х+1

Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение
-средняя общеобразовательная школа № 1 п. Степное
Научно – практическая конференция
«Удивительный мир математики».
Функционально-графические методы
решения неравенств с параметрами в
рамках подготовки к ЕГЭ.
Авторы: ученики 11 Б класса
Клепикова Д., Иванов С.
Руководитель: учитель
математики Копылова Т. Ю.
Степное 2013
0
Содержание
Введение …………………………………………………………………… ……..2
Глава 1 Теоретические аспекты темы «Функционально-графические методы
решения
неравенств
с
параметрами
»
в
школьном
курсе
математики……………………….………………………………..…………….3
1.1 Анализ изложения темы «Функционально-графические методы решения
неравенств с параметрами » в учебно-методической и научно-популярной
литературе…………………………………………...…………..........................3
1.2 Изучение темы «Функционально-графические методы решения неравенств
с параметрами». ……………..……..…………………………………………7
Заключение .………………………………………………………….……..…....9
Список использованной литературы……………………………………….….10
Приложения.…………………………………………………………………….. 11
1
Введение.
«-Что за прелесть эти задачи с параметрами!
Каждая из них - поэма!»
С. А. Тынякин.
Среди конкурсных задач по элементарной математике «задачи с
параметром» традиционно считаются трудными. Обычные задачи с простой
формулировкой: «решить уравнение (неравенство или систему)» имеют
вполне определенные алгоритмы решения. С другой стороны, задачи с
параметром предполагают умение анализировать постановку задачи и
грамотно излагать логически сложную последовательность ее решения. В
первую очередь здесь необходимо понять постановку задачи, так как зачастую
это во многом определяет логику ее решения.
Вторая часть вариантов ЕГЭ состоит из шести задач типа С (с
развернутым ответом), среди которых задача С5 – «задача с параметром»
имеет высокий уровень сложности. Основной целью второй, «вузовской»
части варианта (в отличие от первой части, носящей характер «зачета» по
курсу математики средней школы) является дифференциация выпускников в
отношении их возможностей дальнейшего обучения в вузах с различными
требованиями к математической подготовке учащихся. Задания части 2
предназначены для проверки знаний, которые необходимы в вузах с
профильным экзаменом по математике. Задание С5 по своей постановке, как
правило, алгебраическое, однако в процессе его решения используются
функциональные
и
наглядно-геометрические
представления.
Поэтому
развитие этих представлений у учащихся (начиная с изучения линейной и
квадратичной функций) являются особенно актуальными.
2
Глава 1 Теоретические аспекты изучения темы «Функциональнографические методы решения неравенств с параметрами » в школьном курсе
математики.
1.1 Анализ изложения темы «Функционально-графические методы решения
неравенств с параметрами »
в учебно-методической и научно-популярной
литературе.
Определение понятия «параметр», уравнений и неравенств с параметрами в
большинстве учебников по математике даётся на интуитивном уровне. Определение
неравенства с параметрами приводятся в учебниках А.Г. Мордкович. Н. Я. Виленкина, а
также С. М. Никольского. Однако предлагаемые методы решения носят частный характер.
(Приложение 1)
Все предложенные приёмы решения опираются на определения вида «если в
уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числами, а
буквами, то эти буквы называются параметрами, а неравенство – параметрическим». При
этом если нет точных определений термина «параметр», «задачи с параметрами» и других
связанных с ними понятий, то невозможно проведение исследований, устанавливающих
связь этих задач с основными математическими понятиями. Задачи с параметрами относятся
к тому классу задач, где отсутствуют алгоритмы. Эти задачи требуют умения проводить
разветвлённые самостоятельные логические построения. Именно это и вызывает у учащихся
«робость» перед такими задачами. Для того чтобы преодолеть эти затруднения, необходимо
всем используемым понятиям дать корректные определения, которые приводятся в другой
учебно-методической и научно-популярной литературе.
В книге Горнштейна П.И. «Задачи с параметрами» рассматриваются аналитические,
функциональные и графические методы решения задач с параметрами на примере более 700
задач, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы.
Материал пособия помимо деления на главы и параграфы разбит на пункты, посвященные
3
определенным типам задач или приемам их решения. Часть задач разбирается очень
подробно, при этом демонстрируется несколько методов решения.
