Применение_линейной_функции_в_физике

3
Министерство образования Российской Федерации
МОУ Барсовская средняя общеобразовательная школа
ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ
ФУНКЦИИ В ФИЗИКЕ
Исследовательская работа
Ученика 10 класса
Дудкина Владислава
Проверила учитель математики
Боярская М. Н.
2009 г.
4
Оглавление.
Введение…………………………………………………………………………...5
§1. Линейные функции в алгебре………………………………………………...6
§2. Равномерное прямолинейное движение. Скорость…………………………7
§3. График скорости равномерного прямолинейного движения. График
пути. График координаты………………………………………………………...9
Приложение ……………………………………………………………………..12
Заключение……………………………………………………………………….14
Список литературы………………………………………………………………15
5
Введение
Особое внимание на уроках физики выделялось связи курсов физики и
математики, так как изучение математики наиболее широко и значительно
отражается на изучении физики: физические законы выражаются
математическими формулами, математика используется при выводе
следствий из законов физики, в доказательствах некоторых положений
физики, в решении задач, лабораторных работах.
При изучении темы «Равномерное прямолинейное движение» был
сделан вывод о том, что при равномерном прямолинейном движении тело за
равные промежутки времени проходит одинаковые пути и движется по
прямой. Из курса алгебры 8 класса нам известно, что прямая является
графиком линейной функции. Таким образом, перед нами стоит задача –
использовать знания свойств линейной функции и ее графика, полученные на
уроках алгебры, для более полного и глубокого усвоения программного
материала по физике, затратив при этом минимум времени.
Основной целью данной исследовательской работы является
рассмотрение связи темы «Линейная функция» из курса алгебры 8 класса и
темой «Равномерное прямолинейное движение» из курса физики 9 класса.
Работа состоит из введения, 3 глав, приложения и заключения.
Первая глава работы посвящена исследованию линейной функции, её
свойств и построению графика данной функции.
Во второй главе рассмотрены основные определения равномерного
прямолинейного движения, скорости, координаты тела.
Рассмотрению графиков скорости, пути и координат посвящена 3
глава. Она содержит описание графиков изменения физических величин и
пример решения задач, требующих умения определять по графику значения
необходимых физических величин, а также составлять уравнения движения
тел.
6
§1. Линейные функции в алгебре.
Уравнение ах+bу+с=0, где а≠0, называют линейным уравнением с
двумя переменными х и у. довольно часто математической моделью
реальной ситуации служит линейное уравнение с переменными или
уравнение, которое после преобразований сводится к линейному. Решением
уравнения ах+bу+с=0 является пара чисел (х; у), которая удовлетворяет
этому уравнению. Графиком такого уравнения является прямая.
Алгоритм построения графика уравнения
ах+bу+с=0:
1. придать переменной х конкретное значение х=х1; найти из уравнения
ах1+bу+с=0 соответствующее значение у: у=у1.
2. 2.придать переменной х другое значение х=х1; найти из уравнения
ах1+bу+с=0 соответствующее значение у: у=у2.
3. построить на координатной плоскости хОу две точки (х 1; у1) и (х2; у2).
4. провести через эти две точки прямую – она и будет графиком
уравнения ах+bу+с=0.
Линейное уравнение с двумя переменными х и у можно привести к виду
у =kx+m:
ах+bу+с=0 ;
bу=-ах-с;
у=(-ах-с):b
введя обозначения –(а:b)=k –(c:b)=m, получаем у=kx+m, где k и m
коэффициенты, причем k≠0.этот вид линейного уравнения называется
линейной функцией, графиком которой является прямая. Если k>0, то
функция возрастает, если k<0 – убывает.
7
§2. Равномерное прямолинейное движение. Скорость.
Самое простое движение – это равномерное движение по прямой в
одном направлении. Для этого движения проще всего определить, что такое
скорость.
Движение называется равномерным прямолинейным, если траектория
есть прямая линия и точка за любые равные промежутки времени проходит
равные расстояния.
