1.5. О полноте системы собственных функций
advertisement
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Национальный исследовательский университет
Учебно-научный инновационный комплекс
«Модели, методы и программные средства»
Основная образовательная программа
010400.62 «Прикладная математика и информатика», общий профиль, квалификация (степень) бакалавр.
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«Уравнения математической физики»
Основная образовательная программа
010400.68 «Прикладная математика и информатика», профиль «Математическое моделирование», квалификация (степень) магистр
Учебно-методический комплекс по дисциплине
«Динамика распределенных систем»
Н.В. Дерендяев, А.В. Калинин
Проекционный метод Фурье
Электронное учебно-методическое пособие
Мероприятие 1.2. Совершенствование образовательных технологий, укрепление
материально-технической базы учебного процесса
Нижний Новгород
2012
Дерендяев Н.В., Калинин А.В., Проекционный метод Фурье: Электронное
учебно-методическое пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. –75 с.
В учебно-методическом пособии изучается возможность применения
проекционного метода Фурье для решения краевых и смешанных задач математической физики с неоднородными граничными условиями. Излагается необходимый материал по теории основных задач на собственные значения и
собственные функции для оператора Лапласа.
Электронное учебно-методическое пособие предназначено для студентов Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского,
обучающихся по направлению подготовки бакалавров 010400.62 «Прикладная
математика и информатика», изучающих курс «Уравнения математической
физики», и по направлению подготовки магистров 010400.68 «Прикладная математика и информатика», изучающих курс «Динамика распределенных систем».
© Н.В. Дерендяев, А.В. Калинин, 2012
© Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского, 2012
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................. 5
СХЕМА ПРОЕКЦИОННОГО МЕТОДА ФУРЬЕ ........................................................................ 6
1.
1.1.
ПОСТРОЕНИЕ БАЗИСА ИЗ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ПРОЕКЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЕ .............. 6
1.2.
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ........................................................................................ 6
1.3.
НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ....................................................................................... 6
1.4.
ПРИМЕРЫ............................................................................................................................................ 7
1.5.
О ПОЛНОТЕ СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ...................................................................... 14
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА
2.
ЛАПЛАСА .......................................................................................................................................... 16
2.1.
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ..................................................................................................... 17
2.1.1. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ............................................................................................. 17
2.1.2. ПРОСТРАНСТВО
L2 ( ) ............................................................................................................... 19
2.1.3. ПРОСТРАНСТВА С.Л. СОБОЛЕВА
H k () W21 () ............................................................... 22
2.1.4. КОНЦЕПЦИЯ СЛЕДОВ ФУНКЦИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВ С.Л. СОБОЛЕВА НА ГРАНИЦАХ ОБЛАСТИ .... 26
2.1.5. ТЕОРЕМА РЕЛЛИХА ........................................................................................................................ 32
2.1.6. НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА–ПУАНКАРЕ ....................................................................................... 32
2.1.7. ТЕОРЕМА ЛАКСА–МИЛЬГРАМА ..................................................................................................... 33
2.2.
ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ....................... 36
2.2.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ.......................................................................................................... 36
2.2.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ......................................................................................................... 37
2.2.3. СВОЙСТВА РАЗРЕШАЮЩЕГО ОПЕРАТОРА ..................................................................................... 40
2.2.4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ .......................................................................... 42
2.2.5. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ, СООТВЕТСТВУЮЩИХ РАЗЛИЧНЫМ
СОБСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ ........................................................................................................................ 43
2.2.6. ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ........................................................................... 44
2.2.7. СЧЁТНОСТЬ МНОЖЕСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ..................... 45
2.2.8. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ................... 47
2.3.
ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ...................... 50
2.3.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ.......................................................................................................... 50
3
2.3.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ......................................................................................................... 51
2.3.3. СВОЙСТВА РАЗРЕШАЮЩЕГО ОПЕРАТОРА ..................................................................................... 53
2.3.4. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ............................................. 53
2.3.5. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ................... 56
2.4.
ОБОБЩЕННАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ НЬЮТОНА ..................... 58
2.4.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ.......................................................................................................... 58
2.4.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ......................................................................................................... 59
2.4.3. СВОЙСТВА РАЗРЕШАЮЩЕГО ОПЕРАТОРА ..................................................................................... 62
2.4.4. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ............................................. 62
2.4.5. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА И ПОЛНОТА СИСТЕМЫ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ................... 63
ПРИЛОЖЕНИЕ ........................................................................................................................................ 65
I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА .............. 65
П1. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ......................................... 65
П2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
67
П3. ТЕОРЕМА РИССА О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОГРАНИЧЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА В
ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ .................................................................................................................. 69
П4. КОМПАКТНОСТЬ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ........................................................................ 70
П5. ЛИНЕЙНЫЕ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ .................... 70
П6. ЛИНЕЙНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ........................ 71
П7. ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА–ШМИДТА ...................................................................................................... 72
II. О МЕТОДЕ ГРИНБЕРГА.......................................................................................................................... 73
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................................................................... 75
4
Введение
Традиционно при изложении процедуры метода Фурье сначала находят
собственные функции задачи путем разделения переменных, отчего сам метод
часто называют также методом разделения переменных, и затем строят решение начально-краевой задачи в виде ряда по собственным функциям. При
этом исходная задача предполагается с однородными
самосопряженными
граничными условиями. Если же это не так, то предлагают найти замену неизвестной функции, в результате которой граничные условия станут однородными. Надо заметить, что найти такую замену, особенно в случае трехмерных
задач, бывает нелегко, если вообще возможно. При нахождении коэффициентов Фурье решения начально-краевой задачи, нередко, во многих руководствах предлагают правую часть неоднородного уравнения разложить в ряд по
собственным функциям, что, вообще говоря, невозможно сделать. В оправдание подобным действиям называют то, что функцию в правой части уравнения можно заменить близкой функцией, но удовлетворяющей однородным
граничным условиям задачи, а потому разлагающейся в ряд по собственным
функциям.
Предлагаемая ниже процедура проекционного метода Фурье устраняет
названные выше методические затруднения и выглядит наиболее естественной.
Необходимым этапом для применения проекционного метода Фурье является решения соответствующих задач на собственные значения и собственные
функции. В этом пособии излагается теория основных задач на собственные значения и собственные функции для оператора Лапласа с обоснованием всех основных положений.
5
1.
Схема проекционного метода Фурье
1.1. Построение
базиса
из
собственных
функций
в
проекционной процедуре
Построение базиса из собственных функций в проекционной процедуре
происходит так же как в традиционном методе Фурье, т.е. собственный базис
находим методом разделения переменных. При этом изначально можно ограничиваться рассмотрением собственных функций дифференциального оператора в правой части уравнения, действующего по пространственным переменным. Ниже это будет проиллюстрировано на примере.
1.2. Решение начально-краевой задачи
Решение начально-краевой задачи строим в виде ряда Фурье по функциям собственного базиса. Возможность представления решения в виде такого
ряда в случае однородных самосопряженных граничных условий гарантирует
теорема Стеклова. Если же граничные условия неоднородны, то, следуя предлагаемой процедуре проекционного метода, отбрасываем в них неоднородности и строим собственный базис из функций, удовлетворяющих так полученным однородным условиям. Если функции этого базиса полны в множестве,
которому принадлежит решение начально-краевой задачи, т.е. для решения
выполняется равенство Парсеваля, то возможно представление решения в виде ряда Фурье по собственным функциям, удовлетворяющим однородным самосопряженным условиям, и этот ряд сходится в среднем. Заметим, что в указанном подходе не требуется делать замены неизвестной функции, которая
сводила бы исходные неоднородные условия к однородным.
1.3. Нахождение коэффициентов Фурье
Нахождение коэффициентов Фурье, или собственно проекционная процедура, состоит в следующем. Умножаем скалярно уравнение исходной задачи на базисные функции и преобразуем полученные интегралы с использова6
нием теоремы Грина и граничных, вообще говоря, неоднородных условий. В
результате, как ниже будет показано на примерах, придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье. Решение
этой системы известными методами завершает построение ряда Фурье, представляющего решение исходной начально-краевой задачи. Этот ряд сходится
равномерно в случае, если граничные условия исходной задачи однородные
самосопряженные. В общем случае ряд, построенный по указанной процедуре, сходится только в среднем.
1.4. Примеры
Проиллюстрируем на примерах проекционный метод Фурье.
Пример 1. Задача теплопроводности. Пусть в области D трехмерного
пространства происходит процесс распространения тепла, описываемый уравнением
ut u f ( x, y , z , t )
(1.4.1)
с граничными условиями одного из трех типов
1) u S 0; 2)
u
n
S
u
0; 3) 1
2u 0 .
n
S
(1.4.2)
Здесь u ( x, y , z , t ) – распределение температуры в области D; S – поверхность
области, состоящая из конечного числа гладких кусков;
внешней
нормали;
1 , 2 – коэффициенты,
– производная по
n
удовлетворяющие
условию
12 22 0 . Начальные условия возьмем согласованными с (1.4.2) в виде
u ( x, y, z ,0) ( x, y, z ) .
(1.4.3)
Задача (1.4.1)–(1.4.3) – типичная начально-краевая задача, для решения
которой применяют традиционный метод Фурье. Проиллюстрируем проекционный метод на примере этой задачи.
Для нахождения собственного базиса рассмотрим задачу на собственные значения с оператором Лапласа
7
u 2u
(1.4.4)
и граничными условиями одного из трех типов (1.4.2). Решение этой задачи
для симметричных областей D – параллелепипеда, круглого цилиндра, шара и
т.п., можно найти, разделяя переменные так же как это делается в традиционном методе Фурье. Собственно проекционная процедура состоит в скалярном
умножении (1.4.1) на функции базиса.
Пусть
u s
– множество ортонормированных собственных функций
оператора Лапласа, а s – соответствующие им собственные числа. Имеем
из (1.4.1):
(ut , u s ) ( u , u s ) ( f , u s ) ,
где
скобки
означают
скалярное
произведение
в
(1.4.5)
пространстве
L2 :
(ut , u s ) ut u s dxdydz и т.д. Преобразуем интегралы в (1.4.5). Для классичеD
ского решения u ( x, y , z , t ) существуют частные производные, а поэтому
(ut , u s ) ut ( x, y , z , t ) u s ( x, y , z ) dxdydz =
D
dc (t )
d
u u s dxdydz s ,
dt D
dt
(1.4.6)
где cs (t ) u u s dxdydz – коэффициент Фурье решения задачи (1.4.1)–(1.4.3).
D
Далее,
u
u
( u , u s ) u u s dxdydz u u s dxdydz + u s u s ds .
n
n
S
D
D
(1.4.7)
Здесь воспользовались второй теоремой Грина, согласно которой если u, v
дважды дифференцируемы в D, один раз непрерывно дифференцируемы в D ,
а граница S состоит из конечного числа гладких кусков, то
( u , v ) u v dxdydz =
D
u
v
v ds u ds .
n
n
S
S
Применяя эту теорему, положим v u s . С учетом граничных условий (1.4.2),
которые выполняются для функций u, u s , получим из (1.4.7)
8
( u , u s ) (u , u s ) 2s (u , u s ) 2s cs ,
(1.4.8)
поскольку поверхностный интеграл в (7) обращается в ноль в силу условий
(1.4.2) для функций u, u s . Подставляя (1.4.6), (1.4.8) в (1.4.5), получим уравнения для коэффициентов Фурье
dcs
2s cs ( f , u s ) ,
dt
(1.4.9)
решая которые, найдем
t
cs (t ) As e
2s t
e
2s t
2
( f , u s ) e s t dt .
(1.4.10)
0
Возможность представления решения задачи (1.4.1)–(1.4.3) в виде ряда
Фурье
u ( x, y , z , t )
c (t )u ( x, y, z)
s
s
(1.4.11)
s 1
в данном случае гарантирует теорема Стеклова. Подставляя в (1.4.11) t 0 ,
получим с учетом (1.4.3)
c ( 0 ) u ( x , y , z ) ( x , y , z ) .
s
s
(1.4.12)
s 1
Поскольку ряд (1.4.12) сходится равномерно, а функции u s ( x , y , z ) образуют ортонормальный базис, получим путем скалярного умножения (1.4.12)
на u k ( x, y , z ) , что
ck (0) (, uk ) .
(1.4.13)
Из (1.4.10), (1.4.13) имеем As ( , u s ) , что и завершает построение решения
задачи (1.4.1)–( 1.3) в виде ряда Фурье (1.4.11).
