x - Московский региональный социально

АНО ВПО «МОСКОВСКИЙ РЕГИОНАЛЬНЫЙ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
Рабочая программа одобрена
Ученым советом МРСЭИ
Протокол № 1 от 28.08.2014 г.
Утверждаю
Ректор__________Стражевская Н.Я.
«___»____________2014 г.
Рабочая программа дисциплины
Б2.Б.1Математический анализ
Направление подготовки:
38.03.01 (080100) Экономика
Профиль «Экономика организаций (предприятий)»
Квалификация (степень) выпускника бакалавр
Нормативный срок освоения программы – 4 года / 5 лет
Форма обучения – заочная
Видное 2014
Рецензент: к.п.н., доцент кафедры общегуманитарных и естественнонаучных дисциплин МРСЭИ Киселев Г.М.
Луканкин А.Г.
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математический
анализ»/ А.Г. Луканкин. Моск. регион. социально-экономический ин-т. –
Видное, 2014. – 43с.
Учебно-методический комплекс разработан в соответствии с ФГОС
ВПО по направлению подготовки 080100.62 «Экономика».
Одобрена кафедрой общегуманитарных и естественно-научных дисциплин и
рекомендована к печати Ученым советом Московского регионального
социально-экономического института в качестве рабочей учебной
программы по дисциплине «Математический анализ».
© Луканкин А.Г.
© АНО ВПО МРСЭИ 2014
СОДЕРЖАНИЕ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ………………………………………… 4
I.
Цель освоения дисциплины ……………………………………………….. 4
Место дисциплины в структуре ООП ВПО ……………………………….. 4
Структура и содержание дисциплины …………………………………… 5
Образовательные технологии …………………………………………….. 7
Самостоятельная работа студентов …………………………………….. 8
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины ……………………………. 8
Вопросы и задания к экзамену ……………………………………………. 13
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины ….. 14
Материально-техническое обеспечение дисциплины …………………….. 14
II.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ …………………………… 15
1. Методические рекомендации для преподавателя ……………………. 15
2. Методические рекомендации для студентов …………………………. 16
1. Цель освоения дисциплины
Целью изучения дисциплины является:
- формированию личности студента, повышение их интеллекта,
- развития у студентов навыков применения математические знания для
решения конкретных задач,
- освоение студентами математического аппарата, позволяющего
моделировать и исследовать реальные социально-экономические процессы.
Основными задачами курса являются:
- изучение дифференциального и интегрального исчислений,
- изучение математических методов моделирования и анализа социальноэкономических процессов,
- применение математических методов для численных расчетов параметров
социально-экономических процессов.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
Дисциплина «Математический анализ» представляет собой дисциплину
базовой части математического и естественно-научного цикла. Преподавание
дисциплины ведется на 1 курсе (1,2 семестр).
3. Компетенции обучающихся,
освоения дисциплины
формируемые
в
результате
В процессе освоения данной дисциплины студент формирует и
демонстрирует следующие общекультурные и общепрофессиональные
компетенции при освоении ООП ВПО, реализующей ФГОС ВПО:
Общекультурные:
владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения
(ОК-1);
способность к логическому мышлению, анализу, систематизации,
обобщению,
критическому
осмыслению
информации,
постановке
исследовательских задач и выбору путей их решения (ОК-9);
способность применять математический инструментарий для решения
экономических задач (ОК-15).
Профессиональные:
способен выполнять необходимые для составления экономических
разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты
работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых
для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы
(ПК-5);
способен
использовать
для
решения
аналитических
и
исследовательских
задач
современные
технические
средства
и
информационные технологии (ПК-10);
В результате освоения дисциплины, обучающийся
демонстрировать следующие результаты образования:
должен
Студент должен знать:
- основные понятия и инструменты математического анализа, необходимые
для решения экономических задач;
Студент должен уметь:
- решать типовые математические задачи, используемые при приняти
управленческих решений;
- использовать математический язык и математическую символику при
построении организационно- управленческих моделей;
- применять
методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования для решения
экономических задач;
Студент должен владеть:
- навыками применения современного математического инструментария для
решения экономических задач;
- методикой построения, анализа и применения математических моделей для
оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц (324
часа).
Структура дисциплины
Таблица 1
Заочная форма обучения 5 лет
№
тем
Наименование разделов и тем
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
всего
семинары,
лекции
практич.
СР
Комп
етенц
ии
занятия
Раздел I. Функции одной переменной.
4.
Тема 1. Элементарные функции и
их свойства
5.
Тема 2. дифференциальное
исчисление функций одной
переменной
Тема 3. интегральное исчисление
функций одной переменной
6.
176
16
6
10
160
44
4
2
2
40
66
6
2
4
60
66
6
2
4
60
108
8
2
6
100
54
4
1
3
50
Раздел II. Функции многих
переменных.
Тема 4. Элементы
дифференциального и
интегрального исчисления
функций многих переменных
8.
Тема 5. Методы решения
дифференциальных уравнений
первого и второго порядков
Зачёт / Экзамен
Всего:
7.
54
4/36
324
4
1
3
50
24
8
16
260
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
Заочная форма обучения 4 года
№
тем
Наименование разделов и тем
Общее
к-во
часов
Аудиторные часы
в том числе:
семинары,
всего
лекции
практич.
занятия
СР
Раздел I. Функции одной переменной.
4.
Тема 1. Элементарные функции и
их свойства
5.
Тема 2. дифференциальное
исчисление функций одной
переменной
Тема 3. интегральное исчисление
функций одной переменной
6.
176
16
6
8
160
44
4
2
2
40
66
6
2
3
60
66
6
2
3
60
108
8
2
4
104
54
4
1
2
50
Раздел II. Функции многих
переменных.
7.
8.
Тема 4. Элементы
дифференциального и
интегрального исчисления
функций многих переменных
Тема 5. Методы решения
дифференциальных уравнений
58
4
1
2
54
Комп
етенц
ии
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК3,4,5,10
ОК1,9,15
ПК-
первого и второго порядков
Зачёт / Экзамен
Всего:
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины
3,4,5,10
4/36
324
20
Се
местр
8
12
264
Виды учебной работы
(в академических часах)
Модуль 1. Элементы теории
множеств.
1
Л
1/1
Модуль 2. Функция. Предел
функции.
1
1/1
2/2
40/40
Модуль 3. Дифференциальное
исчисление функции одной
переменной.
1
2/2
3/4
60/60
1,2
2/2
3/4
60/60
Модуль 5. Дифференциальное
исчисление функции двух
переменных.
2
1/1
1/2
40/38
Модуль 6. Дифференциальные
уравнения.
2
1/1
2/3
42/42
8/8
12/16
264/260
Модуль 4. Интегральное
исчисление функции одной
переменной.
ВСЕГО
С
ПЗ
1/1
ЛБ
СР
20/18
Содержание разделов дисциплины
Таблица 2
№
п/п
1
2
3
4
Наименование
раздела
дисциплины
Элементы теории
множеств.
Функция. Предел
функции.
Дифференциальное
исчисление
функции одной
переменной.
Интегральное
исчисление
функции одной
Содержание раздела
(дидактические единицы)
Множества
и
операции
над
ними;
множество
действительных чисел; множество комплексных чисел.
Элементарные функции и их свойства;
предел
последовательности; предел функции; непрерывность
функции.
Производная; вычисление производной; приложения к
практическим задачам; дифференциал.
Первообразная и неопределенный интеграл; методы
интегрирования; определенный интеграл; приложения
интеграла к практическим задачам.
переменной.
5
Дифференциальное
исчисление
функции двух
переменных.
Понятие функции двух переменных; предел; частные
производные; практические приложения.
6
Дифференциальные Понятие дифференциального уравнения; общее решение;
уравнения.
дифференциальные уравнения первого и второго порядка.
Тема 1.1.Множество. Операции над множествами.
Множество и его элементы. Подмножества. Пересечение множеств.
Объединение множеств. Вычитание множеств. Дополнение до множества.
Прямое произведение двух множеств. Законы действий. Правило суммы и
произведения.
Множество представляет собой собрание или совокупность некоторых
предметов или объектов, объединенных по некоторому признаку. Это одно
из самых фундаментальных понятий математики. Если любой элемент
множества B является и элементом множества A , то множество B называется
подмножеством (частью) множества A.Множество С, состоящее из всех
тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных
множеств А и В, называют пересечением множеств А и В и обозначается
A  B (  - знак пересечения). Объединением множеств А и В называется
такое множество С , которое состоит из всех элементов множествА и В и
только из них. Множество С , которое состоит из всех элементов множества
А, не принадлежащих множеству В , называют разностью множеств А и В и
обозначают A \ B . Прямым (декартовым) произведением множеств А и
Вназывается множество, элементами которого являются все упорядоченные
пары (x; y), в которых первым компонентом является элемент из А, вторым
компонентом – элемент из В. Прямое произведение множеств А и В
обозначается А  В (  – знак прямого произведения).
Контрольные вопросы
1. Какими способами можно задать множество?
2. Какое множество называется числовым?
3. Что называется элементом множества?
4. Какие множества называются равными?
5. Что называется подмножеством данного множества?
6. Какое множество называется пустым?
7. Какое множество называется конечным?
8. Какое множество называется бесконечным?
9. Что называется пересечением множеств?
10.Какие множества называются непересекающимися?
11.Что называется объединением множеств?
12.Что называется разностью множеств?
13.Что называется дополнением множества?
14.В каком случае разностьА \ В есть дополнение множества В до множества А?
15.Что называется прямым произведением множеств?
16.Как формулируются правила суммы и произведения множеств?
Тема 1.2. Частные случаи числовых множеств.
Координатная ось и числовая прямая. Числовые промежутки. Ограниченные
