А.Л. Карчевский, К.Т. Искаков, Ж.О. Оралбекова, Т. Миргаликызы

А.Л. Карчевский, К.Т. Искаков, Ж.О. Оралбекова, Т. Миргаликызы
Формулы для численного решения прямой динамической задачи
сейсмики в частотной области для горизонтально-слоистых сред
(Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилёва, г.Астана)
Данную работу можно рассматривать как продолжение работы [1] этого сборника.
При решении обратной динамической задачи сейсмики можно считать, что известна
информация следующего вида:
u1,0 
 
U 0  u2 ,0 
u 
 3 ,0 
где вектор-функция U 0 ( 1 ,  2 , p ) состоит из u1,0 ,u2 ,0 и
u3,0
которые являются компонентами вектора смещений на
поверхности земли, p    i — параметр преобразования Лапласа по временной переменной,
параметры преобразования Фурье по горизонтальным переменным.
1
и
2
—
Численно обратная динамическая задача сейсмики может решаться при помощи
минимизации функционала невязки:
2
3
Ô   u j ( 1 ,  2 ,0, p )  u j ,0 ( 1 , 2 , p ) .

j 1
Минимизация требует многократного решения прямой задачи, т.е. скорость решения
обратной задачи напрямую зависит от скорости решения прямой задачи, следовательно,
необходимо построить быстрый алгоритм решения системы дифференциальных
уравнений теории упругости. С этой целью выберем горизонтально-слоистую модель
среды и метод послойного пересчёта для решения прямой задачи [2, 3]. Все полученные
ниже формулы будут записаны так, чтобы при послойном пересчёте ошибка вычислений
не накапливалась.
1 Система дифференциальных уравнений теории упругости для
смещений и её сведение в частотную область
Рассмотрим среду - n-слойную структуру с границами раздела
m 1
m
x3k , k  0, N , x30  0 ; m-ый слой находится в интервале x3 , x3 , последний N+1
(подстилающий) слой есть x3n ,  . Физические свойства каждого слоя
характеризуются величинами модулей упругости Cmjkl и плотностью  , то
есть Cmjkl и  - кусочно-постоянные функции переменной x3, 0<x3<  .
Источник вида
~
F ( t )( x1 , x2 , x3  x3* ) (1)
в начальный момент времени t = 0 возбуждает в среде упругие колебания.
Источник находится в одном из слоев, то есть x3*  x3k ,k  1, N . Источник вида (1)
служит моделью взрыва.
Продольные и поперечные смещения среды под действием источника (1)
могут быть определены из системы дифференциальных уравнений теории
упругости следующего вида:

 2 m

t 2
 
  ~

 Cmjkl ( x3 ) l   F ( t )
 x1 , x2 , x3  x3* ,
xk 
xm
j ,k ,l 1 x j 
3


m  1,3 , x  ( x1 , x2 , x3 )  R 2  R , t  R .(2)

В начальный момент времени имеют место следующие условия:
m t0  0 , m  1,3 . (3)
Отсутствие нормальных напряжений на поверхности x3= 0 обеспечивают
краевые условия
3
C
k ,l 1
3 jkl
( x3 )
1
xk
 0 , j  1,3 . (4)
x3  0
Считаем, что при переходе через точки разрыва среды поля смещений и
напряжений остаются непрерывными, т.е. в любой точке ( x1 , x2 , x3k ) имеют
место условия склейки
 3
l 
 0 , j
  C3 jkl ( x3 )

xk  xk 0
 k ,l 1
3
 
x3k
 0 , j  1,3 . (5)
Целью настоящей работы является создание метода вычисления величин
u m ( 1 , 2 , x3 , p ) , m  1,3 ,
где функции u m ( 1 , 2 , x3 , p ) есть образ функций u m ( x1 , x2 , x3 ,t ) , p    i - параметр
преобразования Лапласа по временной переменной t, 1 и  2 — параметры
преобразования Фурье по пространственным переменным x1 и x2
соответственно.
Проведем стандартные действия для прямой задачи (2)-(5) с целью
получить задачу для функций um. Учтем известные соотношения для упругих
постоянных Cmjkl(x3)
Cmjkl= Cjmkl= Cmjlk= Cklmj, Cqp= Cmjkl, q=(mj), p=(kl),
(11) → 1, (22) → 2, (33) → 3, (23) = (32) → 4, (13) = (31) → 5, (12) = (21)
→ 6.
Тогда матрица независимых модулей упругости примет вид
симметричной квадратной матрицы C = {C q p } порядка 6:
c11c12c13c14c15c16 
c c c c c c 
 12 22 23 24 25 26 
c13c23c33c34c35c36 


c14c24c34c44c45c46 
c c c c c c 
 15 25 35 45 55 56 
c16c26c36c46c56c66 
После преобразования Лапласа по переменной t, после преобразования
Фурье по переменным x1 и x2


0

u m ( 1 , 2 , x3 , p )   e pt   ( x1 , x2 , x3 ,t )e i( v1x1 v2 x2 ) dx1dx2 dt
приходим к следующей постановке:

  

~
 A
U  iBU   iB'
U  DU  F ( p , x3  x3* ) , (6)
x3  x3
x3

 

 A
U  iBU 
 0 , U  0 , ( x3   ) , (7)

x
3

 x3  0
 

U  iBU   0 , U x3  x3k  0 , k  1, n . (8)
A
 x3
 x3k
Здесь штрих ' обозначает, что матрица транспонированная, и введены
следующие обозначения:
c15c56c55 
c56c25c45 
c55c45c35 
u1 