Совершенно аналогично можно построить решение начально-краевой
задачи с волновым уравнением, если граничные условия – однородные самосопряженные одного из трех типов (1.4.2).
9
Возможности проекционного метода Фурье проявляются при рассмотрении задач с неоднородными граничными условиями. В таких задачах метод
позволяет строить решение, не прибегая к заменам неизвестной функции, сводящим граничные условия к однородным. Нахождение подобных замен
в трехмерных задачах сопряжено с трудностями, особенно в случае смешанных граничных условий.
Пример 2. Задача теплопроводности с неоднородными граничными
условиями. Процесс распространения тепла в области D трехмерного пространства описывается уравнением (1.4.1) с неоднородными граничными
условиями одного из трех типов:
1) u S p ( s ); 2)
u
n
S
u
q ( s ); 3) 1
2u r ( s ) . (1.4.2')
n
S
Здесь p ( s ), q ( s ), r ( s ) – заданные непрерывные функции точки поверхности
s S , начальные условия, согласованные с (1.4.2'), возьмем в виде (1.4.3).
Функции базиса выберем, так же, как и в примере 1, удовлетворяющими
уравнению (1.4.4) с однородными граничными условиями одного из трех типов (1.4.2). Тип условия при этом выбираем в соответствии с типом условия в
исходной задаче (1.4.2'). Иначе говоря, граничные условия в задаче с уравнением (1.4.4) получаем из условий исходной задачи (1.4.2') путем отбрасывания
неоднородностей в правых частях формул (1.4.2').
Если решение начально-краевой задачи (1.4.1), (1.4.2'), (1.4.3) принадлежит множеству функций, в котором базисные функции образуют полную
систему, т.е. если
u
2
( x, y , z , t ) dxdydz
c
2
s
,
(1.4.14)
s 1
D
где cs (u , u s ) – коэффициенты Фурье решения начально-краевой задачи, то
это решение можно представить в виде ряда Фурье
10
u ( x, y , z , t )
c (t )u ( x , y , z ) ,
s
s
(1.4.15)
s 1
сходящегося в среднем по норме L2 ( D ) .
В конкретных задачах существование решения, а также полнота системы базисных функций, удовлетворяющих уравнению (1.4.4) с однородными
условиями (1.4.2), должны быть установлены в отдельном рассмотрении.
Для нахождения коэффициентов Фурье ряда (1.4.15) поступим так же
как и в первом примере. Умножая скалярно уравнение (1.4.1) на функции базиса получим соотношение (1.4.5). При этом соотношение (1.4.6) останется
без изменений, а в соотношении (1.4.7), полученном с применением второй
теоремы Грина, поверхностные интегралы выразим с использованием неоднородных условий (1.4.2') в виде
p ( s ) u s ds
n
S
u
u
u s u s ds q ( s )u s ds
n
n
S
S
r ( s )u
s
ds
S 1
соответственно. В результате соотношение (1.4.5) предстанет в виде
p ( s ) u s ds
n
S
dcs
2
s c s (t ) q ( s )u s ds
( f , u s ) , s 1, . (1.4.16)
dt
S
1
r ( s )u s ds
1 S
В системе уравнений (1.4.16) второе слагаемое в правой части следует
выбирать в соответствии с одним из трех типов граничного условия (1.4.2').
Коэффициенты ряда Фурье (1.4.15)
11
c s (t ) (u , u s )
при t = 0 с учетом начального условия (1.4.3) запишем в виде
c s ( 0) ( , u s ) .
(1.4.17)
Решая задачу Коши с обыкновенными уравнениями (1.4.16) и начальными условиями (1.4.17) найдем коэффициенты Фурье cs (t ) и решение исходной начально-краевой задачи (1.4.1), (1.4.2'), (1.4.3) в виде ряда (1.4.15),
сходящегося в среднем.
Замечание. В примерах 1, 2 рассматривается задача теплопроводности.
Совершенно аналогично можно было бы провести рассмотрение для задач с
волновым уравнением. При этом начальные условия в случае с волновым
уравнением были бы в виде
u ( x, y, z ,0) ( x, y, z ) , ut ( x, y , z ,0) ( x, y , z ) .
Представляя u ( x, y , z , t ) в общем случае с неоднородными граничными условиями в виде ряда Фурье, сходящегося в среднем
u ( x, y , z , t )
c (t )u ( x , y , z ) ,
k
s
(1.4.18)
k 1
можно получить начальные условия для коэффициентов Фурье. Полагая в
(1.4.18) t = 0 найдем
( x , y , z )
c ( 0)u ( x , y , z ) ,
k
s
k 1
т.е. ck (0) – коэффициенты Фурье начального распределения u ( x, y, z ,0) . Разлагая ut ( x, y , z ,0) в ряд по полной системе собственных функций, получим
u ( x, y , z ,0) u ( x , y , z ) dV u ( x, y , z ) .
s
t
s
s 1 D
ut ( x , y , z ,0)
Но для классического решения, дифференцируемого по t,
12
d
ut ( x, y , z ,0) u s ( x, y , z ) dV
u ( x, y , z , t ) u s ( x, y , z ) dV
dt
D
D
t 0
d
cs (t ) cs ( 0).
dt
t 0
Таким образом, cs ( 0) – коэффициенты Фурье начального распределения ско-
рости ut ( x, y , z ,0) , т.е. cs (0) ( x, y, z ) u s ( x, y, z ) dV .
D
Как видно, для нахождения начальных условий для коэффициентов
Фурье совсем не обязательно дифференцировать (1.4.18) по t.
Пример 3. Рассмотрим задачу с уравнением Пуассона
u f ( x, y , z ); u | s g ( s )
(1.4.19)
в области D, ограниченной кусочно гладкой поверхностью S; здесь s S –
точка поверхности. Функция f квадратично интегрируема в D , g (s ) непрерывна.
В качестве базиса выберем систему собственных функций оператора
Лапласа u s , удовлетворяющих уравнению
uk λ 2uk ; uk |s 0 .
Эта система функций полна в L2 ( D ) и образует ортонормальный базис [2].
Классическое решение исходной задачи (1.4.19) можно представить в
виде сходящегося в среднем в D
u
c u ( x, y , z ) ,
k k
k 1
где ck u u k dV .
D
Для нахождения коэффициентов Фурье умножим уравнение исходной
задачи скалярно на uk ( x, y, z ) ; получим (u, uk ) ( f , uk ) . С использованием
теоремы Грина преобразуем последнее соотношение к виду
13
(u , u k ) + u k
S
u
u
ds u k ds = ( f , u k ) .
n
n
S
Отсюда
λ 2 (u, uk ) = ( f , u k ) g ( s )
S
u k
ds ,
n
и коэффициенты Фурье решения исходной задачи
ck =
fu dV g ( s ) u k ds .
k
n
S
D
1
2k
В случае задачи Неймана
u f ( x, y );
u
g ( s)
n S
(1.4.20)
процедура построения ряда Фурье осуществляется так же, за исключением того, что 0 0 является собственным значением; ему отвечает постоянная собственная функция u 0
1
, где V – объем области D. Умножая уравнение заV
дачи (1.4.20) скалярно на u0 , получим
20C0
f ( x, y , z )
D
dV
ds
,
g ( s)
V S
V
или
fdV g (s)ds 0 .
D
(1.4.21)
S
Соотношение (1.4.21) – условие существования решения задачи (1.4.20),
а коэффициент Фурье C0 не определяется в соответствии с тои, что решение
задачи Неймана находится с точностью до аддитивной константы.
1.5. О полноте системы собственных функций
Пусть u s – ортонормированная система функций оператора Лапласа:, т.е.
uk λk2uk ; k 1, ,
14
и граничное условие
u k
2u k 0; 12 22 0 .
1
n
S
Граница S области D кусочно гладкая.
Покажем, что для любой непрерывной в D функции f ( x, y , z ) выполняется равенство Парсеваля
f
2
dV
2
k
,
k 1
D
где ck
c
fu dV – коэффициенты Фурье. По теореме Стеклова любую дважды
k
D
дифференцируемую в D функцию, удовлетворяющую граничному условию
u k
2u k 0 ,
1
n
S
можно представить равномерно сходящимся рядом по u k :
v
a
k
uk ; ak v uk dV ; k 1, .
D
Выберем v такую, чтобы
f v dV / 4 .
2
D
Возможность такого выбора, т.е. существование такой функции v, принадлежащей C 2( D ) и удовлетворяющей однородным условиям на границе, требует
доказательства. Оно содержится в [13]. Функцию v можно представить рядом
n
по u k , т.е. v
a u
k k
1 для n N (1 ) . Далее,
k 1
15
f
D
2
ak u k dV f v v
k 1
D
n
2
2 f v dV v
D
D
если взять 1
2
ak u k dV
k 1
n
2
ak u k dV 212V ,
2
k 1
n
.
2 V
Известно [13], что коэффициенты Фурье функции обеспечивают
наилучшее среднеквадратичное приближение, т.е.
f
D
2
ck u k dV f
k 1
D
n
2
ak u k dV ,
k 1
n
или
f
n
2
dV
c
2
k
.
k 1
D
Отсюда следует равенство Парсеваля, что и требовалось доказать.
2.
Основные
задачи
на
собственные
значения
для оператора Лапласа
Для применения проекционного метода Фурье необходимо предварительное решение соответствующей проблемы об определении собственных
значений и собственных функций. В этом разделе приводится исследование
этой проблемы для основных краевых задач для оператора Лапласа: первая
краевая задача (задача Дирихле); вторая краевая задача (задача Неймана); третья краевая задача (задача Ньютона). Более полное изложение этого материала
можно найти, например, в [1, 3, 7–9, 12].
16
2.1.
Предварительные сведения
В этом пункте определяются пространства С.Л. Соболева, обсуждается
концепция следов и приводится необходимый для изучения задач на собственные значения вспомогательный материал. Более полное изложение этого
материала можно найти, например, в [1, 3, 7–12].
2.1.1. Пространства гладких функций
Через x ( x1 ,..., xn ) , y ( y1 ,..., y n ) обозначаются точки евклидова про-
странства R n ; ( x y ) x1 y1 ... xn y n ; | x | ( x x )1/ 2 . Всюду предполагается,
что – непустое открытое связное подмножество евклидова пространства
R n . Через обозначается граница множества , – замыка-
ние множества в R n . Для любого мультииндекса (1 ,..., n ) ( i – целые неотрицательные числа, i 1,...,n ) через обозначается дифференциальная операция
u ( x )
x11
||
... x11
(здесь | | 1 ... n ) ).
Через C ( ) обозначается класс непрерывных определенных на области
функций u : R ; для любого k N
C k () u C () : u C (), , | | k ,
C ()
C
k
() .
k 1
Через C () обозначается класс функций u C () , допускающих непрерывное продолжение на
C k ( ) u C ( ) : u C ( ), , | | k ,
C ()
C
k 1
17
k
() .
Для каждой функции u : R определим ее носитель supp u как за
мыкание в R n множества x : u ( x ) 0. Функцию u : R будем назы-
вать финитной, если одновременно выполнены следующие два условия:
(i)
носитель supp u компактен в R n ;
(ii)
supp u .
Для каждого 0 и y R n определим открытый шар B ( y ) с радиусом
и центром в точке y :
B ( y ) z R n :| z y | .
Пусть
B ( y ) – -окрестность границы Г области . Справедлива
y
Лемма 2.1. Пусть u : R – финитная функция. Тогда существует
0 такое, что supp u 0 .
Класс непрерывных финитных функций обозначается C0 () ;
D ( ) C0 () C () C0 () .
Класс D () обычно называется пространством пробных или пространством основных функций.
Справедлива
Лемма 2.2. D () – линейное пространство над полем действительных
чисел.
Следствием леммы 2.1 является
Лемма 2.3. Пусть u D () . Тогда существует 0 такое, что для любого мутьтииндекса
u ( x ) 0 при всех x .
Справедлива
Лемма 2.4. Существует пробная функция 0 D ( R n ) , удовлетворяющая условиям
18
(i)
0 ( x ) 0 при всех x R n ;
(ii)
supp 0 B1 (0)
( B1 ( 0) – шар радиуса 1 с центром в точке 0 R n ).
Доказательство. Пусть
e 1/ t , t 0
(t )
t 0.
0,
Можно показать, что C (R ) (убедитесь в этом самостоятельно). Очевид
но, функция 0 ( x ) (1 | x |2 ) удовлетворяет условиям леммы 2.4.