и неограниченные числовые множества. Числовая (координатная)
плоскость.
Прямая, на которой выбраны начальная и единичная точки, называется
координатной осью или координатной прямой. Каждая точка координатной
оси имеет единственную координату, и наоборот, каждое действительное
число является координатой единственной точки координатной оси.
Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному
неравенству a  x  b , называется отрезком с началом в точке а и концом в
точке b и обозначается a ; b . Множество всех действительных чисел х, таких,
что a < x < b, называется интервалом с началом в точке а и концом в точке b
и обозначается a; b . Назовем окрестностью точкис любой интервал a; b ,
содержащий с, а  -окрестностью (читается “эпсилон-окрестность”) точки с интервал c   ; c    , где   0.Числовое множествоА называют ограниченным
сверху (снизу), если существует такое действительное число М (число т), что
для каждого элемента х числового множества выполняется неравенство
x  M ( x  m) . При этом число М (число т) называется верхней границей
(нижней границей) числового множества А. Числовое множество А
называется ограниченным, если оно ограничено снизу и сверху. Под числовой
(координатной) плоскостью будем понимать плоскость с заданными на ней
двумя взаимно перпендикулярными координатными осями (или числовыми
прямыми). Поэтому целесообразно множество упорядоченных пар
действительных чисел называть числовой плоскостью, а любую числовую
пару - точкой числовой плоскости.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Что называется координатной осью (или числовой прямой)?
Что называется числовой (координатой) плоскостью?
Что называется отрезком?
Что называется интервалом?
Что называется полуинтервалом?
Что называется лучом?
Какое множество называется ограниченным?
Какое множество называется неограниченным?
Тема 1.3.Множество действительных чисел.
Натуральные числа. Целые числа. Рациональные числа. Представление
рациональных чисел десятичными дробями. Рациональные числа и
бесконечные периодические десятичные дроби. Действительные числа.
Действия над действительными числами. Абсолютное значение (модуль)
действительного числа.
Множество всех натуральных чисел N = {1;2;3;...;n;...}. Если к множеству
всех натуральных чисел N присоединить число 0, то получим множество
неотрицательных
целых
чисел
Z 0 = {0;1;2;3;...;n;...}.
Объединение
натуральных чисел, чисел им противоположных
и нуля называют
множеством Z целых чисел. Объединение целых и дробных чисел называют
множеством Q рациональных чисел. Множество всех конечных и
бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных
чисел, а каждая такая дробь называется действительным числом.
Абсолютное значение (модуль) действительного числа х обозначается |x| и
определяется по формуле
 x, x  0,
| x | 
 x, x  0.
Контрольные вопросы
Какие числа называются целыми?
Какие операции определены на множестве целых чисел?
Какие числа называются рациональными?
Какие операции определены на множестве рациональных чисел?
Какую обыкновенную дробь можно записать в виде конечной
десятичной дроби?
6. Какая бесконечная десятичная дробь называется периодической?
7. Что называется периодом бесконечной десятичной дроби?
8. Каким образом обыкновенную дробь можно разложить в конечную или
бесконечную десятичную дробь?
9. Какая бесконечная периодическая дробь называется чистой?
10.Каким образом чистую периодическую дробь можно обратить в обыкновенную?
11.Какая бесконечная периодическая дробь называется смешанной?
12.Каким образом смешанную периодическую дробь можно обратить в
обыкновенную?
13.Что называется множеством действительных чисел?
14.Какие числа называются иррациональными?
15.Каким образом на практике может возникнуть рациональное число?
16.Какие действительные числа называются равными?
17.Что называется п-м отрезком данной бесконечной десятичной дроби?
18.В каком случае одно действительное число больше другого?
19.Каким образом приближенно можно найти сумму, разность, произведение и частное двух бесконечных десятичных дробей?
20.Что называется абсолютным значением (модулем) действительного
числа?
21.Какие свойства модуля вы знаете?
22.Что такое стандартный вид числа?
23.Что называется мантиссой числа?
24.Что называется порядком числа?
1.
2.
3.
4.
5.
Тема 1.4. Множество комплексных чисел.
Комплексные числа. Модуль комплексного числа. Комплексная плоскость.
Аргумент комплексного числа.
Комплексными числами называют выражения вида a  bi , где aи b –
действительные числа, i - мнимая единица ( a, b  R, i 2  1 ). Отметим так же,
что понятия "больше", "меньше" для комплексных чисел нельзя определить.
Суммой чисел a1  b1i и a2  b2i называется число a1  a2  (b1  b2 )i . Умножение
комплексных
чисел
производиться
по
формуле:
(a1  b1i)(a2  b2i)  a1a2  b1b2  (a1b2  a2b1 )i . Для любых комплексных чисел
z1  0  0i и z2 существует комплексное число z, такое, что z1z  z2 . Это число
называется частным от деления чисел z2 и z1 и обозначается z 
z2
z1
. Деление
на комплексное число 0  0i , которое называется нулем, невозможно. Числа
a  bi и a  bi, т. е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части,
называют сопряженными комплексными числами. Число, сопряженное числу
z, будем обозначать z* . Модуль комплексного числа z  a  bi обозначается z
и определяется по формуле z  a 2  b2 . Аргументом комплексного числа
называется угол между положительным направлением
z  a  bi  0
действительной оси и радиус-вектором OM с началом в точке O(0;0) и
концом в точке M(a;b). Угол считается положительным, если отсчет ведется
против часовой стрелки, и отрицательным, если отсчет производится по
часовой стрелке.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Что называют множеством комплексных чисел?
Какие операции введены над комплексными числами?
По какой формуле находят частное комплексных чисел?
Дайте определение комплексной плоскости.
Что называют аргументом комплексного числа?
Тема 1.5. Функции.
Понятие функции. Функции и отображения. Числовые функции. Способы
задания функции. Функция, обратная к данной функции. Четные и нечетные
функции. Периодические функции. Монотонные функции. Ограниченные
функции. Чтение графиков функций. Простейшие преобразования графиков
функций.
Одним из важнейших математических понятий является понятие функции.
Пусть заданы множестваА и В. Через х обозначим произвольный элемент
множества А, а через у - произвольный элемент множества В. Тогда, если
каждому элементу х по какому-то правилу f поставлен в соответствие
элемент у, единственный для каждого х, то говорят, что на множестве А
задана функция f со значениями из множества В, и пишут f : A  B или
y  f ( x), x  A . Функция f с областью определения A называется четной,
если для любых х и – х из множестваА выполняется равенство f ( x)  f ( x) .
Функция f с областью определения A называется нечетной, если для любых
х и – х из множества А выполняется равенство f ( x)   f ( x) . Функция f с
областью определения A называется периодической, если существует число
l  0 такое, что для любых х и х  l из множества А выполняется равенство
f ( x  l)  f ( x)  f ( x  l) . Числовая функция f называется строго возрастающей,
если для любых x1 и x2 из области определения f таких, что x1  x2 ,
выполняется неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Числовая функция f называется строго
убывающей, если для любых x1 и x2 из области определения f таких, что x1  x2
, выполняется неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) . Функция f с областью определенияА
называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для любых
х из множества А выполняется неравенство f ( x)  M .
Контрольные вопросы
Что такое функция?
Что называется областью определения функции?
Что называется множеством значений функции?
Что такое график функции?
Что такое числовая функция?
Какие способы заданий функции вы знаете? Приведите примеры
различных способов заданий функции.
7. Какие функции называются обратными?
8. Какие функции называются взаимно обратными?
9. Сформулируйте определения четной и нечетной функций. Приведите
примеры таких функций.
10. Сформулируйте определение периодической функции. Приведите
примеры периодических и непериодических функций.
11. Как располагаются графики взаимнообратных функций?
12. Какие геометрические особенности имеют области определения
четных и нечетных функций?
13. Сформулируйте определения строго возрастающей и возрастающей
функции. Приведите примеры таких функций.
14. Сформулируйте определения строго убывающей и убывающей
функции. Приведите примеры таких функций.
15. Сформулируйте определение ограниченной функции. Приведите
примеры таких функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Тема 1.6. Элементарные функции, их свойства и графики.
Прямая пропорциональность. Обратная пропорциональность. Линейная
функция. Квадратичная функция. Дробно-линейная функция. Функция y  x
.Степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические
функции.Обратные
тригонометрические
функции
действительного
аргумента.
Прямой пропорциональностью называется функция вида y  kx, k  0 –
некоторое действительное число. Число k называется коэффициентом
пропорциональности. Обратной пропорциональностью называется функция
k
x
вида y  , где k ≠ 0, х ≠ 0. Линейной функцией называется функция вида
y  kx  b ,
где k и b – некоторые действительные числа. Квадратичной
функцией называется функция вида y  ax 2  bx  c , где a, b, c – некоторые
действительные числа, причема ≠ 0. Степенной функцией называется
функция вида y  x , x  R , где  – некоторое действительное число. Число 
называется показателем степенной функции. Показательной функцией
называется функция вида y  a x , x  R , где а –некоторое действительное
число, причем a > 0 и а  1. Логарифмической функцией называется
функция вида y  log a x, x  R , где а – некоторое действительное число,
причём a > 0 и а ≠ 1.Синусом действительного аргумента называется
функция вида y  sin x, x  R . Косинусом действительного аргумента
называется функция вида y  cos x, x  R . Тангенсом действительного
аргумента
называется
Котангенсом
функция
действительного
вида
y  tg x 
аргумента
sin x