U  u 2  , A  c45c44c34  , B  1 c14c46c45   1 c46c24c44  ,
c13c36c35 
c36c23c34 
c35c34c33 
u3 
c11c16c15 
c66c26c46 
 2c16 c12  c66 c14  c56 



2
D   E   c16c66c56    2 c26c22c24   1 2 c12  c66 2c26 c25  c46  ,
c15c56c55 
c46c24c44 
c14  c56 c25  c46 2c45 
2
2
1
 1 
0 
~


*
*
*
F ( p , x3  x3 )  F( p )( il1( x3  x3 )  l2' ( x3  x3 )) , l1   2  , l2  0 ,
0 
1 
и c q p = Cqp/p - приведеные модули упругости.
Нетрудно видеть, что матрицы A, D - симметричные, функция F(p) - образ
Лапласа функции F~( t ) .
1.1 Изотропная среда, основные виды анизотропных сред, используемые
в геофизике
Основные модели сред, использующиеся в геофизике:
1) Изотропная среда
c11 c12 c13 0 0 0 
c c c 0 0 0 
 12 11 12

c12 c12 c11 0 0 0 
2
2
2
2

 , c11   p , c12   p  2s , c44  s ,
0 0 0 c44 0 0 
0 0 0 0 c 0 
44


0 0 0 0 0 c44 
здесь  p  (   2 ) /  , s   /  скорости продольных и поперечных волн,
 ,  - параметры Ламе;
2) Трансверсально-изотропная среда (ось бесконечной симметрии
совпадает с осью Ox3)
c11 c12 c13 0 0 0 
c c c 0 0 0 
 12 11 13

c13 c13 c11 0 0 0 
1

 , c66  ( c11  c12 ) ;
2
0 0 0 c44 0 0 
0 0 0 0 c 0 
44


0 0 0 0 0 c44 
3) Кубическая среда (оси симметрии совпадают с осями координат)
c11 c12 c13 0 0 0 
c c c 0 0 0 
 12 11 12

c12 c12 c11 0 0 0 

;
0 0 0 c44 0 0 
0 0 0 0 c 0 
44


0 0 0 0 0 c44 
4) Орторомбическая среда (оси симметрии совпадают с осями координат)
c11 c12 c13 0 0 0 
c c c 0 0 0 
 12 22 23

c13 c23 c33 0 0 0 

;
0 0 0 c44 0 0 
0 0 0 0 c 0 
55


0 0 0 0 0 c66 
5) Моноклинная среда (плоскость симметрии совпадает с плоскостью
Ox2x3)
c11 c12 c13 0 0 c16 
c c c 0 0 c 
26 
 12 22 23
c13 c23 c33 0 0 c36 

.
0
0
0
c
c
0
44
45


0 0 0 c c 0 
45 55


c16 c26 c36 0 0 c66 
При смене системы координат меняются упругие коэффициенты по
следующему правилу:
1, k  1,2,3
cmnqms qnr , k  
m 1 n 1 m n
0.5, k  4 ,5,6.
где постоянные qsr и косинусы углов  j ,  j ,  j (j = 1, 2, 3) между осями
c~sr sr
6
6
1
  
старой и новой системой координат приведены в Таблице 1.
Таблица 1 Косинусы углов между осями старой и новой системами
координат, постоянные qsr
y1
y2
y3
qnm
x1
α1
α2
α3
x2
β1
β2
β3
1
x3
γ1
γ2
γ3
2
3
4
5
6
12
 22
 32
12
 22



 32
1
2
3
4
β1 γ1
β2 γ2
β3 γ3 β2
5
γ1 α1
γ2 α2
γ3 α3
6
α1 β1
α2 β2
α3 β3
2
1
2
2
2
3
2 α2 α1
2 β2 β3
2 γ2 γ3
β2 γ3+ β3
γ2
γ2 α3+ γ3
α2
α2 β3+ α3
β2
2 α3 α1
2 β3 β1
2 γ3 γ1
β1 γ3+ β3
γ1
γ1 α3+ γ3
α1
α1 β3+ α3
β1
2 α1 α2
2 β1 β2
2 γ1 γ2
β1 γ2+ β2
γ1
γ1 α2+ γ2
α1
α1 β2+ α2
β1
1.2 Система дифференциальных уравнений теории упругости для
смещений для изотропной среды в цилиндрической системе координат
Поскольку функции  ,  p и  s зависят только от x3, то система уравнений
упругости может быть записана в цилиндрической системе координат в
следующем виде:
(9)
Здесь принято во внимание, что источник (1) в цилиндрической системе
координат имеет вид
1
' ( r )( x3  x3* ) ,

и введены обозначения
Применяя к системе (9) преобразование Фурье-Бесселя по
пространственной переменной т [4, 5] и преобразование Лапласа по
временноой переменной t
приходим к следующим уравнениям:
(10)
Здесь введены обозначения:
Краевые условия получаем в следующей форме:
(11)
В точках разрыва среды имееют место следующие условия склейки:
(12)
Нетрудно видеть, что постановка прямой задачи (10)-(12) подобна
постановке прямой задачи (6)-(8).
Будем считать, что
,
где U1 и U2 вектор-функции, каждая в своей области определения
удовлетворяющая системе (6).
Обобщенная производная будет равна:
и нетрудно получить
Подставим данные выражения в систему (6), придём к равенству:
Следовательно, приравнивая коэффициенты при дельта-функции и её
производной, получим условия склейки в точке x*3, тогда постановку (6)-(8)
можно переписать в следующем виде:
(13)
(14)
(15)
(16)
2 Метод послойного пересчёта в применении
дифференциальных уравнений теории упругости
Введем квадратную матрицы S и X порядка 3
соотношениями:
A
A
к
системе
следующими