Следствием леммы 2.4 является
Лемма 2.5. Для любого y и любого 0 такого, что B ( y ) существует пробная функция D() , удовлетворяющая условиям
( x ) 0 при всех x D ;
(i)
(ii) supp B ( y ) .
x y
~
( x ) 0
Доказательство. Рассмотрим функцию
, где
0 D (R n ) – пробная функция, построенная в лемме 2.4. Очевидно,
~ D (R n ) ,
~ ( x ) 0 при всех x R n , supp
~ B ( y ) . Требуемая функция
~ на область .
D() может быть получена как сужение функции
2.1.2. Пространство L2 ( )
Пусть L2 () – пространство измеримых по Лебегу функций u : R ,
суммируемых с квадратом:
u
2
( x)dx <
Пространство L2 () – векторное пространство над полем действительных чисел, так как для любых u, v L2 () и R выполнено
19
{ (u ( x ) v ( x )) 2 dx}1/2
{ u 2 ( x ) dx}1/2 { v 2 ( x ) dx}1/2 < .
(частный случай неравенства Минковского),
(u ( x))
2
dx = 2 u 2 ( x ) dx <
Определим отображение (,) L : L2 () L2 () R по формуле
(u, v) L =
u( x)v( x)dx
Это определение корректно, так как при всех u, v L2 ()
| (u , v) L |
u( x)v( x)dx
u ( x)dx v ( x)dx
2
1/2
2
1/2
<
(неравенство Коши-Буняковского)
Очевидно, что отображение (,) L удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения (п. П1) за исключением аксиомы 4 и поэтому не является
скалярным произведением. Действительно,
(u, u ) L =
u
2
( x)dx 0
при всех u L2 () , но из равенства
(u, u ) L = u 2 ( x)dx = 0
следует лишь, что u(x) = 0 при почти всех x (то есть функция u (x) может и не быть тождественно равной нулю в ).
Обозначим через N () L2 () подпространство функций u : R ,
равных нулю при почти всех x . Будем говорить, что функции u , v L2 ( )
20
эквивалентны (u ~ v ) , если u v N () .1 Через L2 ( ) обозначим множество,
элементами которого являются классы эквивалентных функций. L2 () – векторное пространство над полем действительных чисел ( L2 () = L2 ()/N () –
фактор-пространство с нулевым элементом 0 = {N ()} ).
При этом над элементами из L2 () могут выполняться те же действия,
что и над индивидуальными функциями из L2 () , если результат этих действий не зависит от выбора конкретных представителей из соответствующих
классов эквивалентностей. Например, интеграл Лебега не изменится, если
подынтегральную функцию изменить на множестве нулевой меры.
В частности, для любых u , v L2 () может быть однозначно определено
отображение (,) L2 : L2 () L2 () R по формуле
(u , v ) L2 = u ( x )v ( x ) dx,
(*)
где в качестве функций u (x) и v(x) в правой части можно взять любые конкретные функции из классов эквивалентностей u и v .
Формула (*) определяет скалярное произведение в L2 () , удовлетворяющее всем аксиомам скалярного произведения (п. П1).
Важнейшим свойством пространства L2 () со скалярным произведением (*) является его полнота.
Теорема 2.1.
([6]) L2 ( ) – сепарабельное гильбертово простран-
ство, обладающее счётным ортонормированным базисом.
Справедлива следующая теорема о плотности
Очевидно, что в данном случае выполнены все аксиомы отношения эквивалентности и это
1
отношение разбивает L2 () на непересекающиеся классы эквивалентностей.
21
Теорема 2.2.
([10]) Пусть – открытое ограниченное подмноже-
ство в R n . Тогда пространства D () , C ( ) , C ( ) плотно вложены в
L2 ( ) .
В дальнейшем элементы L2 () будут называться функциями (суммируемыми с квадратом по Лебегу), как это обычно и делается в литературе.
2.1.3. Пространства С.Л. Соболева H k () W21 ()
Определим пространства H k ( ) как класс функций
W2k () H k () u L2 () : u L2 (), | | k ,
где включение
u L2 ( )
подразумевает, что существует функция
g L2 ( ) , которая при всех D() удовлетворяет равенству
g ( x )( x ) dx ( 1)|| u ( x ) ( x ) dx
(2.1.1)
при этом, по определению, полагается u ( x ) g ( x ) . Идея определения
обобщенной производной u с помощью интегрального тождества вида
(2.1.1) принадлежит С.Л. Соболеву [11] и связана с тем, что для любых функций u C k ( ) , D() справедливо тождество
u ( x )( x ) dx ( 1)|| u ( x ) ( x ) dx ,
(2.1.2)
которое доказывается с помощью интегрирования по частям с учетом того,
что для любого мильтииндекса в некоторой -окрестности границы :
( x ) 0 ( x ).
Таким образом, в случае когда есть классическая производная
u C () имеем g u . В случае, когда классическая производная u
не может быть определена, функция g , удовлетворяющая (2.1.1) (при условии существования), определяет обобщенную производную.
22
Итак, пространство H k ( ) может быть определено как класс функций
из L2 ( ) , все частные производные которых до k-го порядка включительно,
понимаемые в обобщенном смысле, содержатся в L2 ( ) .
В настоящем пособии в основном будет использоваться пространство
H 1 ( ) W21 ( ) , которое соответственно определяется как класс функций
u
H 1 ( ) u L2 ( ) :
L2 ( ), i 1,..., n ,
xi
где включение
u
L2 () также понимается в обобщенном смысле, т.е. счиxi
тается, что для каждого i 1,...,n существуют функции g i L2 ( ) такие, что
( x )
g i ( x )( x ) dx u ( x )
dx
(2.1.3)
x
i
при всех D() .
Пространства H k ( ) наделяются соответствующими скалярными произведениями:
(u , v ) H k ( )
u ( x )
v ( x ) dx
(2.1.4)
,|| k
и, в частности,
n
(u , v ) H 1 ( )
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x )v ( x ) dx .
xi xi
(2.1.5)
Введенные скалярные произведения порождают соответствующие нормы
1/ 2
|| u || H k ( )
| u ( x ) |2 dx
,||k
|| u || H 1 ( ) | u ( x ) |2 dx
,
1/ 2
u ( x ) 2
dx .
x
i
i 1
(2.1.6)
n
Справедлива
23
(2.1.7)
H k ( ) , k 1,2,... – гильбертовы пространства над по-
Теорема 2.3.
лем действительных чисел.
Докажем эту теорему в частном случае для H 1 () . Очевидно, что достаточно убедиться в полноте пространства H 1 () . При доказательстве будут
использоваться очевидные неравенства, следующие из определения нормы
(2.1.7).
u
xi
Пусть
u
L2 ( )
k
k 1
|| u || L2 ( ) || u || H 1 ( ) ,
(2.1.8)
|| u || H 1 ( ) при всех i 1,..., n .
(2.1.9)
H 1 ()
– последовательность, фундаментальная в
H 1 () :
|| u k u l || H 1 0 при k, l .
Из (2.1.8) следует, что
|| u k u l || L2 || u k u l || H 1
и поэтому последовательность u k
k 1
фундаментальна в L2 ( ) . В силу пол-
ноты L2 ( ) заключаем, что существует элемент u L2 ( ) такой, что
|| u k u || L2 ( ) 0 при k .
(2.1.10)
Из (2.3.9) следует, что
u k u l
xi xi
L2 ( )
|| u k u l || H 1 ( ) ,
u k
и поэтому для каждого i 1,...,n последовательности
фундаменталь
x
i k 1
ны в L2 ( ) . Поэтому для каждого i 1,...,n в силу полноты L2 ( ) существуют функции g i L2 () такие, что
24
u k
g i
xi
0 при k
(2.1.11)
L2 ( )
Рассмотрим выражение
g i ( x )( x ) dx
( x )
u( x)
dx ,
x
i
где D() – произвольно выбранная фиксированная пробная функция.
Справедливы оценки
g i ( x )( x ) dx
( x )
u (x)
dx
x
i
g i ( x )( x ) dx
u k ( x )
( x ) dx
x
i
u k ( x )
k ( x )
( x )
k ( x )
( x ) dx u ( x )
dx u ( x )
dx u ( x )
dx .
x
x
x
x
i
i
i
i
Учитывая, что u k H 1 ( ) и
u k ( x )
k ( x )
( x )dx u ( x )
dx ,
x
x
i
i
получаем
g i ( x )( x ) dx
u k ( x )
( x )
( x ) dx
u( x)
dx g i ( x )
x
x
i
i
k ( x )
u (x) u (x)
dx .
xi
Применяя к последним интегралам неравенство Коши–Буняковского
g i ( x ) ( x ) dx
( x )
u k
u (x)
dx g i
x
xi
i
( x )
u uk
L2 ( )
xi
.
L2 ( )
25
L2 ( )
L2 ( )
Учитывая (2.1.10), (2.1.11), заключаем, что при фиксированном D() при
k правая часть последнего неравенства может быть сделана сколь угодно
малой положительной величиной, откуда следует, что
g i ( x ) ( x ) dx
( x )
u (x)
dx 0 ,
x
i
или
g i ( x )( x ) dx
что
согласно
(2.1.3)
( x )
u (x)
dx ,
x
i
означает,
что
u ( x ) H 1 () ,
причем
u ( x )
g i L2 () , i 1,...,n .
xi
Покажем, что
u uk
H1 ()
0 при k .
Действительно,
u uk
H 1 ()
u uk
2
L2 ( )
n
i 1
u
xi
g i
1/ 2
L2 ( )
2
k
0 при k .
Таким образом, фундаментальная последовательность u k
k 1
имеет в
H 1 () предел u H 1 ( ) , что означает полноту пространства H 1 () .
2.1.4. Концепция следов функций из пространств С.Л. Соболева на
границах области
Пусть – ограниченная область в R n . Предположим, что для каждой
точки x существуют числа r 0 и 0 , зависящие от х, и декартова система координат y1 ,..., y n , также зависящая от х, со следующими свойствами. Если обозначить через K K ( x, r ) замкнутый шар в R n с центром в точке
x и радиусом r, через Г – поверхность K , а через – проекцию поверх26
ности Г на гиперплоскость, задаваемую уравнением y n 0 , то существует
функция a a ( y1 ,..., y n 1 ) , определенная на , такая, что
а) a C 0 ,1 ( ) ;
б)
поверхность
Г
задается
уравнением
y n a ( y1 ,..., y n 1 ) ,
т.е.
( y1 ,..., y n ); y n a ( y1 ,..., y n 1 ); ( y1 ,..., y n 1 ) ;
в) множество
M 1 ( y1 ,..., y n ); ( y1 ,..., y n 1 ) , a ( y1 ,..., y n 1 ) y n a ( y1 ,..., y n 1 );
является частью области ;
г) множество
M 2 ( y1 ,..., y n ); ( y1 ,..., y n 1 ) , a ( y1 ,..., y n 1 ) y n a ( y1 ,..., y n 1 )
находится вне множества .
Множество всех областей вышеупомянутого типа обозначается символом C 0,1 . Это множество таких областей, границы которых описываются
(локально) с помощью функций, удовлетворяющих условию Липшица, при
этом область лежит по одну сторону от , а ее внешность – по другую
(см. рис. 1).
Рис. 1
Проиллюстрируем различные возможности, используя большее число
фигур ( n 2 , т.е. все фигуры плоские).
1) Если – прямоугольник ABCD (см. рис. 2), то принадлежит C
27
0 ,1
.
Действительно, если точка x лежит на любой из сторон, то соответствующая поверхность Г всегда будет описываться постоянной функцией, если
подходящим образом выбрать систему координат. Для точек, лежащих на CD,
выберем в качестве системы координат y1 , y 2 исходную систему x1 , x 2 ,
для точек интервала АВ систему координат выберем так, что y1 x1 ,
y 2 x 2 для точек интервала ВС – так, что y1 x 2 , y 2 x1 и т.д. Естествен-
но, ни одна из упомянутых систем координат неприменима для вершин A, B,
C, D. Выбор системы координат для точек С и D показан на рис. 2. Соответствующая поверхность Г задается кусочно линейными функциями.
Рис. 2
Рис. 3
2) Области, показанные на рис. 3, не принадлежат классу C
0 ,1
. Граница
области 1 на самом деле может быть задана в окрестности точки x 0 некоторой функцией, но эта функция не будет удовлетворять условию Липшица.
Рассмотрим область 2 , это круг с выброшенным отрезком S. В окрестности
28
x1 граница вообще не может быть задана функцией, в точках отрезка S это
сделать можно, но соответствующие множества M 1 и M 2 будут частями области 2 .
