Логарифмы, логарифмическая функция, её свойства и график

Урок алгебры в 10 классе
Тема: «Логарифмы, логарифмическая функция, её свойства и график»
Цели:
1. Образовательная: Ввести понятие логарифмической функции с применением
прошлого опыта, дать определение. Изучить основные свойства логарифмической
функции. Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической
функции.
2. Развивающая: Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать.
Формировать графическую культуру учащихся.
3. Воспитательная: Показать взаимосвязь математики с окружающей
действительностью. Формировать навыки общения, диалога, умение работать в
коллективе.
Тип урока: Комбинированный
Методы обучения: Частично-поисковый, диалоговый.
Оборудование: Раздаточный материал, копировальная бумага, миллиметровая бумага,
учебник Ш.А. Алимов, Алгебра и начала анализа 10 – 11 класс, сборник задач для
подготовки к ЕГЭ.
Ход урока:
Вводная часть урока: Целевая установка.
Логарифмы - это всё!
Музыка и звуки
И без них никак нельзя
Обойтись науке!
Вступительное слово учителя:
Более трёхсот лет прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые
логарифмические таблицы. Значение логарифмов трудно переоценить. Они нужны
инженеру и астроному, штурману и артиллеристу, всем, кому приходится вести
громоздкие вычисления. Совершенно прав великий французский математик и астроном
Лаплас, который сказал: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких
месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». В подтверждение
разберём три примера (Приложение 1) Примеры на вычисление логарифма
 log 2 log 2
 log 2 log 2
 log 2 log 2
2 3
2 5
2 ?
Сегодня вам предстоит открыть новые знания и на этом пути нам предстоит пройти
несколько этапов:
1) Актуализация прошлого опыта:
Учащимся предлагаются устные упражнения с использованием определения логарифма,
его свойств, формул перехода к новому основанию, решения простейших
логарифмических и показательных уравнений, примеров на нахождение области
допустимых значений подлогарифмических выражений. (Приложение 2)
Устные упражнения
2)Для контроля усвоения материала предлагается тест с кодированными ответами. В
результате правильного выполнения, которого получается фамилия шотландского
математика Непера. (Приложение 3)
І вариант
ІІ вариант
Вычислите:
ln 128
ln4
P124, E32, П ln124, Н3,5
1.
2. log 5 log 7 7  log 7
1
7
Р1/7, Е1, П-1, Н6
3. 27
log3 2
Р81, Е54, П8, Н29
log 3 8  log 3 2
4.
log 2 36  log 2 9
Р8/9, Е log34, П10/27, Н4
ln 125
ln 5
P75, H3, E35, П ln25
1
2. log 7 log 1 + log 1 11
3
3
11
1.
Р1/11, Н1, Е-1, П10
3. 8
log2 4
Р16, Н32, Е12, П64
log 3 16  log 3 4
log 3 24  log 3 6
Р log316, Н10/9, Е3, П10/3
4.
2
log 4 125
3
Р35, Е125/7, П63, Н(5+log27)
5. log 2 x  log 2 7 =
2
log 9 32
5
Р10,Н32/5, Е(2+log35), П20
5. log 3 x  log 3 5 =
НЕПЕР
При правильном решении, при верном выборе ответа, должен получиться НЕПЕР –
фамилия шотландского математика, который впервые предложил использовать запятую,
как математический знак и в 1614 изобретал логарифм.
2)Основная часть:
x
a) Учащимся предлагается решить показательные уравнения:
1
2x  y ,    y ,
2
x
1
x
3  y ,    y с помощью выражения переменной x через
3
переменную y . В результате этой работы получаются формулы, которые
задают функции, незнакомые учащимся. На вопрос учителя: «Как бы вы
назвали эту функции?» учащиеся говорят, что она логарифмическая, так как
переменная стоит под знаком логарифма: y  log a x . На вопрос: «Находит
ли эта функция применение в окружающем нас мире?», ответит с помощью
своего сообщения о логарифмической спирали учащаяся (Приложение 4).
b) Затем ученикам предстоит по своему желанию выбрать одну из четырёх ранее
выведенных функций: y  log 2 x , y  log 1 x , y  log 3 x , y  log 1 x
2
3
и построить её график. Для предупреждения возможных затруднений при
составлении таблицы значений у слабых учащихся предлагается два вида
помощи (значения логарифмов чисел по основаниям 2, 1/2, 3 и 1/3, заданных в
виде выражения и в виде таблицы).
c) После того, как большинство учащихся справятся с этой работой, им
предлагается объединиться в группы в зависимости от вида функции, построить
график каждой из функций на миллиметровой бумаге и определить по графику
все известные свойства функции. После завершения этой работы представитель
каждой из групп выступает с защитой своей работы.
2) Этап применения новых знаний: По сборнику заданий для подготовки к ЕГЭ
предлагается тестовая работа на распознавание графиков логарифмических функций в
двух вариантах. Работа выполняется под копирку, что позволяет быстро проверить
правильность выполнения теста и выявить пробелы.
3) Заключительный этап: Задаётся домашнее задание:
a) В одной системе координат построить график логарифмической функции и ей
обратной, причём выбрать для этого надо две функции не своей группы.