U  iBU  XU , x3  x3* ,
x3

U  iBU  SU , x3  x3* .
x3
(17)
Подставим (17) в (13) и найдем дифференциальное уравнения, которым
удовлетворяют матрицы X и S. Оно может быть записано в следующей
форме:
d
X  ( X  iB' ) A 1 ( X  iB )  D , x3  x3* ,
dx3
(18)
d
S  ( S  iB' ) A 1 ( S  iB )  D , x3  x3* .
dx3
Условия склейки (8), равенство (17) дают в силу произвольности векторфункции U условия склейки для матрицы X, как решения матричного
дифференциального уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами на
отрезке x3  x3* , x3N , в следующем виде:
X x  0 . (19)
То же самое условие склейки имеет место и для матрицы S в своей
области определения.
Пусть x3  x3m 1 , x3m , m — любое натуральное число из 1, N . Для каждого
 
такого интервала матрицы A, D, B , B являются постоянными. Пусть известно
частное решение дифференциальному матричному уравнению Риккати (18).
Обозначим его за R. Положим X = Z + R. Тогда уравнение для матрицы Z
имеет вид дифференциального матричного уравнения Бернулли
k
3


d
Z  ZA 1 Z  CZ  ZC  0 , (20)
dx3


-1
C = А (R — iB),
C = ( R + iB')A-1. (21)
Решение дифференциального матричного уравнения Бернулли строится
следующим образом. Введем матрицу L=Z-1. Нетрудно проверить, что
матрица L будет удовлетворять матричному уравнению
 
d
L  A 1  LC  CL ,
dx3
 
решение которого, если матрицы А, C , C постоянные, на отрезке x3m 1 , x3m

дается формулой

Le

C ( x3  x3m )
x3

 

m
m
m
 Lm   e  C ( s  x3 ) A 1e C ( s  x3 ) ds  e C ( x3  x3 ) , (22)


x3m
где Lm — известное значение матрицы L в точке x3m.
Таким образом, зная матрицу L и R, определяем матрицу X на [x3m-1, x3m],
т.е. вопрос решения данного матричного уравнения, сводится к умению
находить частное решение дифференциального матричного уравнения
Риккати и определять начальные условия на интервале, на котором данное
матричное уравнение решается.
Заметим, что решение матричного уравнения Риккати
(X + iB')A-1(X — iB) = D (23)
является частным решением дифференциального матричного уравнения
Риккати (18).


Нетрудно видеть, что для матриц C и C , введенных соотношениями (21),
уравнение (23) примет вид
 
CAC  D . (24)


Матрицы C и C связаны соотношениями




X  AC  iB , X  CA  iB' , C  ACA 1  i( B  B' ) A 1 . (25)


Заменяя в (24) матрицу C ее выражением через матрицу C из (25),
приходим к следующему уравнению:


AC 2  i( B  B' )C  D  0 . (26)

Известно, собственные числа матриц C , удовлетворяющих уравнению
(26), должны удовлетворять уравнению
det[Aλ2 + i(B + B' ) λ - D] = 0. (27)
Нетрудно видеть, что уравнение (27) есть ни что иное, как
характеристическое уравнение для системы (6), которое является
алгебраическим уравнением шестого порядка.
Известно, что в анизотропной среде в общем случае распространяется три
волны — две квазипоперечных и одна квази-продольная. Шесть собственных
чисел (решений уравнения (27)) должны распасться на две группы: три
собственных числа λj ( j =1,3 ) будут иметь положительную действительную
часть, а три λj (j = 4,6 ) - отрицательную. Это объясняется тем, что в среде
распространяются два вида волн: падающие и отраженные. В некоторых
случаях происходит слияние квазипоперечных волн и в среде
распространяется две волны: поперечная и продольная. Математически это
будет проявляться в том, что два корня λ1 и λ2 могут совпадать, а корень λ3
будет всегда отличен от корней λ1 и λ2. Примером этому может служить
изотропная среда. В ней распространяется две волны — продольная и
поперечная, скорость продольной волны всегда больше поперечной.
Характеристическое уравнение (27) для изотропной среды имеет вид
( 2  21 )2 ( 2  23 )  0 .
Итак, решая задачу (27), имеем шесть корней: три с положительными и
три с отрицательными действительными частями.
Из возможных различных троек чисел λk, k = 1,6 , выберем только две:
первая тройка будет содержать только λk с отрицательными
действительными частями, вторая тройка будет содержать только те λk,
которые имеют только положительные действительные части.
Почему мы останавливаем наш выбор только на этих тройках? Если
~
некоторая вектор-функция U для x3 > 0 является решением уравнения


U  CU ,
x3

и если матрица C имеет все собственные числа с положительными
действительными частями, то
lim U   ,
x3m 

а если матрица C имеет все собственные числа с отрицательными
действительными частями, то
lim U  0 .
x3m 
Обозначим


X (m )  AC  iB , X (m )  AC  iB (28)

где матрица C строится с использованием набора собственных чисел с
положительными
и
отрицательными
действительными
частями
 