Области типа C
0 ,1
вводятся среди других причин еще и потому, что для
них возможно введение вектора внешней нормали к и поверхностного интеграла. Фактически функция a C 0 ,1 ( ) , задающая часть Г границы почти всюду в обладает производными
a
, j 1,2,..., n 1 . Поэтому внешняя
y j
нормаль к существует почти всюду на Г. Действительно, если
y y1 ,..., y n 1 , a ( y1 ,..., y n 1 ) – некоторая точка на Г, в которой функция a
имеет производные первого порядка, то вектор внешней нормали v v1 ,..., v n
к в точке y имеет следующие компоненты
v i 1
a
y
j
j 1
n
2
1 / 2
a
, i 1, ..., n 1; v n 1
y i
a
y
j
j 1
n
2
1 / 2
. (2.1.12)
Вектор внешней нормали определен не для всех точек y , а только
для тех, для которых существуют частные производные функции a. Тем не
менее, поскольку эти производные существуют почти всюду на , вектор
внешней нормали существует почти всюду на Г. Однако можно считать, что
вектор v существует всюду на Г – достаточно доопределить его на множестве
меры ноль, на котором он не задан формулой (2.1.12).
Если u – непрерывная функция, определенная на , то можно ввести
поверхностный интеграл. Положим (по определению)
u ( x ) dS u ( y1 ,..., y n1 , a ( y1 ,..., y n1 ))1
a
( y1 ,..., y n1 )
y
j
j 1
n
29
2
1 / 2
dy1 ...dyn1 .
Тогда интеграл
u ( x)dS может быть введен с помощью объединения подхо
дящим образом участков Г, покрывающих границу .
При постановке граничных условий для функций u H 1 ( ) необходи
мо уточнять, в каком смысле понимается функция u (x ) , x , поскольку для
функций из L2 ( ) не имеет смысла вопрос о значениях этих функций на
множестве нулевой меры. Ответ на этот вопрос для функций из пространств
Соболева основывается на концепции следов [1, 3, 8, 9].
В основе этой концепции лежат следующие теоремы
(Теорема о плотности [1, 8, 11]). Пусть R n – от-
Теорема 2.4.
крытое ограниченное множество класса C
0 ,1
. Тогда пространство C ( )
всюду плотно в H 1 () .
Отметим, что для функций из C ( ) можно говорить об их сужении на
границу Г, и поэтому можно считать, что определен "граничный оператор",
который каждой функции u C ( ) ставит в соответствие ее сужение на
границу Г. Такой оператор будем называть оператором следа функции
u C ( ) на границе Г и обозначать через : для функции u C ( ) u –
ее сужение на Г.
Справедлива
([1, 8]) Пусть R n – открытое ограниченное мно-
Теорема 2.5.
жество класса C
0 ,1
. Тогда существует положительная постоянная C () 0 ,
зависящая только от области , такая, что
|| u || L2 ( ) C () || u || H 1 ( )
при всех u C ( ) .
30
(2.1.13)
Пусть теперь u H 1 ( ) . Из теоремы 2.4. следует, что существует по-
следовательность u k
k 1
функций u k C ( ) такая, что
|| u u k || H 1 ( ) 0 при k ,
откуда следует, что последовательность u k
k 1
фундаментальна в H 1 () :
|| u k u l || H 1 ( ) 0 при k, l .
(2.1.14)
Из (2.1.13) следует, что
|| u k u l || L2 ( ) C () || u k u l || H 1 ( ) ,
|| u k u l || H 1 ( ) 0 при k, l ,
т.е. последовательность u k
k 1
(2.1.15)
фундаментальна в L2 ( ) . Т.к. L2 ( ) – гиль-
бертово (полное) пространство, то фундаментальная последовательность
u
k
k 1
имеет предел в L2 ( ) , который будем обозначать через u и называть
следом функции u H 1 ( ) на границе Г.
Корректность этого определения следует из теоремы
След функции u L2 ( ) не зависит от выбора после-
Теорема 2.6.
довательности u k
k 1
функций u k C ( ) , сходящейся к и по норме про-
странства H 1 () , и при этом оператор следа : H 1 ( ) L2 ( ) является линейным ограниченным оператором, удовлетворяющим (2.1.3) при всех
u H 1 () .
Определим пространство H 1 () как замыкание в H 1 () пространства
пробных функций D () . Очевидно, D ( ) C ( ) . По определению замы
кания для любой функции u H 1 () найдется последовательность u k
функций u k D ( ) такая, что
31
k 1
|| u u k || H 1 ( ) 0 при k .
Но для любой функции u k D ( ) u k 0 на Г, и поэтому
u lim u k 0 .
k
Таким образом, для любой функции u H 1 () справедливо u 0 .
Имеет место
Теорема 2.7.
Пусть R n – открытое ограниченное множество
класса C
0 ,1
. Тогда для функции u H 1 ()
u 0 u H 1 () .
2.1.5. Теорема Реллиха
Теорема Реллиха ([1, 8–11]) утверждает, что пространство H 1 () компактно вложено в L2 ( ) . Мы придадим этому утверждению следующую
удобную для нас эквивалентную формулировку: для любой ограниченной в
H 1 () последовательности u k
ность u k i
i 1
k 1
H 1 ( ) существует подпоследователь-
, сходящаяся в L2 ( ) к некоторому элементу u L2 ( ) :
u ki u
L2 ( )
0 при i .
2.1.6. Неравенства Фридрихса–Пуанкаре
Пусть – ограниченная область класса C
0 ,1
. Тогда справедливы сле-
дующие теоремы ([1, 9]).
Теорема 2.8.
Существует положительная постоянная C I () 0 , за
висящая только от области такая, что для всех u H 1 () справедливо неравенство
32
u ( x ) dx C I ()
2
2
u ( x )
dx .
x
i
i 1
n
Существует положительная постоянная C II () 0 ,
Теорема 2.9.
зависящая только от области такая, что для всех u H 1 ( ) справедливо
неравенство
2
u ( x ) dx C II ()
2
2
u ( x )
dx u ( x ) dx .
xi
i 1
n
Существует положительная постоянная C III () 0 ,
Теорема 2.10.
зависящая только от области такая, что для всех u H 1 ( ) справедливо
неравенство
u ( x ) dx C III ()
2
u
xi
i 1
n
2
dx u 2 ( x ) d .
2.1.7. Теорема Лакса–Мильграма
Пусть H – гильбертово пространство над полем действительных чисел;
a (,) : H H R – некоторая билинейная форма. Билинейность означает, что
при всех , R , u , v, w H выполнены соотношения
a (u , v w) a (u , v) a (u , w) ,
a (v w, u ) a (v, u ) a ( w, u ) .
Билинейная форма a : H H R называется симметричной, если
a(u , v) a (v, u ) при всех u , v H ;
билинейная форма a : H H R называется ограниченной, если существует
такая положительная постоянная a 0 , что
| a (u , v ) | a || u || H || v || H при всех u , v H ;
( a не зависит от u и v);
33
билинейная форма a : H H R называется коэрцитивной, если существует
такая положительная постоянная a 0 , что
a (u , u ) a || u || 2 при всех u H ;
( a не зависит от u).
Пусть l : H R – линейный ограниченный функционал. Линейность
означает, что при всех , R , u , v H выполнено
l (u v) l (u ) l (v) ,
ограниченность означает, что существует такая положительная постоянная
l 0 , что при всех u H
| l (u ) | l || u || H
( l не зависит от u).
Справедлива
Теорема 2.11.
([1, 12]) Пусть H – гильбертово пространство над по-
лем действительных чисел a : H H R – билинейная симметричная ограниченная коэрцитивная форма, l : H R – линейный ограниченный функционал. Тогда существует единственный элемент u H , удовлетворяющий равенству
a (u , v ) l ( v )
(2.1.16)
при всех v H .
Доказательство. Снабдим гильбертово пространство H новым скалярным произведением
(u , v ) a a (u , v )
(легко убедиться в том, что (,) a – действительно скалярное произведение в
вещественном пространстве). Пространство H с новым скалярным произведением обозначим H a . Покажем, что H a – гильбертово пространство. Пусть
u
k
k 1
– фундаментальная последовательность в H a . Это означает, что
34
|| u l u m || a 0 при l, m
(здесь || w || a ( w, w)1a/ 2 a( w, w) ). Учитывая, что из условия коэрцитивности
(2.1.16) следует, что
1
|| u l u m ||
a
замечаем, что последовательность u k
k 1
|| u l u m || a ,
фундаментальна в исходном про-
странстве H:
|| u l u m || 0 при l, m .
Так как H – гильбертово пространство, то существует элемент u H такой,
что
|| u k u || 0 при k .
Учитывая, что из условия ограниченности (г) следует, что
|| u k u || a a || u k u || ,
заключаем, что
|| u k u || a 0 при k ,
а это означает, что выбранная фундаментальная в H a последовательность
u
k
k 1
имеет предел u H a . Отсюда следует, что H a – гильбертово про-
странство.
Покажем, что l : H a R – ограниченный функционал. Действительно,
из условия коэрцитивности
|| l (u ) || l || u ||
l
a
|| u || a ,
или
| l (u ) | la || u || a при всех u H a ,
где la l / a не зависит от выбора u H a .
35
Таким образом, задача (2.1.16) может быть сформулирована как задача
об определении (u , v ) a l (v ) при всех v H a , где l : H a R – линейный
ограниченный функционал. Эта задача по теореме Рисса (п. П3) о представлении линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве H a
имеет единственное решение. Теорема доказана.
2.2.
Обобщенная проблема собственных значений для
задачи Дирихле
2.2.1. Формулировка проблемы
Классическая проблема собственных значений и собственных функций
для задачи Дирихле формулируется как задача об определении значений числового параметра , при которых существуют нетривиальные классические
решения u (x ) задачи
u ( x ) u ( x ) ,
(2.2.1)
u ( x ) 0, x .
(2.2.2)
и задача об определении этих нетривиальных решений, называемых собственными функциями, отвечающими собственному значению .
Для получения обобщенной формулировки, действуя формально, умно
жим уравнение (2.2.1) на произвольную функцию v (x ) и проинтегрируем результат по области :
u ( x ) v( x ) dx u ( x ) v ( x ) dx .
(2.2.3)
С учетом того, что
u ( x ) v( x )
n
i 1
xi
u ( x )
x v( x )
i
n
i 1
u ( x ) v( x )
,
xi xi
после применения теоремы Гаусса–Остроградского получим
36
u ( x )
v( x )
d
n
n
i 1
u ( x ) v ( x )
u ( x ) v ( x ) dx ,
xi xi
(2.2.4)
откуда, полагая v( x ) 0 при x , получим
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x ) v ( x ) dx .
xi xi
(2.2.5)
Собственными значениями обобщенной задачи Дирихле на собственные
значения и собственные функции называются такие значения числового пара
метра , при которых существует нетривиальное решение u H 1 () (обобщенная собственная функция), удовлетворяющие равенству (2.2.5) при всех
v H 1 () .
2.2.2. Вспомогательная задача
Рассмотрим вспомогательную задачу, в которой требуется определить
функцию u H 1 () , удовлетворяющую равенству
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx f ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.2.6)
при всех v H 1 ( ) .
Справедлива
Теорема 2.12.
Пусть – ограниченная область в R n . Тогда при всех
f L2 ( ) существует единственное решение u H 1 () и при этом справед-
ливо неравенство
|| u || H 1 () M I () || f || L2 () ,
(2.2.7)
где M I ( ) – некоторая положительная постоянная, зависящая только от области .
37
Доказательство. Обозначая
n
a (u , v )
u v
dx ,
x
i
i
x
i 1
l (v )
(2.2.8)
fvdx ,
(2.2.9)
сформулируем вспомогательную задачу в виде: найти функцию u H 1 () ,
удовлетворяющую равенству
a (u , v ) l ( v ) ,
(2.2.10)
при всех v H 1 ( ) .
Покажем, что для задачи (2.2.10) (и, соответственно, (2.2.6)) выполнены
все условия теоремы Лакса–Мильграма. Очевидно, что форма a (u , v) , определяемая (2.2.8), билинейна и симметрична. Установим ограниченность формы
a (u , v ) .
Используя
дискретное
и
интегральное
неравенства
Коши–
Буняковского, получаем
n
a (u , v )
i 1
n
u
x
i 1
i
2
n u
u v
dx
xi xi
x
i 1 i
1/ 2
dx
n
v
x
i 1
2
i
2
1/ 2
n v
i 1 xi
2
1/ 2
dx
1/ 2
dx
|| u || H 1 ( ) || v || H 1 ( ) .
