Criv12 (новое окно) - Санкт-Петербургский государственный

1
Правительство Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
учебной дисциплины
Алгебраические методы моделирования систем
Algebraic methods of system modelling
Язык(и) обучения -- русский
Трудоёмкость (границы трудоёмкости) в зачетных единицах: __1______
Регистрационный номер рабочей программы: ______________
Санкт-Петербург
2012
2
Раздел 1.
1.1.
Характеристики учебных занятий
Цели и задачи учебных занятий
Основная задача курса — обучение аспирантов математическим основам применения
моделей и методов идемпотентной алгебры при решении практических задач исследования систем
и управления в технике, экономике, менеджменте и других областях
1.2. Требования к подготовленности обучающегося к освоению содержания
учебных занятий (пререквизиты)
Аспирант должен обладать знаниями на уровне специалитета или магистратуры по
направлению прикладной математики и информатики.
1.3.
Перечень результатов обучения (learning outcomes)
Слушатели курса должны свободно владеть теоретическими основами и практические
навыки использования идемпотентной алгебры для решения задач моделирования и
анализа сложных систем.
1.4.
Перечень активных и интерактивных форм учебных занятий
Ответы на вопросы во время занятий.
Обсуждение полученных на занятии результатов.
Личные и групповые консультации.
Раздел 2.
2.1.
Организация, структура и содержание учебных занятий
Организация учебных занятий
2.1.1 Основной курс
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
Трудоёмкость
итоговая аттестация
(сам.раб.)
промежуточная аттестация
(сам.раб.)
текущий контроль (сам.раб.)
сам.раб. с использованием
методических материалов
Самостоятельная работа
итоговая аттестация
под руководством
преподавателя
в присутствии
преподавателя
промежуточная
аттестация
текущий контроль
коллоквиумы
контрольные работы
лабораторные работы
консультации
практические
занятия
семинары
лекции
Период обучения (модуль)
Контактная работа обучающихся с преподавателем
Объём активных и интерактивных
форм учебных занятий
Трудоёмкость, объёмы учебной работы и наполняемость групп обучающихся
3
Год
обучения 1
ИТОГО
32
32
212
1-1
32
32
1
1
Формы текущего контроля успеваемости, виды промежуточной и итоговой аттестации
Период обучения (модуль)
Виды итоговой аттестации
Формы текущего
контроля
успеваемости
Виды промежуточной
аттестации
(только для программ итоговой
аттестации и дополнительных
образовательных программ)
ОСНОВНАЯ ТРАЕКТОРИЯ
очная форма обучения
2.2. Структура и содержание учебных занятий
Основной курс
Основная траектория
Очная форма обучения
Период обучения (модуль): Год 1
№
п/п
1
2
3
Наименование темы (раздела, части)
РАЗДЕЛ I.
алгебра
Введение.
РАЗДЕЛ II.
Обобщенное
векторное пространство
РАЗДЕЛ III.
операторы
Обобщенные
Идемпотентная
линейное
Вид учебных занятий
лекции
10
семинары
0
по методическим материалам
10
текущий контроль
0
лекции
10
семинары
0
по методическим материалам
линейные
Количество
часов
10
текущий контроль
0
лекции
12
семинары
0
по методическим материалам
12
4
текущий контроль
0
Содержание курса
РАЗДЕЛ I. Введение. Идемпотентная алгебра
1.
2.
3.
Модели и методы идемпотентной алгебры. Примеры реальных прикладных задач в
технике, экономике, управлении и других областях, которые могут быть решены методами
идемпотентной алгебры.
Идемпотентная алгебра. Идемпотентная полугруппа. Идемпотентное полукольцо и
полуполе. Операции обобщенного сложения и умножения. Обозначение операций,
нулевого и единичного элементов. Правила выполнения операций. Примеры полуколец и
полуполей. Полукольцо с операциями вычисления максимума и сложением. Обозначение
степени. Биномиальное тождество.
Функции и одной переменной. Линейная функция и линейное уравнение. График функции.
Многочлены. Минимальная каноническая форма многочлена. Теорема Кунингхайма-Грина
о разложении многочлена. Решение полиномиальных уравнений. Экстремумы
рациональной функции.
РАЗДЕЛ II.
4.
5.
6.
Векторы и матрицы. Векторы. Операции над векторами и их геометрическая
интерпретация. Скалярное произведение векторов. Неравенство Коши-Буняковского.
Матрицы и операции над ними. Граф матрицы. Интерпретация операций над матрицами в
терминах графов. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования
обратной матрицы. Общий вид обратимой матрицы. Псевдообратная матрица. Связь
между обратной и псевдообратной матрицами.
Обобщенное линейное векторное пространство. Линейная оболочка и линейная
зависимость векторов. Изображение линейной оболочки на плоскости. Метрика.
Расстояние от вектора до подпространства. Критерий линейной зависимости векторов.
