Оптимальная фильтрация случайного сигнала

Оптимальная
фильтрация
случайного сигнала
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., vasyukov@edu.nstu.ru
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
Непрерывное сообщение  реализация случайного
процесса  модулирует несущее колебание, сигнал
на выходе канала связи также случаен. Задача: по
наблюдаемому случайному колебанию оценить
другое случайное колебание (первичный сигнал,
или закон модуляции), связанное с наблюдаемым в
общем случае нелинейным образом (задача
нелинейной фильтрации, или демодуляции).
S t ,b ( t )
z (t )
b (t )
b( t )
М
КС
ДМ
 (t )
2
Мы рассматриваем наиболее простой случай
оптимальной линейной фильтрации. При этом с
самого начала предполагается, что фильтр
представляет собой ЛИС-цепь, и задача состоит в
подборе такого ЛИС-фильтра, который при подаче
на вход наблюдаемой реализации обеспечивает
выходной
сигнал,
наилучшим
образом
соответствующий выбранному критерию.
3
На
практике
линейная
фильтрация
может
применяться, например, для повышения отношения
сигнал/шум на входе демодулятора
S ( t )  ( t )
S(t )
s (t )
b( t )
М
КС
ОФ
Д
Предположим, что модулированный сигнал с выхода
модулятора М, представляющий собой стационарный
случайный процесс, суммируется в канале связи КС
со стационарным шумом, причем оба процесса
имеют нулевые средние.
4
Предположим, что модулированный сигнал с выхода
модулятора М, представляющий собой стационарный
случайный процесс s (t ) со спектральной плотностью
мощности Gs ( ) , суммируется в канале связи КС со
стационарным шумом  (t ) , имеющим спектральную
плотность мощности G   , причем оба процесса
имеют нулевые средние. Задача состоит в том, чтобы
найти характеристики линейной стационарной цепи
(оптимального фильтра ОФ), чтобы процесс s (t ) на ее
выходе был наиболее близок к процессу s (t )
Примем в качестве критерия близости дисперсию
ошибки фильтрации
 (t )  s(t )  s (t )
5
Поскольку фильтр линейный стационарный, то его
отклик на смесь описывается свёрткой
s (t ) 
 z ( )h(t   )d 
( )

 s( )h(t   )d    ( )h(t   )d
( )
( )
Обозначим импульсную характеристику оптимального
фильтра, которую предстоит найти, ho (t )
6
Поскольку и сигнал, и шум имеют нулевые средние, а
фильтр линеен, то ошибка также имеет нулевое
математическое ожидание, а ее средний квадрат
совпадает с дисперсией.
Средний квадрат ошибки для оптимального фильтра
e   (t )  [s(t )  s (t )]
2
2
представляет собой минимальное значение,
достижимое при фильтрации любым линейным
устройством
7
Для произвольного линейного фильтра импульсная
характеристика отличается от оптимальной, поэтому её
можно представить в виде
ho (t )   ha (t )

где
и ha (t ) – некоторые, пока не определённые,
константа и функция
ho (t )
ho (t )   ha (t )
t
8
Для этого произвольного линейного фильтра средний
квадрат ошибки
e  [ s (t ) 
 ho ( )   ha ( )z (t   )d ]
2
( )
ho (t )
ho (t )   ha (t )
t
Но при   0 произвольный фильтр
превращается в оптимальный, тогда достигается
минимум среднего квадрата ошибки
9
Поскольку средний квадрат ошибки
e  [ s (t ) 
зависит от

 ho ( )   ha ( )z (t   )d ]
2
( )
при фиксированной функции
ha (t )
ho (t )
ho (t )   ha (t )
t
можно записать уравнение
e
0
  0
10
Дифференцируя
e  [ s (t ) 
по

 ho ( )   ha ( )z (t   )d ]
2
( )
и приравнивая нулю, получим уравнение



 s(t )  ho ( )z (t   )d   ha ( )z (t   )d   0






(

)
(

)



относительно импульсной характеристики
оптимального фильтра
11
Проанализируем уравнение



 s(t )  ho ( )z (t   )d   ha ( )z (t   )d   0






( )