Таким образом,
a (u , v ) || u || H 1 ( ) || v || H 1 ( ) ,
и условие ограниченности билинейной формы a (u , v) выполняется с постоянной a 1 (см. п. 2.1.7).
Установим коэрцитивность билинейной формы a (u , v) . Согласно неравенству Фридрихса (теорема 2.8) для некоторой постоянной C I () 0 справедливо неравенство
38
u ( x ) dx C I ()
2
u
xi
i 1
n
2
dx ,
откуда
u ( x ) dx
2
u
xi
i 1
n
2
dx (1 C I ())
u
xi
i 1
n
2
dx ,
откуда получаем
Таким
образом,
a(u, v)
1
|| u || 2H 1 ( ) .
1 C I ()
условие
коэрцитивности
(2.2.11)
выполнено
с
постоянной
a (1 C ( )) 1 (см. п. 2.1.7).
Ограниченность линейного функционала l, определенного соотношением (2.2.9), может быть установлена с помощью неравенства Коши–
Буняковского:
1/ 2
l ( v ) f ( x ) dx
1/ 2
v ( x ) dx
|| f || L2 ( ) || v || H 1 ( ) .
(2.2.12)
Установленные свойства билинейной формы (2.2.8) и линейного функционала (2.2.9) позволяют применить теорему Лакса–Мильграма для доказательства существования и единственности решения вспомогательной задачи
(2.2.6). Учитывая, что это решение в силу (2.2.10) удовлетворяет равенству
a (u , u ) l (u ) ,
и учитывая неравенства (2.2.11), (2.2.12), получим
1
|| u || 2H 1 ( ) || f || L2 ( ) || u || H 1 ( ) ,
1 C I ( )
откуда получаем (2.2.7) с постоянной M I () 1 CI () .
Доказанная теорема позволяет определить линейный разрешающий оператор вспомогательной задачи (2.2.6), ставящий в соответствие функции
39
f L2 ( ) решение вспомогательной задачи (2.2.6) u H 1 () L2 () . Обо-
значим этот оператор как
T : L2 () L2 () ,
(2.2.13)
при этом учитывая, что множество значений этого оператора R (T ) H 1 () ,
этот оператор может рассматриваться и как оператор
T : L2 () H 1 () .
(2.2.14)
Установленное в теореме 2.12 свойство (2.2.7) означает, что оператор
(2.2.14) – ограниченный. Действительно, неравенство (2.2.7) можно записать в
виде
|| Tf || H 1 ( ) M I () || f || L2 ( ) .
(2.2.15)
Отметим, что отсюда следует ограниченность оператора (2.2.13). Действительно, учитывая, что
|| u || L2 ( ) || u || H 1 ( ) ,
можно записать
|| Tf || L2 ( ) M I () || f || L2 ( ) .
(2.2.16)
2.2.3. Свойства разрешающего оператора
В этом параграфе разрешающий оператор вспомогательной задачи
(2.2.6) будет рассматриваться как оператор T : L2 () L2 () .
Справедливы
Теорема 2.13.
T – самосопряженный оператор, то есть, для любых
f , g L2 ()
(Tf , g ) L2 ( ) ( f ,Tg ) L2 ( ) .
40
(2.2.17)
Доказательство. Пусть u –решение вспомогательной задачи (2.2.6) для
уравнения (2.2.6) с правой частью f L2 ( ) , w –решение задачи (2.2.6) с пра
вой частью g L2 () , т. е. при всех v H 1 ( ) справедливы равенства
n
i 1
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx f ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.2.18)
w( x ) v ( x )
dx g ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.2.19)
Подставляя в (2.2.18) v w , а в (2.2.19) v u , и вычитая из одного получившегося выражения другое, получим
f ( x ) w( x ) dx g ( x )u ( x ) dx ,
откуда, с учетом того, что u Tf , w Tg , получим (2.2.17). Теорема доказана.
Теорема 2.14.
Оператор T : L2 () L2 () – вполне непрерывный
оператор.
Доказательство. Пусть
f
k
k 1
L2 ( ) – некоторая ограниченная по-
следовательность в L2 ( ) , т.е. для некоторого M 0 выполнено
|| f k || L2 ( ) M при всех k 1,2...
(2.2.20)
В силу неравенства (2.2.7) для решений вспомогательной задачи (2.2.6)
u H 1 () соответствующих f f k справедливы неравенства
k
|| Tf k || H 1 ( ) || u k || H 1 ( ) M I () || f k ||
или
|| Tf k || H 1 ( ) M M I () при k 1,2....
41
Следовательно, последовательность Tf k
k 1
ограничена в H 1 () и по
теореме Реллиха содержит сходящуюся подпоследовательность Tf k i
i 1
, что
доказывает вполне непрерывность оператора T : L2 () L2 () (см. п. П5).
2.2.4. Действительность собственных значений
В обобщенной проблеме собственных значений и собственных функций
требуется определить значения параметра , при которых существует нетри
виальное решение u H 1 () , удовлетворяющее равенству
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.2.21)
C
при всех
– комплексное число, то
v H 1 ( ) . Если
u ( x ) Re u ( x ) i Im u ( x ) – вообще говоря, комплекснозначная функция, при
чем Re u H () , Im u H 1 () . Применим к (2.2.21) операцию комплексного
1
сопряжения
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x )v ( x ) dx .
xi xi
(2.2.22)
Ввиду произвольности выбора v H 1 ( ) в равенствах (2.2.21), (2.2.22) можно
заключить, в частности, что справедливы равенства
n
u ( x ) u ( x )
dx u ( x )u ( x ) dx ,
xi xi
i 1
n
i 1
u ( x ) u ( x )
dx u ( x )u ( x ) dx .
xi xi
Вычитая из (2.2.23) равенство (2.2.24), заключаем, что
42
(2.2.23)
(2.2.24)
( ) | u ( x ) |2 dx 0 .
Поскольку u – собственная функция, то
| u ( x ) |2 dx 0
и , а это означает, что R . Если при этом комплекснозначная функция
u ( x ) Re u ( x ) i Im u ( x ) ,
Re u H () , Im u H 1 () является собственной
1
функцией, отвечающей собственному значению , то разделяя в (2.2.21) действительные и мнимые части, получим, что вещественные функции Reu Im u
являются собственными функциями, отвечающими собственному значению
. Поэтому достаточно ограничиться определением лишь вещественных соб-
ственных функций, отвечающих собственному значению . При этом любая
комплексная собственная функция может быть получена как линейная комбинация вещественных собственных функций.
Таким образом, все собственные значения вещественны, и, не ограничивая общности, можно считать, что отвечающие им собственные функции также вещественны.
2.2.5. Ортогональность собственных функций, соответствующих
различным собственным значениям
Пусть u1 H 1 () – собственная функция, отвечающая собственному
значению 1 , u 2 H 1 () – собственная функция, отвечающая собственному
значению 2 , 1 2 . Тогда
u ( x )u ( x )dx 0 .
1
(2.2.25)
2
Доказательство. Имеем при всех v H 1 ( )
43
n
u1 ( x ) v ( x )
dx 1 u1 ( x )v ( x ) dx ,
xi
xi
(2.2.26)
u 2 ( x ) v ( x )
dx 2 u 2 ( x )v ( x ) dx .
xi
xi
(2.2.27)
i 1
n
i 1
Подставляя в (2.2.25) v u 2 , в (2.2.26) v u1 и составляя разность получившихся выражений, получим
(1 2 ) u1 ( x )u2 ( x ) dx 0 ,
откуда следует (2.2.25).
2.2.6. Положительность собственных значений
Пусть R – собственное значение задачи
n
u ( x ) v( x )
dx u ( x )v( x )dx .
xi xi
i 1
(2.2.28)
Здесь u H 1 () – собственная функция, отвечающая собственному значению
, и равенство (2.2.28) выполняется при всех v H 1 () . Положив в (2.2.28)
v u , получим
2
u ( x )
x dx
i
i 1
.
2
u ( x ) dx
n
Отметим, что правая часть (2.2.29) неотрицательна, причем
2
u ( x )
x dx 0,
i
i 1
n
т.к. в противном случае если
44
(2.2.29)
2
u ( x )
x dx 0,
i
i 1
n
получим, что u( x ) const , и учитывая, что u H 1 () (след функции u на гра
нице Г равен 0), получим, что u ( x ) 0 , x , что приводит к противоречию,
т.к. по определению u – нетривиальное решение (2.2.28).
2.2.7. Счётность множества собственных значений и собственных
функций
Покажем, что каждому собственному значению соответствует конечное
число линейно независимых собственных функций. Будем рассуждать от противного. Предположим, что некоторому собственному значению отвечает
бесконечный набор линейно независимых собственных векторов uk
k 1
. По-
скольку любая нетривиальная комбинация линейно независимых собственных
векторов, отвечающих собственному значению , является также собственным вектором, отвечающим собственному , то можно сказать, что бесконеч-
ная ортонормированная система u~k
k 1
векторов, полученная в результате
применения процедуры ортогонализации Грама–Шмидта (см. п. П2) к системе
векторов uk
k 1
, также будет линейно независимым набором собственных
векторов, отвечающих собственному значению . Но тогда для ограниченной
|| u
последовательности u~k
k 1
k
1
|| L2 1 последовательность Tu~k u~k не
будет иметь сходящейся подпоследовательности, т.к.
Tu~k Tu~l
2
1 ~ k ~l
u u
2
2
1 ~k
u
2
и никакая подпоследовательность Tu~k i
i 1
2
L2
2 u~k , u~l
L2
u~l
2
L2
не будет фундаментальной, что
противоречит вполне непрерывности оператора T : L2 () L2 () .
45
2 ,
2
Отметим, что впредь, не ограничивая общности, будем считать, что
каждому собственному значению отвечает конечная система ортонормированных в L2 ( ) векторов.
Справедлива
Теорема 2.15.
Для любого R 0 существует не более чем конечное
множество собственных значений таких, что | | R .
Доказательство. Предположим, что существует R 0 , для которого
найдется бесконечный набор различных собственных значений k
k 1
таких,
что | k | R . Для каждого собственного значения k возьмем по одному отвечающему ему нормированному в L2 ( ) собственному вектору u k ( k N ). Но
|| u
тогда для ограниченной в L2 ( ) последовательности u k
последовательность Tu k
k 1
k
|| L2 1
1 k
u не будет иметь сходящейся подпоследоваk
тельности, т.к
Tu k Tu l
2
L2 ( )
1
1
2
2 2,
2
k l R
и никакая подпоследовательность T u k i
i 1
не будет фундаментальной, что
противоречит вполне непрерывности оператора T : L2 () L2 () .
Следствие. Множество собственных значений и собственных векторов
не более чем счётно.
Учитывая, что все собственные значения положительны (п. 2.2.6), на
основании теоремы 2.15 можно сделать вывод: если множество различных
собственных значений бесконечно (счётно), то эти собственные значения могут быть расположены в порядке возрастания
0 1 2 ... k ...
и при этом k при k .
46
2.2.8. Теорема
Гильберта–Шмидта
и
полнота
системы
собственных функций
С учетом определения разрешающего оператора T : L2 () L2 () , задача на собственные значения (2.2.5) может быть записана в виде
u Tu .
(2.2.30)
Поскольку доказано (п. 2.2.7), что 0 , то положив 1 , уравнение
(2.2.24) можно записать в виде
Tu u .
(2.2.31)
(в отличие от собственных значений числа 1 будем называть собственными числами). Как было показано выше, T : L2 () L2 () – линейный вполне непрерывный самосопряженный оператор, для которого справедлива теорема Гильберта–Шмидта (п. П7). При этом ввиду конкретной задачи,
порождающей разрешающий оператор T : L2 () L2 () , можно отметить
следующие его свойства.
Лемма 2.6. Если T ( f ) 0 , то f 0 .
Доказательство.
Напомним,
что
разрешающий
оператор
T : L2 () L2 () определялся в п. 2.2.2 как оператор, ставящий в соответ
ствие функции f L2 ( ) решение u H 1 () L2 () интегрального равенства
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx f ( x )v ( x ) dx ,
xi xi
(2.2.32)
которое должно выполняться при всех v H 1 ( ) . Если при этом оказалось,
что T ( f ) u 0 , то в силу (2.2.26) это означает, что
f ( x )v( x ) dx 0 при всех v H 1 ( ) .