Если известно только то, что автомобиль в данный момент времени
находится в определённом месте на шоссе, то ничего не известно о том как
он движется. Важной величиной, характеризующей движение тела, является
скорость. Со скоростью мы знакомы из повседневной жизни.
Пример:
Черепаха перемещается с малой скоростью – примерно 0,5км/ч, её
движение – символ медлительности. Человек перемещается быстрее: его
скорость около 5км/ч, т.е. движется с большей скоростью. Автомобиль
движется быстрее человека (100км/ч), а самолет ещё быстрее (1000км/ч).
самой большой скоростью относительно земли человек достигает с помощью
космических ракет(11км/с). Максимально возможная скорость – это скорость
света в вакууме: 300000 км/с.
Чем больше скорость, тем больше расстояние проходит тело за данный
интервал времени. Скорость показывает, как быстро движется тело, т.е. как
быстро с течением времени меняется его положение в пространстве по
отношению к другим телам.
Будем считать, что точка (автомобиль на шоссе) движется
прямолинейно. Пусть в момент времени t1 точка имела координату х1, а в
момент t2 её координата стала равной х2.
За интервал времени t2-t1 изменение координаты точки равно х2-х1
(изменением любой величины, координаты в том числе, называют разность
между значениями величины в конце и начале процесса изменения). Для
интервала времени принято сокращенное обозначение ∆t: ∆t=t2-t1 для
изменения координаты - ∆х (рис.1.):∆х=х2-х1
При равномерном прямолинейном движении координаты движущейся
точки изменяются одинаково за любые равные промежутки времени.
Обозначим скорость через uх. Тогда по определению имеем
ux=∆x:∆t
(2.1)
Индекс х около буквы u указывает, что рассматривается скорость точки
вдоль оси Х.
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна:
uх=const.
В самом деле, за любые равные интервалы времени изменения
координат одинаковы. Поэтому одинаковы и отношения ∆х:∆t. Если
8
уменьшить интервал времени в два раза, то и изменение координаты
уменьшится тоже в два раза. Ведь за первую половину интервала тело
проходит точно такое же расстояние, что и за вторую.
Скорость uх может быть как положительной, так и отрицательной.
Действительно, ∆t=t2-t1 всегда положительно (∆t>0). Но изменение
координаты ∆х может быть как положительным ( ∆х>0), если х2>х1, так и
отрицательным (∆х<0),если х2<х1.
Координаты и пройденный путь при равномерном прямолинейном
движении.
Если скорость постоянна, то координата меняется со временем по
простому закону.
Будем рассматривать движение тела (точки) начиная с момента
времени t0=0.Пусть в этот момент времени координата тела, называемая
начальной координатой, равна х0 (рис.2). Тогда, обозначив координату в
произвольный момент времени через х, согласно определению(2.1) получим:
uх= (х-х0):t .
(2.2)
Отсюда
х=х0+uхt
(2.3)
Из этого уравнения видно, что зависимость координаты от времени
линейна. Так как uх может быть как, так и меньше нуля, то координата х или
возрастает или убывает.
Простая формула (2.3) справедлива для любого момента времени
только при равномерном прямолинейном движении, так как только в этом
случае выражение (2.2) точно определяет скорость при любом значении t.
Итак, для определения координаты в произвольный момент времени
надо знать начальную координату х0 и скорость uх. Эти величины,
следовательно, необходимо измерить.
Подчеркнём, что формула (2.3) непосредственно определяет
координату движущейся точки, но не пройденный путь. При прямолинейном
движении в одном направлении пройденный путь s (рис.2) равен модулю
изменения координаты: s=‫׀‬х-х0‫׀‬. Его можно найти, зная модуль скорости
u=‫׀‬uх‫׀‬: s=‫׀‬ux‫׀‬t=ut.
(2.4)
Единица скорости.
Модуль скорости равен:
u=‫׀‬ux‫=׀‬s:t .