, x  R, x    k , k  Z .
cos x
2
называется
функция
вида
cos x
, x  R, x   k , k  Z . Арксинусом называют функцию, обратную
sin x
 
функции y  sin x, x   ;  и обозначают y  arcsin x, x   1; 1. Арккосинусом
 2 2
называют функцию, обратную функции y  cos x, x  [0;  ] , и обозначают
y  ctg x 
y  arccos x, x   1; 1. Арктангенсом называют функцию, обратную функции
  
y  tg x, x    ;  , и обозначают y  arctg x, x  R . Арккотангенсом называют
 2 2
функцию, обратную функции y  ctg x, x  (0;  ) , и обозначают y  arcctg x, x  R .
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Какая функция называется прямой пропорциональностью?
Как расположен график прямой пропорциональности?
Какими свойствами обладает функция y  kx, k  0 ?
Какая функция называется обратной пропорциональностью?
Какие особенности имеет график обратной пропорциональности?
k
x
6. Какими свойствами обладает функция y  , k ≠ 0, х ≠ 0?
7. Какая функция называются линейной?
8. Является ли линейная функция монотонной?
9. Какой вид имеет график линейной функции?
10.Какая функция называется квадратичной?
11.Сформулируйте свойства квадратичной функции.
12.Как называется график квадратичной функции?
13.Как располагается график квадратичной функции в зависимости от
знака коэффициента а?
14.Какая функция называется дробно-линейной?
15.Какой вид имеет график дробно-линейной функции?
16.Является ли функция y  x , x  0 , монотонной?
Тема 1.7. Сложная функция. Многочлены. Рациональные функции.
Класс элементарных функций.
Сложная функция. Многочлены. Рациональные функции. Алгебраические
функции. Трансцендентные функции. Элементарные функции.
Пусть заданы две функции y  g ( x), x  X , и z  f ( y), y Y , причем область
определения функции f содержит множество значений функции g. В этом
случае функция z  f  g( x) называется сложной функцией, составленной из
функций f и g. Многочленом степени n или целой рациональной функцией
называется функция вида Pn ( x)  a0 x n  a1 x n1 an1 x  an , x  R, a0  0, где
a0 , a1 , , a n 1 , a n - произвольные фиксированные действительные числа,
называемые коэффициентами многочлена, а n  N . Функции вида
y
Pn ( x)
, где Qm ( x)  0 ,
Qm ( x)
называется рациональной функцией (рациональной дробью). Область
определения такой функции - вся числовая ось, за исключением точек, в
которых знаменатель обращается в нуль. Если в формуле, определяющей
функцию, над аргументом x производятся только алгебраические операции
(сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень), то такую
функцию называют алгебраической. Всякую неалгебраическую функцию
называют трансцендентной. Функции, полученные путем конечного числа
арифметических операций и конечного числа суперпозиций из основных
элементарных функций,называются элементарными.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
Дайте определение сложной функции.
Что называют многочленом?
Какие функции называют рациональными?
Приведите примеры алгебраических и трансцендентных функций.
Какие функции называют элементарными?
Тема 1.8.Последовательности.
Понятие
числовой
последовательности.
Способы
задания
последовательностей. Ограниченные и монотонные последовательности.
Понятие арифметической прогрессии. Свойства арифметической
прогрессии. Понятие геометрической прогрессии. Свойства геометрической
прогрессии.
Частный случай числовой функции, область определения которой есть
множество
натуральных
чисел,
носит
название
числовой
последовательности. Задать числовую последовательность – это значит
задать правило, по которому каждому натуральному числу п (номеру)
соответствует единственное число a n , т.е. задать функцию, область
определения которой есть множество N всех натуральных чисел.
Последовательность a n  называется ограниченной, если существует такое
положительное число М, что для любого n  N выполняется неравенство
an  M . В противном случае последовательность называется неограниченной.
Частные случаи числовых последовательностей – арифметическая и
геометрическая прогрессии.
Контрольные вопросы
Что называется числовой последовательностью?
Какая последовательность называется ограниченной?
Какая последовательность называется возрастающей?
Какая последовательность называется строго возрастающей?
Какая последовательность называется убывающей?
Какая последовательность называется строго убывающей?
Какая числовая последовательность называется арифметической
прогрессией?
8. Что называется разностью арифметической прогрессии?
9. Сформулируйте свойства арифметической прогрессии.
10. Какая числовая последовательность называется геометрической
прогрессией?
11. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?
12. Сформулируйте свойства геометрической прогрессии.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема 1.9.Предел последовательности.
Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся
последовательности. Бесконечно малые последовательности. Теоремы о
пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями и
неравенствами. Бесконечно большие последовательности. Существование
предела монотонной последовательности. Число е.
Понятие предела и предельного перехода имеют огромное значение в
математике и науках, использующих математику как язык! Числоа
называется пределом последовательности a n  , если для каждого заданного
числа   0 существует такое натуральное число N, что для любого n > N
an  a   . Последовательность называется
выполняется неравенство
бесконечно малой, если ее предел равен нулю. Используя понятие бесконечно
малой последовательности, можно доказать ряд теорем, которые часто
применяют для вычисления пределов: о пределе суммы или разности,
произведения и частного функций. Последовательность a n  называется
бесконечно большой, если для любого A> 0 найдется такой номер N, что для
an   .
всех n > N выполняется неравенство an  A . В этом случае пишут: lim
n 
Принципиально важной для пониманияпроцессов,
окружающем нас мире,является теорема Веерштрасса.
проходяших
в
Контрольные вопросы
Сформулируйте определение предела последовательности.
Какая последовательность называется сходящейся?
Какая последовательность называется расходящейся?
В чем состоит необходимое условие существования предела
последовательности?
5. Сколько пределов имеет сходящаяся последовательность?
6. Какая последовательность называется бесконечно малой?
7. Сформулируйте теорему о пределе суммы двух последовательностей.
8. Сформулируйте
теорему
о
произведении
ограниченной
последовательности на бесконечно малую последовательность.
9. В чем заключается необходимое и достаточное условие того, чтобы
число было пределом последовательности?
10. Сформулируйте
теорему
о
пределе
произведения
двух
последовательностей.
11. Сформулируйте
теорему
о
пределе
частного
двух
последовательностей.
12. Сформулируйте теорему о пределе трех последовательностей.
13. Дайте определение бесконечно большой последовательности.
14. Сформулируйте теорему о связи между бесконечно большой и
бесконечно малой последовательностями.
15. Сформулируйте теорему о пределе монотонной последовательности.
16. Можно ли выносить число за знак предела?
17. Что называется числом е?
1.
2.
3.
4.
Тема 1.10.Предел функции.
Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций, связанные с
арифметическими действиями и неравенствами. Односторонние пределы.
Предел функции при x   . Бесконечные пределы. Бесконечно малые и
бесконечно большие функции.
Опираясь на понятие предела последовательности, сформулируем
определение предела функции в точке. Пусть функция f(x) определена в
некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. ЧислоВ
называется пределом функции f(x) в точке а (или при х стремящемся к а),
если для любой последовательности допустимых значения аргумента
xn , n  N , xn  a , сходящейся к а (т. е. lim
x n  a ), последовательность
n 
соответствующих значений функции f ( xn ), n  N , сходится к числу В. В
f ( x)  B . Следовательно, для предела функции можно
этом случае пишут lim
xa
доказать
набор
теорем,
аналогичных
теоремам
для
предела
последовательности: единственности предела функции, теоремы о пределах
функций связанные с арифметическими действиями и т. д. Понятия
односторонних пределов, пределов при x   ,бесконечные пределы
получены на основе определения предела функции в точке. Бесконечно
малые и бесконечно большие функции вводятся по аналогии с бесконечно
малым и бесконечно большими последовательностями.
Контрольные вопросы
Сформулируйте определение предела функции в точке.
Сколько пределов может иметь функция в точке?
Сформулируйте теорему о пределе суммы (разности) двух функций.
Сформулируйте теорему о пределе произведения двух функций.
Можно ли выносить постоянный множитель за знак предела?
Сформулируйте теорему о пределе частного двух функций.
Сформулируйте теорему о предельном переходе в функциональных
неравенствах.
8. Какой предел называют левым (или левосторонним) пределом функции
в точке?
9. Какой предел называют правым (или правосторонним) пределом
функции в точке?
10.Какова связь между односторонним пределом и пределом функции в
точке?
11.Что называется пределом функции при x   ( x   )?
12.Что называется бесконечным пределом функции?
13.Какая функция называется бесконечно большой при x  a (или при
x   )?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема 1.11.Непрерывность функции.
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
Непрерывность функции на множестве. Точки разрыва и их классификация.
Непрерывность элементарных функций. Особые (замечательные) пределы.
Функция f ( x), x  (a; b) , называется непрерывной в точке x0  (a; b) , если
предел функции f(x) в точке x 0 существует и равен значению функции в этой
точке: lim f ( x)  f ( x0 ) . Обратите внимание, что согласно данному
x x0
определению непрерывность функции
f(x) в
одновременную выполнимость следующих условий:
точке
x0
означает
1) функция f должна быть определена в точке x 0 ;
2) у функции f должен существовать предел в точке x 0 ;
3) предел функции f в точке x 0 совпадает со значением функции в
этой точке. Если функция непрерывна в каждой точке интервала (a; b), то она
называется непрерывной на этом интервале. Функция называется
непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (a; b) и,
кроме того, непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке а. Если
функция f(x) непрерывна в точке x 0 , то точка x 0 называется точкой
непрерывности функции f(x). В противном случае, т. е. когда предел
функции f(x) в точке x 0 не существует или существует, но не равен f ( x0 ) ,
говорят, что функция f(x) претерпевает разрыв в точке x 0 , а точка x 0
называется точкой разрыва функции f(x). Основные элементарные функции
непрерывны на своей области определения. Понятие непрерывности
функции в точке существенно облегчает вычисление предела функции: если
вы докажете, что функция непрерывна в точке, то вместо предела можно
вычислить её значение.
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется непрерывной в точке?
2. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы (или разности)
конечного числа непрерывных функций.
3. Сформулируйте теорему о непрерывности произведения конечного
числа непрерывных функций.
4. Сформулируйте теорему о непрерывности отношения двух
непрерывных функций.
5. Всякий ли многочлен является непрерывной функцией?
6. Любая ли рациональная функция является непрерывной?
7. Какая функция называется непрерывной на отрезке (или интервале)?
8. Сформулируйте теорему об обращении функции, непрерывной на
отрезке.
Тема 1.12. Производная.