47
(2.2.33)
Т.к. (см. п. 2.1.2) пространство пробных функций D () всюду плотно в
L2 ( ) , то и пространство H 1 () D () всюду плотно в L2 ( ) , поэтому из
(2.2.33) следует, что f 0 .
В данной конкретной ситуации из теоремы Гильберта–Шмидта следует,
что любой элемент f L2 ( ) записывается в виде
f
c u
k k
,
(2.2.34)
где u k – система собственных векторов задачи (2.2.31).
Поскольку L2 ( ) – бесконечномерное сепарабельное пространство, то
возможность представления произвольного элемента f L2 ( ) в виде ряда
может осуществляться лишь в том случае, когда ортонормированная система
u k счётна. Таким образом, справедлива
Лемма 2.7. Множество
k
различных собственных чисел задачи
(2.2.31) счётно, при этом собственные числа могут быть расположены в порядке убывания
1 2 ... k ... 0 ,
(2.2.35)
причем
k 0 при k .
Как отмечалось выше, каждому собственному числу k соответствует
набор из конечного числа линейно независимых собственных векторов; не
ограничивая общности, можно считать этот набор ортонормированной системой. Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих
собственному числу k , называется кратностью собственного числа k .
Таким образом, доказано, что ортонормированная система собственных
векторов задачи (2.2.31) является полной системой (базисом) в L2 ( ) . Для записи разложения элементов из L2 ( ) в ряды Фурье по системе собственных
48
векторов удобно пронумеровать все собственные векторы задачи (2.2.31). Для
этого систему собственных чисел k можно перенумеровать так, чтобы вместо цепочки (2.2.34) строгих неравенств была записана цепочка нестрогих неравенств
1 2 ... k ... 0 ,
(2.2.36)
в которой идущих подряд равенств может быть лишь конечное число и каждому собственному числу k с номером k отвечает ровно один нормированных собственный вектор u k . В цепочке (2.2.36) одно и то же собственное число может встречаться ровно столько раз, какова его кратность. Очевидно, попрежнему
k 0 при k ,
и собственные векторы uk и ul с различными номерами k и l будут ортогональны в L2 ( ) . При этом для любого элемента f L2 ( ) справедливо представ-
ление в виде ряда Фурье по ортонормированной системе uk
k 1
:
f
c u
k k
k 1
, где ck ( f , uk ) L2 ( ) ,
(2.2.37)
и при этом будет выполнено равенство Парсеваля–Стеклова
|| f || L2 ( )
c
2
k
.
(2.2.38)
k 1
Кроме того, для любого f L2 ( ) будет справедливо равенство
T( f )
c u
k k k
k 1
, где ck ( f , uk ) L2 ( ) ,
(2.2.39)
Сформулируем соответствующие результаты собственных значений и
собственных функций u H 1 () обобщенной проблемы собственных значений
49
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.2.40)
(равенство должно выполняться при всех v H 1 ( ) ).
Теорема 2.16.
k
k 1
Существует счётный набор собственных значений
такой, что
0 1 2 ... k ...,
(2.2.41)
причем k при k , каждому собственному значению k с номером k
соответствует ровно одна нормированная в L2 ( ) собственная функция
u k H 1 () ; для любой функции f L2 ( ) справедливо представление в виде
сходящегося в L2 ( ) ряда Фурье
f (x)
k 1
2.3.
ck u k ( x ) , где ck ( f , uk ) L2 ( ) ,
Обобщенная
проблема
собственных
(2.2.42)
значений
для задачи Неймана
2.3.1. Формулировка проблемы
Классическая проблема собственных значений и собственных функций
для задачи Неймана формулируется как задача об определении значений числового параметра , при которых существуют нетривиальные классические
решения u (x ) задачи
u ( x ) u ( x ) ,
(2.3.1)
u ( x )
0, x .
(2.3.2)
n
Для получения обобщенной формулировки, действуя формально, умно
жим уравнение (2.3.1) на произвольную функцию v (x ) и проинтегрируем результат по области :
50
u ( x ) v( x ) dx u ( x ) v ( x ) dx .
(2.3.3)
С учетом того, что
u ( x ) v( x )
n
i 1
xi
u ( x )
x v( x )
i
n
i 1
u ( x ) v( x )
,
xi xi
после применения теоремы Гаусса–Остроградского получим
n
u ( x ) v ( x )
u ( x )
v( x )
d
u ( x ) v ( x ) dx ,
n
xi xi
i 1
откуда с учетом граничных условий (2.3.2) получим
n
u ( x ) v ( x )
dx u ( x ) v ( x ) dx .
xi xi
i 1
(2.3.4)
(2.3.5)
Собственными значениями обобщенной задачи Неймана на собственные значения и собственные функции называются такие значения числового
параметра , при которых существует нетривиальное решение u H 1 ( )
(обобщенная собственная функция), удовлетворяющие равенству (2.3.5) при
всех v H 1 ( ) .
Отметим, что сформулированная задача на собственные значения и собственные функции эквивалентна задаче для интегрального тождества
n
u ( x ) v ( x )
dx u ( x ) v ( x ) dx ( 1) u ( x ) v ( x ) dx .
(2.3.6)
x
x
i
i
i 1
2.3.2. Вспомогательная задача
Рассмотрим вспомогательную задачу, в которой требуется определить
функцию u H 1 ( ) , удовлетворяющую равенству
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x )v ( x ) dx f ( x )v ( x ) dx
xi xi
при всех v H 1 ( ) .
51
(2.3.7)
Справедлива
Пусть – ограниченная область в R n класса C
Теорема 2.17.
0 ,1
.
Тогда при всех f L2 ( ) существует единственное решение u H 1 ( ) вспомогательной задачи (2.3.7), и при этом справедливо неравенство
|| u || H 1 ( ) M II () || f || L2 ( ) ,
(2.3.8)
где M II ( ) – некоторая положительная постоянная, зависящая только от области .
Доказательство. Обозначая
l (v )
fvdx ,
(2.3.9)
сформулируем обобщенную задачу в виде: найти функцию u H 1 ( ) , удовлетворяющую равенству
(u, v) H 1 () l (v) ,
(2.3.10)
при всех v H 1 ( ) .
Поскольку,
как
показано
в
п. 2.2.2,
линейный
функционал
l : H 1 ( ) H 1 ( ) ограничен, причем
l (v ) || f || L2 ( ) || v || H 1 ( ) ,
то по теореме Рисса (п. П3) существует единственный элемент u H 1 ( ) ,
удовлетворяющий (2.3.10) и, соответственно, (2.3.7), при этом в теореме 2.17
можно положить M II ( ) 1 .
Доказанная теорема позволяет определить линейный разрешающий оператор задачи (2.3.7), ставящий в соответствие функции f L2 ( ) решение
вспомогательной задачи (2.3.7) u H 1 ( ) L2 ( ) . Обозначим этот оператор
как
T : L2 () L2 () ,
52
(2.3.11)
при этом учитывая, что множество значений этого оператора R (T ) H 1 ( ) ,
этот оператор может рассматриваться и как оператор
T : L2 () H 1 () .
(2.3.12)
Установленное в теореме 2.17 свойство (2.3.8) означает, что оператор
(2.3.12) – ограниченный. Действительно, неравенство (2.3.8) можно записать в
виде
|| Tf || H 1 ( ) M II () || f || L2 ( ) .
(2.3.13)
Отметим, что отсюда следует ограниченность оператора (2.3.11). Действительно, учитывая, что
|| u || L2 ( ) || u || H 1 ( ) ,
можно записать
|| Tf || L2 ( ) M II () || f || L2 ( ) .
(2.3.14)
2.3.3. Свойства разрешающего оператора
Рассуждения, полностью аналогичные рассуждениям п. 2.2.3, позволяют
сформулировать
Теорема 2.18.
Разрешающий оператор T : L2 () L2 () вспомога-
тельной задачи (2.3.7) – линейный самосопряженный вполне непрерывный
оператор.
2.3.4. Свойства собственных значений и собственных функций
Точно так же, как и в задаче Дирихле, может быть показано, что все
собственные значения задачи (2.3.5) действительны и, не ограничивая общности, можно считать, что вещественны и соответствующие им собственные
функции, которые будем считать нормированными в L2 ( ) :
u
2
( x ) dx 1 ;
53
(2.3.15)
Так же, как и в задаче Дирихле, может быть показано, что собственные
функции u1 ( x ) и u 2 ( x ) , отвечающие различным собственным значениям 1 и
2 ( 1 2 ), ортогональны в L2 ( ) :
u1 ( x ) u2 ( x ) dx 0 ;
(2.3.16)
при этом если в (2.3.5) положить v u , то получим
2
u ( x )
dx
x
i
i 1
,
2
u ( x ) dx
n
откуда следует, что все собственные значения неотрицательны ( 0 ), причем, очевидно, 0 – собственное значение, которому соответствует одна
линейно независимая собственная функция
u ( x ) const ,
или, с учетом нормировки (2.3.15),
u( x)
1
,
m()
где m() – мера множества .
Небольшая модификация рассуждений необходима для получения результатов о счётности множества собственных значений и отвечающих им
собственных функций, аналогичных результатам п. 2.2.7. Очевидно, что задача об определении собственных значений и отвечающих им собственных
функций эквивалентна задаче определения тех значений параметра , для которых существует хотя бы один нетривиальный элемент u H 1 ( ) , удовлетворяющий равенству
u (1 )Tu .
(2.3.17)
Покажем, что каждому собственному значению соответствует конечное
число линейно независимых собственных функций. Будем рассуждать от про54
тивного. Предположим, что некоторому собственному значению отвечает
бесконечный набор линейно независимых собственных векторов uk
k 1
. По-
скольку любая нетривиальная комбинация линейно независимых собственных
векторов отвечающих собственному значению является также собственным
вектором, отвечающим собственному значению , то можно сказать, что бес-
конечная ортонормированная система u~k
k 1
векторов, полученная в резуль-
тате применения процедуры ортогонализации Грама–Шмидта к системе век-
торов uk
k 1
, также будет линейно независимым набором собственных векто-
ров, отвечающих собственному значению . Но тогда для ограниченной по-
|| u
следовательности u~k
k 1
k
|| L2 1 последовательность Tu~k
1 ~k
u не
1
будет иметь сходящейся подпоследовательности, т.к.
Tu~k Tu~l
1
1
2
2
1
1 2
2
u~k
L2
2
u~k u~l
u~k , u~l L2
и никакая подпоследовательность T u~k i
i 1
2
2
u~l
L2
1 2
2
,
не будет фундаментальной. Это
противоречит вполне непрерывности оператора T : L2 () L2 () .
Отметим, что впредь, не ограничивая общности, будем считать, что
каждому собственному значению отвечает конечная система ортонормированных в L2 ( ) векторов.
Справедлива
Теорема 2.19.
Для любого R 0 существует не более чем конечное
множество собственных значений таких, что | | R .
Доказательство. Предположим, что существует R 0 , для которого
найдется бесконечный набор различных собственных значений k
k 1
таких,
что | k | R . Для каждого собственного значения k возьмем по одному отве55
чающему ему нормированному в L2 ( ) собственному вектору u k ( k N ). Но
|| u
тогда для ограниченной в L2 ( ) последовательности u k
последовательность Tu k
k 1
k
|| L2 1
1
u k не будет иметь сходящейся подпоследова1 k
тельности, т.к
Tu k Tu l
2
1
1
2
,
1 1
и никакая подпоследовательность T u не будет фундаментальной. Это
L2
2
k
2
l
1 R 2
ki
i 1
противоречит вполне непрерывности оператора T : L2 () L2 ()
Следствие. Множество собственных значений и собственных функций
задачи Неймана для оператора Лапласа не более чем счётно.
Учитывая, что все собственные значения неотрицательны ( 0 ), и
0 – наименьшее собственное значение, на основании полученных в этом
пункте результатов можно сделать вывод: если множество различных собственных значений бесконечно, то эти собственные значения могут быть расположены в порядке возрастания
0 1 2 ... k ...
и при этом k при k .
2.3.5. Теорема
Гильберта–Шмидта
и
полнота
системы
собственных функций
С учетом определения разрешающего оператора T : L2 () L2 () , задача на собственные значения (2.2.5) может быть записана в виде
u (1 )Tu .
(2.3.18)
Поскольку доказано (п. 2.2.7), что 0 , то положив (1 ) 1 , уравнение (2.2.24) можно записать в виде
Tu u .
(2.3.19)
56
(в отличие от собственных значений числа (1 ) 1 будем называть собственными
числами
оператора
T).