Пособие «Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ:
задание С5» под ред. Ф. Ф. Лысенко адресовано учащимся 10— 11-х классов. Оно состоит из
вариантов тестовых заданий по отдельным темам: «Алгебраические выражения»,
«Уравнения», «Неравенства» и др., которые являются традиционными в курсе математики и
поэтому входят в ЕГЭ. Оно состоит из вариантов тестовых заданий по отдельным темам:
«Алгебраические выражения», «Уравнения», «Неравенства» и др., которые являются
традиционными в курсе математики и поэтому входят в ЕГЭ. Согласно спецификации ЕГЭ2011, задание С5 является уравнением, неравенством или системой с параметром. Однако
начинать подготовку к ЕГЭ с решения задач подобного уровня невозможно и
безрезультатно. В связи с этим авторы предлагают подготовительные тесты по основным
темам, материал которых используется при решении задач с параметрами. Последняя глава
содержит задачи, аналогичные заданиям С5 на предстоящем ЕГЭ.
В книге И. Ф. Шарыгина «Факультативный курс по математике», основной целью
которой является подготовка учащихся к продолжению образования в высших учебных
заведениях и повышение уровня общей математической подготовки приводится большой
обзор задач с параметрами, которые можно использовать на разных этапах изучения темы.
Содержательная линия задач с параметрами В.В. Мирошина «Решение задач с
параметрами. Теория и практика» наиболее успешно позволяет использовать её для
тщательной подготовки к ЕГЭ.
Автор предлагает основные понятия, связанные с понятием параметра в контексте,
необходимом для дальнейшего понимания различных методов решения неравенств с
параметром. В частности, функционального и графического методов.
4
Функциональный метод решения является составной частью линии обучения.
Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении
неравенств:
1. кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных функций;
2. свойства чётности и нечётности;
3. периодичность;
4. свойства ограниченности области определения или области значения функции;
в случае неявного задания функции – свойства симметрии графика
5.
относительно осей координат, начала координат и т. д.
Графический метод решения представляет искомые решения в виде
геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат
выступает параметр, а в качестве другой - искомая переменная. Решение задачи в этом
случае рассматривается как значение координаты, соответствующей искомой переменной,
принадлежащей линии или области, задаваемой условием. Действительно, решение задачи с
параметрами есть упорядоченный набор значений аргумента и параметра, который может
рассматриваться как координаты точки некоторого евклидового пространства. В частности,
неравенство относительно одной переменной с одним параметром задаёт на плоскости
некоторые области координатной плоскости. Неравенство относительно двух переменных и
одним параметром задаёт соответствующие области пространства.
В пособии приводятся примеры применения понятия общего решения неравенства
с параметром и следующей теоремы:
В каждой внутренней точке любой из областей G1 G2,…, Gn ,на которые линия,
заданная уравнением, делит плоскость, многочлен P(a,x) либо положителен, либо
отрицателен.
Данная теорема является обобщением известного метода интервалов решения
неравенств с одной переменной. Т. о., общее решение неравенства P(a,x)۷0 образует
совокупность тех областей, в которых значения многочлена отвечают соответствующему
5
знаку неравенства. Для установления, какая из областей входит в ту или иную совокупность,
достаточно вычислить значение P(a,x) в какой-нибудь определённой точке этой области.
При каждом значении параметра α€Dp возникает частное неравенство P(a,x)۷0 относительно
одной переменной, решаемое частными методами. Геометрически множество решений
этого неравенства определяется как множество соответствующих координат x точек прямой
а=α, принадлежащих соответствующим областям знакопостоянства P(a,x).
Итак, для решения неравенств с параметрами, необходимо:
 Преобразовать выражение и привести его к виду
(𝑓(𝑥) ∓ 𝑎)(𝑔(𝑥) ∓ 𝑎) ∨ 0 или
(𝑓(𝑥)∓𝑎)(ℎ(𝑥)∓𝑎)
(𝑔(𝑥)∓𝑎)(𝑡(𝑥)∓𝑎)
∨0
 В координатной плоскости построить линии 𝑎 = ∓𝑓(𝑥), 𝑎 = ∓𝑔(𝑥) и т.д. Эти
линии разбивают плоскость на области.
 Определить знак левой части неравенства в каждой области.
