n


2
2  n1 sin   

 n1 
2
2
n0
 
кр
max

n1
1
Рис. Прохождение меридиональных лучей по
диэлектрическому стержню
n0  sin   n1  sin 1


2
 1
sin   cos1 
2
n0
n1
 n0 
2
cos1  1  sin 1  1    sin 
 n1 
2
2
 n0 
n0
2
1    sin  
n1
 n1 
или
2
 n1 
2
   sin   1
 n0 
sin   1
2
2
 n1 
   2
 n0 
n1
 2
n0
1
2
3
n2
n1
Рис. Оптическое волокно: 1 сердцевина; 2
оболочка; 3 защитное покрытие
n0
3
n0
n2
2
n1
1
n2
n1
Рис. Распространение лучей в ступенчатом
волоконном световоде. 1 мода сердцевины
(направляемые моды); 2 моды оболочки; 3
моды излучения
  n1  n2  n1  n n1
Δn=10-2 – 10-3
NA  n0 sin  max
NA  n  n  n1 2
2
1
2
2
  n1  n2  n1  1
n1  n2  2n1
Основные положения волновой теории для
ступенчатых волоконных световодов
Уравнения электромагнитного поля для ступенчатого
световода
r

n2
2b
z
2a
n1
Рис. Двухслойная модель ступенчатого волоконного световода
D
rot H 
t
B
rot E  
t
D  a  E
B  a  H
 a  0 
 a  0  
Для монохроматических гармонических полей, для которых
E  Em  e
jt
rot H  ja  E
rot E   ja  H
Примем следующие условия
1. Считаем, что поле на внешней поверхности
оптической оболочки пренебрежимо мало, т.е.
можно считать, что оболочка в радиальном
направлении простирается до бесконечности
(b). Это существенно упрощает решение
задачи и позволяет получить результаты,
которые могут быть использованы на практике
для реальных световодов. Указанное
допущение сводит задачу к рассмотрению
модели световода, у которой сердцевина с n1
радиуса а окружена средой (бесконечной
оболочкой) с n2
2. Известно, что на поверхности раздала двух
диэлектрических сред с различными
значениями  граничные условия для векторов
электромагнитного поля имеют следующий
вид:
E1t  E 2 t
H1t  H 2 t
D1n  D2 n
B1n  B2 n
3. При анализе решений поставленной
задачи следует иметь в виду, что
функции, описывающие поведение поля
в сердцевине и оболочке, исходя из
физической сущности процесса, должны
иметь разный характер. Функции для
сердцевины (0<r<a) должны быть
конечными по величине, а для оболочки
(r>a) долины описывать спадающее в
радиальном направлении поле.
4. Принимаем цилиндрическую систему
координат r, , z, причем ось z совмещаем с осью
световода. Распространяющиеся вдоль оси z
световода моды, удовлетворяющие уравнениям
(1.11), представляются обычно в виде
изменяющихся по оси z функций
E (r ,  , z )  E (r ,  )  e
 z
H (r ,  , z )  H (r ,  )  e
 z
Определение составляющих электромагнитного поля.
Дисперсионное уравнение
уравнение Максвелла в цилиндрической системе координат
j  Ez
1 H z  
Er   2  
  0
 
g1  r
r   
j  1 Ez
1 H z  
E   2  
  0

g1  r 
r r  

j 
1 Ez
H z 
H r   2    a


g1 
r 
r 

j 
Ez
1 H z  
H    2   a

 
g1 
r
r   
g    a 0    n k    k  
2
1
2
2
2 2
1 0
2
2
1
g1 – поперечная составляющая волнового
числа в сердцевине;  – коэффициент
распространения в световоде; k1 – волновое
число сердцевины световода показателем
преломления n1
k0   0 0
волновое число вакуума.
2
k1   a1 a1   0 0 11  k0 1  k0n1
1
0 0  C0
C0    f
n1   2  f  n1 2  n1
k1  k0 n1  n1   0 0 


C0
C0

 Ez 1 Ez 1  Ez
2

 2
 g1 Ez  0
2
2
r
r r r 
2
2
 H z 1 H z 1  H z
2



g
H

0
1
z
2
2
2
r
r r r 
2
2
для сердцевины
E z  An J n ( g1 r )e e

jn  z 
H z  Bn J n ( g1 r )e e 
2 2
2
2
2
g1  n1 k0    k1    0
jn
 z
Для оболочки
 Ez 1 Ez 1  Ez
2

 2
 g1 Ez  0
2
2
r
r r r 
2
2
 H z 1 H z 1  H z
2

 2
 g1 H z  0
2
2
r
r r r 
2
2
поперечная составляющая волнового числа в
оболочке световода
g2    k n    k
2
2
0
2
2
k2  k0 n2  n2   0 0 
2
2
1
2  n2

Ez  Сn H ( jg 2 r )e e

(/)
jn  z 
H z  Dn H n ( jg 2 r )e e 
(/)
n
jn
 z
g2    n k  0
2
2 2
2 0
Ez1 a   Ez 2 a ; E 1 a   E 2 a  

H z1 a   H z 2 a ; H  1 a   H  2 a 
для коэффициента распространения , которое
носит название дисперсионного уравнения
 1 J g1a  j H  jg 2a    J g1a  j  a 2 H  jg 2a 