Как
было
показано
выше,
T : L2 () L2 () – линейный вполне непрерывный самосопряженный опера-
тор, для которого справедлива теорема Гильберта–Шмидта (п. П7). При этом
для задачи (2.3.19) об определении собственных чисел и собственных векторов могут быть проведены рассуждения, полностью аналогичные п. 2.2.8.
Сформулируем соответствующие результаты для собственных значений
и собственных функций u H 1 ( ) обобщенной проблемы собственных
значений
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx u ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.3.20)
(равенство должно выполняться при всех v H 1 ( ) ).
Теорема 2.20.
k
k 1
Существует счётный набор собственных значений
такой, что
0 1 2 ... k ... ,
(2.3.21)
причем
k при k ,
каждому собственному значению k с номером k соответствует ровно одна
нормированная в L2 ( ) собственная функция u k H 1 ( ) ; для любой функции f L2 ( ) справедливо представление в виде сходящегося в L2 ( ) ряда
Фурье
f (x)
c u
k k
k 1
( x ) , где ck ( f , uk ) L2 ( ) ,
57
(2.3.22)
Обобщенная
2.4.
проблема
собственных
значений
для задачи Ньютона
2.4.1. Формулировка проблемы
Классическая проблема собственных значений и собственных функций
для задачи Ньютона формулируется как задача об определении значений числового параметра , при которых существуют нетривиальные классические
решения u (x ) задачи
u ( x ) u ( x ) ,
(2.4.1)
u ( x )
hu( x ) 0, x .
(2.4.2)
n
где h – некоторая положительная постоянная.
Для получения обобщенной формулировки, действуя формально, умно
жим уравнение (2.4.1) на произвольную функцию v (x ) и проинтегрируем результат по области :
u ( x ) v( x ) dx u ( x ) v ( x ) dx .
(2.4.3)
С учетом того, что
u ( x ) v( x )
n
i 1
xi
u ( x )
x v( x )
i
n
i 1
u ( x ) v( x )
,
xi xi
после применения теоремы Гаусса–Остроградского получим
n
u ( x ) v ( x )
u ( x )
v( x )
d
u ( x ) v ( x ) dx ,
n
xi xi
i 1
откуда, учитывая граничные условия (2.4.2), получим
n
u ( x ) v ( x )
dx h u ( x ) v ( x ) d u ( x ) v ( x ) dx .
xi xi
i 1
(2.4.4)
(2.4.5)
Собственными значениями обобщенной задачи Ньютона на собственные значения и собственные функции называются такие значения числового
58
параметра , при которых существует хотя бы одно нетривиальное решение
u H 1 ( ) (обобщенная собственная функция), удовлетворяющие равенству
(2.4.5) при всех v H 1 ( ) .
2.4.2. Вспомогательная задача
Рассмотрим вспомогательную задачу, в которой требуется определить
функцию u H 1 ( ) , удовлетворяющую равенству
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx h u ( x ) v ( x ) d f ( x ) v ( x ) dx
xi xi
(2.4.6)
при всех v H 1 ( ) .
Справедлива
Пусть – ограниченная область в R n класса C
Теорема 2.21.
0 ,1
.
Тогда при всех f L2 ( ) существует единственное решение u H 1 ( ) вспомогательной задачи (2.4.6) и при этом справедливо неравенство
|| u || H 1 () M III () || f || L2 () ,
(2.4.7)
где M III ( ) – некоторая положительная постоянная, зависящая только от области .
Доказательство. Обозначая
n
a (u , v )
u v
dx h u ( x ) v ( x ) d ,
i xi
x
i 1
l (v )
fvdx ,
(2.4.8)
(2.4.9)
сформулируем вспомогательную задачу в виде: найти функцию u H 1 ( ) ,
удовлетворяющую равенству
a (u , v ) l ( v ) ,
(2.4.10)
при всех v H 1 ( ) .
59
Покажем, что для задачи (2.4.10) (и, соответственно, (2.4.6)) выполнены
все условия теоремы Лакса–Мильграма. Очевидно, что форма a (u , v) , определяемая (2.4.8), билинейна и симметрична. Установим ограниченность формы
a (u , v ) .
Используя
дискретное
и
интегральное
неравенства
Коши–
Буняковского, получаем
1/ 2
n u 2 n v 2
u v
a(u, v)
dx h u ( x ) v( x ) d
x
x
x
x
i
i
i 1
i 1 i i 1 i
1/ 2
1/ 2
2
2
n
n
u
v
dx
dx
h u ( x ) v( x ) d
i 1 xi
i 1 xi
h u ( x ) | | v( x ) d || u || H 1 ( ) || v || H 1 ( ) h || u || L2 ( ) || v || L2 ( ) .
n
1/ 2
dx
Применяя теорему о следах 2.7 (п. 2.1.6), получаем
a (u , v) || u || H 1 ( ) || v || H 1 ( ) hC2 () || u || H 1 ( ) || v || H 1 ( )
(1 C 2 ()) || u || H 1 ( ) || v || H 1 ( ) ,
и условие ограниченности билинейной формы a (u , v) выполняется с постоянной a 1 C2 () .
Установим коэрцитивность билинейной формы a (u , v) . Согласно неравенству Фридрихса (теорема 2.6) для некоторой постоянной C III () 0 справедливо неравенство
u ( x ) dx C III ()
u
xi
i 1
n
2
2
dx u 2 ( x ) d ,
откуда
~
C ()
u
xi
i 1
n
u ( x ) dx
2
u
xi
i 1
n
2
dx (1 C III ())
u
xi
i 1
n
2
dx h u 2 ( x ) d ,
60
2
2
dx u ( x ) d
~
где C () (1 CIII ()) max 1, h 1 , откуда получаем
1
a (u , v ) ~
|| u || 2H 1 ( ) .
C ()
(2.4.11)
1
Таким образом, условие коэрцитивности выполнено с постоянной a ~
.
C ()
Так же, как в п. 2.2.2 может быть установлена ограниченность линейного функционала l :
l (v ) || f || L2 ( ) || v || H 1 ( ) .
(2.4.12)
Установленные свойства билинейной формы (2.4.8) и линейного функционала (2.4.9) позволяют применить теорему Лакса–Мильграма для доказательства существования и единственности решения вспомогательной задачи
(2.4.6). Учитывая, что это решение в силу (2.4.10) удовлетворяет равенству
a (u , u ) l (u ) ,
и учитывая неравенства (2.4.11), (2.4.12), получим
1
|| u || 2H 1 ( ) || f || L2 ( ) || u || H 1 ( ) ,
~
C ()
~
откуда получаем (2.4.7) с постоянной M III ( ) | 1 / C ( ) .
Доказанная теорема позволяет определить линейный разрешающий оператор вспомогательной задачи (2.4.6), ставящий в соответствие функции
f L2 ( ) решение вспомогательной задачи (2.4.6) u H 1 ( ) L2 ( ) . Обо-
значим этот оператор как
T : L2 () L2 () ,
(2.4.13)
при этом учитывая, что множество значений этого оператора R (T ) H 1 ( ) .
Этот оператор может рассматриваться и как оператор
T : L2 ( ) H 1 ( ) .
61
(2.4.14)
Установленное в теореме 2.21 свойство (2.4.7) означает, что оператор
(2.4.11) – ограниченный. Действительно, неравенство (2.4.14) можно записать
в виде
|| Tf || H 1 ( ) M III () || f || L2 ( ) .
(2.4.15)
Отметим, что отсюда следует ограниченность оператора (2.4.13). Действительно, учитывая, что
|| u || L2 ( ) || u || H 1 ( ) ,
можно записать
|| Tf || L2 ( ) M III () || f || L2 ( ) .
(2.4.16)
2.4.3. Свойства разрешающего оператора
Рассуждения, полностью аналогичные рассуждениям п. 2.2.3, позволяют
сформулировать следующую теорему
Теорема 2.22.
Разрешающий оператор T : L2 () L2 () вспомога-
тельной задачи (2.4.6) – линейный самосопряженный вполне непрерывный
оператор.
2.4.4. Свойства собственных значений и собственных функций
Точно так же, как и в задаче Дирихле, может быть показано, что все
собственные значения задачи (2.4.6) действительны и, не ограничивая общности, можно считать, что вещественны и соответствующие им собственные
функции, которые будем считать нормированными в L2 ( ) :
u 2 ( x ) dx 1 ;
(2.4.17)
Так же, как и в задаче Дирихле, может быть показано, что собственные
функции u1 ( x ) и u 2 ( x ) , отвечающие различным собственным значениям 1 и
2 ( 1 2 ), ортогональны в L2 ( ) :
62
u ( x ) u ( x ) dx 0 ;
1
(2.4.18)
2
при этом если в (2.4.6) положить v u , то получим
2
u ( x )
dx h u 2 ( x ) d
xi
i 1
,
u 2 ( x ) dx
n
откуда следует, что все собственные значения положительны ( 0 ).
Так же, как в п. 2.2.7 может быть показано, что каждому собственному
значению соответствует конечное число линейно независимых собственных
функций и для любого R 0 существует не более чем конечное множество
собственных значений таких, что | | R .
Следствие. Множество собственных значений и собственных функций
задачи Ньютона для оператора Лапласа не более чем счётно.
Учитывая, что все собственные значения положительны ( 0 ), на основании полученных в этом пункте результатов можно сделать вывод: если
множество различных собственных значений бесконечно, то эти собственные
значения могут быть расположены в порядке возрастания
0 1 2 ... k ...
и при этом k при k .
2.4.5. Теорема
Гильберта–Шмидта
и
полнота
системы
собственных функций
С учетом определения разрешающего оператора T : L2 () L2 () , задача на собственные значения (2.4.5) может быть записана в виде
u Tu .
(2.4.19)
Поскольку доказано (п. 2.4.4), что 0 , то положив 1 , уравнение
(2.4.19) можно записать в виде
63
Tu u .
(2.4.20)
Как было показано выше, T : L2 () L2 () – линейный вполне непрерывный
самосопряженный оператор, для которого справедлива теорема Гильберта–
Шмидта (п. П7). При этом для задачи (2.3.20) об определении собственных
чисел и собственных векторов могут быть проведены рассуждения, полностью аналогичные п. 2.2.8.
Сформулируем соответствующие результаты для собственных значений
и собственных функций u H 1 ( ) обобщенной проблемы собственных
значений
n
i 1
u ( x ) v ( x )
dx h u ( x )v ( x ) dx u ( x )v ( x ) dx
xi xi
(2.4.21)
(равенство должно выполняться при всех v H 1 ( ) ).
Теорема 2.23.
k
k 1
Существует счётный набор собственных значений
такой, что
0 1 2 ... k ...,
(2.4.22)
причем
k при k ,
каждому собственному значению k с номером k соответствует ровно одна
нормированная в L2 ( ) собственная функция u k H 1 ( ) ; для любой функции f L2 ( ) справедливо представление в виде сходящегося в L2 ( ) ряда
Фурье
f (x)
c u
k k
k 1
( x ) , где ck ( f , uk ) L2 ( ) .
(2.4.23)
Отметим, что в цепочке неравенств (2.4.22) идущих подряд равенств
может быть лишь конечное число.
64
Приложение
В этом приложении содержится краткая сводка необходимых фактов из
теории гильбертовых пространств. С более полным изложением соответствующего материала можно ознакомиться, например, в [6].
I. Элементы теории гильбертовых пространств. Теорема
Гильберта–Шмидта
П1. Гильбертовы пространства над полем действительных чисел
Векторное пространство H над полем действительных чисел называется пространством со скалярным произведением, если определено отображение
(,) H : H H R,
удовлетворяющее при всех u, v H , R следующим условиям
(i)
(u , v) H = (v, u ) H ;
(ii)
(u1 u2 , v) H = (u1, v) H (u2 , v) H ;
(iii)
(u, v) H = (u, v) H ;
(iv)
(u, u ) H 0, причем (u, u ) H = 0 тогда и только тогда, когда u = 0 .
В пространстве со скалярным произведением может быть определена
норма элемента по формуле:
|| u || H = (u , u )1/2
H .
Норма обладает следующими свойствами:
(i)
|| u || H 0, причем || u || H = 0 тогда и только тогда, когда u = 0;
(ii)
|| u || H =| | || u || H ;
(iii)
|| u v || H || u || H || v || H .
В пространстве со скалярным произведением определим функцию расстояния (метрику) между любыми двумя элементами по формуле:
65
(u , v ) =|| u v || H = (u v, u v )1/2
H .