 Выбрать те области, которые удовлетворяют условию.
Пример 1 (Приложение2)
«Фундаментальными» образующими области задач с параметрами являются
1. Неравенства степени не выше второй.
2. Задачи, приводящие к исследованию их систем и совокупностей.
3. Задачи, использующие свойства квадратного трёхчлена.
4. Тригонометрические задачи.
Решить линейное неравенство P(a,x)۷0 можно лишь графически, указав
геометрическое место точек, т. е. применяя метод областей. После изучения этого метода
целесообразно рассмотреть решение текстовых задач, используя график линейной функции.
Решение неравенств с параметрами второй степени выполняется, применяя свойства
квадратичной функции; сохранения знака значений квадратичного трёхчлена, его корней; их
расположения относительно начала координат, относительно точки р числовой оси и
относительно интервала (р;q).Лишь после изучения решения неравенств такими методами
6
рассматриваются неравенства, в которых ограничения на величину корней квадратного
трёхчлена или их расположение возникают из свойств или области значения функции,
входящей в условие. Использование общих свойств функций является достаточно часто
встречающимся приёмом при решении многих задач. Пример 2.(Приложение 3)
1.2
Изучение темы «Функционально-графические методы решения
неравенств с параметрами».
Изучение темы «Функционально-графические методы решения неравенств с
параметрами» необходимо для расширения теоретических и практических знаний.
Простейшим примером неравенства с параметром является понятие линейного неравенства
с параметром. Рассмотрим решение линейного неравенства с параметром при наличии
дополнительных условий, решение неравенства с параметром, приводимого к линейному,
систем линейных неравенств с параметрами.
Примеры 3-4. (Приложение 4)
Рассмотрим типы неравенств с параметрами, решаемых функциональнографическим методом. Первый тип задач: исследовать свойства функции в зависимости от
значений параметра а. Второй тип задач: параметр рассматривается при задании области
определения функции. Третий тип задач: вводятся дополнительные условия на простейшие
свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение
функции и т.д.). Четвертый тип задач: вводятся дополнительные условия на такие свойства
функции, как непрерывность, дифференцируемость, наличие экстремумов.
Решение квадратного неравенства с параметром зависит от коэффициента а и
дискриминанта. При решении квадратного неравенства с параметром целесообразно
применять график, а также теорему Виета. Решение квадратного неравенства с параметром
при наличии дополнительных условий и остальные задачи сводятся к исследованию
расположения корней квадратичной функции и к исследованию расположения графика
квадратичной функции.
Решения квадратных неравенств можно классифицировать
следующим образом: первого вида («для каждого значения параметра найти все решения
7
неравенства»), второго вида («найти все значения параметра, при каждом из которых
неравенство удовлетворяет заданным условиям). Пример5. (Приложение 5)
Решить линейное неравенство P(a,x)۷0 можно лишь графически, указав
геометрическое место точек, т. е. применяя метод областей.
Функциональный метод решения является составной частью линии обучения.
Можно выделить свойства функций, наиболее часто используемые при решении
неравенств: использование ограниченности области определения или области значения
функций, входящих в левую и правую части неравенств, свойства чётности и нечётности,
периодичности, а также экстремальных свойств функции. В случае неявного задания
функции – свойства симметрии графика относительно осей координат, начала координат и т.
д.
Графический метод решения представляет искомые решения в виде
геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат
выступает параметр, а в качестве другой - искомая переменная.
Особенности решения.
1) Так как рассматриваются аналитически заданные функции, то свойства таких
функций определяются свойствами соответствующих выражений.
2) Выражение f(x,a) при каждом значении параметра а задает функцию у=f(x,a), т.е.
при всех допустимых значениях параметра а получаем семейство функций.
3)С наглядно-геометрической точки зрения параметр в формуле задает семейства
графиков функций на координатной плоскости.
4)При аналитической записи ответа целесообразно одновременно приводить его
изображение на координатной плоскости.
Графические интерпретации – одно из самых эффектных и эффективных средств
решения неравенств с параметрами.
Стоит выделить две разновидности рассматриваемого приёма:
1) Изображение на плоскости (хОа), где х - неизвестное, а - параметр.
2) На плоскости (хОу) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра
а.
