Теория вероятностей (ТВ) Изучает закономерности массовых случайных явлений

Теория вероятностей
(ТВ)
Изучает закономерности
массовых случайных явлений
Случайное явление – такое,
которое при воспроизведении
опыта происходит каждый раз
несколько иначе
Основные понятия и термины ТВ
• Наблюдения, опыты и измерения
• Испытание - осуществление
каждого отдельного наблюдения,
опыта или измерения
• Комплекс условий - совокупность
условий, при которых выполняется
каждое отдельное испытание
Основные понятия и термины ТВ
• Результат испытания
называется событием
• Событие - любой факт, который может
произойти в результате испытания
• События обозначают начальными
заглавными буквами латинского
алфавита:
• А, В, С,… или А1, А2, А3, …
Основные понятия и термины ТВ
• Каждое событие обладает
объективной возможностью
наступления
Основные понятия и термины ТВ
• В любом опыте имеется определенное
множество возможных исходов ωi, (i =
1, 2,…n) называемых элементарными
исходами или элементарными
событиями
• Все возможные исходы опыта
образуют пространство Ω
элементарных событий
(элеметарных исходов) этого
опыта
Основные понятия и термины ТВ
• Например,
1  1 ,2   Г, Ц 
• - пространство элем. исходов опыта,
связанного с подбрасыванием одной
монеты;
 2  1 ,2 ,3 ,4   ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ 
• - пространство элем. исходов опыта,
связанного с подбрасыванием двух
монет
Основные понятия и термины ТВ
• Событие
A  выпадение "герба"  1   Г 
• - подпространство пространства 1
• Событие
B   хотя бы один "герб"  1 ,2 ,3   ГГ, ГЦ, ЦГ 
• - подпространство пространства  2
Виды событий в ТВ
• В зависимости от объективной
возможности наступления:
• 1. Достоверное
А U
• 2. Невозможное
• 2. Случайное
A V
A,B,C ,... или
A1 ,A2 ,...,An
Виды случайных событий
• 1. Простое - не может быть разложено
на составляющие.
• Например:
• Событие A  Г  - при бросании
монеты;
• Событие B  2 - при бросании
игральной кости;
• Событие C    0 - при измерениях
(  - случайная ошибка измерений)
Виды случайных событий
• 2. Сложное (составное) событие описывается несколькими простыми
событиями.
• Например: событие
C  нечетная цифра  1,3,5
•
- при бросании игральной кости
Виды сложных событий
• а) Логическая сумма (объединение)
простых событий – сложное событие,
которое заключается в наступлении
хотя бы одного из нескольких событий.
• Например:
S1 = четная цифра  2 ,4 ,6
• 1)
• 2)
 появление хотябыодной

S 2   положительной случайной 
 ошибки при двух измерениях 
Виды сложных событий
• Общепринятая запись суммы
(объединения) двух событий:
S  A1
A2
или
S А1  А2

• что означает:
S = или А1 ,или А2 ,или А1 и А2 
•
- символ логического сложения.
Виды сложных событий
• Сумма (объединение) трех событий:
• S  A1 A2 À3
• что означает:
или
S А1  А2  А3 ,

 èëè À1 ,èëè À2 ,èëè À3 ,èëè À1èÀ2 , 
S =

 èëè À1èÀ3 ,èëè À2èÀ3 ,èëè À1èÀ2èÀ3 
Виды сложных событий
• б) Логическое произведение
(пересечение) простых событий сложное событие, которое
заключается в совместном
наступлении одновременно или
последовательно друг за другом
нескольких событий.
Виды сложных событий
• Например, событие
П 1  выпадение цифры6 на обеих костях
• - при бросании двух игральных костей.
• Или событие
 появление двух положительных 
П 2   случайных ошибок

 при двух измерениях

Виды сложных событий
• Общепринятая запись произведения
(пересечения):
• Ï  A1 A2 À3 или П  A1 A2 А3 ,
• что означает:
П  иА1 ,иА2 ,иА3  ;
•
•
- символ логического
умножения.
Виды случайных событий
(продолжение)
• 3. Равновозможные события – имеют
одинаковую объективную возможность
наступления при данном комплексе
условий.
• Например, события:
A   Г 
  равновозможны
B   Ц 
при бросании монеты
Виды случайных событий
• События
А1  1 