Производная функции. Физический и геометрический смысл производной.
Вычисление производной на основе ее определения. Непрерывность
дифференцируемой функции.
Пусть задана функция f(x), x  (a; b) , и пусть x 0 – некоторая точка интервала
(a; b). Предел lim
x  x0
f ( x)  f ( x 0 )
называется производной функции f(x) в точке
x  x0
x 0 и обозначается f ( x0 ) . Если физическая величина изменяется со временем
или от точки к точке пространства, то для нее с помощью производной
удобно ввести характеристику аналогичную скорости, показывающую как
быстро происходит это изменение. Не менее важно геометрическое
истолкование производной: производная функции у = f(x) в точке x 0 равна
угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке ( x0 ; f ( x0 )) .
Исходя из определения производной, получена таблица производных
основных элементарных функций.
Контрольные вопросы
1. Что называется производной функции в точке?
2. Какая функция называется дифференцируемой в точке (или на
интервале)?
3. В чем состоит физический (или геометрический) смысл производной?
4. В чем состоит необходимое условие дифференцируемости функции в
точке?
5. Приведите примеры непрерывных функций, которые не имеют
производной в некоторой точке.
Тема 1.13. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций. Производная сложной функции.
Производная суммы и разности функций. Производная произведения
функций. Производная частного двух функций. Производная сложной
функции. Производные некоторых элементарных функций.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о производной суммы (разности) двух
функций.
2. Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.
3. Можно ли выносить постоянный множитель за знак производной?
4. Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.
5. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.
6. Чему равна производная константы?
7. Запишите формулу производной степенной функции.
8. Запишите формулу производной показательной функции.
9. Запишите формулу производной логарифмической функции.
10.Запишите формулу производных тригонометрических функций.
11.Запишите формулу производных обратных тригоно-метрических
функций.
Тема 1.14. Производные высших порядков.
Вторая производная. Физический смысл второй производной.
Если функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b), то каждому
x  ( a; b) ставится в соответствие f (x) , т. е. на (a; b) определена новая
функция g ( x)  f ( x) . Если функция g(x) дифференцируема в точке x0  (a; b) ,
то производная g ( x0 ) называется второй производной (или производной
второго порядка) от функции f(x) в точке x 0 и обозначается f ( x0 ) или
d 2 f ( x0 )
(читается «дэ два эф по дэ икс квадрат»). Если первая производная
dx 2
от физической величины по времени имеет смысл скорости изменения этой
величины, то вторая производная имеет смысл скорости изменения скорости.
Например, первая производная от координаты по времени – скорость, вторая
производная от координаты по времени – ускорение.
Контрольные вопросы
1. Что называется второй (или третьей, или п-ой производной) функции?
2. В чем состоит физический смысл второй производной?
Тема 1.15. Приложение производной к исследованию функций.
Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Интервалы, на которых функция убывает или возрастает, называются
интервалами монотонности этой функции. К сожалению, нельзя доказать
теорему, которая была бы необходимым и достаточным условием
возрастания (убывания) функции на интервале. Отдельно доказывается
необходимое условие. С его помощью доказывают две вспомогательные
теоремы. С их помощью можно доказать достаточное условие.Точка x 0 из
области определения функции f(x) называется точкойминимума (максимума)
этой функции, если существует такая δ-окрестность точки x 0 , что для всех х
из этой δ-окрестности выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 )  f ( x)  f ( x0 ) .
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума
данной функции, а значения функции в этих точках называются
соответственно максимумом и минимумом функции или экстремумами
функции. Может оказаться, что некоторый максимум функции будет меньше
иного минимума. Это не вступает в противоречие с определениями
экстремумов функции, так как в определении экстремумов сравниваются
значения функции в точке со значениями функции из некоторой окрестности
этой точки.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Какие интервалы называются интервалами монотонности функции?
Сформулируйте необходимое условие возрастания (или убывания)
функции на интервале.
Сформулируйте теорему Роля.
Сформулируйте теорему Лагранжа.
В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?
Сформулируйте достаточное условие строгого возрастания (или
строгого убывания) функции на интервале.
Какие точки называются стационарными?
Какие точки называются критическими?
Какая точка называется точкой минимума (или максимума) функции?
Что называется максимумом (или минимумом) функции?
Какие значения называются экстремумами функции?
Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности
функции.
Сформулируйте теорему Ферма.
Сформулируйте достаточное условие существования экстремума.
Сформулируйте правило нахождения экстремумов функции.
Тема 1.16. Построение графиков функций.
Выпуклость графика функции. Асимптоты графика. Построение графика
функции.
График дифференцируемой функции f ( x), x  (a; b) , называется выпуклым
вверх на интервале (a; b), если производная f (x) строго убывает на этом
интервале. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз
на интервале (a; b), если f (x) строго возрастает на этом интервале.Заметим,
что на интервале, где график функции выпуклый вверх, все его точки лежат
ниже любой его касательной (рис. 62), так как угловой коэффициент
касательной уменьшается с возрастанием х. Если же на некотором интервале
график функции выпуклый вниз, то все точки графика лежат выше
касательной (кроме, конечно, самой точки касания), проведенной к графику в
любой точке интервала, так как угловой коэффициент касательной
увеличивается с возрастанием х. Точка, в которой касательная к графику
функции лежит с одной стороны выше графика, а с другой – ниже его (т. е.
график перегибается через касательную), называется точкой.Интервалы, на
которых график функции выпуклый вверх или вниз, называются
интервалами выпуклости графика функции. Выпуклость графика
определяют при помощи второй производной.Прямая y = kx + b называется
наклонной асимптотой графика функции f(x) при x   , если
lim  f ( x)  kx  b   0 . Прямая х = с называется вертикальной асимптотой
x  
f ( x)   или lim f ( x)   . Построение
графика функции f(x), если xlim
c  0
x c  0
графика функции с учетом всех его характерных особенностей можно
осуществлять по следующей схеме:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Находим область определения функции.
Проверяем функцию на четность и нечетность.
Исследуем функцию на периодичность.
Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
Находим интервалы знакопостоянства функции.
Находим асимптоты (наклонные и вертикальные) графика функции.
Находим интервалы монотонности и точки экстремума функции.
Находим точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции.
Строим график.
Контрольные вопросы
Объясните, какой график функции называется выпуклым вверх (или
выпуклым вниз).
2. Какие интервалы называются интервалами выпуклости графика
функции?
3. Что такое точка перегиба графика функции?
4. Сформулируйте достаточное условие выпуклости графика функции.
5. Сформулируйте правило нахождения интервалов выпуклости графика
функции.
6. Сформулируйте правило нахождения точек перегиба графика
функции.
7. Какая прямая называется наклонной асимптотой графика функции?
8. Какая прямая называется горизонтальной асимптотой графика
функции?
9. Какая прямая называется вертикальной асимптотой графика функции?
10. Объясните, по какой схеме обычно строят график функции.
1.
Тема 1.17. Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений в прикладных задачах.
Среди задач с конкретным содержанием, для решения которых
необходимо найти наибольшее или наименьшее значения некоторой
функции, значительное место занимают экономические и геометрические
задачи. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то среди ее
значений на этом отрезке существует как наибольшее, так и наименьшее.
Пусть функция f(x), кроме того, дифференцируема на интервале (a; b), за
исключением, может быть, конечного числа точек. Наибольшее и
наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a; b] могут достигаться
функцией либо в одной из критических точек, либо на одном из концов
отрезка [a; b]. Сформулируем правило нахождения наибольшего
(наименьшего) значения функции f(x) на отрезке [a; b]:
1) найти критические точки функции f(x) на интервале (a; b);
2) вычислить значения функции f(x) в критических точках;
3) вычислить значения функции f(x) на концах отрезка [a; b], т. е. f(а)и
f(b);
4) среди найденных значений отобрать наибольшее (наименьшее)
значение.
Контрольные вопросы
1.
Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего
значений функции.
Тема 1.18. Дифференциал функции.
Определение
дифференциала
функции.
Геометрический
смысл
дифференциала. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Если функция f(x) имеет производную f ( x0 ) , то произведение f ( x0 )x
называется дифференциалом функции f(x) в точке x 0 и обозначается d f ( x0 ) .
Часто за определение дифференциала принимают формулу, по которой его
можно вычислить.Геометрическое истолкование дифференциала: если
функция f(x) имеет производную в точке x 0 , то дифференциал функции f в
точке x 0 равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику
данной функции в точке с абсциссой x 0 , при переходе от точки касания в
точку с абсциссой x0  x .
Контрольные вопросы
1. Что называется дифференциалом функции?
2. Запишите формулы для дифференциала суммы, разности,
произведения и частного двух дифференцируемых функций.
3. В чем состоит инвариантное свойство дифференциала функции?
4. В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?
Тема 1.19. Неопределенный интеграл и его свойства.
Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица
интегралов. Непосредственное интегрирование.
простейших
Как известно, в дифференциальном исчислении решается задача о
нахождении производной или дифференциала заданной функции. Однако на
практике
часто
приходится
решать
задачу,
обратную
задаче
дифференцирования: по заданной производной или по заданному
дифференциалу находить саму функцию. Функцию, восстанавливаемую по
заданной производной или дифференциалу, называют первообразной. Если
функция F(x) является первообразнойдля функцииf(x) на некотором
промежутке, то множество всех первообразных для функцииf(x) задается
формулой F(x) + С, С  R. Совокупность всех первообразных функций для
f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
символом  f ( x)dx . Нахождение функции по ее производной (или по ее
дифференциалу) называется интегрированием. Интегрирование – действие,
обратное дифференцированию. Правильность интегрирования проверяется
дифференцированием. Используя таблицу производных основных
элементарных функций, составим таблицу простейших интегралов. Метод
вычисления интегралов, при котором они сводятся к табличным путем
применения к ним основных свойств неопределенных интегралов,
называется непосредственным интегрированием.
Контрольные вопросы
1. Какая функция называется первообразной?
2. Что называется неопределенным интегралом?
