ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 В.Н. Демидов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
В.Н. Демидов
Тема работы: Анализ эмпирических распределений. Числовые характеристики
выборки.
Цель работы: Научиться выполнять группировку данных и оформлять результаты
обработки эмпирической выборки графически (в виде полигона, гистограммы, эмпирической
функции распределения). Научиться вычислять числовые характеристики выборки
(показатели положения, разброса, асимметрии), используя приведенные формулы и
встроенные функции системы Mathcad.
Задание: По заданной эмпирической выборке оценить плотность распределения
вероятностей и функцию распределения генеральной совокупности, т.е. построить
гистограмму, полигон, эмпирическую функцию распределения и полигон накопленных
частот. Сравнить (изобразив на одном графике) эмпирическое и указанное в задании
теоретическое распределения вероятностей. Используя функцию Колмогорова, построить
95%-ную доверительную область («полосу») для функции распределения.
Вычислить выборочные характеристики (среднее, медиану, моду, дисперсию,
стандартное отклонение, коэффициент асимметрии, эксцесс). Сравнить вычисления по
приведенным в теоретическом описании формулам и встроенным функциям пакета Mathcad.
Теоретическая часть
Построение эмпирических распределений. Оценка плотности вероятностей и функции
распределения
Просматривая результаты наблюдений (измерений) трудно заметить какую-либо
закономерность в их изменении. Выявить такие закономерности позволяют статистические
методы.
Предварительная статистическая обработка опытных данных начинается обычно с
того, что их располагают в порядке возрастания (неубывания). Упорядоченная таким
образом выборка называется вариационным рядом, а сама процедура упорядочения –
ранжированием (или сортировкой) опытных данных.
Наглядной формой графического представления эмпирических данных является
гистограмма и полигон.
При непрерывном распределении случайной величины X эмпирическая плотность
распределения вероятностей может быть изображена в виде гистограммы или полигона
относительных частот. Для этого должна быть выполнена группировка значений выборки,
которая состоит в следующем.
Весь интервал x min , xmax , в котором заключены элементы выборки, разбивается на
ряд частичных интервалов ai ,bi  длины h и подсчитывается число элементов выборки ni ,
попавших в i -й интервал i  1,2,,m . Параллельно вычисляется и относительная частота
wi  ni / n . При графическом изображении гистограммы и полигона каждый интервал
удобнее представлять не двумя границами ai и bi , а одним значением xi  ai  h / 2 серединой интервала.
Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h , а высоты
равны отношению ni / h (плотность частоты). Площадь частичного i -го прямоугольника
равна hni / h   ni - числу выборочных элементов, попавших в i -й интервал. Площадь
гистограммы частот равна объему выборки n .
Полигон частот – это ломаная линия, получающаяся при соединении точек с
координатами xi , ni / h  , т.е. соединяются середины верхних сторон прямоугольников
гистограммы.
Аналогично определяется гистограмма и полигон относительных частот.
Для гистограммы относительных частот площадь частичного i -го прямоугольника
равна hwi / h  wi -относительной частоте элементов, попавших в i -й интервал. Площадь
гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.
Полигон относительных частот – это ломаная линия, соединяющая точки
x1 ,w1 / h  , x2 ,w2 / h  ,…, xm ,wm / h , где xi - середины интервалов группировки, wi соответствующие им относительные частоты.
Полигон накопленных частот – это график ломаной линии, соединяющей точки

k


m


i 1


i 1

b1 ,n1  , b2 ,n1  n2  , … ,  bk , ni  , … ,  bm , ni  ,
c абсциссами, равными правым границам интервалов группировки, и ординатами, равными
накопленным частотам.
Аналогично, полигон накопленных относительных частот – это ломаная линия,
получающаяся соединением точек с координатами
 n1   n1  n2 
 b1 ,  ,  b2 ,
, … ,
n 
 n 
 1
 bk ,
 n

k

i 1

ni  , … ,



 bm , 1

n

m

i 1

ni  1 .


В математической статистике доказывается, что гистограмма и полигон
относительных частот являются состоятельными оценками плотности распределения, а
полигон накопленных относительных частот (или эмпирическая функция распределения) –
состоятельной оценкой истинной функции распределения генеральной совокупности. При
этом, чем больше объем выборки, тем мельче можно взять интервалы разбиения h и тем
точнее гистограмма и эмпирическая функция распределения будут аппроксимировать
соответствующие теоретические распределения.
Число интервалов группировки эмпирических данных m существенно влияет на вид
гистограммы. Четких рекомендаций на этот счет не существует, ясно лишь то, что это число
не должно быть «очень малым» или «очень большим». В зависимости от объема выборки
число интервалов обычно выбирают в диапазоне 8 – 20. Иногда для выбора m
рекомендуется формула
m  1  3.32 lg n  1  1.44 lnn ,
записанная с использованием десятичного или натурального логарифма, или формула
m  5 lnn,
где n - объем выборки. Эти формулы дают лишь ориентировочное количество интервалов,
которое может быть изменено в ту или другую сторону. После определения m вычисляется
длина интервалов группировки
h
x m ax  x m in
.
m
Доверительная область для функции распределения, соответствующая уровню
доверия p  1   , определяется неравенствами