соответственно, индекс m означает, что значения матриц A, D, C , C берутся
на интервале [x3m-1, x3m].
Таким образом, если в точке x3N + 0 положить
X = X(-)N+1
то в подстилающем слое x3N ,  решение ДМУР будет постоянным,
вектор-функция U будет затухать на бесконечности, что отвечает второму
краевому условию (14).
В силу условия склейки (19) известно краевое условие XN для решения
дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале [x3N-1, x3N].
Решив дифференциальное матричное уравнение Риккати на этом интервале,
знаем значение матрицы X в точке x3N-1 + 0. Используя условия склейки (19),
получаем краевое условие X N - 1 для решения дифференциального матричного
уравнения Риккати на интервале [x3N-2, x3N-1], и так далее, то есть переходим со
слоя на слой справа налево.
В качестве частного решения дифференциального матричного уравнения
Риккати (18) на интервале [x3m-1, x3m] возьмем матрицу X (+)m.
Таким образом, имеем решение дифференциального матричного
уравнения Риккати в следующем виде:
X  X (m )  L1 , (29)
Le

C ( x 3  x 3m )
(X X
m

m
1 C ( x 3  x 3m )
()
) e
e

C ( x 3  x 3m )
 x3  m
 

 e  C ( s  x3 ) A1e  C ( s  x3m )ds eC ( x3  x3m ) .
 m

 x3

Действуя аналогичным образом, можем получить для решение
дифференциального матричного уравнения Риккати на отрезке [x3n-1, x3n] для
послойного пересчёта слева направо:
S  S(m )  L1 , (30)


n 1
n 1
L  e C ( x3  x3 ) ( S n 1  S(n ) )1 e C ( x3  x3
)
 x3
 


n 1
n 1
n 1
n 1
 e C ( x3  x3 )   e C ( s  x3 ) A 1e C ( s  x3 ) ds e C ( x3  x3 )
 n1

 x3

В силу первого краевого условия (14) S0 = S(0) = 0, т.е. известно краевое
условие для решения дифференциального матричного уравнения Риккати на
интервале [x30, x31]. Решив дифференциального матричного уравнения
Риккати на этом интервале, знаем значение матрицы S в точке x31-0.
Используя условия склейки (19), получаем краевое условие S1 для решения
дифференциального матричного уравнения Риккати на интервале [x31 , x32], и
так далее, т.е. переходим со слоя на слой слева направо.
3 Решение системы дифференциальных уравнений теории упругости в
любой точке x 3 и след решения в точке x 3 =0
Из условий склейки (16) в точке x3* и определения матриц X и S (18)
получим
X * U x  x  0  S * U x  x  0  l3 (31)
3
U
где
*
3
x3  x*3  0
3
U
*
3
x3  x*3  0
 l4 ,

l3  iF ( p )( BA1l1  l2 ) , l4   F ( p ) A1l1 .
Из (31) получим
U
x3  x*3  0
U
x3  x*3  0
 ( X *  S*)1 ( l3  X * l4 ) , (32)
 ( X *  S*)1 ( l3  S * l 4 ) (33)
т.е. получили краевые условия, чтобы решить дифференциальные
уравнения (17). Рассмотрим первое из них и решим его на интервале [x3m-1,
x3m]. Имеем задачу

U  A 1 ( X ( x3 )  iB )U  0 , U
x3
x3  x3m1  0
 U m 1 . (34)
Очевидно, если x3*  x3j 1 , x3j  , то для дифференциального уравнения (34)
необходимо взять начальное условие U x  x  0 , значение которого вычислено в
3
*
3
(32).
На интервале x3m 1 , x3m  имеем представление X  X (m )  Z , следовательно,
дифференциальное уравнение (34) перепишется


U  A 1 ZU  CU  0 . (35)
x3
Умножим (35) слева на матрицу Z, получим
Z


U  ( ZA 1 ZU  ZCU )  0 . (36)
x3
Заменим выражение в скобках на выражение, следующее из (20),
получим:



U U
Z  CZU  0
x3
x3
Z
или


( ZU )  C( ZU )  0 . (37)
x3
Следовательно,

m 1
ZU  e C ( x3  x3 ) Z m1U m1
или

m 1
U ( x3 )  L( x3 )e  C ( x3  x3
)

( X m1  X (m ) )U m1 , x3  x3m1 , x3m
Если x3 = x3m, то

m 1
U m  U ( x3m )  ( X m  X (m ) )1 e  C ( x3  x3
)
 (38)
( X m1  X (m ) )U m1 , (39)
т.е. получили рекурентную формулу. На интервале [x3*, xi3] имеем

U ( x3 )  L( x3 )e C ( x  x ) ( X *  X (1 ) )U x  x 0 ,
3
*
3

1  C ( x13  x*3 )
U 1  ( X 1  X (1 ) ) e
3
( X *  X (1 ) )U
*
3
x3  x*3 0
.
Если необходимо вычислить решение системы дифференциальных
уравнений теории упругости до точки x3*, то можно действовать так же, как и
выше, следовательно, можно получить:

U ( x )  L( x )e  C ( x  x ) ( S n  S n )U n , x  x n1 , x n  (40)
3
3
Если x3 =
x3n-1,
U
n
3
()
3
то
n 1

3
3
3
 U ( x3n1 )  ( S n1  S(n1) )1 e C ( x3  x3 ) ( S n  S(n ) )U n , (41)
n
Т.о., если источник лежит в первом слое, то:

U 0  ( S(1 ) )1 eCx3 ( S *  S(1 ) )U
*
x3  x*3 0
, (42)
здесь учтено, что S0 = 0.
4 Порядок вычислений при нахождении следа в точке x 3 = 0
Для определенности будем считать, что точка x3*  0, x31  .
Для определения U ( 1 ,2 ,0, p ) выполняем следующие действия:
• Для системы дифференциальных уравнений теории упругости в
полупространстве x3N ,   находим корни характеристического
уравнения (43) методом Хичкока.
• Выбираем три из шести корней характеристического уравнения с

отрицательными действительными частями и строим матрицу C , а по
ней строим матрицу X (N ) (см. (28)), в силу условий склейки (19)
матрица X (N ) будет равна матрице XN, которая является начальным
условием для решения дифференциального матричного уравнения
Риккати, выраженного формулой (29), на интервале x3N 1 , x3N .
• Для определения матрицы X в точке x3  x3k  0 (k  N - 1,1 ) выполняем
следующие действия:
 Для системы дифференциальных уравнений теории упругости
на
интервале x3k 1 , x3k  находим корни характеристического уравнения (43)
методом Хичкока.
 Выбираем три из шести корня характеристического уравнения с


положительными действительными частями и строим матрицы C и C , а по
ним строим матрицу X (k ) (см. (28). Таким образом, на этом шаге имеем


матрицы C , C , X (k ) и с предыдущего шага имеем матрицу X k .
 Вычисляем матрицу I, положив x3  x3k 1 (см. параграф 5.3), и,
следовательно, имеем по формуле (29) решение дифференциального
матричного уравнения Риккати X в точке x3  x3k 1  0 .
 В силу условий склейки (19) имеем значение X k 1 для следующего
интервала.
 Повторяем данные действия, пока k  2 .
• После предыдущих действий имеем значение матрицы X в
точке x3  x31  0 , а в силу условий склейки (19) имеем матрицу X1 .
• Для системы дифференциальных уравенний теории упругости на
интервале [0, x31 ] находим корни характеристического уравнения (43)
методом Хичкока.
• Выбираем три из шести корня характеристического уравнения с


положительными действительными частями и строим матрицы C и C ,
а по ним строим матрицу X (1 ) (см. (28)), таким образом, на этом шаге




имеем матрицы C , C , X (1 ) и с предыдущего шага имеем матрицу X 1 .
• Вычисляем матрицу I, положив x3 = x3* (см. параграф 5.3), и,
следовательно, вычисляем по формуле (29) решение дифференциального
матричного уравнения Риккати X в точке x3 = x3*, т.е. получаем матрицу X * .
• Используем три оставшихся корня характеристического уравнения с


отрицательными действительными частями и строим матрицы C и C ,
а по ним строим матрицу S(1 ) (см. (28)), таким образом, на этом шаге
имеем матрицы C , C , S(1 ) и имеем матрицу S0 = 0. Значение матрицы S* даёт
формула (30), если положить x3 = x*3.
• Вычислим значение U x  x 0 по формуле (32).
*
3
3
• Вычислим значение U x 0 по формуле (42).
3
Для
численного
решения
обратной
задачи
для
системы
дифференциальных уравений теории упругости для горизонтально-слоистой
однородной анизотропной среды, когда дополнительная информация задана
на поверхности x3 = 0 и источник сейсмических колебаний находится в
первом слое, порядок вычисления значений U( 1 , 2 ,0, p ) полностью описан. Если
источник лежит не в первом слое, а в любом другом, то очевидно, как
данный порядок действий может быть изменён.
5 Решение вычислительных проблем
Можно сформулировать три основных вычислительных проблемы:
Проблема 1: Численное определение корней характеристического
уравнения системы (6).


Проблема 2: Вычисление матриц C и C .
Проблема 3: Вычисление значений решения дифференциального
матричного уравения Риккати по формулам (29) и (30).
5.1 Решение Проблемы 1
Метод решения прямой задачи (13)-(16) разрабатывается для численного
решения обратной задачи для системы дифференциальных уравнений теории
упругости, для задач математического моделирования волновых полей в
горизонтально-слоистых однородных изотропных и анизотропных средах.
Эти задачи требуют многократного решения прямой задачи. Таким образом,
очевидно требование к алгоритму нахождения корней характеристического
уравнения: численный алгоритм должен позволить вычислять их быстро и с
приемлемой точностью. От скорости счета по этому алгоритму зависит
скорость счета при решении прямой задачи и, следовательно, других задач на
ее основе.
Каким образом удовлетворить данное требование?
Поскольку метод нахождения корней характеристического уравнения
является итерационным, то важна скорость сходимости данного метода.
Желаемая скорость сходимости метода — скорость сходимости метода
Ньютона. Второй немаловажный фактор — скорость решения задачи
итерационным методом и выбор начального приближения. Чем лучше
выбрано начальное приближение, тем меньше необходимо итераций для
достижения решения с выбранной точностью. Для того чтобы выбрать такое
начальное приближение, необходимо проанализировать априорную
информацию о решении задачи. Выбранный метод итерационного решения
задачи должен позволить учесть данную априорную информацию.
Проведем необходимое исследование.
Система (13) имеет постоянные коэффициенты, и, следовательно, ее
решение может быть получено в виде комбинации матричных экспонент, для
чего необходимо найти все решения характеристического уравнения данной
системы
det[Aλ2 + iBλ-D] = 0. (43)
Уравнение (43) может быть представлено в виде
a6 6  ia55  a4 4  ia33  a2 2  ia1  a0  0 . (44)
Здесь коэффициенты уравнения имеют вид
а6 = det A,
a5 = det{AAB} + det{ABA} + det{BAA},
a4
= det{AAD} + det{ABB} + det{ADA} + det{BAB} + det{BBA} +
det{DAA},
a3 = det{ABD} + det{ADB} + det{BAD} + det{BBB} + det{BDA} +
det{DAB} + det{DBA},
a2 = det{ADD} + det{BBD} + det{BDB} + det{DAD} + det{DDA} +
det{DBB},
a1 = det{DDB} + det{DBD} + det{BDD},
а0 = det D,
где для краткости введено обозначение
A11 A12 A13
det{ABD}  B21 B22 B23 ,
det{BBB} = det B,
D31 D32 D33
и Aij, Bij и Dij являются компонентами матриц A, B и D соответственно.
Для решения уравнения (44) может быть использован метод Хичкока [7]
выделения многочлена меньшей степени из исходного многочлена.
Выделим многочлен второго порядка из многочлена шестого порядка.
Разделим уравнение (44) на первый коэффициент c 6 и представим уравнение
в следующем виде:
λ6 + d5λ5 — d4λ4 — d3λ3 + d2λ2 + d1λ — d0 = (λ2 + rλ + q)( λ4 + S1λ3 + s2λ2 +
s3λ + s4) + Rλ + Q.
Здесь введены обозначения:
R  b4  s4 r
,