Построение минимальной линейно независимой системы векторов. Решение уравнения
Ax=b и неравенства Ax<b. Условия существования и единственности решения уравнения.
Обобщенные однородные и неоднородные линейные уравнения. Квадратные матрицы.
Обобщенные след и определитель матрицы. Матрицы A*, A× и A+. Неравенства для
степеней и определителя матрицы. Условие существования решений и общее решение
однородного уравнения Ax=x с неразложимой матрицей. Лемма об общем решении
неоднородного уравнения Ax+b=x. Условие существования решений и общее решение
неоднородного уравнения с неразложимой матрицей. Решение однородных и
неоднородных неравенств.
РАЗДЕЛ III.
7.
Обобщенное линейное векторное пространство
Обобщенные линейные операторы
Спектральные свойства линейного оператора. Собственное число и вектор матрицы
оператора. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение матрицы.
Нахождение собственного числа и векторов неразложимой матрицы. Собственные числа и
векторы разложимой матрицы. Спектральный радиус оператора и его вычисление.
8.
Сходимость итераций линейного оператора. Неравенства для обобщенной нормы, следа и
собственного числа неразложимой матрицы. Теоремы сходимости для итераций линейного
оператора. Формула вычисления спектрального радиуса как следствие теорем сходимости
5
итераций линейного оператора.
Раздел 3.
3.1.
Обеспечение учебных занятий
Методическое обеспечение
3.1.1 Методические указания по освоению дисциплины
Успешное освоение дисциплины возможно благодаря посещению лекций, участию в
обсуждении вопросов, подготовленных к занятию, самостоятельной работе, включающей
в себя чтение специальной литературы по разделам темы.
3.1.2 Методическое обеспечение самостоятельной работы
Для обеспечения самостоятельной работы предоставляется список литературы для
самостоятельного изучения, выкладываются материалы к занятиям в электронной форме.
3.1.3 Методика проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации и критерии оценивания
Текущий контроль в виде беседы по окончанию курса.
3.1.4 Методические материалы для проведения текущего контроля успеваемости и
промежуточной аттестации (контрольно-измерительные материалы, оценочные средства)
Примерный список вопросов для обсуждения состоит из вопросов, перечисленных в
разделе 2.2.
3.1.4 Методические материалы для оценки обучающимися содержания и качества
учебного процесса
Не предусмотрено.
3.2.
Кадровое обеспечение
3.2.1 Образование и (или) квалификация преподавателей и иных лиц, допущенных к
проведению учебных занятий
К преподаванию дисциплины могут быть допущены преподаватели, имеющие диплом о
высшем образовании по соответствующему направлению.
3.2.2 Обеспечение учебно-вспомогательным и (или) иным персоналом
Не предусмотрено.
3.3.
Материально-техническое обеспечение
3.3.1 Характеристики аудиторий (помещений, мест) для проведения занятий
Стандартно оборудованные лекционные аудитории для проведения интерактивных
лекций: видеопроектор, экран, др. оборудование.
6
3.3.2 Характеристики аудиторного оборудования, в том числе неспециализированного
компьютерного оборудования и программного обеспечения общего пользования
Не требуется
3.3.3 Характеристики специализированного оборудования
Не предусмотрено.
3.3.4 Характеристики специализированного программного обеспечения
Специальных требований нет.
3.3.5 Перечень и объёмы требуемых расходных материалов
Бумага формата A4, для подготовки раздаточного материала.
10 листов / на одного обучающегося.
3.4.
Информационное обеспечение
3.4.1 Список обязательной литературы
1. Кривулин Н. К. Методы идемпотентной алгебры в задачах моделирования и анализа сложных
систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. 255 с
3.4.2 Список дополнительной литературы
1. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном
управлении. М.: Физматлит, 1994. 142 с.
2. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра положительных матриц // Elektronische
Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1967. Bd. 3, N 1. S. 39-72.
3. Воробьев Н. Н. Экстремальная алгебра неотрицательных матриц // Elektronische
Informationsverarbeitung und Kybernetik. 1970. Bd. 6, N 4/5. S. 303-312.
4. Кривулин Н. К. Экстремальное свойство собственного значения неразложимых матриц в
идемпотентной алгебре и решение задачи размещения Ролса // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1,
2011. Вып. 4. С. 42-51.
5. Baccelli F., Cohen G., Olsder G.J., Quadrat J.-P. Synchronization and linearity: An algebra for
discrete event systems. Chichester: Wiley, 1992. URL:
https://www.rocq.inria.fr/metalau/cohen/documents/BCOQ-book.pdf (дата обращения 30.07.2012)
3.4.3 Перечень иных информационных источников
Ресурсы сети Интернет.
Раздел 4. Разработчики программы
Кривулин Николай Кимович, профессор СПбГУ, д.ф.-м.н,. nkk@math.spbu.ru, тел. +7(812)
428-42-31