Занятие по математике (Дегтерева О.Г. "Модуль "Алгебра", 9 класс)

Модуль «АЛГЕБРА»
№7
«Преобразование
алгебраических
выражений»
Модуль «Алгебра» №7
Раскройте скобки и приведите
подобные слагаемые
1. (5a – 2b) – (3b – 4a) =
5a – 2b – 3b + 4a =
5a – 2b – 3b + 4a =
9a – 5b
Упростите выражение и найдите его значение
2. 5xy + x + y – 2xy – 3xy при х = 2, у = -3
5xy + x + y – 2xy – 3xy = x + y
x + y = 2 + (-3) = -1
Упростите выражение и найдите его значение
( x – 2)(x + 5) – (x + 3)(x – 4) при x = -4,5
x2 + 5x – 2x – 10 – (x2 – 4x + 3x – 12) =
x2 + 5x – 2x – 10 – x2 + 4x - 3x + 12 =
= 4x + 2
4 (-4,5) + 2 = -16
Модуль «Алгебра» №7
Преобразуйте в многочлен выражение (a+b)²(a-b)².
Найдите значение многочлена при a  5 è b  2.
1 способ:
(a+b)²(a-b)²=(a²+2ab+b²)(a²-2ab+b²)=
=a⁴-2a³b+a²b²+2a³b-4a²b²+2ab³+a²b²-2ab³+b⁴=
= a⁴-2a²b²+b⁴
2 способ:
(a+b)²(a-b)² = (a+b)(a-b)∙(a+b)(a-b) = (a²-b²)² = a⁴-2a²b²+b⁴
( 5 ) 4  2( 5 ) 2 ( 2 ) 2  ( 2 ) 4 
5
25  2  5  2  4  9
Повторение (подсказка)
Квадрат суммы (разности) двух выражений
равен квадрату первого выражения плюс
(минус) удвоенное произведение первого и
второго
Чтобы умножить
выражений
многочлен
и плюс квадрат
на многочлен,
второго
надо умножить
выражения.
каждый член одного
многочлена
на каждый
член другого
Если
у слагаемых
одинаковая
буквенная
часть, то онимногочлена.
подобны. При сложении
таких слагаемых складывают
коэффициенты и умножают на общую
Произведение
разности
двух выражений
буквенную
часть.
на их сумму равно разности квадратов
этих выражений.
Если квадратный корень возвести в
квадрат, то получим подкоренное
выражение.
6
Модуль «Алгебра» №7
a 2  b2
Сократите дробь (a  b) 2 .
1
Найдите значение выражения при а = 3,05 и b=  1 20
a 2  b2
(a  b)( a  b) a  b


2
( a  b)
(a  b)( a  b) a  b
b  1
1  1,05

20
3,05  (1,05) 3,05  1,05 4,1


 2,05
3,05  (1,05) 3,05  1,05 2
7
Повторение (подсказка)
Чтобы сократить дробь, надо и числитель,
и знаменатель разложить на множители.
Чтобы перевести обыкновенную дробь в
десятичную, надо числитель разделить на
знаменатель.
8
Модуль «Алгебра» №7
x 2  25
Сократите дробь 2
.
x  3x  10
x 2  25  ( x  5)( x  5)
x 2  3x  10  0
D  b 2  4ac  9  40  49  7 2
D>0, ⇒ 2 корня:
37
3 7
x1 
 2; x1 
5
2 1
2 1
x 2  252
( x  5)( x  5) x  5


2
x  3x  10 ( x  2)( x  5) x  2
9
x5
x2
Повторение (подсказка)
Разность квадратов равна произведению
разности этих выражений на из сумму.
Квадратный трехчлен можно разложить на
множители по формуле ax 2  bx  c  a( x  x1 )( x  x2 )
Корни квадратного трехчлена можно найти
b D
по формулам:
2
D  b  4ac; x1, 2 
2a
Чтобы сократить дробь, надо и числитель и
знаменатель разделить на одно и тоже
выражение, не равное нулю.
10
Модуль «Алгебра» №7
Сократите дробь
n 3  4n 2
n 2  16
.
n 3  4n 2  n 2 (n  4n)
n 2 16  ( x  4)( x  4)
n 3  4n 2
n2
n 2 (n  4)


2
n  16
(n  4)( n  4) n  4
n2
n4
11
Повторение (подсказка)
Если у слагаемых есть общий множитель,
то при разложении многочлена на
множители этот множитель можно вынести
за скобку.
Разность квадратов можно разложить по
формуле:
a 2  b 2  (a  b)( a  b)
12
Модуль «Алгебра» №7
Выполните умножение:
a 3  ba 2
a 2  b2
1 1
 2

(
 )
2
a  b a  2ab  b a b
1 1 ba
1)  
a b ab
a 3  ba 2
a 2  b2
ba
2)
 2


2
a  b a  2ab  b ab
a (a  b) a 2  ab


b
b
13
a 2  ab
b
a 2 (a  b) (a  b)(a  b) b  a




2
a b
(a  b)
ab
Повторение (подсказка)
Чтобы сложить дроби с разными
знаменателями, надо привести дроби к
общему знаменателю и сложить числители.
Чтобы умножить дроби, надо отдельно
умножить числители и знаменатели.
В процессе умножения дробей можно
сокращать. Для этого надо числители и
знаменатели дробей разложить на множители
Трехчлен a²+2ab+b² можно «свернуть» по
формуле a 2  2ab  b 2  (a  b) 2
14
Модуль «Алгебра» №7
Выполните деление:
( x  y) 2
x y
:(  )
2
2
( x  y)  ( x  y) y x
1) ( x  y) 2  ( x  y) 2 
x 2  2 xy  y 2  x 2  2 xy  y 2  4 xy
x y x2  y2
2)  
y x
xy
( x  y) 2 x 2  y 2
3)
:

4 xy
xy
x y
x y


4( x  y ) 4 x  4 y
x y
4x  4 y
15
( x  y) 2
xy
( x  y) 2
xy
 2 2


4 xy x  y
4 xy ( x  y)( x  y)
Повторение (подсказка)
Сумма противоположных слагаемых равна
нулю.
Чтобы разделить дробь на дробь, надо
первую дробь умножить на обратную
второй дроби.
16
Модуль «Алгебра» №7
Упростите выражение:
a 3  b3
1 2 2
(a  b )(a  b)
1) (a 2  b 2 )(a  b)  a 3  a 2b  ab 2  b3
1
a 3  b3
a 3  a 2b  ab 2  b3  a 3  b3
a 2b  ab 2
2)  3 2

 2 2

2
3
3
2
2
3
1 a  a b  ab  b
a  a b  ab  b
(a  b )(a  b)

ab(a  b)

(a  b)( a  b)( a  b)
ab
( a  b) 2
17
ab
( a  b) 2
Повторение (подсказка)
Чтобы сложить с дробью натуральное
число, надо это число представить в виде
дроби со знаменателем 1 и сложить по
правилу дробей.
Произведение двух одинаковых
множителей можно записать в виде
квадрата этого множителя.
18
Модуль «Алгебра» №7
Выполните умножение:
x3  8 x 2  4 x  4
(
)( 2
)
x  2 x  2x  4
1) x3  8  ( x  2)( x 2  2 x  4)
( x  2)( x 2  2 x  4) x 2  4 x  4
( x  2)( x 2  2 x  4) ( x  2) 2
2)
 2

 2

x2
x  2x  4
x2
x  2x  4
( x  2)( x  2)


1
 ( x  2)( x  2)  x 2  4
x2  4
19
Повторение (подсказка)
Сумму кубов двух выражений можно
разложить по формуле x3  y 3  ( x  y)( x 2  xy  y 2 )
Дробь, знаменатель которой равен единице,
является целым выражением.
20
Модуль «Алгебра» №7
Выполните умножение:
x2
y2
xy
(  3x   3 y )  2 2
y
x
x y
x2
y2
x 2 3x y 2 3 y x3  3x 2 y  y 3  3xy2
1)
 3x   3 y 
   

y
x
y 1 x 1
xy
( x3  y 3 )  (3x 2 y  3xy2 )
( x  y)( x 2  xy  y 2 )  3xy( x  y)



xy
xy
( x  y)( x 2  xy  y 2  3xy) ( x  y)( x 2  2 xy  y 2 ) ( x  y)( x  y) 2



xy
xy
xy
( x  y)( x  y) 2
xy
( x  y) 2
( x  y)( x  y) 2
xy


2)
 2 2
xy
( x  y)( x  y)
x y
xy
x y
( x  y) 2
x y
21
Модуль «Алгебра» №7
Найдите значение выражения при n= 2
2
:
n 3  2n 2
n2  2
n 3  2n 2 n 2 ( n  2 )
1)


2
2
n 2
n 2
n2
n 2 (n  2 )
n 2 (n  2 )


2
2
n  ( 2 ) (n  2 )( n  2 ) n  2
(2 2 ) 2
42
2)

 42 2  42 2 4 2

2 2 2 3 2
3 2 2
3 2
3
22
4 2
3
Повторение (подсказка)
Чтобы проще выполнить задание, надо
выражение с переменными упростить.
Чтобы упростить запись дроби, ее надо
сократить, а для этого надо числитель и
знаменатель разложить на множители.
Чтобы вынести общий множитель за скобки,
надо разделить каждое слагаемое на этот
множитель.
Чтобы записать натуральное число в виде
квадрата, надо его заключить под знак
квадратного корня.
23
Чтобы «избавиться» от иррациональности в
знаменателе, надо числитель и знаменатель
умножить на иррациональный множитель.
Модуль «Алгебра» №7
Найдите значение выражения при
v2
v
(u  2v  ) : (1  )
u
u
v 2 u 2  2uv  v 2 (u  v) 2
1) u  2v  

u
u
u
v uv
2) 1  
u
u
(u  v) 2 u  v (u  v) 2 u
3)
:


 uv
u
u
u
uv
4) (7  5 )  (7  5 )  7  5  7  5  14
24
u  7  5 ; v  7  5.
Модуль «Алгебра» №7
Найдите значение выражения при
a  6 ; b  8; c  6 ; d  2.
a 3b3  (cd )3
ab  cd
a 3b3  (cd )3 (ab)3  (cd )3 (ab  cd )(( ab) 2  abcd  (cd ) 2 )
1)



ab  cd
ab  cd
ab  cd
 (ab) 2  abcd  (cd ) 2
2) ( 6 8 ) 2  6 8 6 2  ( 6 2 ) 2 
 6  8  6  6  8  2  6  2  48  6  4 12  84
25
Повторение (подсказка)
Числитель дроби можно записать в виде
разности кубов и разложить на множители
3
3
2
2
по формуле x  y  ( x  y)( x  xy  y )
Если квадратный корень возвести в
квадрат, то получится подкоренное число.
Произведение квадратных корней из
неотрицательных множителей равно
квадратному корню из произведения этих
множителей..
26