Первый способ обычно применяется в неравенствах, в которых фигурируют лишь
неизвестная х и параметр а, или сводящиеся к таким. (Пример 6, приложение 7).
Второй часто оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными х и у и одним
параметром а.
Изучив все особенности функционально-графического метода, можно приступать к
решению заданий типа С5 с целью подготовки к ЕГЭ.( Пример7-9,приложение 8.)
8
Заключение.
В ходе работы над темой «Функционально-графические методы
решения неравенств с параметрами » были изучены теоретико-методические
аспекты её изучения в школьном курсе математики, проанализировано её
изложение в учебно-методической и научно-популярной литературе.
Был сделан вывод об особенностях решения задач с параметром.
1)
Так как рассматриваются аналитически заданные функции, то
свойства таких функций определяются свойствами соответствующих
выражений.
2)
Выражение при каждом значении параметра, а
задает
функцию, т.е. при всех допустимых значениях параметра а получаем
семейство функций.
3)
С наглядно-геометрической точки зрения параметр в формуле
задает семейства, которые
позволяют широко применять графическую
иллюстрацию.
4) При аналитической записи ответа целесообразно одновременно
приводить его изображение на координатной плоскости.
Вывод: удобнее и эффективнее использование функциональнографических методов решения (на координатных плоскостях хОа или хОу).
Задачи с параметрами - это высший пилотаж, ибо человек, умеющий
решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет её
применять не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию,
«чувствует» её, считает своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не
просто знает о её существовании. Если человек умеет решать задач с
параметрами, он - ас в математике.
9
Список использованной литературы.
1. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - М.: Гимназия, 2002.
2. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с
параметрами, Брянск, 1999
3. Математика. Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к
ЕГЭ: задание С5 / С. О. Иванов, Е. А. Войта, А. С. Ковалевская, Л. С.
Ольховая; под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону:
Легион-М, 2011.
4. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных
экзаменах. М.: Аркти, 2000.
5. Математика для поступающих в вузы /. А.А.Тырымов. – Волгоград:
Учитель, 2000.
6. Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.
7. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г
8. Нырко В.А.,Табуева В.А. Задачи с параметрами. - Екатеринбург;
УГТУ,2001.
9. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и
неравенства с параметрами. Издат. МГУ, 1992г
10.
Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по
математике: Решение задач. Уч. пособие для 10-11 кл. –М. : Просвещение,
1991 г. -384 с.
11.
Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение,
1988г
10
Приложение 1
1. Мордкович. А. Г.
«Пример 7. Решить уравнение х2 –(2р+1)х+(р2+р-2)=0
Решение.
Это квадратное уравнение отличается от всех рассмотренных до сих
пор тем, что в роли коэффициентов выступают не конкретные числа, а
буквенные выражения. Такие уравнения называют уравнениями с буквенными
коэффициентами или уравнениями с параметрами. В данном случае параметр
(буква) р входит в состав второго коэффициента и свободного члена
уравнения.»
2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И.
«Решим уравнения 8х=7, 15х=7, -11х=7, 0х=7.
Рассматривая уравнение ах=7,мы придавали буквам а и х разный
смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное число, а буквой анекоторое фиксированное число, значение которого в каждом конкретном
случае известно. В таких случаях говорят, что а является параметром, а
уравнение называют уравнением с параметром.»
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И.
«Обычно в неравенстве буквами обозначают неизвестные. Решить
неравенство
-
значит
найти
множество
значений
неизвестных,
удовлетворяющих этому неравенству. Иногда неравенства, кроме букв,
обозначающих
неизвестные,
содержат
другие
буквы,
называемые
параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством
неравенств».
4. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
11
«Задача решить (относительно х) линейное неравенство общего вида
ах+в>0 является примером задачи с двумя параметрами а и в. В этом случае
говорят, что надо решить неравенство с параметрами а и в».
Пример1.(Приложение 2)
Найти все значения параметра а, при которых неравенство
х−2а−3
𝑥−𝑎+3
<0
выполняется для всех х €[1;2].
Решение.
Изобразим на координатной плоскости ГМТ, заданное системой
неравенств
х−2а−3
𝑥−𝑎+3
<0
1≤ х ≤ 2.