А2  2
  равновозможны
............... 
А6  6  
при бросании игральной кости ;
Виды случайных событий
• События
• C    0 и
D     0 ,
• где  - случ. ошибка измерений, равновозможны при однократном
измерении некоторой величины.
Виды случайных событий
• 4. Единственно возможные события –
такие, когда в результате испытания
может произойти одно и только одно из
этих событий
• Так, в предыдущих примерах события Аi
единственно возможны, равно как и
события С и D
• Система единственно возможных
событий данного опыта образует
пространство Ω элементарных
событий этого опыта
Виды случайных событий
• 5. Не совместные и совместные
события – такие, которые в одном
испытании не имеют или имеют общие
элементарные исходы.
• Например, при бросании игральной
кости события А  3 и В  2, 4, 6 не
совместны, а события В  2, 4, 6 и С  4
- совместны.
Виды случайных событий
• 5. Независимые и зависимые события
– такие, у которых объективная
возможность появления не зависит или
зависит от того, появилось или нет
другое событие.
Виды случайных событий
• Система единственно возможных
несовместных событий называется
полной группой событий.
• Так события
• А   Г  и В  Ц  при одном бросании
монеты составляют полную группу
событий,
• равно как и события А ,А ,...,А
1
2
• при бросании игральной кости.
6
Виды случайных событий
• 6. Противоположные события – два
простых или сложных события,
образующих полную группу.
• Событие, противоположное событию А
обозначается А
Виды случайных событий
• Так, противоположны события:
• А Г
и
А Ц
 
•
•
А  2, 4, 6
А  3
 
и
и
;
А  1, 3, 5 ;
А  1, 2, 4, 5, 6
• Конечное число несовместных
равновозможных событий, образующих
полную группу, называются случаями,
шансами, элементарными исходами
опыта.
• Например, при бросании монеты
возможны только два элементарных
исхода: Г - “герб” и Ц - “цифра”, а при
бросании игральной кости – шесть, а
именно: 1, 2, 3, 4 , 5, 6.
• Про опыт говорят, что он сводится или
не сводится к схеме случаев (шансов,
элементарных исходов).
• Элементарный исход называется
благоприятствующим данному
событию, если его осуществление
влечет за собой наступление этого
события.
• Например, в опыте
1  1 ,2   Г, Ц 
• выпадению герба благоприятствует
один исход (Г);
• В опыте
 2  1 ,2 ,3 ,4   ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ 
• выпадению хотя бы одного герба
благоприятствуют три исхода
(ГГ,ГЦ,ЦГ)
• Численная мера объективной
возможности появления события
называется вероятностью события.
• Вероятность – важнейшая
характеристика случайного события.
• Существует несколько определений
вероятности, мы рассмотрим два из
них: классическое и статистическое.
Классическое определение
вероятности
• Оно не связано с проведением опытов,
т.е. вероятность события определяется
исходя лишь из условий опыта.
• Но при этом необходимо, чтобы
возможные исходы опыта составляли
схему случаев, т.е. были бы все
равновозможны, несовместны,
образовывали полную группу и их число
должно быть конечным.
Классическое определение
вероятности
• Тогда вероятность события может быть
получена по формуле
M
P
N
I 
• где N – общее число возможных
элементарных исходов опыта;
• M – число исходов опыта,
благоприятствующих наступлению
интересующего нас события.
Классическое определение
вероятности
• Согласно формулы ( I ),
• При одном бросании монеты:
• Р(Г) = 1/2.
• При одном бросании игральной кости:
• P(6) = 1/6;
• Р{четная цифра} = 3/6 = 1/2.
Классическое определение
вероятности
• В формуле (I) M  N
• или 0  M  N ,
• т.е.
0  P 1
• Т.о. предельное числовое значение
вероятности вообще есть единица.
Классическое определение
вероятности
• При M  N имеем P(
)1
• - вероятность достоверного
события равна единице.
• При M  0
имеем P(V )  0
• - вероятность невозможного события
равна нулю.
• При 0  M  N имеем 0  P  1
• - вероятность случайного события
может изменяться в пределах от нуля
до единицы, не достигая их.
Классическое определение
вероятности
• Обозначим P( A )  p и , P( A )  q
• Тогда
•
p  q  1 , т.к.
M N M

