Методическая разработка урока математики по теме: «Многогранники» преподавателя Р.А.Субханкуловой

Методическая разработка урока математики по теме:
«Многогранники» преподавателя Р.А.Субханкуловой
Тип урока: урок защиты проекта
Цели урока
Обучающая цель: освоить представление о выпуклых многогранниках,
изучить их некоторые свойства, сформировать понятие правильных и
полуправильных многогранников, показать связь математики с жизнью.
Развивающая цель: формирование компетентности в сфере
самостоятельной познавательной деятельности, навыков самостоятельной
работы с большим объёмом информации, формирование навыков работы в
команде, развитие творческих способностей личности.
Воспитательная цель: продолжить воспитание у учащихся уважительного
отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства
ответственности, воспитывать культуру делового общения.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, модели
многогранников
Ход урока
Структура урока:
I этап – организационный (вступительное слово учителя-2 мин)
II этап – защита проекта (выступление групп с презентацией по отчёту
своей исследовательской работе, защита полученных результатов и выводов)
Выступление 1й группы «Понятие многогранника. Примеры выпуклых
многогранников»
·
Оппонирование со стороны групп 2, 3, 4.
·
Итоговая оценка1й группы .
·
·
-
Выступление 2й группы «Правильные многогранники»
Оппонирование со стороны групп 3, 1, 4.
Итоговая оценка.
Выступление 3й группы «Изготовление правильных многогранников».
·
Оппонирование со стороны групп 2, 1, 4.
·
Итоговая оценка.
Выступление 4й группы «Правильные многогранники в природе, науке,
живописи, архитектуре»
·
Оппонирование со стороны групп 2, 1, 3.
·
Итоговая оценка.
III этап- Итоговое обсуждение -3-5 мин.
Рефлексия.
I этап – организационный
Учитель: Данный урок актуален тем, что "работает" на последующие
уроки, темы, разделы. Работая над проектом более двух недель, 4 группы по
конкретной теме самостоятельно работали с большим объёмом информации,
изучили, проанализировали и обобщили теоретический материал, который
нам пригодиться для решения задач поданной теме. Сегодня мы должны
получить ответы на вопросы: Какие существуют многогранники? Сколько
их? И что о них вы можете рассказать? Можно ли обойтись в жизни без них?
Итак, я приглашаю вас в “Мир многогранников”.
Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не
только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой,
возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое
свойственно лишь величайшим образцам искусства”
II этап – защита проекта (выступление групп с презентацией по отчёту
своей исследовательской работе, защита полученных результатов и
выводов)
Выступление 1й группы
Продукт проектной деятельности : презентация.
« С первых уроков геометрии начинается взаимосвязанное изучение начал
стереометрии и фигур в пространстве, в частности многогранников. Это
объясняется тем, что многогранники являются хорошей иллюстрацией для
вводимых понятий и доказательств, объяснения необходимости изучаемых
свойств.
Многогранник- это такое тело, поверхность которого состоит из конечного
числа плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если
он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника
на его поверхности.
Примерами многогранников являются:
параллелепипед – многогранник, поверхность которого состоит из шести
параллелограммов;
прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого грани –
прямоугольники;
куб – многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов;
призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных
многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов,
называемых боковыми гранями;
прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются
прямоугольники;
правильная призма – прямая призма, основаниями которой являются
правильные многоугольники;
пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника,
называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую
вершину, называемых боковыми гранями пирамиды. Общая вершина
треугольников называется вершиной пирамиды;
правильная пирамида – пирамида, в основании которой правильный
многоугольник, и все боковые ребра равны;
усечённая пирамида – многогранник, гранями которого являются nугольники (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных
плоскостях, и n-четырёхугольников (боковые грани).
Исследование. Учащимся из групп-оппонентов предлагается
подсчитать число вершин, граней и рёбер некоторых моделей
многогранников: треугольной и четырёхугольной пирамид, треугольной и
четырёхугольной призм. Затем занести эти данные в таблицу.
Название многогранника
Вершины
Ребра
Грани
Таблица №1
Вершины
Ребра
Грани
Треугольная пирамида
4
6
4
Таблица №2
Вершины
Ребра
Грани
Четырехугольная пирамида
5
8
5
Таблица №3
Вершины
Ребра
Грани
Треугольная призма
6
9
5
Таблица №4
Четырехугольная призма
Вершины
8
Ребра
12
Грани
6
Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера,
устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер. В – Р + Г = 2 .
Давайте проверим правильность заполнения вами таблицы и выполнение
данной формулы.
·
Оппонирование со стороны групп 2, 3, 4.
·
Итоговая оценка1й группы .