Q  d 0  s4 q
s4  b3  s3 r s3  b2  s2 r
, 
,

b4  d1  s3 q b3  d 2  s2 q
s2  b1  s1r
,

b2  d 3  s1q
s1  d 5  r
.

b1  d 4  q
Нетрудно видеть, что R = R(r, q) и Q = Q(r, q).
Согласно методу Хичкока ищутся такие r и q, для которых
R(r,q)=0,
Q(r,q)=0. (45)
Для поиска решения системы (45) используется метод Ньютона
r k 1  r k  
1
 k 1    k   
q
 q  Rr Qq  Rq Qr
Qq - Rq   R 

 
 Qr Rr  Q 
Частные производные Rг, Qq, Rq, Qr и значения функций R, Q взяты в
точке (r{k},q{k}), частные производные вычисляются по формулам:
Rr = -s4 - qr2 –rr3, Rq = r3, Qr = -qr3, Qq = -a4 - qr2,
r1 = r -s1,
r2 = q - s2 - rr1,
r3 = -s3 - qr1 — rr2.
Для того чтобы итерационный процесс Ньютона сходился, необходимо
выбрать начальное приближение (r{0},q{0}) достаточно близко к решению. От
выбора точки начального приближения зависит как сходимость процесса
минимизации метода Ньютона (см., например, [6]), так и количество итераций, необходимых для достижения точки минимума с необходимой
точностью.
Рассмотрим уравнение λ2 + rλ + q = 0, очевидно, что r =-(λ1 + λ2) и q = λ1λ2
(здесь λj - корни квадратного уравнения).
Принимая во внимание исследование корней из [3], выберем начальное
приближение для величин r и q в следующем виде:
r0 = 0,
q0 = - (р2/сзз + v2). (46)
Данный выбор обусловлен следующими соображениями: из [3] известно,
что решения характеристического уравнения (43) изменяются в узких
пределах. Для изотропной среды матрица A имеет вид
2s 0 0 