1
N
N
,
• т.е. сумма вероятностей
противоположных событий равна
единице.
Классическое определение
вероятности
• Недостаток: опыты редко сводятся к
схеме случаев и чаще всего
нарушается требование
равновозможности исходов.
• Поэтому формула ( I ) имеет
ограниченное (но достаточно широкое )
применение.
Статистическое определение
вероятности
• Связано с проведением опытов и с
понятием относительной частоты Q
– частости- появления интересующего
нас события в опытах:
•
k ,
Q
n
• где n – число испытаний;
• k – число появлений события в этих
испытаниях (абсолютная частота).
Статистическое определение
вероятности
• Свойство устойчивости относительной
частоты в опытах отражено в теореме
Бернулли:
k

P  p     1
n

• где ε и δ - бесконечно малые числа.
• Или
k
lim
n
p
n
Статистическое определение
вероятности
• На основании теоремы Бернулли :
вероятность – это предел, к
которому стремится относительная
частота Q события при
неограниченном увеличении числа
испытаний.
Статистическое определение
вероятности
• Практически статистическая
вероятность может быть найдена по
приближенной формуле
k
P
n
(II)
Статистическое определение
вероятности
• Недостаток - необходимость
выполнения бесконечного числа опытов
или достаточно большого их числа, что
не всегда возможно, а чаще вообще
невозможно.
• Формулы ( I ) и ( II ) выражают прямые
способы определения вероятностей
случайных событий.
• Они являются главными, но не
основными.
• Основными следует считать косвенные
способы.
Косвенные способы
вычисления вероятностей
• Позволяют по известным вероятностям
одних событий вычислять вероятности
других, с ними связанных.
• Это сводит необходимый эксперимент к
минимуму.
• Вся ТВ есть система таких косвенных
способов.
Косвенные способы
вычисления вероятностей
•
•
•
•
•
•
К ним относятся:
- теоремы (аксиомы) ТВ;
- формула полной вероятности;
- формула Байеса;
- формула Бернулли;
- формула использования вероятности
противоположного события и др.
Основные теоремы ТВ
• Используются для вычисления
вероятностей сложных событий.
• Их две – теорема сложения
вероятностей и теорема умножения
вероятностей.
• Строго могут быть доказаны только для
событий, сводящихся к схеме случаев.
• Для других событий применяются как
аксиомы, принципы, постулаты.
Теорема сложения
вероятностей
• Суммой событий называется сложное
событие, состоящее в наступлении хотя
бы одного из этих событий.
SA
B
Теорема сложения
вероятностей
• Теорема: Вероятность суммы двух
или нескольких совместных событий
равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их
совместного появления, т.е.
P( A
B )  P( A )  P( B )  P( AB )
Теорема сложения
вероятностей
• Доказательство:
• n – общее число всех
возможных исходов опыта;
• m - благоприятствуют
наступлению события А;
• k –благоприятствуют
наступлению cобытия В;
• l исходов благоприятствуют
одновременно событиям А и
В.
Теорема сложения
вероятностей
• Очевидно, что событию A B  A  B
благоприятствуют все n  m  k  l исходов.
Запишем вероятности этих событий:
Или
P( A
m
k
P( A )  , P( B )  ,
n
n
l
mkl
P( AB )  , P( A B ) 
n
n
m k l
B )     P( A )  P( B )  P( AB )
n n n
Ч.т.д.
Теорема сложения
вероятностей
• Для несовместных событий l = 0.
• В этом случае
P( A  B )  P( A )  P( B )
т.е. вероятность суммы несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий.
Следствие. Сумма вероятностей событий A1, A2,…,An ,
образующих полную группу, равна единице - как
вероятность достоверного события:
n
 P( A
i 1
i
)  P( U )  1
Теорема сложения
вероятностей
• Задача 1. В лотерее 1000 билетов. На
один билет падает выигрыш в 500
рублей, на 10 по 100 рублей, на 50 – по
20 рублей и на 100 – по 5 рублей.
Какова вероятность выиграть на один
билет:
• а) не менее 20 рублей;
• б) любую сумму денег?
Теорема сложения
вероятностей
• Решение: Обозначим события:
A1   âû è ãðû ø 500 ð.í à î äè í áè ëåò  ;
A1   âû è ãðû ø 100 ð.í à î äè í áè ëåò  ;
A1   âû è ãðû ø 20 ð.í à î äè í áè ëåò  ;
