задачи, решения

7 класс
1. (10 баллов) По шоссе с постоянной скоростью едет колонна машин.
Расстояние между машинами одинаковое. Известно, что если ехать навстречу
колонне со скоростью 40 км/ч, то машины будут встречаться каждые 15 секунд.
Если же ехать в направлении движения колонны со скоростью 60 км/ч, мы будем
обгонять машины колонны каждую минуту. Через какие промежутки времени
машины колонны проезжают мимо неподвижного сотрудника ГИБДД?
Решение.
Обозначим V0 - скорость колонны, L - расстояние между соседними
машинами в колонне. Двигаясь на встречу машинам со скоростью V1  40 км/ч,
мы будем встречать их через время t1  15 сек, такое. Что
L  (V1  V0 )t1 .
Аналогично, если двигаться в направлении колонны со скоростью
V2  60 км/ч, моменты встречи будут отделять промежутки времени t2  60 сек:
L  (V2  V0 )t2 ,
отсюда
(V1  V0 )t1  (V2  V0 )t2
и
(V2t2  V1t1 )
 40 км/ч.
(t2  t1 )
Значит промежуток, за который машины проезжают мимо гаишника, будет
равным

L (V  V )t  V
t   1 0 1   1  1 t1  30 сек.
V0
V0
 V0

V0 
1.
Найдено расстояние между машинами при движении навстречу колоне – 2
балла.
2.
Найдено расстояние между машинами при движении по направлению
движения колоны – 2 балла.
3.
Получено выражение и значение для скорости колонны – 3 балла.
4.
Получено выражение и значение для интервала времени между машинами –
3 балла.
2. (10 баллов) Маленький дракончик летит к своей
родовой скале. Дракончик маленький и быстро устает,
поэтому, сначала он активно машет крыльями и летит под
углом 45о к горизонтали, а потом отдыхает, опускаясь
вертикально вниз. Траектория полета дракончика показана на
рисунке. Чему равна средняя горизонтальная скорость дракончика за большое
время полета, если он активно летит то же время, что и отдыхает? Средняя
скорость полета дракончика во время отдыха равна 10 м/с.
Решение.
Когда дракончик машет крыльями, он летит под углом 45о к горизонтали, а
значит, его горизонтальна скорость равна вертикальной.
Из траектории полета дракончика видно, что его средняя высота не
меняется, то есть за время активного полета он поднимается на ту же высоту, на
которую опускается, отдыхая. Учитывая, что время активного полета и отдыха
равны, получаем, что средняя вертикальная скорость дракончика во время
активного полета равна средней скорости v0 во время отдыха.
А это значит, что и средняя горизонтальная скорость дракончика во время
полета равна средней скорости дракончика во время отдыха. Отсюда, учитывая,
что дракончик с этой скоростью летит ровно половину времени, получим ответ:
v
v  0  5 м/с.
2
1.
Указано, что при движении под углом 45о горизонтальна скорость равна
вертикальной – 2 балла.
2.
Указано, что средняя высота полета остается постоянной – 2 балла.
3.
Указано, что средняя вертикальная скорость дракончика во время активного
полета равна средней скорости во время отдыха – 2 балла.
4.
Указано, средняя горизонтальная скорость дракончика во время полета
равна средней скорости дракончика во время отдыха – 2 балла..
5.
Найдено значение скорости – 2 балла.
3. (10 баллов) При исследовании облака установили, что средний объем
капельки воды в нем равен 0,000004 мм3. Чему равна масса воды, содержащейся в
1 м3 облака, если в объеме 0,1 см3 облака в среднем находится 140 капель? Чему
равна средняя плотность облака? Плотность воды 1 г/см3.
Решение.
Зная, что 0,1 см3=100 мм3, из пропорции
100ì ì 3 140

