Глава 9. Дифференциальные уравнения

ГЛАВА 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
9.1. Понятие о дифференциальном уравнении
Пусть функция y   (x) отражает количественную сторону некоторого явления. Часто мы не можем установить непосредственную зависимость y от x, а можем лишь установить связь между величинами
x и y и производными y, y,, y (n) , т.е. написать дифференциальное
уравнение.
О п р е д е л е н и е 1. Дифференциальным уравнением называется
равенство, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y   (x) и её производные различных порядков y, y,, y (n) :
(9.1)
F ( x, y, y, y,, y (n) )  0 .
Здесь F – некоторая известная функция от своих аргументов. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной y (n) ,
называется порядком дифференциального уравнения. Например, уравнения
(9.2)
y  2 xy 2  0 , y  y  sin x, y  y  0, y (4)  0
являются соответственно дифференциальными уравнениями первого,
второго, третьего и четвёртого порядков. Производная n-го порядка
обязательно входит в уравнение (9.1).
В теории дифференциальных уравнений изучаются и такие уравнения, которые содержат несколько независимых переменных, искомую функцию и её частные производные, например
x z  y z  0, z  z ( x, y ) .
y
x
Такие уравнения называются уравнениями с частными производными. В отличие от них уравнения вида (9.1), (9.2) называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем для
краткости слово «обыкновенные» будем опускать.
Если левая часть уравнения (9.1) линейна относительно

y, y , y,, y (n) , то его можно записать в виде
(9.3)
y (n)  p1 ( x) y (n1)   pn1 ( x) y  pn ( x) y  q( x) .
Линейные уравнения вида (9.3) обладают рядом замечательных
свойств и имеют многочисленные приложения, поэтому их теория является важнейшей и наиболее разработанной частью теории дифференциальных уравнений.
О п р е д е л е н и е 2. Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция y   (x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество, т. е. в верное
180
числовое равенство.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения
называется его интегрированием, а график решения – интегральной
кривой. Часто интегральную кривую также называют решением.
П р и м е р 1. Найти решение уравнения y  3x 2  0 .
Запишем данное уравнение в виде y  3x 2 . Искомая функция, как
известно из интегрального исчисления, есть
(9.4)
y  3  x 2 dx  x 3  С .
Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в
нём значения произвольной постоянной C, будем получать различные
решения. Таким образом, имеется бесконечное множество решений
дифференциального уравнения первого порядка.
П р и м е р 2. Рассмотрим уравнение y  y  0 .
Функции y  sin x, y  2 cos x, y  C1 sin x, y  C2 cos x и вообще
функции вида
(9.5)
y  C1 sin x  С2 cos x
являются решениями данного уравнения при любом выборе постоянных C1 и C 2 . В этом легко убедиться, подставив указанные функции в
уравнение.
О п р е д е л е н и е 3. Общим решением дифференциального уравнения (9.1) n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно переменной x и n независимых произвольных постоянных, т. е.
(9.6)
y   ( x, C1, C2 ,, Cn ) .
Независимость произвольных постоянных означает, что ни одну
из них нельзя выразить через другие и тем самым уменьшить их число.
Таким образом, решения (9.4) и (9.5) дифференциальных уравнений в
примерах 1 и 2 являются общими.
О п р е д е л е н и е 4. Частным решением дифференциального
уравнения (9.1) n-го порядка называется такое его решение, в котором
произвольным постоянным приданы конкретные числовые значения.
В примере 2 частными решениями являются функции y  sin x,
y  2 cos x, т. е. имеется бесконечное множество частных решений.
9.2. Уравнения первого порядка. Основные понятия и
определения
Согласно определению, данному выше, уравнение первого порядка имеет следующий вид:
F ( x, y, y)  0 .
(9.7)
Функция y   (x) , определённая и непрерывно дифференцируе181
мая в интервале (a, b) и обращающая уравнение (9.7) в тождество
F ( x, ( x), ( x))  0 ,
справедливое для всех значений x (a, b) , называется решением уравнения (9.7) в интервале (a, b) . График решения y   (x) является
гладкой кривой.
Ограничимся изучением уравнений первого порядка, которые могут быть записаны в виде, разрешённом относительно производной от
искомой функции:
dy
 f ( x, y ) .
(9.8)
dx
Такую форму уравнения первого порядка называют нормальной.
Установим связь между уравнением (9.8) и его интегральными
кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (9.8) определена и
непрерывна в области D (рис.73), и пусть y   (x) есть интегральная
кривая этого уравнения, проходящая через точку M ( x, y ) .
Проведём касательную к интегральной
y
кривой в точке M и обозначим через
D
 угол, образованный касательной с положительным
направлением оси Ox. Тогда
y  (x)
tg   ( x)  f ( x,  ( x))  f ( x, y) ,
M