A1   âû è ãðû ø 5 ð.í à î äè í áè ëåò  .
• Найдем вероятности этих простых
событий по формуле P  M
:
N
Теорема сложения
вероятностей
1
10
P( A1 ) 
 0.001; P( A2 ) 
 0.010;
1000
1000
50
100
P( A3 ) 
 0.050; P( A4 ) 
 0.100.
1000
1000
Теорема сложения
вероятностей
• Введем обозначения для интересующих
нас событий:
  âû è ãðû ø í å ì åí åå 20 ð.  À1 À2 À3  À1  À2  À3
• - сумма 3-х несовместных событий;
Ñ  âû è ãðû ø ëþ áî é ñóì ì û    A1
A2
A3
A4  
 A1  A2  A3  A4  B  A4
• - сумма 4-х несовместных событий.
Теорема сложения
вероятностей
• Вычислим вероятности этих событий по
тереме сложения вероятностей
несовместных событий:
P( B )  P( A1  A2  A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 ) 
 0.001  0.010  0.050  0.061;
P( C )  P( A1  A2  A3  A4 
 P( B )  P( A4 )  0.061  0.100  0.161.
Условие независимости
событий
• Два события называются
независимыми, если вероятность
появления одного из них не зависит от
того, произошло или нет другое
событие.
Условие независимости
событий
• Вероятность события, вычисленная в
предположении, что одно или несколько
событий к этому моменту уже произошли,
называется условной вероятностью этого
события и обозначается:
• P( A B ) - условная вероятность события А
относительно события B;
• P( Â À ) - условная вероятность события В
относительно события A.
Условие независимости
событий
• События А и В независимы, если их
условные вероятности равны
“безусловным”,т.е. тот факт, что
событие В произошло к моменту
вычисления вероятности события А, не
изменил вероятности последнего
события.
Условие независимости
событий
• Аналитическая запись условия
независимости событий:
P( A B )  P( A )
или
P( B A )  P( B )
Условие независимости
событий
• Условная вероятность события может
быть получена по формуле
P( AB )
P( A / B ) 
P( B )
• Ясно, что если событие А не зависит от
события В, то и событие В не зависит
от А и наоборот.
Условие независимости
событий
• Задача . Из колоды карт в 36 листов
берут наугад одну карту. Рассмотреть
события:
À  ï î ÿâëåí è å ò óçà
  ï î ÿâëåí è å êàðò û ÷åðí î é ì àñò è 
Ñ  ï î ÿâëåí è å ò óçà ï è ê 
• Определить их парную независимость
(или зависимость).
Условие независимости
событий
• Решение. Вычислим “безусловные”
вероятности событий:
4 1
P( A ) 
 ;
36 9
18 1
1
P( B ) 
 ; P( C ) 
.
36 2
36
• Вычислим необходимые условные
вероятности:
2 1
P( A / B ) 
 ; P( A / C )  1; P( B / C )  1.
18 9
Условие независимости
событий
• Выводы:
• 1. P( A B )  P( A ) , следовательно,
события А и В независимы.
• 2. P( A Ñ )  P( A ) , следовательно,
события А и С зависимы.
• 3. P( Â Ñ )  P( Â ) , следовательно,
события В и С зависимы.
.
.
Условие независимости
событий
• Задача . Зависимы или нет противоположные
события?
• Решение. Запишем условие независимости
для противоположных событий:
P( A À )  P( A ).
• А - случайное событие.
• Его вероятность P( A )  p  0.
• Но P( A À )  0, т.к. A и A не совместны в
одном испытании.
• Вывод: события зависимы, т.к. P ( A А )  P ( A )
Теорема умножения
вероятностей
• Произведением двух или нескольких
событий называется сложное событие,
состоящее в совместном появлении
одновременно или последовательно одно
за другим всех этих событий.
Теорема умножения
вероятностей
• Теорема. Вероятность произведения
двух зависимых событий равна
произведению безусловной
вероятности одного из них на условную
вероятность другого т.е.
P( A
B )  P( A )P( B / A ).
Теорема умножения
вероятностей
• Доказательство:
• n – общее число всех
возможных исходов опыта;
• m - благоприятствуют
наступлению события А;
• k –благоприятствуют
наступлению cобытия В;
• l исходов благоприятствуют
одновременно событиям А и В.
Теорема умножения
вероятностей
• Запишем вероятности этих событий:
m
k
l
P( A )  , P( B )  , P( AB )  .
n
n
n
• Условная вероятность события В:
l
P( B / A ) 
m
• Подставив все эти вероятности в доказываемую
формулу, получим тождество:
l m l
l l