A  0 2s 0 
0 0 2 
p

и характеристическое уравнение (44) имеет следующие корни: пару
корней
два
и
пару
простых
   p 2 / 2s   2 кратности
корней    p 2 / 2p   2 .
Таким образом, выбор начального приближения в форме (46) есть точные
значения для r и q в случае изотропной среды для простых корней
   p 2 / 2p   2 .
Тестирование алгоритма проводилось для трансверсально-изотропной
среды, когда ось симметрии бесконечного порядка принадлежит плоскости
OX1X2. В этом случае характеристическое уравнение (44) является
бикубическим и его корни могут быть вычислены при помощи формул
Кардано.
Шаги алгоритма вычисления корней характеристического уравнения
системы дифференциальных уравнений теории упругости следующие:
• Методом Хичкока ищутся значения т и q, которые решают систему
уравнений (45). Итерационный процесс Ньютона прерывается на k-ом шаге,
когда
|R(r{k},q{k})| + |Q(r{k},q{k})|  е (47)
• Полученные уравнения четвертого λ 4 + s1 λ 3 + s2 λ 2 + s3 λ + s4 = 0 и
второго λ2+rλ+q=0 порядков дают корни характеристического уравнения.
Для решения уравнений четвертого порядка использовались формулы
Феррари.
Тестирование алгоритма проводилось следующим образом. Выбирались
конкретные значения приведенных модулей упругости ckm и параметров α, v1
и v2 из соответствующих интервалов. Для данных значений вычислялось
2000 значений при изменении временной частоты f из соответствующего
интервала. При вычислениях в (47) положили е = 10-16.
Результат тестирования: при всех численных экспериментах для всех
вычисленных корней характеристического уравнения ошибка вычислений
присутствовала не ближе 8-12 знака после запятой, для метода Хичкока
требовалось 4-6 итераций. Проводились расчеты для однородных
орторомбической и трансверсально-изотропной среды с осью симметрии
бесконечного порядка, имеющей произвольное направление. Количество
итераций алгортма Хичкока также не превышало 3-5 для интересующей нас
области временныох и пространственных частот. Для данных видов
анизотропии
невозможно
иметь
точные
значения
корней
характеристического уравнения, так как характеристическое уравнение
является полным уравнением шестого порядка. Контроль правильности счета
можно осуществить только косвенно. Например, найденные корни при
подстановке в уравнение (44) давали величины, модуль которых меньше 10 16 ;
или выведенные графики действительных и мнимых частей вычисленных
корней для различных значений временныо х и пространственных частот
имели аналогичный характер поведения, как и у графиков для
действительных и мнимых частей корней для трансверсально-изотропной
однородной среды с осью симметрии бесконечного порядка, расположенной
в плоскости Ox1x2 — поведение графиков было гладким, отсутствовали
неожиданные выбросы значений.
Возможен иной выбор начального приближения, например:
r{0} = 0, q{0} = -(p2/ λ (A) + v2). (48)
где λ(A) — максимальное собственное значение матрицы А. В случае
изотропной среды ( A )  2p . Таким образом, выбор начального приближения
в форме (48) также есть точные значения для r и q в случае изотропной среды
для простых корней    p 2 / 2p   2 .
Тестирование показало, что нет преимуществ выбора начального
приближения в виде (48) перед выбором в виде (46). В этой связи выбор
начального приближения в виде (46) более предпочтителен, поскольку нет
необходимости численного решения уравнения третьего порядка.
5.2 Решение Проблемы 2
В своей классической монографии [8, с. 197] Гантмахер Ф.Р. указал, что,
к сожалению, единственный способ, который он может предложить для
решения матричного уравнения типа (26), который приводит к долгим и
трудным вычислениям, которые для нас не приемлемы. В работе [9] решение
уравнения вида (26) сводится к задаче, которая решается QR-алгоритмом,
который в наших условиях приводит к бесконечно долгому итерационному
процессу. По этим причинам не будем искать общего решения задачи (26), а

предложим алгоритм определения матрицы C , применимый к нашей
конкретной ситуации.
Итак, предполагаем, что корни λj (j =1,6 ) характеристического уравнения
(43) уже вычислены. Пусть
 0  1 2  3 , 1  1 2  1 3   2  3 , 1  1   2   3 ,

где  j  0 (j  1,3 ) собственные числа матрицы C и такие, что Re λj>0.
Нетрудно видеть, что Re μ2 > 0 и 0  0 .
По теореме Гамильтона-Кэли [8] характеристический многочлен матрицы
является аннулирующим для этой матрицы. Таким образом, из этой теоремы

и матричного уравнеия (26) имеем, что матрица C удовлетворяет двум
матричным уравнениям:




C 3   2C 2  1C1  0 E  0 и AC 2  i( B  B' )C  D  0 . (49)
Умножим первое уравнение из (49) слева на матрицу А, умножим второе

матричное уравнение справа на C и вычтем из первого. Получаем


C 2  ( 2 A  i( B  B' ))1( 1 A  D )C  0 ( 2 A  i( B  B' ))1 A  0 (50)
Умножим уравнение (50) слева на матрицу А и вычтем его из второго
уравнения (49), получаем:

1
C  i( B  B' )  A(  2 A  i( B  B' ))1( 1 A  D ) D   0 A(  2 A  i( B  B' ))1 A. . (51)


Данное представление матрицы C тестировалось численно: матрица C
вычислялась по формуле (51), после чего вычислялись ее собственные числа
и сравнивались с теми, которые были заданы для построения величин μj (j
= 1,3 ) для первого уравнения из (49). Ошибка присутствовала не ближе 15-16ого знака после запятой.


Зная матрицу C , матрицу C можно найти при помощи соотношения (24)
или третьего соотношения(25).
Утвержение: Количество отрицательных и положительных значений


действительных частей собственных чисел матриц C и C совпадает [3].

В частности, если у матрицы C все собственные числа имеют

положительные действительные части, то матрица C имеет все собственные
числа с положительными действительными частями.
5.3 Решение Проблемы 3


Пусть матрицы C и C вычислены.
Согласно [10] матричная экспонента eCh (h = x 3 — x 3 m ) без
использования жордановой формы матрицы (7 может быть представлена в
виде
,
где 1) если
, то
,
или 2) если
, то
.
Данная форма записи матричной экспоненты не зависит от предельного
перехода 1   2 , как зависит от него форма матричной экспоненты,
записанная с использованием жордановой формы матрицы.
Далее. Обозначим второе слагаемое матрицы L из (29) через I:
.
Составим
следующую
комбинацию:
Воспользуемся
перестановочностью матричной экспоненты со своей матрицей. После
несложных преобразований получаем:


CI + IC .
(52)