Границами областей решения первого неравенства будут прямые,
заданные уравнениями х=2а+3 и х=а-3, причём второе уравнение будет
задавать множество точек разрыва. Решение второго неравенства есть
геометрическое место точек, ординаты которых удовлетворяют неравенству
1≤ х ≤ 2.
12
При −
1
2
< а < 4 неравенство будет верно для всех х €[1;2].
1
Ответ(− ;4)
2
Пример2.(Приложение3)
Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
23х2+2у2+8х-4у+8 + 2х2+4у+5≤ 33∙22х2+у2+4х+4
х2+у2-8х+8у=а
имеет решение, но среди
этих решений нет ни
одного,
удовлетворяющего условию х+у=0.
Решение.
Разделив обе части первого неравенства на 2х2+4у, получим, что
неравенство приобретёт следующий вид:
13
22х2+2у2+8х-8у+4-33∙ 2х2+ у2+4х-4у+4+ 32≤ 0.
Рассматривая левую часть неравенства как квадратный трёхчлен
относительно 2х2+у2+4х-4у+4, разложим данное выражение на множители:
(2х2+у2+4х-4у+4-32)(2 х2+у2+4х-4у+4-1) ≤ 0,
1 ≤ 2х2+у2+4х-4у+4 ≤32,
0 ≤ х2+у2+4х-4у+4 ≤ 5,
4≤ (х+2)2+(у-2)2≤ 9.
Таким образом, первое неравенство системы задаёт на координатной
плоскости кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с
центром в точке (-2;2) и радиусами, равными соответственно 2 и 3.
Преобразуем второе уравнение данной системы. Получим: (х4)2+(у+4)2=а+32. Следовательно, уравнение системы задаёт на координатной
плоскости окружность с центром в точке (4; -4) и радиусом, зависящем от
параметра и равным √а + 32, а ≥ -32.
14
Искомая система будет иметь хотя бы одно решение, если окружность,
имеющая меняющая меняющийся радиус, будет иметь с кольцом хотя бы
одну точку. Однако среди решений не будет решений, удовлетворяющих
условию х+у=0, если окружность будет иметь две точки пересечения только с
внутренней окружностью кольца. В этом случае должно выполняться условие
ОО1 - 2 < √а + 32 < ОО1+2,
ОО1= 6√2. Получим 6√2 – 2 < √а + 32 < 6√2 +2,
76 – 24√2 < а+32 <76 + 24√2,
44-24√2< а< 44+24√2.
Ответ: (44-24√2; 44+24√2).
15
Приложение 4. Решение линейных неравенств с параметром при
наличии дополнительных условий.
Пример3.
При каких значениях к неравенство (к-4)х+к-5<0 справедливо для всех
х, удовлетворяющих условию |x|≤ 3?
Решение.
Рассмотрим функцию f(х)= (к-4)х+к-5,которая является линейной.
Функция f(х) отрицательна на промежутке [-3;3] в следующих случаях:
Первому случаю соответствует следующая система:
f(3)<0,
-2к+7<0,
к>3,5,
f(-3) <0,
4к-17<0,
к<4,25,
к-4 >0;
к>4;
к>4;
т.е.4<к<4,25.
Второму случаю соответствует следующая система:
f(-3)<0,
-2к+7<0,
к>3,5,
f(3) <0,
4к-17<0,
к<4,25,
к-4 <0;
к<4;
к<4;
т.е.3,5<к<4.
16
Третьему случаю соответствует система:
f(3) <0,
к<4,25,
к-4 =0;
к=4;
т. е. к=4.
Ответ: при 3,5<к<4,5.
Пример4.(Демовариант 2007.С3)
Найдите все значения х, которые удовлетворяют неравенству
(2а-1)х2 < (а+1)х+3а
при
любом
значении
параметра
а,
принадлежащем промежутку (1;2).
Решение.
Будем считать параметром – х, а переменной – а. Неравенство
приведётся к виду (2х2 – х-3)а+(-х2-х) <0, в котором левая часть,
рассматриваемая
как
функция
от
а,
есть
линейная
функция
с
коэффициентами, зависящими от х. В задаче требуется, чтобы
f(а)=(2х2 – х-3)а+(-х2-х)
была отрицательна на данном промежутке.
Изобразим
возможные
варианты
графически.