;
 ,
n nm
n n
• что и подтверждает правильность доказываемой
формулы.
Теорема умножения
вероятностей
• Аналогично для трех и более событий:
• а) P( ABC )  P( A )P( B / A )P( C / AB )
• б) P( A1 A2 ...An )  P( A1 )P( A2 / A1 )P( A3 / A1 A2 )...
...P( An / A1 A2 A3 ...An1 )
• Для независимых событий А и В: P( B / A )  P( B )
- по условию независимости событий.
• Поэтому для независимых событий
P( AB )  P( A )P( B ).
Теорема умножения
вероятностей
• Задача. На карточках написаны буквы
Т, Т, С и О. Карточки перемешаны и
перевернуты, а затем вскрываются по
одной.
• Определить вероятность того, что в
порядке появления букв получится
слово ТОСТ.
Теорема умножения
вероятностей
• Решение.
• Событие Â  ÒÎ ÑÒ по определению
есть произведение событий.
• Вскрытые карточки обратно не
возвращаются, поэтому элементарные
события, образующие событие В
зависимы (изменяются условия опыта).
Теорема умножения
вероятностей
• (Т, Т, С , О)
• Поэтому для решения задачи применим
теорему умножения вероятностей
зависимых событий:
P(Â )  P ÒÎ ÑÒ  P(T)P(O / T)P(C/TO)P(T/TOC)
• Тогда
2 1 1
1
P( B )  P(TOCT )     1 
 0.083
4 3 2
12
Формула полной вероятности
• Является следствием обеих
теорем – сложения и умножения
вероятностей.
Формула полной вероятности
• Пусть требуется определить
вероятность события А, которое может
произойти вместе с одним из событий
• H1, H2,…, Hn,
• образующих полную группу и
называемых гипотезами.
Формула полной вероятности
• А – событие
• H1, H2,…, Hn
• гипотезы
Формула полной вероятности
• Тогда вероятность события А
вычисляется как
n
P( A )   P( H i )P( A / H i )
i 1
• т.е.как сумма произведений
вероятности каждой гипотезы на
вероятность события при этой гипотезе.
Формула полной вероятности
• Доказательство.
• Так как гипотезы H i ( i  1,2,...,n )
образуют полную группу, то событие А
может появиться только в комбинации с
какой-либо из этих гипотез:
A  H1
A
H2
A
 H 1 A  H 2 A  ...  H n A
...
Hn
A
Формула полной вероятности
• Так как гипотезы H i ( i  1,2,...,n )
несовместны, то и комбинации
H 1 A, H 2 A, ..., H n A - тоже несовместны
• Тогда по теореме сложения
вероятностей:
P( A )  P( H 1 A )  P( H 2 A )  ...  P( H n A ) 
n
  P( H i A )
i 1
Формула полной вероятности
• Применяя к событиям H i A ( i  1,2,...,n )
теорему умножения зависимых
событий, получим
n
P( A )   P( H i )P( A / H i )
i 1
•
,
• что и требовалось доказать.
Формула полной вероятности
• Задача. Имеются три одинаковые с
виду урны. В первой - а белых и b
черных шаров, во второй – с белых и d
черных, а в третьей – только белые
шары.
• Некто подходит к одной из урн и
вынимает из нее один шар.
• Найти вероятность того, что этот шар
белый.
Формула полной вероятности
• Решение.
A  ï î ÿâëåí è å áåëî ãî ø àðà
• Событие
• Обозначим события-гипотезы:
• 1-я урна
• H1
2-я урна
3-я урна
H2
H3
• Т.к. выбор урны происходит случайно,
наугад, то вероятность каждой гипотезы
1
P( H 1 )  P( H 2 )  P( H 3 ) 
3
Формула полной вероятности
• Найдем вероятность вынуть белый шар
из 1-й урны, т.е.
a
P( A / H 1 ) 
• затем – из 2-й:
• и, наконец, из 3-й:
ab
c
P( A / H 2 ) 
cd
P( A / H 3 )  1
Формула полной вероятности
• По формуле полной вероятности
найдем
1 a
1 c
1
P( A ) 

