В теме «Степень числа» я знакомлю детей еще с одним... модуля. Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа:

1
В теме «Степень числа» я знакомлю детей еще с одним свойством
модуля.
Модуль степени какого-либо числа равен степени модуля этого числа:
, причем, если n = 2k – четное число, то
=a
. Это дает
нам в дальнейшем применение
Решим уравнение
.
Решение.
1 способ. Два выражения равны по модулю тогда, когда они либо равны,
либо противоположны. Этот факт записывается так:
Тогда для уравнения
х - 3 = х - 11
имеем
или
х=7.
0 -8
Ответ: 7.
2 способ. Известно, что
х - 3 = - ( х - 11 ),
.
2
Используя данное свойство, можно возвести обе части данного
уравнения в квадрат и получить равносильное уравнение.
а) ( х - 3 ) ² = ( х - 11 ) ²,
х² - 6х +9 = х² - 22х + 121,
16х = 112,
х = 7.
б) ( х - 3 ) ² = ( х - 11 ) ²,
( х - 3 ) ² - ( х - 11 ) ² = 0,
( х - 3 - х + 11 ) ( х - 3 + х - 11 ) = 0,
8 ( 2х - 14 ) = 0,
х = 7.
Ответ: 7.
Как видите, параллельно с работой над модулем, я закрепляю умение
применять формулы сокращенного умножения.
Итак, по окончании 7 класса мои дети умеют использовать некоторые
свойства модуля при решении линейных уравнений с одной переменной, а
также строить графики линейных функций, содержащих знак абсолютной
величины.
8 класс дает больше возможности для дальнейшего изучения и
закрепления понятия и свойств модуля.
В теме «Область определения функции» я даю задания:
при каких значениях переменных не имеет смысла выражение
;
.
Укажите допустимые значения выражения
,
.
3
В теме «Сокращение дробей»
при y
;
при y
при х
.
Тема «Квадратный корень из степени» учит извлекать квадратный корень
из степеней, используя понятие модуль.
=
.
«Функция y =
и ее график.»
Построить график функции y =
.
D (y): x
В результате усвоения предыдущей схемы построения графиков
функций, содержащих модуль, имеем случай у = f
, т.е. достаточно
построить график функции y =
при х
и отобразить ее симметрично
относительно оси ординат.
при k
при k
И, конечно, программа 8 класса позволяет нам приступить к решению
квадратных уравнений, содержащих модули.
При изучении неполных квадратных уравнений я даю уравнения вида
4
2х² +
- 3х=0.
Решение.
Пользуясь правилами раскрытия модуля, имеем:
1) если х
, то уравнение имеет вид 2х²+
3х=0.
2х²-2х=0,
2х(х-1)=0,
.
Оба найденных значения удовлетворяют условию х
, следовательно,
являются корнями исходного уравнения.
2)если x
, то
2х² -
3х = 0.
2х² - 4х = 0,
2х ( х - 2 ) = 0
.
Оба найденных значения не удовлетворяют условию x
,
следовательно, в этом случае решений нет.
Ответ: 0; 1.
Решить уравнение
x² +
Используем свойство
- 6 = 0.
и перепишем уравнение в виде
.
Пусть
тогда уравнение примет вид
t, t
t²
5
Если
то
= 2,
х=
Ответ: -2; 2.
Решить уравнение
.
Поскольку уравнение
уравнений
1)
равносильно совокупности двух
меем
=
2)
=
D
Ответ: 1; 8.
В теме «Неравенства» я предлагаю детям неравенства вида
.
Пример:
Ответ:
Ответ:
6
В 9 классе дети научились строить графики квадратичных функций. Они
четко знают алгоритм построения, определяют направление ветвей
параболы, находят координаты вершины параболы, координаты точек
пересечения графика функции с осями координат.
Мы изучили влияние модуля на поведение графика линейной функции,
поэтому можем переходить к построению графиков квадратичных функций,
содержащих знак абсолютной величины.
Построим графики функций
а)
б)
в) y =
г) y=
а) Построим график функции
.
Найдем координаты вершины параболы
Точки пересечения с осью Ох
Парабола пересекает ось Оу в точке с координатами
б)
.
.
7
Мы знаем, что ,если в уравнении, которым задана функция, аргумент взят
по модулю, то достаточно построить график функции с теми же
коэффициентами, но без модуля при
, а затем отобразить его
симметрично оси ординат.
в) y =
Если в уравнении, которым задана функция, вся функция взята под по
модулю, то достаточно построить график функции, не содержащей модуль,
а затем часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, отобразить
симметрично оси Ох.
г) y=
.
Данная функция – это функция
, взятая по модулю.
Следовательно, ее график можно получить следующим образом: построить
график функции
, а затем часть графика, расположенную
8
в отрицательной полуплоскости, симметрично отобразить относительно оси
абсцисс.
К началу 10 класса ученики владеют понятием абсолютной величины,
умеют решать линейные и квадратные уравнения, содержащие модуль,
умеют строить графики функций с модулем. Это облегчит им в
дальнейшем изучение более сложных уравнений и неравенств, содержащие
модули.
I)
Уравнения вида f ( x)  A, A  R решаются следующим образом.
Если
A  0 , то корней нет.
Если A  0 , то уравнению f ( x)  A соответствует уравнение f ( x)  0
Если
A  0 , то уравнению f ( x)  A соответствует равносильная
 f ( x)  A
совокупность  f ( x )   A

II) Уравнения вида
Способ №1
f ( x)  g ( x) решаются следующим образом.
9
Уравнению f ( x)  g ( x) соответствует равносильная совокупность систем
 g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
 g ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
Способ №2
Уравнению f ( x)  g ( x) соответствует равносильная совокупность систем
 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  0

 f ( x)  g ( x)
III) Уравнения вида
f ( x)  g ( x)
решаются следующим образом.
Способ №1
Уравнению
f ( x)  g ( x)
соответствует равносильное уравнение
f 2 ( x)  g 2 ( x)
Способ №2
Уравнению f ( x)  g ( x) соответствует равносильная совокупность
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)   g ( x)

10
IV) Уравнения вида f ( x)   f ( x) и f ( x)  f ( x) решаются следующим
образом.
Уравнению f ( x)   f ( x) соответствует равносильное неравенство
f ( x)  0
Уравнению f ( x)  f ( x) соответствует равносильное неравенство
f ( x)  0