так что наклон касательной к интегральной
y
кривой определён заранее самим диффеx
x
ренциальным уравнением.
0
Рис.73
Таким образом, нахождение решений дифференциального уравнения (9.8) означает отыскание всех кривых, в любой точке которых
угловой коэффициент касательной задан этим уравнением. Если в точке M ( x, y ) правая часть уравнения (9.8) обращается в бесконечность,
то надо рассматривать перевёрнутое уравнение
dx  1 ,
(9.9)
dy f ( x, y )
интегральные кривые которого присоединяют к интегральным кривым
уравнения (9.8).
Во многих задачах, которые приводятся к дифференциальным
уравнениям первого порядка, требуется найти решение, принимающее
заданное значение при заданном значении независимой переменной.
Такая задача называется начальной задачей или задачей Коши.
В общем виде для уравнения первого порядка в нормальной форме (9.8) задача Коши ставится так: требуется найти решение y   (x)
уравнения (9.8), удовлетворяющее начальному условию (условию Коши)
182
y  y0 при x  x0 ,
которое можно записать в виде одного соотношения:
y ( x)
x x0
 y0 или
y( x0 )  y0 .
(9.10)
(9.11)
При этом предполагается, что правая часть уравнения (9.8) определена при x  x0 , y  y0 . Геометрически речь идёт о нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку M ( x0 , y0 ) .
Исключительно большое значение для теории дифференциальных уравнений и её приложений имеет вопрос о существовании решения задачи Коши и о единственности этого решения. Можно ли по аналитическому виду правой части уравнения (9.8) и по начальным данным x0 и y0 сделать заключение о существовании и единственности
искомого решения? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема существования и единственности решения.
Т е о р е м а П и к а р а. Если правая часть уравнения (9.8) непрерывна в некоторой окрестности начальной точки ( x0 , y0 ) и имеет
непрерывную в этой окрестности частную производную f y ( x, y) , то
уравнение (9.8) имеет единственное решение y   (x) , определённое в
некоторой окрестности ( x0  , x0  ) точки x0 и удовлетворяющее
начальному условию (9.10).
Пусть D есть некоторая область на плоскости Oxy, через каждую
точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (9.8). Например, можем предполагать, что в окрестности каждой
точки области D выполняются условия теоремы Пикара.
О п р е д е л е н и е 1. Функция
(9.12)
y   ( x, C ) ,
определённая в некоторой области изменения переменных x и C и
непрерывно дифференцируемая относительно x, называется общим решением уравнения (9.8) в области D, если она удовлетворяет двум условиям:
1) равенство (9.12) разрешимо в области D относительно произвольной постоянной:
(9.13)
C   ( x, y) ;
2) функция (9.12) является решением уравнения (9.8) при всех
значениях произвольной постоянной C, доставляемых формулой (9.13),
когда точка ( x, y) пробегает область D.
Знание общего решения (9.12) даёт возможность решить задачу
Коши с любыми начальными данными x0 , y0 из области D за счёт выбора соответствующего значения произвольной постоянной C. Для
этого достаточно заменить в формуле (9.12) переменные x и y числами
183
x0 и y0 , решить полученное уравнение
y0   ( x0 , C )
относительно C и подставить найденное значение C  C0 в общее решение (9.12). Полученная функция
y   ( x, C0 )
и даст искомое решение, причём других решений нет.
О п р е д е л е н и е 2. Общее решение уравнения (9.8), записанное в виде, не разрешённом относительно искомой функции y,
(9.14)
 ( x, y, C )  0 ,
называется общим интегралом этого уравнения.
Часто общий интеграл получают в виде, разрешённом относительно произвольной постоянной C:
(9.15)
 ( x, y)  C .
Левая часть этого равенства называется интегралом уравнения (9.8).
О п р е д е л е н и е 3. Частным решением уравнения (9.8) называется любая функция y   ( x, C0 ) , которая получается из общего решения y   ( x, C ) , если в нём произвольной постоянной C придать
определённое значение C  C0 . Соотношение  ( x, y, C0 )  0 называется в этом случае частным интегралом уравнения.
С точки зрения геометрической общее решение (общий интеграл)
определяет семейство интегральных кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной C (или, как говорят,