 1 
3ab 3cd 3
1 a
c
 (

 1)
3 ab cd
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Является следствием теоремы
умножения вероятностей и
формулы полной вероятности.
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Пусть имеется полная группа
несовместных гипотез:
•
H1, H2,…, Hn
• Пусть вероятности этих гипотез до
опыта известны и равны
P( H 1 ), P( H 2 ), ...,P( H n )
• Пусть проведен опыт, в результате
которого наступило некоторое
событие А
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Вопрос: как следует изменить
вероятности гипотез в связи с
наступлением этого события?
• По существу нужно найти «новую»
(условную) вероятность
P( H i / À )
• для каждой гипотезы.
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• По теореме умножения вероятностей
имеем:
•P( A / H i )  P( A )P( H i / A )  P( H i )P( A / H i )
• или
P( A )P( H i / A )  P( H i )P( A / H i ) ,
•
• откуда
•
P( H i )P( A / H i ) ( i  1,2 ,...,n )
P( H i / A ) 
P( A )
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Выражая P(A) с помощью формулы
полной вероятности, имеем
P( H i / A ) 
P( H i )P( A / H i )
n
 P( H
i 1
i
( i  1,2 ,...,n )
)P( A / H i )
• Формула Байеса дает возможность
«пересмотреть» вероятности гипотез
с учетом наблюдавшегося результата
опыта
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Задача. Два стрелка стреляют в одну
мишень, делая каждый по одному выстрелу.
• Вероятность попадания в мишень для
первого стрелка равна 0.8, а для второго 0.4.
• После стрельбы в мишени обнаружена
пробоина.
• Найти вероятность того, что эта пробоина
принадлежит первому стрелку.
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Решение. p1 = 0.8, p2 = 0.4
• До опыта возможны следующие
гипотезы:
P( H 1 )  0.2  0.6  0.12
H1  (   )
•
H2  (   )
H3  (   )
H4  (   )
. Их вер-ти:
P( H 2 )  0.8  0.4  0.32
P( H 3 )  0.8  0.6  0.48
P( H 4 )  0.2  0.4  0.08
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Условные вероятности наблюденного
события
• А = {пробоина}
• при этих гипотезах равны:
P( A / H 1 )  0 ; P( A / H 2 )  0 ;
P( A / H 3 )  1; P( A / H 1 )  1
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• После опыта гипотезы H 1 и Н 2
становятся невозможными.
• Вероятности гипотез H3 и Н4 будут
равны:
0.48  1
6
P( H 3 / A ) 

0.48  1  0.08  1 7
0.08  1
1
P( H 4 / A ) 

0.48  1  0.08  1 7
Формула Байеса
(теорема гипотез)
• Следовательно, вероятность того, что
пробоина принадлежит первому
стрелку, равна
6
7
.
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• Испытания Бернулли – это повторные
многократные, независимые испытания
с двумя возможными исходами и с
вероятностью успеха, не меняющейся
от испытания к испытанию.
• Классический пример – многократное
бросание монеты.
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
•
•
•
•
•
Итак, имеем:
n – число испытаний
A – наблюдаемое событие
P(A) = p = const - в каждом испытании
( q = 1 – p)
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• В условиях этих испытаний
представляют интерес два вопроса:
• 1. Какова вероятность того, что
наблюдаемое событие наступит
ровно k раз в n испытаниях?
• 2. Сколько раз вероятнее всего
наступит наблюдаемое событие?
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• Ответ на 1-й вопрос дает формула
Бернулли:
Pk  n   C p q
k
n
k
n k
• Pk  n - вероятность наступления
события k раз в n испытаниях;
• p - вероятность наступления события в
одном испытании;
• q = 1 – p - вероятность не наступления
события в одном испытании;
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
n!
Ñ 
k !( n  k )!
k
n
0!  1
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• При ответе на 2-й вопрос по существу
требуется определить
наивероятнейшее число k0 появлений
события в n испытаниях, т.е. такое
число k0, которому соответствует
максимальная вероятность:
 Pk0 ( n )  Pk0  1( n )