 ( )

В первых квадратных скобках  ошибка фильтрации
для оптимального фильтра;
во вторых квадратных скобках заключен отклик
на наблюдаемый процесс линейного фильтра
с произвольной импульсной характеристикой,
а в целом слева от знака = при любом фиксированном t
второй смешанный (корреляционный) момент, который
можно считать скалярным произведением случайных
величин

12
Итак, из



 s(t )  ho ( )z (t   )d   ha ( )z (t   )d   0



 ( )

(

)



следует, что ошибка фильтрации для
оптимального фильтра ортогональна
отклику любой ЛИС-цепи на наблюдаемый
процесс (а такой отклик есть линейная
комбинация отсчетов этого процесса,
значит, все такие отклики составляют
линейную оболочку, т.е. подпространство,
натянутое на реализацию
)
z
s(t )
(t )
s (t )
L z(t )
13
Очевидно, что вектор ошибки имеет наименьшую норму
в том случае, когда в подпространстве выбирается
вектор s (t ) , являющийся ортогональной проекцией
оцениваемого сигнала на подпространство всех
линейных откликов на z
s(t )
(t )
s (t )
L z(t )
Принцип ортогонального проецирования
14
Раскрывая скобки в



 s(t )  ho ( )z (t   )d   ha ( )z (t   )d   0






(

)
(

)



получим
 ha ( )s(t ) z(t   )d   ha ( )  ho ( ) z(t   ) z(t   )d d  0
( )
( )
( )
или




 ha ( ) s(t ) z (t   )   ho ( ) z (t   ) z (t   )d  d  0


( )
( )
15
Полученное выражение




 ha ( ) s(t ) z (t   )   ho ( ) z (t   ) z (t   )d  d  0


( )
( )
представляет собой скалярное произведение,
которое может быть равно 0 при произвольном ha (t )
только в одном случае: когда второй вектор равен
нулевому вектору. Поэтому
s(t ) z (t   ) 
 ho ( ) z(t   ) z(t   )d  0
( )
или
Rsz (t ) 
 ho ( ) Rz (t   )d
( )
интегральное уравнение Винера  Хопфа
16
Решение уравнения Винера – Хопфа легко находится для
случая, когда все процессы рассматриваются на
бесконечной временной оси и являются стационарными в
широком смысле.
Тогда к левой и правой частям уравнения
Rsz (t ) 
 ho ( ) Rz (t   )d
( )
можно применить преобразование Фурье, в результате
чего получается алгебраическое уравнение
Gsz ( )  Gz ( ) H o ( )
которое легко решается:
H o ( )  Gsz ( ) / Gz ( )
17
Предположим для примера, что сигнал и шум
взаимно некоррелированны, тогда
Rsz (t )  s( ) z (  t )  s( )  s(  t )   (  t ) 
 Rs (t )  Rs (t )  Rs (t )
поэтому
Gsz ( )  Gs ( )
Rz (t )  z ( ) z (  t ) 
  s( )   ( ) s(  t )   (  t )  
 Rs (t )  Rs (t )  R s (t )  R (t )  Rs (t )  R (t )
Gz ( )  Gs ( )  G ( )
18
Итак, если сигнал и шум взаимно некоррелированны,
тогда G ( )  G ( )
sz
s
Gz ( )  Gs ( )  G ( )
поэтому
H o ( )  Gsz ( ) / Gz ( )
принимает вид
Gs ( )
H o ( ) 
Gs ( )  G ( )
Полученный фильтр известен, как фильтр
Колмогорова – Винера (“винеровский” фильтр)
1939 г.
1942 г.
19
Gs ( )
H o ( ) 
Gs ( )  G ( )
Коэффициент передачи фильтра меньше на тех частотах,
где больше СПМ шума (сходство с согласованным
фильтром)
Когда полезный сигнал и шум являются совместно
гауссовскими процессами, винеровский фильтр является
оптимальным среди всех фильтров (а не только среди
линейных).
Полученный фильтр некаузален (физически
нереализуем). Условие каузальности усложняет
нахождение характеристик фильтра и увеличивает
дисперсию ошибки фильтрации
20