от одного параметра C). Частному решению (частному интегралу) соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через некоторую
заданную точку плоскости. Отсюда следует, что решение задачи Коши
является частным решением.
О п р е д е л е н и е 4. Решение y   (x) , в каждой точке которого
нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым решением.
Особое решение не может быть получено из формулы общего
решения (9.12) при конкретном числовом значении произвольной постоянной C. Если правая часть уравнения (9.8) удовлетворяет во всей
области задания условиям теоремы Пикара, то это уравнение, очевидно, не имеет особых решений.
Если функция f ( x, y ) , стоящая в правой части уравнения (9.8),
непрерывна относительно x и y во всей области задания, то особыми
решениями могут быть только те кривые y   (x) , во всех точках которых частная производная f y ( x, y) обращается в бесконечность:
184
f y ( x, y)
y  ( x )
 ∞.
(9.16)
П р и м е р. Рассмотрим уравнение
y   2 y  f ( x, y ) .
(9.17)
Нетрудно убедиться, что функция
y  ( x  C)2 , x  C ,
является общим решением уравнения (9.17) в верхней полуплоскости
( y  0) . Очевидно, правая часть уравнения (9.17) непрерывна во всей
области задания и её частная производная по y обращается в бесконечность при y  0 :
f
 1  ∞ при y  0 .
y
y
Следовательно, только функция y  0 может быть особым решением уравнения (9.17). Чтобы эта функция действительно была особым
решением уравнения (9.17), нужно, во-первых, чтобы она была решением уравнения (9.17), и, во-вторых, чтобы в каждой точке этого решения нарушалась единственность решения задачи Коши. Оба эти
условия выполнены. Следовательно, функция y  0 (ось Ox) является
особым решением уравнения (9.17) (рис.74).
y
y  ( x  C )2
x
0
Рис.74
Интегральными кривыми уравнения (9.17) являются правые ветви
семейства парабол y  ( x  C) 2 , x  C , зависящего от параметра C.
Прямая y  0 (ось Ox) в каждой своей точке касается хоть одной кривой семейства и вся состоит из точек касания. Она называется огибающей семейства парабол. Способы нахождения особых решений разнообразны и в дальнейшем не рассматриваются.
Решить или, как часто говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение – значит:
а) найти его общее решение или общий интеграл (если начальные условия не заданы) или
б) найти то частное решение уравнения, которое удовлетворяет
заданным начальным условиям (если таковые имеются).
Задача интегрирования дифференциального уравнения считается
решённой, если она приведена к операциям нахождения неопределён185
ных интегралов, или, как говорят, приведена к квадратурам, независимо от этого, являются ли берущимися получаемые при этом интегралы или нет. Отметим, что не существует единого метода решения. Разработаны лишь приёмы приведения к квадратурам определённых видов дифференциальных уравнений.
9.3. Уравнения с разделяющимися переменными
Рассмотрим уравнение вида
(9.18)
M ( x) dx  N ( y) dy  0 ,
в котором M (x) , N ( y) – заданные непрерывные функции для рассматриваемых значений x и y. По свойству неопределённого интеграла его
можно записать в форме
d ( M ( x) dx   N ( y) dy)  0 .
Отсюда по свойству дифференциала постоянной функции получаем общий интеграл уравнения (9.18):
(9.19)
 M ( x) dx   N ( y) dy  С .
П р и м е р 1. Найти общий интеграл уравнения
(2x 1) dx  (3 y 2  2 y) dy  0 .
Р е ш е н и е. Используя формулу (9.19), получим
2
2
3
2
 (2 x 1) dx   (3 y  2 y) dy  C или x  x  y  y  C .
Уравнение (9.18) называется уравнением с разделёнными переменными, так как в нём одно слагаемое зависит только от x, а другое –
от y. Обобщением (9.18) является уравнение с разделяющимися переменными
(9.20)
M1 ( x) N1 ( y) dx  M 2 ( x) N 2 ( y) dy  0 ,
особенность которого состоит в том, что коэффициенты при dx и dy
представляют собой произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, другая – только от y.
Поделив слагаемые уравнения (9.20) на «лишние» множители, т. е.
на произведение N1 ( y) M 2 ( x)  0 , после сокращения получим уравнение с разделёнными переменными
M 1 ( x)
N ( y)
dx  2
dy  0 ,
M 2 ( x)
N1 ( y)
общий интеграл которого находится по формуле (9.19):
M 1 ( x)
N 2 ( y)
(9.21)
dx 
dy  C .
M 2 ( x)
N1 ( y )


