Построение графика функций  = (−)
1. Построим график функции  = (−) по известному графику функции
 = (). Рассмотрим, как можно осуществить это построение на примере
функции () = √ , то есть по графику функции  = √ построим график
функции  = √−
При x = 2 функция y = √ принимает значение √2. Это же значение
√2 функция  = √− принимает при x = −2. При x = 4 функция y = √
принимает значение 2, которое функция  = √− принимает при x = −4
(рис. 1). Мы видим, что то же значение, что и y = √ функция  = √−
принимает при противоположном значении аргумента x. Это верно для всех
допустимых значений x: то значение, которое функция √ принимает при
x = 0 , то есть √0 , функция  = √−
принимает при x = −0 .
Действительно, √−(−0 ) = √0 .
Рисунок 1
Рисунок 2
Это означает, что точка (−0 ; √0 ), симметричная относительно оси
ординат  точке (0 ; √0 ), принадлежит графику функции  = √−
(рис. 2). Кроме того, для любой точки этого графика найдется симметричная
ей точка графика функции  = √. Поэтому
график функции  = √−
получается в результате симметрии относительно оси ординат  графика
функции  = √.
Все приведенные выше рассуждения применимы и в общем случае для
построения по известному графику функции  = () графика функции  =
(−). Рассмотрим точку графика  = ()
Симметричная
ей
относительно
оси
с абсциссой (0 ; (0 )).
ординат

точка
плоскости
(−0 ; (0 )) принадлежит графику функции  = (−). Это следует из того,
что координаты этой точки удовлетворяют уравнению  = (−) , так как
(0 ) = (−(−0 )). Значит, при симметрии точки графика функции  =
() получится точка графика функции  = (−). Осталось показать, что
таким образом мы можем получить любую точку этого графика. Для точки
искомого графика с координатами (; (−)) симметричная ей точка имеет
координаты (−; (−)), а, значит, принадлежит графику функции  = ().
Это завершает доказательство следующего способа построения графика
функции  = (−):
(−)
()
Чтобы получить график функции  =
(−)
из
графика
функции
 = ()
необходимо
 отразить симметрично относительно оси ординат Oy график
функции ()
2. Поскольку симметрия относительно оси ординат  не изменяет
ординату точки, то множество значений функции  = (−) совпадает с
множеством значений функции  = () (рис.3). Ордината точки при этой
симметрии приобретает противоположное значение, поэтому область
определения
функции
 = (−)
симметрична
области
функции  = () относительно начала координат (рис.3).
определения
Рисунок 3
3. Пример. Построить график функции  = √2 − .
Решение. Построим сначала график функции  = √ + 2, сдвинув
влево на 2 единицы вдоль оси  график функции  = √. Затем график
функции  = √ + 2 симметрично отразим относительно оси ординат  и
получим
график
функции
 = √− + 2
(рис.4).
Последовательность
построения графиков можно записать в следующем виде:  = √ ⟹  =
√ + 2
⟹  = √− + 2 .
Рисунок 4
Упражнения
1. Приведите примеры функций  = (), для которых графики функций
 = () и  = (−) совпадают. Как называются такие функции?
2. На рисунке изображен график функции y = f(x). Построите график
функции
) (−)
) (− + 1)
3. Постройте схематически график функции .
)  = √−9 + 27 ) = | −  + 1| )  = √− − 1 )  = √8 − 4
4. Найдите функцию, график которой симметричен относительно оси
ординат  графику функции  = ().
)  =  2 − 
+1
) 
= 3 − 2
)  = − 2 + 2
−2
) 
= − − 1
5. Найдите область определения функции  = (−), если известна
область определения функции  = ().
(0; 5]
(−∞; −1]
(−∞; −3) ∪ (3; ∞)
(−∞; ∞)
(−6; 1) ∪ (2; 3)
(−∞; 1)
Скачать

Тема «Построение графика функций y=f(-x)».