17
В первом случае получаем систему:
f(1)<0,
х2-2х-3<0,
f(2)≤ 0;
3х2-3х-6≤ 0;
(х-3)(х+1) <0,
(х-2)(х+1) ≤ 0;
решением которой
является -1< х ≤ 2.
Во втором случае:
f(1) ≤ 0,
х2-2х-3≤ 0,
(х-3)(х+1) ≤ 0,
f(2) <0;
3х2-3х-6 <0;
(х-2)(х+1) <0;
решением которой является -1< х< 2.
В третьем случае:
к=0,
-х2-х <0;
2х2-х-3=0,
2(х+1)(х-1,5)=0,
х(х+1)>0;
х>0,
х<-1;
то есть х=1,5.
Выполнение
всех
полученных
условий
уже
достаточно
для
отрицательности f(a) на данном промежутке. Т. о., искомые значения х – это
решения этих трёх систем.
Ответ: -1< х ≤ 2.
Приложение 5
Пример5. При каких значениях m неравенство mх-2(m+3)x+m<0 верно
при всех х, удовлетворяющих условию -2≤ х≤ 1.
18
Решение. Пусть f(x)= mх-2(m+3)x+m .
При m=0 получается неравенство -6<0, х >0.
При -2≤ х≤ 0 неравенство не выполняется, значит m=0 не
удовлетворяет условию задачи.
При m≠0 неравенство является квадратным.
Тогда
𝐷
4
=(m+3)2-m2=3(2m+3).
Изобразим, когда выполняется условие
задачи. При m>0:
При m<0:
При m>0 имеем:
m>0,
m>0,
D>0,
2m+3>0,
f (1) <0,
-6<0,
m>0,
m>-1,5,
4
m<- ;
3
то есть решений нет.
f (-2) <0; 9m+12<0;
19
При m<0 в первом случае имеем:
m<0,
D>0,
х0<-2,
m<0,
-1,5< m<0,
2m+3>0,
𝑚+3
𝑚
m+3>-2m,
<-2;
4
m<- ;
3
то есть решений нет.
f (-2) <0; 9m+12<0;
Во втором случае имеем:
m<0,
D>0,
m<0,
2m+3>0,
f (1) <0,
-6<0,
х0 >1;
𝑚+3
𝑚
-1,5< m<0,
m+3<m;
то есть решений нет.
>1;
В третьем случае:
m < 0,
D ≤ 0,
то есть при m≤1,5.
Ответ: при m≤1,5.
20
Приложение 6.
Пример 8.
Решить неравенство √2х + а ≥ х.
Решение.
По равносильному переходу имеем:
х≥0,
2х+а≥х2,
х<0,
2х+а≥0;
плоскости Оха
Построим
в
графики функций а=-2х, а=х2-2х.
Найдём точки пересечения
параболы и прямой, для этого
решим уравнение х2-2х= -2x, х=0.
Поскольку уравнение имеет
единственный корень, прямая
касается параболы, т. е. условие
а≥-2х автоматически выполняется
при а≥ х2-2х, т. к. прямая
находится не выше параболы. Таким образом, в левой полуплоскости (х<0)
надо взять точки, лежащие между ветвями параболы, поскольку а≥ х2-2х,
1-√1 + а ≤ х ≤1+√1 + а,
а≥ -1.
Ответ: при а € (-∞; -1) нет решений; при
а € [-1;0) х € [1-√1 + а ; 1+√1 + а] ;при а € [0; +∞)
𝑎
х € [- ; 1+√1 + а].
2
21
Приложение 7. Пример 6. При любом значении параметра а решить
неравенство
loq x2(x-a)>2.
Решение.
Рассмотрим плоскость (хОа),изобразим на ней множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству. Сначала изобразим область,
для точек которой имеет смысл loq
2
x (x-a).
Это будет полуплоскость x-a>0
(правее и ниже прямой x-a=0), из которой
будут удалены части прямых
х=0, х=-1,
х=1.Вне полосы, ограниченной прямыми х=1и х=1 будет х2>1, и ,следовательно, после
потенцирования, получим
x-a > х2, а<х-х2.
неравенству
соответствует
Последнему
область
под
параболой а=х-х2. При этом |х|>1.