П р и м е р 2. Решить уравнение x(1 y 2 ) dx  y(1 x 2 ) dx  0 .
Р е ш е н и е. Разделяя переменные посредством деления каждого
члена уравнения на произведение (1 y 2 ) (1 x 2 )  0 , получим
186
x dx  y dy  0 .
1 x2
1 y 2
Интегрируя это уравнение по формуле (9.21), находим
1 ln (1  x 2 )  1 ln (1  y 2 )  ln C .
2
2
Используя свойства логарифмов, полученное равенство преобразуем к виду
(1 x 2 ) (1 y 2 )  C 2 .
Это и есть общий интеграл заданного уравнения.
З а м е ч а н и е. Произвольная постоянная C в общих интегралах
(9.19) и (9.21) для удобства последующих преобразований ответа может вводиться также в формах: ln C , C 2 , arctgC и т.п., т. е. в зависимости от вида получаемых при интегрировании функций.
9.4. Однородные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
О п р е д е л е н и е 1. Функция f ( x, y ) называется однородной функцией степени n, если при любом t выполняется равенство f (tx, ty)  t n f ( x, y) .
В частности, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство
(9.22)
f (tx, ty)  t 0 f ( x, y)  f ( x, y) .
П р и м е р 1. Функция f ( x, y )  3 x 3  y 3 – однородная функция
первой степени, так как
f (tx, ty)  3 (tx)3  (ty)3  t 3 x3  y 3  t f ( x, y) .
П р и м е р 2. Функция f ( x, y)  x 2  2xy есть однородная функция второй степени, поскольку
f (tx, ty)  (tx)2  2 (tx) (ty)  t 2 ( x 2  2xy)  t 2 f ( x, y) .
y
П р и м е р 3. f ( x, y )  x  ln – однородная функция нулевой степени.
y
x
О п р е д е л е н и е 2. Уравнение первого порядка в нормальной форме
dy
 f ( x, y )
(9.23)
dx
называется однородным, если функция f ( x, y ) есть однородная функция нулевой степени.
Покажем, что однородное уравнение (9.23) можно записать в виде
187
dy
y
 ( ) ,
(9.24)
dx
x
где однородная функция нулевой степени зависит только от отношения
её аргументов. Действительно, положив в равенстве (9.22) t  1/ x , получим:
y
y
f ( x, y )  f (1, )   ( ) .
x
x
Однородное уравнение (9.24) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи подстановки
y
u
или, что то же самое, y  u x .
(9.25)
x
Тогда будем иметь:
dy
 u  x du .
(9.26)
dx
dx
dy
Подставляя y и
из формул (9.25) и (9.26) в уравнение (9.24),
dx
получим уравнение с разделяющимися переменными:
u  x du   (u) , или x du   (u)  u ,
dx
dx
du  dx .
 (u )  u x
Интегрируя, найдём общий интеграл в форме:
du
x
du
  (u )  u  ln x  ln C , или ln C    (u )  u .
Подставляя после интегрирования вместо u отношение y / x , получим общий интеграл уравнения (9.24):
(9.27)
x  C e  ( x, y ) .
П р и м е р 4. Решить уравнение ( xy  y 2 ) dx  x 2 dy  0 .
Р е ш е н и е. Преобразуем данное уравнение к нормальному виду
(9.23):
2
dy xy  y 2
, или