Выступление 2й группы «Правильные многогранники"
Продукт проектной деятельности : презентация.
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей
своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего
деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к
правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с
красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в
природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в
пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не
только плоские фигуры, но и пространственные. Многие из нас склеивали
новогодние игрушки из открыток или яркой бумаги в форме правильных
многогранников.
И самая популярная форма современного здания, радиоприемника,
телевизора, шкафа – параллелепипед; спичечный коробок, книга, комната,
молочные пакеты также имеют форму тетраэдра или параллелепипеда. Ни
одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как
правильные многогранники. «Правильных многогранников вызывающе мало,
– написал когда-то Л. Кэрролл – но этот весьма скромный по численности
отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».
Правильных многоугольников на плоскости бесконечно много. А
сколько существует правильных многогранников? Как они определяются?
Как можно сделать правильный многогранник, например, из бумаги,
возможно ли это, какими свойствами они обладают, где встречаются, имеют
ли практическое применение? Поиском ответов на эти вопросы и является
данная работа.
Правильным многоугольником
называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и
равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много.
Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит
правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми
гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми
многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться,
что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как
выразился однажды Льюис Кэрролл, «вызывающе мало». Существует лишь
пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр
(чётырёхгранник), гексаэдр (куб, шестигранник), октаэдр (восьмигранник),
додекаэдр (двенадцатигранник) и икосаэдр (двадцатигранник).
Существуют удивительные геометрические связи между всеми
правильными многогранниками. Так, например, куб и октаэдр дуальны, т.е.
получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за
вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр.
Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением
«крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются
любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба
могут быть получены все остальные правильные многогранники. Сам факт
существования всего пяти действительно правильных многогранников
удивителен — ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно
много! Многогранники выделяются среди пространственных фигур как
фигуры, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников,
называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих
многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами
многогранника.
Мы начинаем
знакомство с правильных плоских и пространственных фигур. Название
“правильные” идет от античных времен, когда стремились найти гармонию,
правильность, совершенство в природе и человеке. Правильные
многоугольники – это многоугольники, у которых все стороны и все углы
равны, правильные многогранники – это многогранники, ограниченные
правильными и одинаковыми многоугольниками.
Виды многогранников :тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Результаты исследования .
Рассмотрев каждый правильный многогранник, подготовили
краткую
характеристику фигуры по плану:
1. Какое количество граней, ребер, вершин имеет каждый правильный
многогранник? Из каких правильных многоугольников составлен?
2. Рассчитать сумму плоских углов при вершине.
Тетраэдр.
Граней 4, рёбер 6, вершин 4 и граней при вершине 3, форма грани –
правильный треугольник. Тетраэдр составлен из четырех равносторонних
треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.
Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 1800 .
Гексаэдр(куб).
Граней – 6, рёбер – 12, вершин 8 и граней при вершине 3, форма грани –
квадрат (правильный четырёхугольник). Составлен из 6-ти квадратов.
Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно,
сумма плоских углов при каждой вершине равна 2700.
Октаэдр.
8 граней, 12 рёбер, 6 вершин, при вершине 4 грани, форма грани –
правильный треугольник. Октаэдр составлен из восьми равносторонних
треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех
треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине
равна 2400.
Додекаэдр.
12 граней, 30 рёбер, 20 вершин, граней при вершине 3, форма грани –
пентагон (правильный пятиугольник). Додекаэдр составлен из 12-ти
правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является
вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских
углов при каждой вершине равна 3240.
Икосаэдр.
Граней у него 20, рёбер - 30. Вершин 12 и граней при вершине 5, форма
грани
правильный треугольник. Икосаэдр составлен из правильных
равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является
вершиной 5-ти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при
каждой вершине равна 3000.
Свойства правильных многогранников.
1°. Выпуклость многогранника.
2°. Все грани - равные правильные многоугольники.
3°. Все грани - правильные многоугольники с одним и
тем же числом сторон.
4°. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.
5°. Все многогранные углы имеют одинаковое число граней.
6°. Равны все многогранные углы.
7°. Равны все двугранные углы.
Возможны и другие свойства правильных многогранников,
например:
8°. Равны все ребра многогранника.
9°. Равны все плоские углы многогранника.
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им
посвящена заключительная, 13-я книга знаменитых “Начал” Евклида. Как
говорилось раньше, эти многогранники часто называют также платоновыми
телами – в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим
мыслителем Платоном, четыре из них олицетворяли 4 стихии: тетраэдр –
огонь, куб – землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, пятый же
многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание – его по-латыни
стали называть quinta essentia (квинта эссенция), означающее все самое
главное, основное, истинную сущность чего-либо.