(/)
g2 H n  jg 2a  
 g1 J n ( g1a) g 2 H  jg 2a   g1 J n g1a 
1 
2 2 1
 n   2  2 
 g1 a g 2 a 
/
n
(/)/
n
(/)/
2
2
/
a1 n
2
(/)/
n
Характеристики распространения и типы
направляемых волн
Для симметричных волн

1 J1 ( g1a )
1 H ( jg 2 a)

для волн Hom
g1a J 0 ( g1a)
jg 2 a H ( jg 2 a)


2
2
(/)
n1 J1 ( g1a )
n2 H1 ( jg 2 a)


для волн Eom 
(/)
g1a J 0 ( g1a)
jg 2 a H 0 ( jg 2 a)

(/)
1
(/)
0
Для несимметричных дипольных волн
(/)

1 J n1 ( g1a )
1 H n1 ( jg 2 a)

для волн HEnm
(/)
g1a J n ( g1a )
g 2 a H n ( jg 2 a )


(/)
1 J n1 ( g1a)
1 H n1 ( jg 2 a)


для
волн
EHnm

g1a J n ( g1a ) g 2 a H n(/) ( jg 2 a)

П

Еz
П

Еz
П

Еz
Рис.Уменьшение продольной составляющей Еz с
уменьшением угла наклона вектора направления
распространения волны к оси световода
a
k

б
k

g
g
n1n2
k
Ez0
n1n2
k
Ez0
Рис. Составляющие волны в общем случае
(а) и линейно-поляризованной (LP) волны (б)
Характеристическое уравнение для LP мод имеет
весьма простую форму
J n1 ( g1a)
g1
n1
J n ( g1a)
  g2
K n1 ( g 2 a)
n1
K n ( g 2 a)
Для одномодовой системы, которая работает на
гибридной волне НЕ11, получаем
J1 ( g1a)
K1 ( g 2 a)
g1
 g2
J 0 ( g1a)
K 0 ( g 2 a)
Коэффициент распространения может
быть рассчитан по формуле
2



  n1
f0
n2 

1     1  2 
C0
 f   n1 
2
В предельных случаях при критической частоте (f0)
и больших расчётных частотах имеем

  n2

  n1
C0
C0
 k0  n2  k2 при f  f 0
 k0  n1  k1 при f  
g  g k k
2
1
2
2
2
1
g  g  k n  n
2
1
2
2
2
0
2
1
определим критическую частоту световода:
g1C0
f0 
2
2
2 n1  n2
2
2
2
2

g1  a  C0
f0 
2
2
  d n1  n2
критическая длина волны
C0   d
2
2
0  
 n1  n2
f 0 g1  a
Значение корней Бесселевых
функций Pnm g1a=V0
m
Типы волн
n
1
2
3
0
2,405
5,520
8,654
Еот, Нот
1
0,000
3,832
7,016
НЕ11
1
3,832
7,016
10,173
ЕН1т
2
2,405
5,538
8,665
НЕ2т
2
5,136
8,417
11,620
ЕН2т
нормированная частота
V
2  a

 n n
2
1
2
2
Значения нормированной частоты и тип
соответствующей моды
V
Моды
V
Моды
0 – 2,405
НЕ11
5,520 – 6,380
Н02, Е02, НЕ22
2,405 – 3,832
Н01, Е01, НЕ21
6,380 – 7,016
ЕН31, НЕ51
3,832 – 5,136
НЕ12, ЕН11,
НЕ31
ЕН21, НЕ41
7,016 – 7,588
НЕ13, ЕН12,
НЕ32
ЕН41, НЕ31
5,136 – 5,520
7,588 – 8,417
При значении g1а=2,405 критическая частота
использования одномодового волокна
2,405
f0 
2
2
2  a  0 0  n1  n2 
Число типов волн в световоде зависит от
диаметра сердцевины d=2a и длины волны  и
определяется по выражению:
N
V
2
 2
21  
 u
r
nr  n0  1  2     
a
Обычно
n1  n2 n1  n2


2n1
n1
и лежит в пределах =0,003 – 0,01
u
Для градиентного световода, имеющего
параболический профиль показателя преломления
и=2 получается
r
nr  n0  1  2     
a
2
Для ступенчатого профиля показателя
преломления показатель степени и, т.е.
получается известное выражение
n2  n1 1   
число мод для ступенчатого волокна
1 2 1  2  a 2
2 
N V  
n1  n2 
2
2 

2
для градиентного
1 2 1  2  a 2
2 
N V  
n1  n2 
4
4 

2
Фазовая и групповая скорости. Волновое
сопротивление

Vф 

Vф 
k2   a 2 a 2
V2 
V2 k2

1
 a 2 a 2
Vф  C 0
g g
2
2
g1 n  g n1
2
1
2
2
Vф 
C0
Vф 
C0
n2
n1
2
2
2
2
 V2
 V1
С0
C0
 Vф 
n1
n2
Групповая скорость распространения по световоду
определяется выражением
Vгр 
C0
dn
n 
d
Волновое сопротивление световода
Er
ZВ 
H
ZВ 
E
Hr
предельное значения волнового сопротивления
сердцевины
Z В1 
оболочки
Z В2 
Z0
Z0
n1
n2
Z0  0  0  376,7
В реальных условиях волновое сопротивление
световода имеет промежуточное значение
Z0
n1
 ZВ 
Z0
n2
численно составляет примерно 250 – 260 Ом