Введенная таким образом функция расстояния : H H R обладает
свойствами:
(i)
(u , v) 0, причем (u , v) = 0 тогда и только тогда, когда u = v;
(ii)
(u , v) = (v, u );
(iii)
(u , w) (u , v) (v, w) для v H .
Пространство H со скалярным произведением (,) H называется гильбертовым, если оно является полным метрическим пространством с определенной выше функцией расстояния. Это означает, что любая фундаментальная
последовательность в H имеет предел (последовательность {un }n =1, un H
называется фундаментальной (последовательностью Коши, последовательностью сходящейся в себе), если для любого > 0 найдется такое натуральное
N (), что (uk , ul ) < при k , l > N ()).
Справедливы следующие утверждения:
1. Пусть последовательность {un }n =1, un H сходится к элементу u H ,
тогда последовательность un фундаментальна.
2. Любая фундаментальная последовательность ограничена (то есть существует R > 0 такое, что || un || H R при всех натуральных n ).
3. (Неравенство Коши–Буняковского)
| (u, v) H ||| u || H || v || H .
Это неравенство так же называют неравенством Шварца.
Пример 1. В евклидовом пространстве R n скалярное произведение задается формулой
n
( x, y ) =
x y .
i
i =1
66
i
здесь x = ( x1 ,, xn ), y = ( y1 ,, y n ) R n . Это пространство – пример конечномерного гильбертова пространства.
Пример 2. Пусть R n – открытое непустое ограниченное подмножество . – его замыкание. Обозначим через C () класс непрерывных функций, определенных на . Определим скалярное произведение по формуле:
(u, v) = u ( x) v( x)dx,
где dx = dx1dx2 dxn – элемент объема в R n .
Легко убедиться, что выполняются все аксиомы скалярного произведения. Однако пространство C ( ) не гильбертово.
Действительно, пусть = (0,2) R 1 . Определим последовательность
функций по формуле:
1
0,
0
<
x
<
1
,
n
1
un ( x) = nx n 1, 1 x < 1,
n
1,
1
x
<
2.
Последовательность таких функций фундаментальна, но ни одна непрерывная функция не является ее пределом.
П2. Ортогональные системы и ортонормированные базисы в
гильбертовом пространстве
Элементы u, v H называются ортогональными ( u v ), если (u , v ) 0 .
Элемент u называется ортогональным множеству V H , если (u , v ) 0 при
всех v V . Если u H ортогонален всюду плотному в H множеству V, то
u 0 . Элемент u H называется нормированным, если || u || 1 .
67
Множество V H называется ортонормированным (нормированной
системой), если его элементы нормированы и попарно ортогональны. Ортонормированное множество, очевидно, линейно независимо.
Любое счётное или конечное линейно независимое множество элемен-
можно преобразовать соответственно в счётное или конечное ортонормированное множество u~ , следуя процедуре Грама–Шмидта:
тов u k
k
u1
u 2 (u 2 , u~1 ) u~1
~
~
u1
, u2
, ...,
|| u1 ||
|| u 2 (u 2 , u~1 ) u~1 ||
u k (u k , u~1 ) u~1 ... (u k , u~k 1 ) u~k 1
~
uk
, ....
|| u (u , u~ ) u~ ... (u , u~ ) u~ ||
k
Пусть V u k
k 1
k
1
1
k
k 1
k 1
– произвольная ортонормированная система. Для каж-
дого u H числа ck (u, u~ k ) называются коэффициентами Фурье элемента u
по системе V.
Ряд
c u~
k
(П2.1)
k
k 1
называется рядом Фурье для элемента u по системе V.
Справедлива
Лемма П.1. Для любого элемента u H ортонормированной системы
V u~ k
k 1
ряд Фурье (П2.1) сходится, т.е. существует элемент
uV H такой, что
m
uV
c u~
k
k
0 при m ,
k 1
и при этом справедливо неравенство
c
2
k
|| u || 2
(П2.2)
k 1
(неравенство Бесселя).
68
Отметим, что для того чтобы сходился в H ряд
a u~
k
k
, необходимо и
k 1
достаточно, чтобы сходился числовой ряд
a ( a
k k 1
2
k
k 1
– некоторая после-
довательность действительных чисел).
Счётная ортонормированная система V u~ k
k 1
называется полной, или
ортонормированным базисом пространства H, если любой элемент u H
представим в виде своего ряда Фурье
u
c u~
k
k
, где ck (u , u~ k ) ,
(П2.3)
k 1
m
т.е. u
c u~
k
k
0 при m .
k 1
Справедлива
Лемма П.2. Для того чтобы ортонормированная система V u~ k
k 1
бы-
ла ортонормированным базисом в H, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента u H выполнялось равенство Парсеваля–
Стеклова:
|| u ||
2
c
2
k
, где ck (u , u~ k ) .
(П2.4)
k 1
Отметим, что в сепарабельном гильбертовом пространстве H существует не более чем счётный ортонормированный базис.
П3. Теорема Рисса о представлении линейного ограниченного
функционала в гильбертовом пространстве
Справедлива следующая теорема Рисса о представлении линейного
ограниченного оператора в гильбертовом пространстве.
69
Теорема П.1 Пусть Н – гильбертово пространство, l : H R – линейный ограниченный функционал. Тогда существует единственный элемент
uH
(u, v) l (v) при всех v H .
П4. Компактность в гильбертовом пространстве
Пусть H – гильбертово пространство над полем действительных чисел.
Множество M H будем называть ограниченным, если существует такое положительное число R 0 , что || u || R для всех u M .
Множество M H будем называть компактным в H, если любое его
открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.
Множество M H будем называть предкомпактным в H, если его замыкание M в H – компактное множество в H.
Полезен следующий критерий предкомпактности: множество M H
предкомактно тогда и только тогда, когда любая последовательность
u
k
k 1
M содержит подпоследовательность u k i
i 1
, сходящуюся к некото-
рому элементу u H , т.е. || u u i || 0 при i
П5. Линейные вполне непрерывные операторы в гильбертовом
пространстве
Оператор A : H H называется линейным оператором, если для любых
, R , u, v H выполнено
A(u v ) A(u ) A(v ) .
Линейный оператор A : H H называется ограниченным, если существует положительная постоянная a 0 такая, что || Au || a || u || при всех
u H . Для линейных операторов условие ограниченности является критерием
непрерывности.
70
Оператор A : H H называется вполне непрерывным (или компактным), если оператор A переводит любое ограниченное множество M H в
предкомпактное множество A( M ) H . Любой линейный вполне непрерывный оператор является также и ограниченным.
Полезен следующий критерий вполне непрерывности оператора
A : H H : оператор A : H H вполне непрерывен тогда и только тогда, ко-
гда для любой ограниченной последовательности u k
ность
Au
k
k 1
k 1
H содержит подпоследовательность
H последователь-
Au
ki
i 1
H , сходя-
щуюся к некоторому элементу w H .
П6. Линейные самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве
Пусть A : H H – линейный ограниченный оператор. Тогда для каждого элемента v H определен линейный ограниченный функционал
lv (u ) ( Au , v ) . По теореме Рисса о представлении линейного ограниченного
функционала в гильбертовом пространстве существует такой элемент z H , что
( Au , v ) lv (u ) (u , z ) при всех u H .
По определению полагается, что z A v , при этом оператор
A : H H называется сопряженным к оператору A, и может быть показано,
что A : H H – также линейный ограниченный оператор. Если A A , то
оператор A называется самосопряженным. Иначе говоря, линейный ограниченный оператор A : H H (в вещественном гильбертовом пространстве H)
является самосопряженным тогда и только тогда, когда
( Au , v ) (u , Av ) при всех u, v H .
71
П7. Теорема Гильберта–Шмидта
Пусть Н – гильбертово пространство над полем действительных чисел,
A : H H – линейный самосопряженный вполне непрерывный оператор.
Рассмотрим задачу
Au u
(П7.1)
об определении собственных чисел и отвечающих им собственных векторов
и (собственным числом называется такое число , для которого существует
нетривиальный вектор и, удовлетворяющий (П7.1); сам вектор и называется
собственным вектором, отвечающим собственному числу .
Отметим основные свойства собственных чисел и собственных векторов
задачи (П7.1) []:
(i)
все собственные числа задачи (П7.1) вещественны;
(ii)
для каждого R 0 существует лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным числам ,
по модулю превосходящим R (в частности, для каждого R 0 существует лишь конечное число собственных чисел, удовлетворяющих
условию | | R и каждому 0 отвечает лишь конечное число линейно независимых собственных векторов;
(iii)
собственные векторы, отвечающие различным собственным числам,
ортогональны в Н.
Следствием утверждения (ii) является утверждение
(iv)
множество различных собственных чисел n задачи (П7.1) не более
чем счётно, причем если это множество счётно (бесконечно), то
n 0 при n .
Справедлива
Теорема П.2
(теорема Гильберта–Шмидта). Для любого вполне не-
прерывного самосопряженного линейного оператора A : H H существует
72
ортонормированная система n собственных векторов, отвечающих собственным числам n , такая, что каждый элемент H записывается в виде
c
k
k
,
(П7.2)
где вектор удовлетворяет условию A 0 ; при этом
A
c
k
k
,
(П7.3)
и
lim k 0 .
k
II. О методе Гринберга
В методе Гринберга решение строится в виде ряда Фурье, коэффициенты которого получают с помощью дискретного Фурье-преобразования (см.,
например, [4]). Проиллюстрируем на примере процедуру метода Гринберга.
Пусть надо найти решение задачи Дирихле в прямоугольной области
D : a x b; c y d с уравнением
u u xx u yy f ( x, y )
и граничными условиями
u ( a , y ) 1 ( y ); u (b, y ) 2 ( y ),
u ( x, c ) 1 ( x ); u ( x, d ) 2 ( x ) .
Собственные функции задачи Штурма–Лиувилля
X s 2s X s ; X s ( a ) X s (b ) 0
используем в дискретном Фурье-преобразовании:
b
b
u ( s , y ) u ( x, y ) X s ( x ) dx u ( x , y )
a
a
73
2
s ( x a )
sin
dx .
ba ba
Для получения u ( s , y ) умножим исходное уравнение Пуассона задачи
скалярно на X s (x ) и получим
b
u
b
xx X s ( x ) dx
a
b
u yy X s ( x ) dx
a
f ( x, y ) X
s ( x ) dx .
a
Интегрируя по частям в первом слагаемом левой части, с использованием во
втором слагаемом теоремы о дифференцировании интеграла по параметру (в
данном случае по у), получим уравнение для u ( s, y )
b
u x X s u xx X s
b
a
b
d2
2s uX s ( x ) dx 2 u X s ( x ) dx
dy a
a
b
f ( x, y ) X
s ( x ) dx ,
a
или, с использованием граничных условий,
d2
u ( s , y ) 2s u ( s , y ) 2 ( y ) X s (b ) 1 ( y ) X s ( a )
2
dy
b
f ( x, y ) X
s ( x ) dx .
a
Решив последнее уравнение с граничными условиями
b
b
b
b
u ( s , c ) u ( x, c ) X s ( x ) dx 1 ( x ) X s ( x ) dx ,
a
a
u ( s , d ) u ( x, d ) X s ( x ) dx 2 ( x ) X s ( x ) dx ,
a
a
найдем Фурье-преобразованием решения u ( s, y ) , s 1, .
Далее, обращая преобразование, получим решение исходной задачи в
виде ряда Фурье
u ( x, y )
u ( s, y ) X
s ( x) .
s 1
Сравнивая процедуру решения по методу Гринберга в приведенном
примере с процедурой решения аналогичной задачи в примере 3 раздела 1 с
помощью проекционного метода Фурье, видим, что они не тождественны.
74
Список литературы
1. Nečas J. Les methodes directes en theorie des équations elliptiques. Praque,
Academia, 1967.– 372 p.
2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.М.: Наука, 1974.– 431 с.
3. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения
с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. – 464 с.
4. Голоскоков В.П. Уравнения математической физики. Решение задач в
системе Maple. Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2004.– 539 с.
5. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Изд-во АН СССР. 1948, – 768 с.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.–496 с.
7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,
1973.– 408 с.
8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
М.: Наука, 1983.– 424 с.
9. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир,
1985.– 590 с.
10. Соболев, С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств
и обобщенных функций. М.: Наука, 1989.– 254 с.
11. Соболев, С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.– 336 с.
12. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.:
Мир, 1980.– 512 с.
13. Толстов Г.В. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1960.– 390 с.
75