(2.5)
За единицу скорости принимается скорость равномерного прямолинейного
движения тела (точки), при которой это тело за единицу времени проходит
путь, равный единице длинны. Так, если время выражается в секундах, в
расстояние (путь) в метрах или сантиметрах, то единица скорости равна 1м/с
или 1см/с.
9
§3. График скорости равномерного прямолинейного движения.
График путь. График координаты.
График модуля скорости.
При равномерном прямолинейном движении скорость Ux=const,
следовательно, и её модуль U=const, т.е. не изменяется с течением времени.
Графиком зависимости модуля скорости от времени является прямая,
параллельная оси времени и расположенная выше этой оси, так как u>0(рис.
3). Площадь прямоугольника ОАВС, заштрихованного на рисунке, численно
равна пути, пройденному телом за время t. Ведь сторона ОА в определённом
масштабе есть u, а сторона ОС – время движения t, поэтому s=ut.
График скорости.
В отличие от модуля скорости скорость, определяемая выражением ux=x:t,
может быть положительной или отрицательной. Поэтому графиком
зависимости ux от времени t может быть либо прямая ВС, либо прямая KF
(рис.4). Обе прямые параллельны оси времени. Прямая ВС соответствует
положительному значению скорости, а прямая KF соответствует
отрицательному значению скорости. Площади прямоугольников ОВСD и
OEFK, заштрихованных на рисунке, численно равны соответствующим
изменениям координат движущихся тел за время их движения. Так как u1x>0,
то изменение координаты первого тела х1=u1xt1 положительно. Поэтому и
площади прямоугольника OBCD приписывается положительный знак.
Скорость движения второго тела отрицательна: u2x<0. поэтому
отрицательным будет и изменение координаты х2=u2xt2. в этом случае
изменение координаты численно равно площади лежащего ниже оси времени
прямоугольника OEFK, взятой со знаком минус.
График пути.
При равномерном прямолинейном движении путь s прямо пропорционален
времени T, так как модуль скорости u=const: s=ut. Следовательно, графиком,
выражающим зависимость пути от времени, является прямая, выходящая из
начала координат (s(0)=0). Чем больше модуль скорости, тем больший угол
10
образует график с осью времени. Для того, чтобы по графику зависимости
пути от времени определить путь, пройденный телом за определённой
промежуток времени, надо из точки на оси времени, соответствующей концу
промежутка, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком, а
затем из этой точки опустить перпендикуляр на ось s.точка пересечения его с
этой осью даст значение пути в данный момент времени. На рисунке 5
представлены графики пути 1 и 2 для двух движущихся тел.
График координаты.
Так как координата при равномерном прямолинейном движении
является линейной функцией времени х=х0+uxt, то графиком зависимости
координаты от времени является прямая линия. По графику зависимости х(t)
можно судить о прошлом в движении тела, т.е. можно находить положение
тела до начала отсчета времени, при условии, что и до этого момента тело
двигалось равномерно и прямолинейно с той же скоростью. Моменты
времени до начала отсчёта считаются отрицательными.
Вывод: все графики равномерного прямолинейного движения представляют
собой прямые линии. Для их построения достаточно указать значения х(t)
или s(t) для двух моментов времени. На рисунке 6 приведены графики
зависимости координаты от времени для трех случаев.
Рассмотрим задачу, при решении которой используется изложенный
выше материал.
11
По заданным графикам (рис. 7) напишите уравнение движения x = x(t).
Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с, скорости
движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.
Решение.
Уравнение координаты тела задается линейной функцией времени
x = x0 +uxt.
Для заданных графиков имеем следующие уравнения:
x1= 5,
x2= 5 – t,
x3 = -10 +0,5t.
Через 5 c тела будут иметь следующие координаты:
x1(5) = 5,
x2(5) = 0,
x3(5) = - 7,5.