~
~
Пусть Ij и C j - j-ый вектор-столбец матрицы J и C соответственно, Ckn 
элементы матрицы C . Задача (52) эквивалентна задаче для матрицы и
векторов девятого порядка:
(53)
Специальный вид матрицы в (53) может позволить применить
следующий алгоритм определения матрицы I.
Перепишем (53) в виде системы для вектор-столбцов Ij (j = 1,3 ):
Вычтем последнее уравнение, умноженное на соответствующие матрицы,
из первого и второго уравнения, также умноженных на соответствующие
матрицы. Получим:
где введены следующие квадратные матрицы и вектор-столбцы третьего
порядка:
Откуда сразу следует, что
Данный алгоритм применим, когда соответствующие матрицы имеют
отличные от нуля детерминанты.
5.4 Решение алгебраических уравнений 3-его и 4-ого порядков
Имеем алгебраическое уравнение третьего порядка.
Подстановкой x = y - a/3 приводим данное уравение к "неполному" виду
где
Решение уравнения даются выражениями:
где
В качестве А и B берутся любые значения кубических корней из
соответсвующих комплексных чисел, удовлетворяющих соотношению AB = p/3.
Способ решения кубического уравнения, приведённый выше, называется
решением Кардано.
Имеем алгебраическое уравнение четвёртого порядка
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Пусть y1 — произвольный корень следующего кубического уравнения:
y3 - by2 + (ac - 4d)y - a2d + 4db - c2 = 0,
тогда корни этого уравнения находятся как корни двух квадратных
уравнений:
где подкоренное выражение является полным квадратом.
Способ решения алгебраического уравнения четвёртого порядка,
приведённый выше, называется решением Феррари.
По вопросам численого решения алгебраических решений можно
обратитьсся, например, к [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. А.Л. Карчевский, К.Т. Искаков, Б.Б. Шолпанбаев, Метод послойного
пересчёта для решения обратных задач геофизики,
2. Карчевский А.Л., Метод численного решения системы упругости для
горизонтально слоистой анизотропной среды // Геология и Геофизика, 2005,
т. 46, № 3, с. 339-351. (Перевод: Karchevsky A.L., A numerical solution to a
system of elasticity equations for layered anisotropic media // Russian Geology and
Geophysics, 2005, v. 46, n. 3, p. 339-351.)
3. Карчевский А.Л., Прямая динамическая задача сейсмики для
горизонтально-слоистых сред // Сибирские Электронные Математические
Известия, 2005, т. 2, с. 23-61. (pdf-файл: http://semr.math.nsc.ru/v2/p23-61.pdf)
4. Петрашень Г.И., Распространение упругих волн в слоистых
изотропных средах, разделенных параллельными плоскостями // Ученые
записки ЛГУ, 1952, v. 162.
5. Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В., Волны в слоистых
однородных изотропных средах. Л.: Наука, 1982.
6. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И., Вычислительные
методы высшей математики. Минск: Высшая школа, в двух томах, 1972.
7. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. М.: Наука, изд. 3-е, в
двух томах, 1966, 632 c.
8. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц. М.: Наука, изд. 4-ое, 1988, 548 c.
9. Икрамов Х.Д., Численное решение матричных уравнений. М.: Наука,
1984, 200 c..
10. Годунов С.К., Матричная экспонента, матрица Грина и условия
Лопатинского. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983, 77 c.
Карчевский А.Л., Искаков Қ.Т., Оралбекова Ж.О., Мирғалиқызы Т.
Горизонталь қабатты орта үшін жиіліктік аймақтағы сейсмиканың тура динамикалық есебін сандық
шешуге арналған формулалар
Бұл жұмысты осы жинақтың [1] жұмысының жалғасы ретінде қарастыруға болады. Сейсмиканың кері
диеамикалық есебін шешу кезінде келесі түрдегі ақпарат белгілі деп есептеуге болады:
u1,0 
 
U 0  u2 ,0 
u 
 3 ,0 
вектор-функция u1,0 ,u2 ,0 және u3,0 тұрады, жер бетіндегі ығысу
векторының компоненті блып табылады; p    i - уақыт айнымалысы бойынша Лаплас
түрлендіруінің параметірі; 1 мен  2 -горизонталь айнымалылар бойынша Фурье турдендіруінің
параметрлері.
мұндағы,
U 0 ( 1 ,  2 , p )
Сейсмиканың сандық кері динамикалық есебі үйлеспеушілік функционалының минизациясы көмегімен шешуге
болады:
3
2
Ô   u j ( 1 ,  2 ,0, p )  u j ,0 ( 1 , 2 , p ) .

j 1
Karchevskiy A.L., Iskakov K.T., Oralbekova Zh.O., Mirgalikyzy T.
Formulas for numerical decision of the direct dynamic problem seismicity in frequency
area for horizontally-flaky ambiences
Givenned work possible to consider as continuation of the work [1] this collection. At
decision of the inverse dynamic problem seismicity possible to consider that known information
of the following type:
u1,0 
 
U 0  u2 ,0 
u 
 3 ,0 
where vector-function U 0 ( 1 ,  2 , p ) consists of u1,0 ,u2 ,0 and u3,0 which are a component of the
vector of the offsets on surfaces of the land, p    i - a parameter of the transformation
Laplas on time variable, 1 and  2 - a parameters of the transformation Furie on horizontal
variable.
Numerically inverse dynamic problem seismicity can dare at minimization function:
3
Ô   u j ( 1 ,  2 ,0, p )  u j ,0 ( 1 , 2 , p )

2
j 1
Minimization requires the frequentative decision of the direct problem i.e. velocity of the
decision of the inverse problem stright depends on velocities of the decision of the direct
problem, consequently, necessary to build the quick algorithm of the decision of the system of
the differential equations to theories to bounce. For this purpose we shall choose horizontallyflaky model of the ambience and method layer recalculation for decision of the direct problem
[2, 3]. All got below formulas will be recorded so that at layer recalculation mistake of the
calculations was not accumulated.