Выступление 4й группы Изготовление правильных многогранников.
Продукт проектной деятельности : презентация, модели правильных
многогранников.
Однажды обыкновенный английский мальчик Джеймс, увлекшись
изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «…я
сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного
названия». Эти слова ознаменовали рождение в пока ничем не
примечательном мальчике великого физика Джеймса Кларка Максвелла.
Думаю, что и вас, и ваших родных увлечёт изготовление моделей
геометрических тел.
Кроме традиционных ёлочных украшений (хлопушек и фонариков) можно
изготовить геометрические игрушки. Это модели правильных
многогранников, сделанные из цветной бумаги. Ведь их форма – это образец
совершенства! Совершенство форм, красивые математические
закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной
того, что им приписывались различные магические свойства и все пять
геометрических тел издавна были обязательными спутниками волшебников и
звездочётов. И если потрудиться над их изучением и изготовлением, то
наверняка они доставят радость и удовольствие, а возможно принесут и
удачу.
Развёртки правильных многогранников.
Одним из способов изготовления правильных многогранников является
способ с использованием так называемых развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого
нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель
можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она
превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник
называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели
многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При
этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели
многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой
будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного
цвета
Куб
60 0
вершина
900
ребро
вспомни
грань
Правильный икосаэдр
Правильный октаэдр
60 0
0
1080
·
·
Оппонирование со стороны групп 2, 1, 4.
Итоговая оценка.
Учитель: С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни – это
древние Египетские пирамиды и кубики, которыми играют дети; объекты
архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно
рассмотреть только в электронный микроскоп, прочные конструкции –
шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека.
Где же еще применяются многогранники?
Выступление 4й группы «Правильные многогранники в природе,
науке, живописи, архитектуре»
Продукт проектной деятельности : презентация.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например,
скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме
напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и
служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя
защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл
находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите.
Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их
спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть
совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его
форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же
углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один
многогранник дает точно такую же тень - косаэдр.
Полноценная по строению и инфекционная, т.е. способная вызвать
заражение, вирусная частица вне клетки называется вирионом.
Вирионы с икосаэдрическим типом симметрии (от греч. eikosi – двадцать,
hedra – поверхность), как у полиовируса, имеют сферическую, а точнее,
многогранную форму; их капсиды построены из 20 правильных треугольных
фасеток (поверхностей) и похожи на геодезический купол
Многогранники и кристаллы.
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим
широко пользуется. Многие свойства кристаллов, которые изучаются на
уроках физики и химии, объясняются их геометрическим строением.
Поэтому свойства многогранников и используются в кристаллографии.
Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в
истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам)
наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков.
Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными
многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по
кристаллам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах,
выращиваем кристаллы в лабораториях и в заводских условиях, создаем
приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и
технике, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых
организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выходим на просторы
космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в
домашних условиях.
Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.
-Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись.
Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником
электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму
куба.
-При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами
(K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного
октаэдра.
-Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без
сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют
форму додекаэдра.
-В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый
натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл
сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.
-А икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор
использовался для создания полупроводников первого поколения.
Но кроме формы правильных многогранников, многие кристаллы
имеют форму просто многогранника.
Кристаллом (от греч. krystallos – «прозрачный лед») вначале называли
прозрачный кварц (горный хрусталь), встречавшийся в Альпах. Горный
хрусталь принимали за лед, затвердевший от холода до такой степени, что он
уже не плавится. Кристалл горного хрусталя напоминает оточенный с двух
сторон карандаш, т.е. имеет форму шестигранной призмы, на основания
которой поставлены шестигранные пирамиды.
Исландский шпат имеет форму косого параллелепипеда.
Пирит чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже
усеченного октаэдра. Пирит, или железный колчедан (камень инков
«кошачье золото»), минерал, дисульфид железа, FeS2, самый
распространенный в земной коре сульфид. Название происходит от
греческого «пир» – огонь (при ударе искрит). Кристаллы в форме куба,
пентагон-додекаэдра, реже – октаэдра, встречается также в виде массивных и
зернистых агрегатов.
Кристалл граната имеет форму ромбододекаэдра (двенадцатигранник, у
которого все грани ромбы).
Алмаз кристаллизуется в кубической системе (сингонии). Атомы углерода
находятся в нем по узлам двух кубических решеток с центрированными
гранями, очень плотно вставленных одна в другую (а = 3,5595 А). Кристаллы
алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно
имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже – кубов или тетраэдров.