3. Какие формулы справедливы для неопределенного интеграла?
Тема 1.20. Методы интегрирования.
Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.
«Неберущиеся» интегралы.
Интеграл  f ( x)dx часто можно упростить, если вместо х ввести новую
интегрирования
t,
положив
х = (t).
Тогда
f ( x)  f  (t ), dx   (t )dt и  f ( x)dx   f  (t )  (t )dt , где в окончательном
переменную
результате возвращаемся к переменной х по формуле t   1 ( x) . Эта формула
называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Формула  udv  uv   vdu называется формулой интегрирования по частям. Ее
целесообразно применять в тех случаях, когда интеграл
 vdu
вычислить
легче, чем исходный интеграл  udv . Заметим, что не у всякой элементарной
функции первообразная есть элементарная функция. В том случае, когда
первообразная некоторой элементарной функции
f(x) является также
элементарной функцией, говорят, что интеграл  f ( x)dx выражается через
элементарные функции или что этот интеграл вычисляется, «берется». Если
же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что
интеграл «не берется» или «его нельзя найти».
Контрольные вопросы
1. Приведите таблицу простейших интегралов.
2. В чем состоит метод замены переменной?
3. Запишите формулу интегрирования по частям.
Тема 1.21. Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие
определенного интеграла. Условие интегрируемости функции на отрезке.
Основные свойства определенных интегралов.
n
Пусть имеется функция f(x), x  [a; b]. Если предел lim
 f (ci )xi существует
n 
i 1
и не зависит от выбора точек ci , то функция f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a; b], а предел называется определенным интегралом от функции
f(x) на отрезке [a; b] и обозначается
b
 f ( x)dx . Обратите внимание на то, что
a
для того, чтобы функция f(x) была интегрируема на отрезке необходимо
чтобы она была на этом отрезке ограничении и имела конечное число точек
разрыва.
Контрольные вопросы
1. Что называется криволинейной трапецией?
2. Какая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке
[a; b]?
3. Какие функции называются интегрируемыми на отрезке [a; b]?
4. Дайте определение определенного интеграла.
5. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
Тема 1.22. Основные теоремы об определенном интеграле.
Теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона – Лейбница.
Если функция f(x) непрерывнана на отрезке [a; b], а функция F(x) является
первообразной для f(x) на отрезке [a; b], то справедлива формула (Ньютона –
Лейбница):
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
Эту
формулу
часто
принимают
за
a
определение определенного интеграла. Определение дано выше. Формула
Ньютона-Лейбница только способ еговычисления.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте теорему о среднем.
2. Какая функция называется интегралом с переменным верхним
пределом?
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
Тема 1.23. Методы вычисления определенных интегралов.
Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки). Метод
интегрирования по частям.
При вычислении определенных интегралов, как и неопределенных,
широко используется метод подстановки, или метод замены переменной
интегрирования и метод интегрирования по частям. Будьте внимательны: при
переходе к новой переменной не забудьте перейти к новым пределам
интегрирования.
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу замены переменной в определенном интеграле.
2. Запишите формулу интегрирования по частям.
Тема 1.24. Практические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление длины дуги плоской кривой.
Вычисление объемов тел вращения.
Выше было показано, что определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции равен площади соответствующей криволинейной
трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла и
на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.
Многие геометрические и физические задачи решаются методом, при
помощи которого было введено понятие определенного интеграла – «метод
элементарных разбиений». Например, вычисление дуги плоской кривой,
вычисление объема тела вращения, вычисление работы переменной силы.
Метод заключается в том, что объект (плоская кривая, тело вращения,
траектория тела) разбивается на элементарные «кусочки», некоторый
показатель вычисляется для одного такого «кусочка», затем суммируется по
всем элементам разбиения и предельным переходом получается интегральная
формула.
Контрольные вопросы
1. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции
(или плоской фигуры).
2. Запишите формулу для вычисления длины плоской кривой.
3. Запишите формулу для вычисления объема тела вращения.
Практические занятия
Модуль 1
№
1.
Число
часов
Темы практических занятий
Операции над множествами.
1/1
Модуль 1
Всего часов:
1/1
Модуль 2
Число
часов
Темы практических занятий
1.
Вычисление предела последовательности
1/1
2.
Вычисление предел функции
1/1
Модуль 2
Всего часов:
2/2
Модуль 3
№
Число
часов
Темы практических занятий
1.
Вычисление производной.
0,5/1
2.
Приложение производной к исследованию функций.
1,5/2
3.
Построение графика функций.
1/1
Модуль 3
Всего часов:
3/4
Модуль 4
№
Число
часов
Темы практических занятий
1.
Методы интегрирования неопределенных интегралов
2.
Методы интегрирования определенных интегралов
1/1,5
3.
Практические приложения определенного интеграла
1/1,5
Модуль 4
1/1
Всего часов:
3/4
Модуль 5
№
Темы практических занятий
Число
часов
1.
Частные производные.
0,5/1
2.
Экстремум функции двух переменных
0,5/1
Модуль 5
Всего часов:
1/2
Модуль 6
№
Число
часов
Темы практических занятий
1.
Дифференциальные уравнения первого порядка
1/1,5
2.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
1/1,5
Модуль 6
Всего часов:
Всего за два семестра:
2/3
12/16
Образовательные технологии
При реализации программы дисциплины «Математический анализ»
используются различные образовательные технологии - во время аудиторных
занятий (20 часов / 24 часа) занятия проводятся в виде лекций и с
применением ПК и компьютерного проектора; лабораторных работ, а
самостоятельная работа студентов (264 часа / 260 часов) предусматривает
работу под руководством преподавателей (консультации).
Кафедра:
- организует самостоятельную внеаудиторную работу студентов по
математике, обеспечивая их необходимыми учебно-методическими
пособиями, подготовленными на кафедре;
- разрабатывает учебно-методические комплексы, программы, пособия в
соответствии с государственными стандартами образования;
- разрабатывает задания для самостоятельной работы, составляет
контрольные и тестовые задания, экзаменационные вопросы;
- обеспечивает доступность необходимого учебно-методического и
справочного материала, имеющегося на кафедре.
Самостоятельная работа студентов
Таблица 3
№
п/п
Наименование
раздела
дисциплины
Вид самостоятельной работы
Трудоемкость
(в академических
часах)
Элементы теории
множеств.
Функция. Предел
функции.
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
20/18
Дифференциальное
исчисление
функции одной
переменной.
Интегральное
исчисление
функции одной
переменной.
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
60/60
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
60/60
5
Дифференциальное
исчисление
функции двух
переменных.
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
40/38
6
Дифференциальные
уравнения.
Работа с литературой.
Тест, контрольная работа
42/42
1
2
3
4
40/40
Всего
264/260
5. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины
Средства оценивания:
1). Диагностирующий контроль
ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ № 1
Цель настоящих заданий – проверить знания студентов по высшей
математике в соответствии с требованиями государственного стандарта.
Знания группируются по следующим разделам:
1)
2)
3)
4)
5)
Элементы теории множеств;
Функция. Предел функции;
Дифференциальное исчисление функции одной переменной;
Интегральное исчисление функции одной переменной;
Дифференциальное исчисление функции двух переменных;
6) Дифференциальные уравнения.
Задания призваны проверить следующие уровни подготовленности.
Первый блок состоит из заданий на диагностику базовых понятий
тестируемой дисциплины (модуля или даже цикла модулей/дисциплин). Цель
тестирования заданиями этого блока состоит в определении достижения
конкретным студентом первого уровня.
Второй блок состоит из заданий на диагностику освоения студентами
второго уровня. Это задания на проверку возможностей использовать
полученные знания и умения для выполнения типовых (учебных,
формирующих) заданий.
В третьем блоке собраны задания, требующие от учащегося применения
полученных знаний, умений и навыков в квазиреальных жизненных
ситуациях.
Каждое задание призвано проверить усвоение студентом знаний по каждому
конкретному
разделу
с
проверкой
соответственного
уровня
подготовленности. Номера задания состоит из трех чисел, где первое число
обозначаетуровень подготовленности, второе ‒ номер раздела, третье –
номер в разделе. Например, задание 2.2.4означает, что задание с номером 4
относится к разделу «Функция. Предел функции» и призвано проверить
возможность использовать полученные знания и умения для выполнения
типовых (учебных, формирующих) заданий (второй блок).
1.1.1. Множеством называют:
1) совокупность любых элементов, объединенных по некоторому признаку;
2) совокупность чисел;
3) совокупность геометрических фигур.
1.1.2. Запись a  А означает:
1) элемент а принадлежит множествуА;
2) элемент а не принадлежит множествуА;
3) множествоа содержит в себе элемент А.
1.1.3. Прямым произведением множествА и В называют:
1) cумму произведений всех элементов первого и второго множеств;
2) множество всех упорядоченных пар (x;y), в которых первым компонентом
является элемент из А, вторым компонентом – элемент из В;
3) произведение всех элементов первого и второго множества
1.1.4. Множество не содержащее ни одного элемента называют:
1) пустым;
2) нулевым;
3) несобственным.
1.2.1. Какую особенность имеет график четной функции:
1) симметричен относительно оси OX;
2) симметричен относительно прямой y=x;
3) симметричен относительно оси OY.
1.3.1. Если функция f x  имеет отрицательную производную в каждой точке
интервала a; b , то она на этом интервале:
1) строго возрастает;
2) строго убывает.
1.3.2. Если функция f x  имеет в каждой точке интервала a; b первую и
вторую производные и f '' x  <0 для всех x  a; b , то на этом интервале график
функции f x  :
1) выпуклый вверх;
2) выпуклый вниз.
1.4.1. Неопределенным интегралом
 f x dx называют:
1) первообразную этой функции;
2) совокупность всех первообразных для функции f x  ;
3) определенный интеграл с переменными пределами.
2.1.1. Объединением множеств вА={2;4;6} и В={1;3;4;5} является множество:
1){1;2;3;4;5;6};
2){4};
3) {1;2;3;4;4;5;6}.
2.1.2. Пересечением множествА={1;2;4;6} и В={2;3;4;5} является множество:
1) {2;3;4}
2) {1;2;3;4;5;6}
3) {2;4}.
2.1.3. Разностью множествА={1;3;5} и В={2;3;4;5;8} является множество:
1) Ø;
2) {1};
3) {1;2;4;8}.
2.1.4. Разностью множествА={3;4} и В={1;2;3;4;8} является множество:
1) Ø;
2) {1;2;8};
3) {3;4}
2.1.5. Сколько различных полных завтраков можно составить, если в меню
имеется 3 первых и 5 вторых блюд?
1) 8;
2) 15
3) 2
2.1.6. Лекции по математике посещают 20 студентов, а лекции по психологии
– 30. Сколько всего студентов посещают лекции по математике и
психологии, если эти лекции проходят в разное время и 10 студентов
слушают оба курса?
1)50;
2)60;
3) 40.
2.2.1. найдите область определения функции y 
3x  5
x2
1) (-∞;+∞);
2) (-∞;0)  (0;+ ∞)
3) [0;+ ∞).
3x  5
y