dx
x2
dy y  y 
   .
dx x  x 
Произведём подстановку (9.25), (9.26), после чего уравнение
примет вид
u  x du  u  u 2 , или x du  u 2 , или du2  dx .
x
dx
dx
u
Выполняя почленное интегрирование, получим
 1  ln x  ln C , или ln x   x , x  C e x / y .
C
y
u
З а м е ч а н и е. Уравнение вида
188
M ( x, y) dx  N ( x, y) dy  0
(9.28)
будет однородным, когда M ( x, y) и N ( x, y) являются однородными
функциями одной и той же степени. Это следствие того, что отношение двух однородных функций одной и той же степени является однородной функцией нулевой степени.
9.5. Линейные уравнения и уравнение Бернулли
Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида
(9.29)
y   p ( x) y  q ( x) ,
где p (x) и q(x)  заданные непрерывные функции или постоянные.
Интегрирование уравнения (9.29) методом Бернулли
(9.30)
y  u ( x) v ( x) ,
где u ( x), v ( x)  две новые неизвестные функции, одну из которых можно взять произвольной (но не равной нулю), сводит его к интегрированию двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
Дифференцируя обе части равенства (9.30), находим:
(9.31)
y  uv  vu .
Подставляя выражения y и y  в уравнение (9.29), получаем
(9.32)
uv  u [v  p ( x)v]  q ( x) .
Уравнение (9.32) равносильно системе двух уравнений, каждое из
которых содержит лишь одну неизвестную функцию:
v  p ( x)v  0 ,
(9.33)