109 ì ì 3
x
найдем, что в облаке объемом 1 м3 содержится 1,4 109 капелек.
Объем их равен V  4 106 1,4 109  5,6 103 мм3  5,6 см3.
Следовательно, масса воды в облаке объемом 1 м3 равна 5,6 г.
Средняя плотность облака равна 0,0056 кг/м3.
1.
2.
3.
4.
5.
Найдено количество капелек в облаке – 2 балла.
Найден объем капелек – 2 балла.
Найдена масса воды в облаке – 2 балла.
Найдена средняя плотность облака – 2 балла.
Указано, что эта плотность определена без учета воздуха – 2 балла.
4. (10 баллов) Двое часовых, двигаясь
прямолинейно, охраняют с противоположных
сторон один небольшой объект. Графики
зависимости координат часовых от времени даны
на рисунке. Постройте: 1) графики зависимости
скорости v x часовых от времени, 2) график
зависимости скорости u x первого часового
относительно второго от времени.
Решение.
1.
Проведен анализ исходного графика x  t  – 2 балла.
2.
Пояснения к построению линий на графиках проекции скорости v1x  t  ,
v2 x  t  часовых относительно охраняемого объекта – 1 балл.
3.
Построены графики v1x  t  , v2 x  t  – по 1 баллу.
4.
Пояснения к построению линий на графике зависимости проекции скорости
от времени первого часового относительно второго v12 x  t  – 3 балла.
5.
Построен график v12 x  t  – 2 балла.
8 класс
1. (10 баллов) На какую высоту можно было бы поднять груз массой
если
бы
удалось
полностью
использовать
энергию,
m  1000 кг,
о
освобождающуюся при остывании 1 литра воды от t1  100 С до t1  20 оС?
Удельная теплоемкость воды c  4200 Дж/кг  оС, плотность воды   1000 кг/м3.
Решение.
При остывании воды освобождается энергия
Q  cm1  t1  t2  ,
где m1  V - масса воды,  - ее плотность.
Для того, чтобы поднять груз массой m на высоту h , должна быть
выполнена работа
A  mgh ,
следовательно,
cV  t1  t2   mgh ,
откуда
c V  t1  t2 
h
 34 м.
mg
1.
Найдено количество теплоты, выделяющееся при остывании воды с учетом
плотности воды – 3 балла.
2.
Определена работа, необходимая для поднятия груза – 2 балла.
3.
Записан закон сохранения энергии – 2 балла.
4.
Получено выражение и значение искомой высоты – 3 балла.
2. (10 баллов) Губка Боб Квадратные штаны отдыхал однажды на суше.
Объем Губки V  0.02 м3, рост h  50 см, средняя плотность сухого Боба
  100 кг/м3. Известно, что если объем воды в Губке Бобе превосходит его объем
в данный момент времени, лишняя вода из него вытекает. Губку Боба замучила
жажда, и он выпил три килограмма воды. Неожиданно на него сверху упал
кирпич массы m  100 кг. Губка Боб спружинил, так что при наибольшем сжатии
его рост составлял h1  5 см, горизонтальные размеры при этом его не менялись.
Через некоторое время Губка Боб пришел в себя, и лежать под кирпичом ему
даже понравилось. Найдите давление на землю, которое оказывал Губка Боб
вместе лежащим на нем кирпичом. Можно считать, что Губка Боб имеет форму
параллелепипеда с горизонтальными размерами a и b .
Решение.
Давление Боба будет складываться из веса кирпича mg , веса сухого Губки
Боба mg и веса воды, оставшейся в нем m0 g , деленных на S - площадь
соприкосновения Губки с землей:
(m  m  m0 ) g
p
S
Несложно найти массу сухого Боба. Для этого умножим его плотность на
объем:
m  V  2 кг
Найдем теперь S . Если горизонтальные размеры Губки a и b , то
V  a bh,
S  a b,
V  Sh ,
Значит,
S  V / h  0,04 м2.
Когда Губка Боб выпьет три литра воды, она в нем как-то распределится. Но
в конечном состоянии воды не может быть больше Sh1 - того объема губки,
который получится при максимальном сжатии.
Эта величина равна
Sh1  0,002 м3=2 литра.
Значит, при падении кирпича из трех литров воды, которые выпил Боб, один литр
вытечет, а останется только m0  2 кг воды.
Итого, принимая постоянную g  10 Н/м, получим
(m  m  m0 ) g 14  10
p