Часты двойники и сростки нескольких кристаллов, характерны выпуклые
грани и криволинейные ребра. Грани кристаллов обычно покрыты фигурами
роста или растворения в виде выступов или углублений различной формы.
Алмаз – самое твердое из всех природных веществ. Максимальная
твердость на гранях октаэдра, минимальная на гранях куба; на этом основаны
огранка, распиловка и шлифовка алмазов. Спайность, совершенная по
октаэдру, что обусловливает хрупкость и несколько ограничивает
использование алмаза.
Асимметрический атом углерода в молекуле аминокислоты изображен
здесь в виде шарика, помещенного в центр тетраэдра. Представленное
расположение четырех замещающих групп соответствует L-конфигурации,
характерной для всех природных аминокислот.
Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только
удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания
природной гармонии.
Многогранники в живописи.
Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников
испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса
приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы,
художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки
способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях,
построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового
искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное
пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для
некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной
моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их
симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали
их философские и мистические символы.
Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих
полотнах Леонардо да Винчи (1452-1519). Он проиллюстрировал
изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего
друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции».
Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекшимся
геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471-1528). В его известной гравюре
«Меланхолия» на переднем плане изображен многогранник, гранями
которого являются треугольники и пятиугольники. В 1525 году он даже
написал трактат о пяти правильных многогранниках.
Известный голландский художник Маурица Эшер (1898-1972) написал
картину – фантазию на тему«Правильные многогранники».
А испанский художник Сальвадор Дали использовал символ Вселенной в
своей картине «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики
изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Очень интересно об этом произведении писала Завадская: «В нём
воплощено философско-религиозное и эстетическое кредо Дали. Здесь
воздух и свет, и конструкция, и сон, и явь, и надежда, и сомнение. В центре
большого полотна (167×288) изображен Христос в трех ипостасях – как сын,
сошедший на Землю, он сидит за столом со своими учениками, но потом мы
замечаем, что он вовсе и не сидит за столом, а погружен по пояс в воду – то
есть крестится водой, или духом святым, тем самым воплощая вторую
ипостась троицы, а над ним призрачно высится мужской торс, словно часть
композиции «Вознесение» – возвращение к Богу Отцу. Апостолы
изображены низко склонившими головы на стол – они словно поклоняются
Христу (или спят!) – в этом случае есть аллюзия на евангельский текст,
содержащий просьбу Христа не спать, пока он молит Бога: «Чашу мимо
пронеси».
Многогранники в архитектуре
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является
древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из
чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая
пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот
рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
Царская гробница
Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как
Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его
гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено
еще две пирамиды, для сына и внука Хуфу, а также меньшие по размерам
пирамиды для их цариц. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является
самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше,
потому что стоит на более высоком месте
Александрийский маяк.
Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около
берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во
время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его
строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до
н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.
Многогранники в архитектуре г.Бугуруслана
Мечеть
Школа искусств
Сберегательный банк
Мегацентр
Улица Рабочая
Улица Революционная
Центральная площадь
Вывод: Многогранники окружают нас повсюду: природе, науке, живописи,
архитектуре.
·
Оппонирование со стороны групп 2, 1, 3.
·
Итоговая оценка.
Выводы:
• Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и
красотой, как многогранники.
• Идеи Платона, И. Кеплера, Пуансо о связи многогранников с гармоничным
устройством мира уже в наше время нашли своё продолжение.
• Существует только 5 правильных многогранников (тел Платона), 13
полуправильных многогранников, открытых Архимедом, бесконечные серии
полуправильных многогранников, 4 типа правильных звёздчатых
многогранников.
•Многогранники окружают нас повсюду: в природе, архитектуре, искусстве,
технике и даже в спорте
III этап – итоговое обсуждение-5-7 мин.
Рефлексия.
1. Сегодня я узнал…
2.Было интересно…
3. Я научился…
4.Меня удивило…
5. Мне захотелось…
IV Итог урока
Домашнее задание: вопросы к главе «Многогранники», подготовка к зачёту.
Литература:
•
Стахов А., Слученкова А., Щербаков И. Код да Винчи и ряды
Фибоначчи. – СПБ.: Питер, 2006 год. 320 с.: ил.
•
Т. И. Тарабарина. Оригами и развитие ребёнка. Ярославль 1997год
•
http://www.antiferro.narod.ru/origami/index.html.
•
http://origami.pro.ucoz.ru/forum/15 -198-1
•
Т. Ходеева Изучение свойств многогранников.- Изд. дом «Первое
сентября» (Математика). №17 – 2003
•
И. Смирнова, В. Смирнов Геометрия на профильном уровне
обучения- Изд. дом «Первое сентября» Математика. №22 - 2006