u v  q ( x) .
Пользуясь произвольностью выбора одной из функций, будем искать v  v (x) как частное решение при C  0 первого уравнения системы. Разделяя в нём переменные и затем интегрируя, получим:
  p ( x ) dx
dv
.
(9.34)
 v   p ( x) dx , ln v   p ( x) dx , v  e
Подставляя найденную функцию v во второе уравнение системы
(9.33), находим его общее решение по определению первообразной и
неопределённого интеграла:
p ( x ) dx
p ( x ) dx
dx  C .
, u   q ( x) e 
(9.35)
u   q ( x) e 
После этого по формуле (9.30) метода Бернулли получаем общее
решение линейного уравнения (9.29) в квадратурах:
y  u v  [  q ( x) e 
p ( x ) dx
dx  C ] e
  p ( x ) dx
189
.
(9.36)
П р и м е р. Решить уравнение y  22 x y  x x 2  1 .
x 1
Р е ш е н и е. Это линейное равнение первого порядка. Полагаем
y  u v , y  uv  vu . Подставляя выражения для y и y  в данное
уравнение, после группировки членов получим


uv  u v  22 x v  x x 2  1 .
x 1 

Запишем систему (9.33):
v  2 x v  0 ,

x2 1

u v  x x 2  1 .

Разделяя в первом уравнении переменные, находим его частное
решение при C  0 :
dv
2x
 v   x 2  1 dx , ln v  ln ( x 2  1) , v  x2 1 .
Подставив найденное выражение функции v во второе уравнение
системы, находим его общее решение по формуле (9.35):
x dx
x
u 
, u
 x 2 1  C .
2
x 1
x 2 1
По формуле (9.36) записываем общее решение данного дифференциального уравнения:
y  ( x 2  1  C ) ( x 2  1)  ( x 2  1)3  C ( x 2  1) .
Обобщением линейного уравнения (9.29) является уравнение Бернулли:
(9.37)
y  p ( x) y  q ( x) y m , m  0 , m  1 .
Разделим обе части уравнения на y m  0 :
y  m y  p ( x) y1m  q ( x) .
Введём вместо y новую искомую функцию z:
z  y1m , z   (1  m) y  m y .
После этого уравнение Бернулли (9.37) приводится к линейному вида
(9.38)
z  (1  m) p ( x) z  (1  m) q ( x)
и интегрируется затем как линейное методом Бернулли
z  u ( x ) v ( x) .
(9.39)
На практике уравнение (9.37) удобнее решать сразу методом Бернулли с помощью подстановки y  u ( x) v ( x) , y  uv  vu (не сводя его
предварительно к линейному).
9.6. Уравнения второго порядка, приводящиеся к
уравнениям первого порядка
190
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются
уравнениями высших порядков. Уравнение второго порядка в общем
случае записывается в виде
(9.40)
F ( x, y, y, y)  0 ,
где x – независимая переменная, y  y (x)  искомая функция, y, y  её
производные. В частных случаях уравнение может не содержать каких-либо величин x, y, y , но обязано содержать старшую производную y .
Разрешив уравнение (9.40) относительно y , запишем его в форме
(9.41)
y  f ( x, y, y) .
Областью определения уравнения (9.41) называется трёхмерная
область D  D( x, y, y) , в каждой точке которой правая часть уравнения принимает действительное значение.
Решением уравнения (9.41) называется всякая функция y   (x) ,
имеющая непрерывные производные (x) , (x) и обращающая уравнение (9.41) в тождество:
( x)  f ( x,  ( x), ( x)) .
Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. График решения называется интегральной кривой.
Как и для уравнения первого порядка, основной задачей для дифференциального уравнения второго порядка является задача Коши:
требуется найти решение y   (x) уравнения (9.41), удовлетворяющее
начальным условиям
(9.42)
y  y0 , y  y0 при x  x0 , или y ( x0 )  y0 , y ( x0 )  y0 ,
где x0 , y0 , y0  заданные числа.
Геометрически задача Коши состоит в нахождении интегральной
кривой y   (x) , проходящей через заданную точку M 0 ( x0 , y0 ) и
имеющей в ней заданный угловой коэффициент касательной y0  tg  ,
где   угол наклона касательной. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши решается с помощью теоремы.
Т е о р е м а П и к а р а. Если в уравнении (9.41) функция
f ( x, y, y) и её частные производные f y и f y непрерывны в области
определения D, то для всякой точки ( x0 , y0 , y0 )  D существует единственное решение y   (x) уравнения (9.41), удовлетворяющее начальным условиям (9.42).
Общим решением уравнения (9.41) называется функция
y   ( x, C1 , C2 ) , содержащая две произвольные постоянные C1 и C 2 ,
если выполняются два условия:
1) в каждой точке ( x0 , y0 , y0 )  D система алгебраических уравнений
191
 ( x0 , C1 , C2 )  y0 ,