2.2.2. найдите область определения функции
x 2 1
1) (-∞;+∞);
2) (-∞;-1)  (-1;1)  (1;+ ∞)
3) (1;+ ∞)
2.2.3. Установите какая из данных функций является четной:
x2
f1 ( x ) 
;
x 1
1) f1(x)
2) f2(x)
x 2 1
f2 (x )  2
;
x 2
x3
f3 (x ) 
?
cos x
3) f3(x)
2.2.4. Установите, какая из данных функций является нечетной:
x3
f1 ( x ) 
;
1 x
x3
f2 (x ) 
;
1 x 2
x3
f 3 (x ) 
?
sin x
1) f1(x)
2) f2(x)
3) f3(x)
2.2.5. Какую особенность имеет график нечетной функции:
1) симметричен относительно начала координат;
2) симметричен относительно оси OY;
3) симметричен относительно прямой y=x.
2.2.6. Предел последовательности
3n  2
lim 3  5n
n 
2
равен:
3
5
1)  ;
2)
5
;
3
3) 0;
4) не существует.
2.2.7. Предел последовательности
3  2n
lim 4n  7 равен:
n 
1
;
2
3
2)  ;
7
1)
3) 0;
4) не существует.
2.2.8. Вычислите предел функции:
lim
x2
1) 1;
x2  1
.
x2
5
;
4
5
3)  ;
4
2)
4) не существует.
2.2.9. Вычислите предел функции:
lim
x  1
1)
2)
3)
4)
x2  1
.
x 1
2;
0;
–2;
не существует.
2.2.10. Вычислить предел функции:
3x 2  5
lim
x   2  7 x
3
;
7
2)  ;
5
3) ;
2
1)
4) не существует.
2.2.11. Предел функции
1)
2)
3)
4)
sin x
равен:
x
x  
lim
0;
1;
–1;
не существует.
2.3.1. Производная функции f x   x3  cos x равна:
1) 3x 2   sin x  ;
2) 3x 2  cos x  x 3  sin x ;
3) 3x 2  cos x  x 3 sin x .
2.3.2. Производная функции f x  
6 x  x5
равна:
ln x
1)
6 x  5x ln x  6 x  5x  1x
2)
6  5 x ln x  6 x  5 x  1x
4
4
ln x 2
4
3)
;
4
ln x 2
;
6  5x 4
.
1
x
2.3.3. Производная функции f x   cosx3  равна:
1) - sin 3x 2 ;
2) sin x3  3x 2 ;
3) - sin x3 ;
4) cos3x 2  ;
5) - sin x3  3x 2 .
2.3.4. Производная функции f x   sin x  5x  равна:
4
1)
2)
3)
4)