z
z
Fn x     F x   Fn x    .
n
n
Эти неравенства выполняются сразу для всех x с вероятностью, близкой к p  1   .
Данный результат следует из теоремы Колмогорова А.Н., доказываемой в курсе теории
вероятностей. Здесь z  - корень уравнения
(1)
K z   1   ,
а K z  - функция (распределения) Колмогорова, определяемая абсолютно сходящимся
функциональным рядом z  0

 1
K z   1  2
n 1


exp  2n 2 z 2 .
(2)
n 1
Этот ряд сходится крайне неравномерно, поэтому для достижения одной и той же точности
при различных значениях z приходится сохранять различное количество членов ряда (2).
Оценки показывают следующее. Чтобы обеспечить точность вычисления функции K z 
порядка 10-6 в окрестности точки z  1 достаточно сохранить три члена ряда, при z  0.1
уже около 30 членов, а при z  0.001 около 2700 членов ряда. Таким образом, когда z  0 ,
количество членов рада растет пропорционально z 1 . Но поскольку нас интересует только
решение уравнения (1) при малых значениях  , когда K z   1 и z  1 , функцию (2) для
наших целей можно записать в виде
3
 1
K z   1  2
n 1


exp  2n 2 z 2 ,
(3)
n 1
сохранив в сумме всего три слагаемых.
Вычисление эмпирических параметров
Числовые характеристики выборки вычисляются по следующим формулам:
- эмпирическое (выборочное) среднее
1
x
n
n
x ;
(4)
i
i 1
- выборочная дисперсия
1
S 
n
2
n
 x  x 
2
i
i 1
1

n
n
x
2
i
1
s 
n 1
 x , или
2
2
i 1
n
 x  x 
2
i
;
(5)
i 1
- стандартное отклонение
1
S
n
n
 x  x 
2
i
,
i 1
- размах выборки
или
1
s
n 1
n
 x  x 
2
i
;
(6)
i 1
R  xmax  xmin ;
(7)
- эмпирический центральный момент k -го порядка
1

k 
n
n

i 1
xi  x  , или  k  1
n 1
k
n
k


x

x
;
i

(8)
i 1
- эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса
  3
A   3/ 2 ,
2
  4
E   2  3.
2
Несмещенные оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:
(9)

A
 nn  1M 4  3n  1M 22
,
E
n  1n  2n  3s 4
nM 3
,
n  1n  2s 3
(10)
где
n
Mk 
 x  x  ,
k
i
k  2 ,3,4
i 1
Вторая формула (5) дает несмещенную оценку дисперсии s 2 , но, несмотря на это, после
извлечения квадратного корня (формула (6)) получается смещенная оценка для

среднеквадратичного отклонения. Несмещенная оценка  вычисляется по формуле

  Cn  s ,
 n 1


n 1  2 
,
C n  
2
n
 
 2
(11)
где u  - гамма-функция Эйлера. Использовать эту формулу имеет смысл лишь при
относительно малом объеме выборки, поскольку множитель C n при больших значениях n
приблизительно
равен
единице:
C5  1.064 ;
C10  1.028 ;
C50  1.005;
C200  1.001.
Отметим, что оценки математического ожидания и дисперсии x и s 2 являются
несмещенными оценками при произвольных распределениях, оценка стандартного
отклонения (11) может быть смещенной при распределениях, отличных от нормального
распределения.
Порядок выполнения задания
1. Присвойте переменной ORIGIN значение равное единице, а переменной n - указанное в задании число,
равное количеству элементов эмпирической выборки.
2. Введите (с использованием функции READPRN(“путь к файлу”)) вектор выборочных значений.
3. Выполните операцию ранжирования выборки.
4. Вычислите размах выборки.
5. Задайте (или вычислите) число m интервалов группировки данных.
6. Вычислите характеристики интервалов группировки:
h , ai , bi , xi .
7. Определите (с помощью функции hist(x,X)) вектор частот для интервалов группировки.
8. Постройте гистограмму и полигон относительных частот, используя различные стили графического
оформления результатов.
9. Определите вектор относительных накопленных частот.
10. Постройте полигон относительных накопленных частот.
11. Сравните эмпирическое и теоретическое распределения (изобразив на одном графике эмпирические
полигоны частот и указанное в задании распределение).
12. Поделайте все вычисления для нескольких различных значений m ; сравните результаты.
13. Вычислите все указанные в задании числовые характеристики выборки с использованием формул (4) – (11)
и встроенных функций Mathcad. Сравните результаты вычислений.
14. Сохраните рабочий документ.
Справочная информация