 Pk0 ( n )  Pk0 1( n )
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• Можно показать, что эти условия
приводят к неравенству
np  q  k0  np  p
• Замечания:
• 1. k0 – целое число;
• 2. Может быть несколько
наивероятнейших целых чисел, тогда –
им соответствует одинаковая в
точности максимальная вероятность.
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• Задача. Монета брошена 5 раз. Какова
вероятность того, что герб появится
ровно 3 раза? Сколько раз вероятнее
всего появится герб?
• Решение: 1. По формуле Бернулли с
учетом n = 5, k = 3, p = q = ½ :
3
3 53
P3( 5 )  C p q
3
5
2
5!  1   1 






3! 2!  2   2 
1 2  3  4  5  1 
10
 1

 10   
 0.31.


1 2  3  1 2  2 
32
2
5
5
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• 2. Найдем k0 из неравенства
np  q  k0  np  p
• с учетом n = 5 и p = q = 1/2:
1 1
1 1
5   k0  5 
2 2
2 2
2  k0  3
Испытания Бернулли.
Формула Бернулли
• Т.о. имеем два наивероятнейших числа:
k0  2 è k0  3
• Поэтому должно быть
• Убедимся в этом:
2
P2( 5 )  C 52 p 2 q 5  2
Ð2( 5 )  Ð3( 5 )
3
5
5!  1   1 
10
 1

 10   
 0.3125




2! 3!  2   2 
32
2
3
P3( 5 )  C 53 p 3q 5  3
2
5
5!  1   1 
10
 1


10

 0.3125






3! 2!  2   2 
32
2
Использование
противоположного события
• При независимых многократных
испытаниях для вычисления
вероятности суммы событий вместо
теоремы сложения вероятностей
удобнее использовать вероятность
противоположного события, особенно,
когда число слагаемых n > 2.
Использование
противоположного события
• Пусть Ai  i  1,2,...,n  – наступление
события A в i-м испытании.
• По определению, сумма событий –
наступление события хотя бы один раз:


ò ÿ áû î äè í ðàç  A
B  íõîàñò
1
óï è ëî
• Противоположное событие
•
í è ðàçó


B  í å í àñò óï è ëî  A1
A2
A2
...
...
An
An
Использование
противоположного события
• Противоположные события составляют
полную группу, поэтому сумма их
вероятностей равна единице, т. е.
P( B )  P( B )  1
• Отсюда
P( B )  1  P( B )  1  P  A1
A2
...
An 
Использование
противоположного события
• По теореме умножения вероятностей
независимых событий
P( B )  1  P( B )  1  P( A1 )P( A2 )...P( An )  1  q1q2 ...qn
• где q
i
• Итак,
 P( Ai ) ( i  1, 2, ... n ) .


ò ÿ áû î äè í ðàç  1  q q ...q
P( B )  P íõîàñò
1 2
n
óï è ëî
• Если P( Ai )  p è P( Ai )  q ( i  1, 2 , ...n ) ,
• то


n
õî
ò
ÿ
áû
î
äè
í
ðàç
P í àñò óï è ëî
 1q
Использование
противоположного события
• Задача. Три стрелка стреляют в цель с
вероятностью успеха
p1  0.6 , p2  0.7 , p3  0.8.
• Найти вероятность поражения мишени.
• Решение. Введем обозначения событий:
A1  ï î ï àäàí è å ï åðâî ãî ñò ðåëêà
A2  ï î ï àäàí è å âò î ðî ãî ñò ðåëêà
A3  ï î ï àäàí è å ò ðåò üåãî ñò ðåëêà
Использование
противоположного события
• Событие
 ï î ðàæ åí è å  õî ò ÿ áû î äí î 
B

  A1
 ì è ø åí è
  ï î ï àäàí è å 
• Вычислим вероятности
противоположных событий:
q1  1  p1  0.4 ,
q2  1  p2  0.3,
q3  1  p3  0.2.
A2
À3
Использование
противоположного события
• Тогда вероятность события B:
P( B )  1  q1q2 q3 
 1  0.3  0.4  0.2  0.986