Внутри полосы |х|<1 будет а>х-х2. На рисунке область (а;х), для
точек которой loq x2(x-a) >2, заштрихована. Парабола а=х-х2 касается прямой
1
а=х. Теперь ось а точками 1, , 0, -1, -2 разбита на участки, на каждом из
4
которых легко выписывается решение нашего неравенства. Для этого берём а
на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим
значения х, соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в
заштрихованную зону. Например, если -2 ≤ а <1, то получим два отрезка,
1
1−4а
2
4
концы первого х=-1 и х= -√
1
1−4а
2
4
второго: х=1 и х= +√
( меньший корень уравнения х-х2+а=0 ),
.
22
1
Ответ. Если а≥1, а=0, решений нет; если ≤ а <1, то а < х <1;
4
1
1
1−4а
4
2
4
если 0 < а ≤ , то а < х < -√
1
1−4а
2
4
если -1≤ а <0, то а < х < -√
и
1−4а
2
4
+√
< х <1;
1
1−4а
2
4
и 1 < х < +√
1
1−4а
2
4
если -2< а <-1, то -1< х < -√
1
и1
1
1−4а
2
4
< х < +√
1
1−4а
2
4
если а=-2, то 1< х <2; если а <-2, то -√
;
;
1
1−4а
2
4
< х <-1 и 1< х < +√
.
Пример7. При каких значениях параметра а система
х2-(3а-1)х+2а2-а ≤ 0,
ах=1
имеет решение?
Решение.
Разложим на множители левую часть неравенства:
х2-(3а-1)х+2а2-а=(х-а)(х-2а+1).
В прямоугольной системе координат Оах построим прямые х=а,х=2а-1
1
и гиперболу х= .Заштрихуем множество точек (а;х), которые удовлетворяют
а
неравенству (х-а)(х-2а+1) ≤ 0. Из рисунка видно что система имеет решения,
если а € [а1;а2]U{ а3 } .Найдём а1 и а3 из уравнения
а(2а-1)=1, 2а2-а-1= 0, а=1,
1
а=- .
2
23
1
Так как а2<0, а2=- .
2
1
Таким образом, а€[-1; - ]U{1 }.
2
1
Ответ. [-1; - ]U{1 }.
2
Приложение 8.
Пример 9.
Найдите, при каких значениях параметра а имеет решение система
х2-4х+а2-21=0,
х2-(4а-3)х+3а2-3а≤0,
|x|+|a|≥4.
Решение.
24
Так как корнями трёхчлена во 2-й строке системы являются х=а,
х=3а-3,то систему можно переписать в виде (х-2)2+ а2=52,
(х-а)(х-(3а-3)) ≤0,
|x|+|a|≥4.
Изобразим в системе координат соответствующие кривые. По оси
абсцисс –значения а, по оси ординат – значения х.Первая строка системы
задаёт окружность радиуса 5 с центром в точке (0;2). Вторая строка задаёт
часть плоскости между прямыми х=3а-3 и х=а, а именно углов АЕВ и СЕА.
Третья строка системы
задаёт часть плоскости вне квадрата с вершинами (4;0), (0;4), (-4;0),(0;-4). Из
построенных графиков ясно, что решениями системы являются точки,
соответствующие дугам АВ и СD окружности. Найдём соответствующие
значения параметра а.
Точка А: (х-2)2+ а2=25,
х=3а-3;
(3а-5)2+а2=25; 9а2-30а +25+а2=25;
10а2-30а=0; а(а-3)=0. Так как а>0, то а=3.
Точки В и С: (х-2)2+ а2=25,
х=а;
2±√46
21=0; а1,2=
2
(а-2) 2+а2=25; а2-4а+4+а2=25; 2а2-4а2−√46
. Для тоски С- значение а=
2
, для точки В − значение
2+√46
а=
2
.
25
Точка D:
(х-2)2+ а2=25,
х=-а-4;
(а+6)2+а2=25; 2а2+12а+36=25;
2а2+12а+11=0
−6±√14
а1,2=
2
. Так как из двух точек пересечения окружности и прямой
х=-а-4 нжно выбрать точку с большим значением координаты а, то
−6+√14
а=
[
. Таким образом, система имеет решение при
2
2−√46 −6+√14
2
;
2
]𝑈 [3;
Ответ: [
2+√46
].
2
2−√46
2
;
−6+√14
2
]𝑈 [3;
2+√46
].
2
26