4  cos x  5 ln 5 ;
4  sin x  5  ;
4  sin x  5   cos x  5
4
3  cos x  5x ln 5 ;
x
3
x 3
x 3
x

ln 5 .
2.4.1. Вычислите неопределенный интеграл:  cos3x dx :
1) sin 3x  C ;
2) sin 3 x   C ;
1
3
 x2 
3) sin  3   C .
 2
1
2.4.2. Вычислите определенный интеграл:  x 7 dx :
0
1)
1
;
8
2)
1
;
7
3) 7;
4) 0.
2.4.3. Неопределенный интеграл  x  sin x 2 dx равен:
 
x2
cos x 2  C ;
2
 x3 
x2
2) - cos   C ;
2
3
1
3) - cosx 2   C ;
2
1) -
4) неберущийся интеграл.
2.4.4. Вычислите определенный интеграл:
 x
1
2
 sin x  7 x10 dx .
1
1) 0;
2) -
20
;
33
3) 1;
4)
20
.
33
3.6.1. Классифицируйте дифференциальное уравнение и найдите все его
решения: 𝑥 ′ = 𝑡𝑥 2 .
а) уравнение вида:
1) в частных производных;
2) линейное уравнение;
3) с разделяющимися переменными;
4) однородное.
б) общее решение имеет вид:
1
1) 𝑥(𝑡) = − 𝑡 2 + 𝐶;
2
2) 𝑥(𝑡) = −
1
2
𝑡 2 +𝐶
;
3) 𝑥(𝑡) = 𝑡 3 + 𝐶;
3
4) не имеет решений.
в) особое решение имеет вид:
1) х = 0;
2) х = 1;
3) х = t;
4) не имеет особых решений.
2) Текущий контроль.
Таблица 4
№
п/п
1
Наименование раздела
дисциплины
Элементы теории
множеств.
Функция. Предел функции.
Средства текущего контроля
Дифференциальное
исчисление функции одной
переменной.
Интегральное исчисление
функции одной
переменной.
Тесты, контрольные работы
5
Дифференциальное
исчисление функции двух
переменных.
Тесты, контрольные работы
6
Дифференциальные
уравнения.
Тесты, контрольные работы
2
3
4
Тесты, контрольные работы
Тесты, контрольные работы
Тесты, контрольные работы
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 1
1. Круги А, В, С - множества. Заштриховать следующие множества,
используя каждый раз новый рисунок:
1) A  B  C;
2)( A  B) \ C; 3)( A  C ) \ (C  B)
2. Найдите множества A  B, A  B, A  C, A \ B, B \ C,( B  C) \ A, C \ ( A  B) , если
A={-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},
B={4; 3; 2; 1; 0; -1; -2},
C={-4; -3; -2; -1; 0; 2; 3; 4}.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой:
1) y  x 2  x; 2) y 
1
x2  1
; 3) y 
; 4) y  x .
x 1
x 1
4. Какие геометрические особенности имеют графики обратных функций?
5. Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:
f 1 ( x )  x  1;
f 2 ( x)   x 2 ;
f 3 ( x) 
1
.
x x
3
6. Найдите пределы последовательностей:
2n  3
1
3n 2  2
; lim n ; lim
.
n 4n  8
n 2
n 1  4n 2
lim
7. Вычислите пределы функций:
lim ( x 4  2 x  4);
x 4
x3  8
;
x 2 x  2
lim
1  3x
;
x  2 x  4
lim
x  sin x
.
x  2 x  6
lim
8. Найдите производные функций:
f1 ( x)  3 x 4  7 x  3;
f 4 ( x)  (3 x 6  2) ln x;
1
;
x3
cos x
f 5 ( x)  5
;
x  6x
f 2 ( x)  x 
3
f 3 ( x)  2 sin x  a x ;
f 6 ( x)  sin x  .
3
9. Исследуйте функцию и постройте ее график:
y
x2  9
.
4  x2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Вариант 2
1. Круги А, В, С - множества. Заштриховать следующие множества,
используя каждый раз новый рисунок:
1) A  B  C ; 2) A  ( B \ C ); 3)( A  C ) \ (C  B)
2. Найдите множества A  B, A  B, A  C, A \ B, B \ C,( B  C) \ A, C \ ( A  B) , если
A={-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2},
B={4; 3; 1; 0; -1; -2},
C={-4; -3; -2; 0; 1; 3; 4}.
3. Найдите область определения функции, заданной формулой:
1) y 
x 1
; 2) y  x  2.
x2  1
4. Какие геометрические особенности имеют графики четных, нечетных и
периодических функций?
5. Установите, какие из данных функций четные, какие нечетные:
f 1 ( x ) | x  1|;
f 2 ( x)   x 4 ;
f 3 ( x) 
1
.
x 2
3
6. Найдите пределы последовательностей:
2n  3
1
3n 2  2
lim
; lim n ; lim
.
n 4  8n
n 4
n 1  3n  4n 2
7. Вычислите пределы функций:
lim ( x 4  2 x  4);
x 4
x3  8
;
x 2 x  2
lim
1  3x
;
x  2 x  4
lim
x  sin x
.
x  2 x  6
lim
8. Найдите производные функций:


4
1
; f 3 ( x)  2 cos x  5 x ;
3
x
sin x
f 4 ( x)  ( x 6  2 x) ln x; f 5 ( x)  5
; f 6 ( x)  sin 3 x 2  9 x .
x  3x 2
f1 ( x)  x 5  7 x 2  3; f 2 ( x)  x 3 


9. Исследуйте функцию и постройте ее график:
y
x3
.
1 x
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 1
1. Вычислите неопределенные интегралы:
 x
3
 5 x  2dx;

 
x
1 1
 dx;
x4 x 
 cos x  e dx.
x
2. Вычислите интегралы методом замены переменного:
e
3x
dx;
 sin( 5x  2)dx;  x
x 2  4dx;
 sin xe
cos x
dx.
3. Вычислите интегралы методом интегрирования по частям:
 x3
x
x
dx;
2
 xln xdx.
sin xdx;
4. Вычислите определенные интегралы:


2
4
 sin 4 xdx;
e
0
1
3
e
x
x
1
dx;
2
xdx

4  x2
0
 x cos xdx.
;
0
5. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
y  8  7x  x 2 ,
y  2 x  16, x  0.
6. Найдите решение задачи Коши:
(1  t ) x   x  0,
x(0)  1.
7. Решите уравнение с разделяющимися переменными:
1  t 2 x   tx  0.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Вариант 2
1. Вычислите неопределенные интегралы:
 4 x
3
 5 x 2  2dx;

 
x
 sin x  e dx.
1 1
 dx;
x7 x 
x
2. Вычислите интегралы методом замены переменного:
e
3 x4
dx;
 sin x cos
3

xdx;
xdx
x 4
2
 x sin( x
;
2
)dx.
3. Вычислите интегралы методом интегрирования по частям:
 x4
x
dx;
x
2
cos xdx;
x
3
ln xdx.
4. Вычислите определенные интегралы:


2
ex
cos
4
xdx
;
0
1 3e x  1 dx;
4
3

0
xdx
4  x2
2
;
 x sin xdx.
0
5. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:
y  8  2x  x 2 ,
y  2 x  4.
6. Найдите решение задачи Коши:
x 
x2 x
 , x(1)  1.
t2 t
7. Решите уравнение с разделяющимися переменными:
x 
x 1
.
t 1
Вопросы и задания к экзамену
Требования к экзаменам.
Ответ студента оценивается положительно при следующих условиях:
 студент владеет теоретическим материалом учебной программы;
 студент освоил основные методы решения математических задач в
соответствии с учебной программой;
 студент способен применять теорию и методики к решению
конкретных задач.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНАМ
1. Множество и его элементы.
2. Виды множеств: пустое, конечное, бесконечное.
3. Отношение множеств: равенство, эквивалентность, подмножество.
4. Объединение множеств.
5. Пересечение множеств.
6. Прямое произведение двух множеств.
7. Вычитание множеств.
8. Дополнение до множества.
9. Правило суммы.
10.Правило произведения.
11.Координатная прямая.
12.Координатная плоскость.
13.Понятие числовой функции. Способы задания.
14.Ограниченность функции.
15.Монотонность функции.
16.Четность функции.
17.Периодичность функции.
18.Функция, обратная данной функции.
19.Сложная функция.
20.Числовые последовательности.
21.Ограниченные и монотонные последовательности.
22.Предел числовой последовательности.
23.Бесконечно малые последовательности
24.Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими
действиями.
25.Бесконечно большие последовательности.
26.Предел функции в точке.
27.Теоремы о пределах функций, связанные с арифметическими действиями.
28.Односторонние пределы.
29.Предел функции при x   .
30.Бесконечные пределы.
31.Бесконечно малые функции.
32.Бесконечно большие функции.
33.Непрерывность функции в точке.
34.Свойства функций, непрерывных в точке.
35.Непрерывность функции на множестве.
36.Точки разрыва и их классификация.
37.Производная функции.
38.Геометрический смысл производной.
39.Производная суммы и разности функций.
40.Производная произведения функций.
41.Производная частного двух функций.
42.Производная сложной функции.
43.Необходимые условия возрастания и убывания функции.
44.Достаточные условия возрастания и убывания функции.
45.Необходимые условия существования экстремума.
46.Достаточное условие экстремума.
47.Первообразная и неопределенный интеграл.
48.Основные свойства неопределенного интеграла.
49.Метод замены переменной.
50.Метод интегрирования по частям.
51.Определенный интеграл.
52.Основные свойства определенного интеграла.
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
6.1 Список рекомендуемой литературы по курсу
«Высшая математика».
6.1.1. Список основной литературы.
1. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Высшая математика для экономистов. Курс
лекций: учебное пособие для вузов. – М.: Из-во «Экзамен», 2009. 285 с.
2.
Высшая математика для экономистов: учебник для студентов,
обучающихся по экономическим специальностям / под ред. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 479 с.
6.1.2. Список дополнительной литературы.
1. И.И.Баврин. Высшая математика. 3-е издание – Москва. – «Академия». –
2003.
2. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: – М.: АСТ, 2003.
3. Луканкин А.Г. Математика: учебник для учащихся сред. проф.
образования. – М.: ГЭОТАР-Медиа, 2012. 320 с.
6.2.
Интернет-ресурсы
1. www.mrsei.ru/methodical-maintenance
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Специализированные аудитории по изучаемой дисциплине со стендами
с образцами работ и справочными материалами.
Компьютерные классы с программным обеспечением и мультимедиапроектором.
Слайды и компьютерные презентации по различным темам
дисциплины.
и т. д.
8. Терминология
Базис. Будем говорить, что п векторов e1 , e2 ,, en , ни один из которых
не равен нулю, образуют ортогональный базис в п-мерном евклидовом
пространстве, если они попарно ортогональны.
Декартова прямоугольная система координат на плоскости. Если
на плоскости выбрать две взаимно перпендикулярных оси с общим началом,
то каждой точке плоскости можно поставить в однозначное соответствие
пару чисел и наоборот – каждой паре чисел можно поставить в однозначное
соответствие точку плоскости.
Дифференциал функции. Если функция f(x) имеет производную
f ( x0 ) , то произведение f ( x0 )x называется дифференциалом функции f(x) в
точке x 0 и обозначается d f ( x0 ) .
Интервалы монотонности. Интервалы, на которых функция убывает
или возрастает, называются интервалами монотонности этой функции.
Координатная прямая.Прямая, на которой выбраны начальная точка и
единичный вектор, называется координатной осью или координатной
прямой.
Множество представляет собой собрание или совокупность некоторых
предметов или объектов, объединенных по некоторому признаку.
Неопределенный интеграл. Совокупность всех первообразных
функций для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается символом  f ( x)dx .
Непрерывность функции в точке. Функция
f ( x), x  (a; b) ,
называется непрерывной в точке x0  (a; b) , если предел функции f(x) в точке
x 0 существует и равен значению функции в этой точке:
lim f ( x)  f ( x0 ) .
x x0
Определенный интеграл. Пусть имеется функция f(x), x  [a; b]. Если
n
предел lim
 f (ci )xi существует и не зависит от выбора точек ci , то функция
n 
i 1
f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], а предел называется
определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначается
b
 f ( x)dx .
a
Первообразная. Функция F(x)называется первообразной функцией
(или просто первообразной) для функции f(x) на некотором промежутке, если
F ( x)  f ( x) для
любого х из этого промежутка.
Пределом последовательности a n  называется число а, если для
каждого заданного числа   0 существует такое натуральное число N, что
для любого n > N выполняется неравенство an  a   .
Предел функции в точке.Пусть функция f(x) определена в некоторой
окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а. Число В называется
пределом функции f(x) в точке а (или при х стремящемся к а), если для любой
последовательности допустимых значения аргумента xn , n  N , xn  a ,
x n  a ), последовательность соответствующих
сходящейся к а (т. е. lim
n 
значений функции f ( xn ), n  N , сходится к числу В. В этом случае пишут
lim f ( x)  B .
xa
Производная функции. Пусть задана функция f(x), x  (a; b) , и пусть
x 0 – некоторая точка интервала (a; b). Предел
lim
x  x0
f ( x)  f ( x 0 )
x  x0
называется производной функции f(x) в точке x 0 и обозначается f ( x0 ) .
Сложная функция. Пусть заданы две функции y  g ( x), x  X , и
z  f ( y), y Y , причем область определения функции f содержит множество
значений функции g. В этом случае функция z  f  g( x) называется сложной
функцией, составленной из функций f и g, (или суперпозицией функций f и
g).
Числовые
последовательности.
Бесконечной
числовой
последовательностью называется числовая функция f, определенная на
множестве всех натуральных чисел N.
Экстремумы функции. Точка x 0 из области определения функции f(x)
называется точкойминимума (максимума) этой функции, если существует
такая δ-окрестность точки x 0 , что для всех х из этой δ-окрестности
выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 )  f ( x)  f ( x0 ) .
I.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
1. Методические рекомендации для преподавателя
Учебная дисциплина «Математический анализ» преподается студентам
первого курса, не имеющим опыта обучения в высших учебных заведениях,
поэтому одна из основных задач преподавателя – помочь студентам учиться
в новых для них условиях. Практика показывает, что при обучении в вузах на
младших курсах студенты сталкиваются с рядом проблем. В качестве одного
из признаков таких проблем, возникающих при переходе из школы в вуз,
можно указать резкое снижение успеваемости на первом курсе по сравнению
с результатами в школе.
УМК ориентирован на студентов, получивших базовые знания по
математике в старшем звене средней школы, что является необходимым
условием для успешного усвоения данной дисциплины в институте.
Учебная работа студентов по данной дисциплине включает в себя
посещение лекций, участие в семинарских занятиях, выполнение
контрольных работ (рефератов), а также самостоятельную работу.
Основным видом учебной работы является освоение лекционного
материала, преподаваемого в соответствии с настоящим УМК.
На вводном занятии преподавателю необходимо ознакомить
студентов с требованиями Федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки
080100.62
«Экономика»
по
учебной
дисциплине
«Математический анализ». Необходимо ознакомить студентов с формами
контроля успеваемости студентов.
При проведении занятий преподаватель должен четко формулировать
цель занятия и основные проблемные вопросы. В целях контроля
подготовленности студентов и привития им навыков краткого письменного
изложения своих мыслей по предложенной тематике преподаватель в ходе
занятий может проводить контрольные работы.
При проведении первых лекций необходимо обратить особое
внимание на доступность материала и темп его изложения (возможность
конспектирования), дать рекомендации по организации самостоятельной
работы и обеспечить контроль усвоения пройденного материала.
Семинарские занятия проводятся с целью закрепления наиболее
значимых для будущей профессиональной деятельности частей лекционного
курса, усвоения навыков и методов практического использования изученного
теоретического материала, а также контроля успеваемости учащихся.
При проведении семинарских занятий преподаватель должен четко
формулировать цель занятия и основные проблемные вопросы. После
заслушивания докладов студентов необходимо подчеркнуть положительные
аспекты их работы, обратить внимание на имеющиеся неточности (ошибки),
дать рекомендации по подготовке к следующим докладам. Рефераты,
предполагающие анализ публикаций по отдельным вопросам семинара,
рекомендуется заслушивать в середине занятия. При подведении итогов
обсуждения намеченных вопросов преподаватель оценивает каждого
выступавшего студента, выделяя наиболее активных.
В целях контроля уровня подготовленности студентов и привития
им навыков краткого письменного изложения своих мыслей по
предложенной тематике преподаватель в ходе семинарских занятий может
проводить контрольные работы.
Семинар может включать в себя элементы индивидуального
собеседования. Преподаватель должен осуществлять индивидуальный
контроль работы студентов; давать соответствующие рекомендации; в случае
необходимости помогать студенту составить индивидуальный план работы
по изучению данной учебной дисциплины.
Контрольные работы проводятся для проверки степени усвоения
студентами изученного материала.
Самостоятельная работа необходима студентам для подготовки к
семинарским занятиям и зачету, а также подготовки рефератов на выбранную
тему с использованием материалов преподаваемого курса, лекций и
рекомендованной литературы.
2.
Методические указания для студента
Основными видами аудиторной работы студента при изучении
дисциплины «Математический анализ» являются лекции, семинары и
практические занятия в компьютерном классе. Студент не имеет права
пропускать без уважительных причин аудиторные занятия, в противном
случае он может быть не допущен к зачету.
На лекциях излагаются и разъясняются основные понятия темы,
связанные с ней теоретические и практические проблемы, даются
рекомендации для самостоятельной работы. В ходе лекции студент должен
внимательно слушать и конспектировать новый материал.
Завершают изучение наиболее важных тем или разделов учебной
дисциплины практические занятия.
Результаты контроля качества учебной работы студентов
преподаватель может оценивать, выставляя текущие оценки в рабочий
журнал. Студент имеет право ознакомиться с выставленными ему оценками.
Важным видом работы студента при изучении дисциплины
«Математический анализ» является самостоятельная работа.
Для студентов очной формы обучения на самостоятельную работу
отводится примерно 50%, для студентов очно-заочной формы обучения – до
80% и заочной формы обучения – до 90% общего времени дисциплины,
поэтому правильная организация самостоятельной работы является залогом
успешного изучения дисциплины. Нельзя надеяться только на тот материал,
который был изучен в ходе лекций, семинаров или практических занятий,
необходимо закрепить его и расширить в ходе самостоятельной работы.
Наибольший
эффект
достигается
при
использовании
«системы
опережающего чтения», то есть предварительного самостоятельного
изучения материала следующего занятия.
Самостоятельная работа должна носить творческий и планомерный
характер. Ошибку совершают те студенты, которые надеются освоить весь
материал только за время подготовки к зачету. Опыт показывает, что уровень
знаний у таких студентов является низким, а знания и навыки – непрочными.
В процессе организации самостоятельной работы большое значение
имеют консультации преподавателя. Они могут быть как индивидуальные,
так и в составе учебной группы. С графиком консультаций преподавателей
можно ознакомиться на кафедре.
Самостоятельную работу по изучению информатики и математики
целесообразно начинать с изучения УМК, который содержит основные
требования к знаниям, умениям, навыкам; ознакомления с разделами и
темами в порядке, предусмотренном учебной программой. Получив
представление об основном содержании раздела, темы, необходимо изучить
данную тему, представленную в учебнике, придерживаясь рекомендаций
преподавателя, данных в ходе установочных занятий по методике работы над
учебным материалом.