Вычислим скорости тел по формуле:
Получим: u1 = 0 м/с, u2 = -1 м/с, u3 = 0, 5 м/с.
Второе и третье тело встретятся в точке с координатой (10;-5), т. е. место
встречи x = -5 м, а время встречи t =10 с.
12
Приложение.
Основное уравнение равномерного движения как основа
электромеханических программных устройств.
Основным соотношением равномерного движения является формула
связи пройденного пути s со временем t: s=ut, где u – модуль скорости
движения. Так как при равномерном движении модуль скорости является
величиной постоянной, то между пройденным путем и временем существует
прямая пропорциональность.
Это и используется при задании программы. Элементы программы
фиксируются вдоль некоторой линии на материальном носителе
(изоляционном диске, бумажной перфоленте и др.). Каждый элемент
занимает на указанной линии участок определённой длины. Считывающее
устройство движется равномерно по линии материального носителя, вдоль
которой зафиксирована программа, с постоянной скоростью u. При этом
линейная развёртка программы в пространстве переходит во временную.
Длине l, которую занимает данный элемент программы, соответствует время
t=l:u, в течение которого этот элемент считывается.
Работа простых циклических автоматов состоит в том, что они
независимо от внешних условий выполняет программу действий, которая
затем многократно повторяется. Примером такого автоматического
устройства может служить установка для праздничной иллюминации, где
чередование изображений на иллюминационном щите достигается
соответствующим переключением электрических ламп. Необходимая
последовательность включения и выключения каждой лампы обеспечивается
таймером. В простейшем случае это равномерно вращающийся диск с
дуговыми прорезями, расположенными по окружности . Таким образом
простой циклический автомат состоит из программного устройства и
исполнительных органов. Программы работы циклических автоматов могут
быть заданы с помощью перфолент. Это значительно облегчает смену
программ.
Рефлекторные автоматы отличаются от простых циклических тем, что
они данную последовательность действий повторяют не самопроизвольно, а
лишь после поступления извне определённого сигнала. В его состав входит
дополнительный функциональный блок – ждущее пусковое устройство. Этот
блок обладает следующими свойствами: под действием внешнего сигнала он
срабатывает и включает программное устройство, в результате чего автомат
отрабатывает запрограммированный цикл действий; по завершении
последнего ждущее пусковое устройство приходит в исходное состояние и
весь автомат бездействует до момента прихода нового запускающего
сигнала.
К рефлекторным автоматам относится большинство торговых
автоматов. Внешним сигналом для ждущего пускового устройства является
опускание монеты. При этом ждущее пусковое устройство должно
13
реагировать на монету определённого достоинства (веса или диаметра). Это
значит, что ждущее пусковое устройство выполняет и измерительную
функцию и является разновидностью датчика.
14
Заключение.
Исследуя вопрос связи тем «Линейная функция и её график» и
«Равномерное прямолинейное движение» мы пришли к выводу, что при
изучении равномерного прямолинейного движения необходимо опираться на
имеющиеся у нас знания о линейной функции и её графике. Только в этом
случае можно успешно выполнять задания по физике, целью которых
является чтение, построение графиков скорости, пути и координаты, а также
отыскание с помощью этих графиков промежуточных величин.
Изложенный в работе материал может быть использован на уроках
физики при изучении темы «Равномерное прямолинейное движение», а
также исследован на дополнительных и факультативных занятиях по физике
в 9 классе.
Выражаю благодарность руководителю за постановку задачи и
полезные советы.
15
Список литературы.
1. Мордкович А.Г. Алгебра.7кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений.
М.: Мнемозина, 2001.
2. Мордкович А.Г. Алгебра.8кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений.
М.: Мнемозина, 2003.
3. М.М. Балашов, А.И. Гомонова. Физика: Механика: Учеб. Пособие для
шк. и классов с углубл. изуч. Физики. М.: Просвещение, 1995.
4. В. И. Лукашик. Сборник задач по физике для 7 – 9 классов
общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2002.