( x0 , C1 , C2 )  y0 .
(9.43)
разрешима относительно постоянных C1 и C 2 так, что
C1  1 ( x0 , y0 , y0 ) , C2   2 ( x0 , y0 , y0 ) ;
(9.44)
2) при всех значениях C1 и C 2 , найденных по формулам (9.44),
функция y   ( x, C1, C2 ) обращает уравнение (9.41) в тождество.
Частным решением уравнения (9.41) называется всякая функция
y  ( x, C10 , C20 ) , получаемая из общего решения при конкретных значениях постоянных C1  C10 , C2  C20 . Для нахождения частного решения необходимо решить задачу Коши с начальными условиями (9.42).
Решения уравнения (9.41), записанные в форме
(9.45)
 ( x, y, C1 , C2 )  0 или  ( x, y, C10 , C20 )  0 ,
называются соответственно общим интегралом и частным интегралом.
В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка не
сводится к уравнению первого порядка, но существует несколько случаев, когда это имеет место. Рассмотрим эти случаи.
I. Уравнение вида
(9.46)
y  f (x) ,
не содержащее неизвестной функции y и её производной y  .
Уравнение (9.46) решается непосредственно путём последовательного интегрирования:
y   f ( x) dx  C1 , y   y( x) dx  C2  [ f ( x) dx] dx  C1x  C2 . (9.47)
II. Уравнение, не содержащее в явном виде искомой функции y:
(9.48)
y  f ( x, y) .
Это уравнение с помощью подстановки y  p (x) , y  p(x) приводится к уравнению первого порядка
(9.49)
p  f ( x, p)
относительно неизвестной функции p  p(x) . Проинтегрировав это
уравнение, найдём его общее решение:
p  p( x, C1 ) ,
а затем из соотношения y  p получим общее решение уравнения (9.48):
(9.50)
y   p ( x, C1 ) dx  C2 .
Частным случаем уравнения (9.48) является уравнение
(9.51)
y  f ( y) ,
не содержащее и искомой функции y и независимой переменной x.
Оно интегрируется тем же способом: y  p (x) , y  p(x) . После под192
становки в (9.51) получим уравнение p  f ( p) с разделяющимися переменными.
III. Уравнение вида
(9.52)
y  f ( y, y) ,
не содержащее явным образом независимой переменной x.
Для его решения примем y за независимую переменную и введём
новую функцию p  p( y) , полагая
dp dp dy dp
(9.53)


p.
dx dy dx dy
Подставляя в уравнение (9.52) выражения y  и y , получим
уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p:
dp
(9.54)
p
 f ( y, p ) .
dy
Интегрируя его, найдём p как функцию от y и произвольной постоянной C1 :
p  p ( y, C1 ) .
Заменяя функцию p ( y ) на y  , получаем дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными
dy
 p ( y, C1 ) .
dx
Разделяя переменные и интегрируя, находим общий интеграл уравнения (9.52) в форме, разрешённой относительно x:
dy
dy
, x
(9.55)
dx 
 C2 .
p ( y, C1 )
p ( y, C1 )
Частным случаем уравнения (9.52) является уравнение
(9.56)
y  f ( y) ,
y  p ( y ) ,
y 