 3500 Па
S
0.04
1.
2.
3.
4.
Найдена масса сухого Боба – 2 балла.
Найдена площадь Боба – 2 балла.
Найден объем и масса оставшейся в Губке воды – 3 балла.
Получено выражение и значение для давления – 3 балла.
3. (10 баллов) Груз в форме куба со стороной a  0,3 м и
массой m  100 кг прикреплен пружиной к потолку, как
показано
на
рисунке.
Первоначально
пружина
не
деформирована. Из-за резкого охлаждения куб быстро сжался,
так что все его стороны уменьшились на a  5 см. Н сколько
изменится давление куба на пол? Жесткость пружины
k  2 кН/м, постоянная g  10 Н/кг.
Решение.
Начальное давление куба на пол было
P0  mg / a 2  11111 Па.
Так как затем высота куба уменьшилась, то пружина растянулась и начала
действовать на груз с силой, направленной вверх и равной
F  k a .
Кроме того, изменилась и площадь контакта куба с полом.
В результате, давление стало равно
(mg  F )
P1 
 14400 Па
(a  a)2
Отсюда мы находим разницу давлений, величину
P1  P0  14400  11111  3289 Па.
1.
2.
3.
4.
5.
Определено первоначальное давление – 1 балла.
Определено изменение силы упругости – 3 балла.
Определено изменение площади куба – 2 балла.
Определено конечное давление – 2 балла.
Определено изменение давления – 2 балла.
4. (10 баллов) Будущий космонавт Вася Пупкин проходил медобследование.
К нему прикрепили множество датчиков, и Вася начал равномерно приседать на
весах: присел, замер в таком положении, встал, замер… После рассеянный
практикант распечатал все результаты обследования, но забыл подписать, на
каких графиках что измерялось. Какие из представленных картинок могут быть
графиками зависимости показаний весов, на которых приседал Вася, от времени?
Ответ поясните.
Решение.
Вася Пупкин неподвижен через равные промежутки времени, в эти
моменты показания весов совпадают с его нормальным весом и не меняются.
Значит на графике должны быть повторяющиеся горизонтальные отрезки.
Когда Вася начинает отпускаться, показания весов сначала уменьшаются.
Они даже могут обратиться в ноль, если Вася приседает очень резко. Это легко
понять, представив себе, что Вася поджал очень сильно ноги, так что они
оторвались от опоры, и он начал падать на весы.
Затем Вася прекращает опускание, при этом показания весов
увеличиваются, и становятся больше настоящего веса Васи. Действительно, ведь
вес Васи уменьшился за счет того, что он приобрел движение вниз. Чтобы
“погасить” это движение и снова иметь нулевую скорость, Васе придется
толкаться ногами сильнее, чем когда он просто неподвижно сидит, присев. Когда
скорость движения Васи вниз будет погашена, весы покажут вес Васи.
После идет обратный процесс: Вася отталкивается ногами от весов,
двигаясь вверх, так что весы показывают больше нормального васиного веса.
Затем показания весов уменьшаются, причем они становятся меньше настоящего
веса, поскольку из-за сильного толчка ногами Вася приобрел скорость,
направленную вверх: в конце подъема, чтобы погасить ее, Вася будет давить на
весы слабее, чем в состоянии покоя. Когда скорость движения Васи вверх будет
погашена, весы снова покажут вес Васи.
Рис. 1.
Описанным свойством обладает, например, периодический график,
изображенный на рис. 1. Его характерным свойством является наличие парных
зубцов: два зубца вверх - два зубца вниз – два зубца вверх - два зубца вниз…
Если Вася в начальный момент стоял. График начинается с приседания, как
на рис. 1, т.е. с одного зубца вниз. Если же измерения начались, когда Вася сидел,
график начинается с подъема, т.е. с одного зубца вверх.
Ни один из графиков, таким образом, не имеет соответствующего вида.
1.
Проведен анализ изменения веса тела при приседании и вставании – 4
балла.
2.
Построен примерный график изменения веса при приседании и вставании –
4 балла.
3.
Указано, что ни один график не соответствует условиям задачи – 2 балла.