b) В дополнительной литературе с помощью ресурсов Интернет найти
нерассмотренные на уроке области применения логарифмической функции и
подготовить краткое сообщение или презентацию.
Подводятся итоги урока: Рефлексия в форме диалога:
«На уроке я работал активно / пассивно»
«Совей работой на уроке я доволен / не доволен»
«Урок мне показался коротким / длинным»
«Я не достиг хорошего результата потому, что …»
«Материал урока мне был понятен / не понятен»
«Моё настроение стало лучше / хуже».
Схема социально – педагогического проекта урока по теме: «Логарифмы,
логарифмическая функция, её свойства и график»
Педагогическое обоснование урока
Этот урок завершающий в теме «Логарифмы» и вводный в теме «Логарифмическая
функция, её свойства и график». Он связывает понятие логарифма и его свойств с
решением показательного уравнения, корень которого выражается через логарифм
некоторого числа и алгоритмом нахождения функции, обратной данной. Урок также
ориентирован на перспективу, хорошо подготавливая учащихся к восприятию таких тем
как логарифмические уравнения и неравенства, решение которых основывается на
свойствах логарифмической функции.
В результате урока использовались поисковые и эвристические методы обучения, урок
проходил в форме диалога.
Очевидной целью урока является выделение задачи, организация действий и диалога
таким образом, чтобы задача была увидена и сформулирована, что и оказывается
впоследствии логическим завершением урока.
На каждом этапе урока ставилась определённая цель:
1) Вспомнить, закрепить, проконтролировать
a) Подвести учащихся к дидактической задаче, впоследствии к теме урока.
b) Осмыслить тему и произвести самоконтроль
c) Научить работать в коллективе, формировать умение слышать и слушать, вступать
в конструктивный диалог для достижения общего качественного результата
2) Осуществить индивидуальный контроль
3) Оценить работу учащихся класса, групп и свою работу
Данный урок способствовал вовлечению всех учащихся в творческий познавательный
процесс, преодолению посильных трудностей, развитию познавательной активности
учащихся и их общему развитию. Побуждал учеников к самоконтролю и самоанализу
своей деятельности.
Психологическое обоснование урока
Наряду с учением и воспитанием урок способствует психологическому и социальнонравственному развитию личности, это выражается в следующем: На этапе введения в
новую тему и при её завершении использовались задания на формирование таких
мыслительных операций, как анализ и синтез, обобщение и конкретизация.
С помощью фактов из истории, теста с кодированными ответами, подбора устных
упражнений, поддерживалось внимание, развивалась память и мышление учащихся.
На уроке создавались ситуации выбора, успеха, сотрудничества друг с другом, учебной
самостоятельности. Для учащихся с различными каналами восприятия были
использованы разнообразные задания и иллюстративный материал.
Методическое обоснование урока
Для завершения предыдущей темы и введения новой необходимо было восстановить
имеющиеся знания учащихся о понятиях логарифма , функции и их свойств. Для этого
использовалась серия устных упражнений с заведомо нерешаемыми заданиями, которые
развивают внимательность, сосредоточенность и точность в определении понятий.
Задания комментируются учащимися, в форме диалога выявляются необходимые знания,
что обеспечивает хороший уровень повторения. При подведении микроитога у некоторых
учащихся возникают затруднения, которые тут же разрешаются.
Введение нового материала проходит на практической основе. Решая уравнение, из
которого надо выразить одно неизвестное через другое, учащиеся самостоятельно
выходят на то, что полученное выражение есть функция и называется она
логарифмической. Анализируя полученные функции с определёнными основаниями,
учащийся обобщают знания и дают определение логарифмической функции. Выполняя
задание на построение графика логарифмической функции и определение её свойств.
Учащиеся анализируют пройденный материал по теме «Степенная функция», повторяют
определение логарифма при заполнении таблицы значений неизвестных, устанавливают
связи между аналитической формой записи функции и её графической интерпретацией.
С помощью небольшой самостоятельно работы по тестам ЕГЭ учащиеся осознают
значимость данной темы в курсе. Данная работа проводится под копирку, что позволяет
мгновенно выявить степень усвоения новой темы и своевременно устранить пробелы.
Задание на дом предполагает выбор и творческий подход. Подводя итоги урока,
выясняется, что было известно учащимся, что нового узнали и чему научились на этом
уроке.
Обязательная
часть
Решите систему уравнений
1 x

log 2 y  3 ,
 x

3  log 2 y  1.
Число 7 представьте с
помощью трех двоек и
математических символов.
№ 6. 292 из Сборника
заданий для проведения
письменного экзамена за
курс средней школы.
Дополнительное
задание
Доказать равенство
N   log 2 log 2
 2


N раз