решаемое аналогично с помощью подстановки y  p ( y ) , y  p
dp
.
dy
9.7. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка. Определения и основные свойства
О п р е д е л е н и е 1. Дифференциальное уравнение второго порядка называется линейным, если оно имеет первую степень относительно совокупности искомой функции y и её производных y, y , т. е.
имеет вид
(9.57)
y  p ( x) y  q( x) y  f ( x) ,
где p ( x), q ( x) и f (x)  заданные непрерывные функции на интервале
(a, b) или постоянные.
193
Функция f (x) называется правой частью уравнения. Если f ( x)  0 ,
то уравнение (9.57) называется линейным неоднородным или уравнением с правой частью. Если же f ( x)  0 , то уравнение
(9.58)
y  p ( x) y  q( x) y  0
называется линейным однородным или уравнением без правой части.
Установим сначала некоторые основные свойства линейных
однородных уравнений.
С в о й с т в о 1. По теореме Пикара уравнение (9.58) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным
условиям (9.42).
С в о й с т в о 2. Если y1  y1 ( x) и y2  y2 ( x)  два каких-либо
частных решения уравнения (9.58), то функция
(9.59)
y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) ,
где C1 и C2  произвольные постоянные, также является решением
уравнения (9.58).
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию выполняются равенства:
y1  p ( x) y1  q( x) y1  0 и y2  p ( x) y2  q( x) y2  0 .
Подставляя y, y и y в левую часть уравнения (9.58), получаем:
(C1 y1  C2 y2 )  p( x)(C1 y1  C2 y2 )  q( x)(C1 y1  C2 y2 ) 
 C1 ( y1  p ( x) y1  q( x) y1 )  C2 ( y2  p( x) y2  q ( x) y2 )  0  0  0 .
Следовательно, если мы имеем два решения уравнения (9.58), то
любая их линейная комбинация также является решением этого уравнения. Свойство 2 доказано.
О п р е д е л е н и е 2. Два решения y1  y1 ( x) и y2  y2 ( x)
уравнения (9.58) называются линейно независимыми на интервале
(a, b) , если их отношение на этом интервале не является постоянным
числом  , т. е. если
y1
(9.60)
  или y1   y2 .
y2
В противном случае решения называются линейно зависимыми.
Средством изучения линейной зависимости или независимости системы функций является так называемый определитель Вронского или вронскиан, который для двух дифференцируемых функций
y1  y1 ( x) и y2  y2 ( x) имеет вид
W ( y1 , y2 ) 
y1
y1
y2
 y1 y2  y2 y1 .
y2
(9.61)
С в о й с т в о 3. Для того, чтобы решения y1 и y2 уравнения (9.58)
были линейно независимы на интервале (a, b) , необходимо и доста194
точно, чтобы их определитель Вронского W ( y1 , y2 ) не обращался в
нуль ни в одной точке на этом интервале.
П р и м е р. Пусть имеем уравнение y  y  0 . Легко проверить,
что функции y1  e x , y2  e  x , y3  3e x являются решениями этого
уравнения. Имеем:
x
ex
e x
3e x  0 .
W ( y1 , y2 )  x
 2  0 , W ( y1 , y3 )  e x

x
e
3e x
e e
Функции y1  e x и y2  e  x линейно
независимы
на ( ∞,  ∞),
функции y1  e x и y3  3e x линейно зависимы на ( ∞,  ∞).
Покажем, как составляется общее решение однородного линейного дифференциального уравнения (9.58).
Т е о р е м а 1. (О структуре общего решения).
Если y1  y1 ( x) и y2  y2 ( x)  два линейно независимых решения
уравнения (9.58), то их линейная комбинация
y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) ,
(9.62)
где C1 и C2  произвольные постоянные, есть его общее решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из свойства 2 следует, что функция
(9.62) есть решение уравнения (9.58). Осталось показать, что это решение общее.
Для этого составим систему вида (9.43) определения общего решения из п. 9.6:
C1 y1 ( x0 )  C2 y2 ( x0 )  y0 ,

C1 y1 ( x0 )  C2 y2 ( x0 )  y0 .
(9.63)
Из системы (9.63) постоянные C1 и C 2 определяются единственным
образом по формулам Крамера, так как определитель этой системы
y (x )
y2 ( x0 )
W ( y1 , y2 )  1 0
 y1 ( x0 ) y2 ( x0 )  y2 ( x0 ) y1 ( x0 )  0

y1 ( x0 )
y2 ( x0 )
есть определитель Вронского при x  x0 и, следовательно, не равен
нулю в силу линейной независимости решений y1 и y2 . Частное решение, которое получится из семейства (9.62) при найденных значениях
C1 и C 2 , удовлетворяет заданным начальным условиям (9.42) y ( x0 )  y0
и y( x0 )  y0 . Таким образом, теорема доказана.
Рассмотрим, в заключение, основное свойство и теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (9.57).
С в о й с т в о 4. Если y есть решение уравнения y p( x) yq( x) y0,
195
а y *  частное решение уравнения y  p( x) y  q( x) y  f ( x), то их сумма y  y  y* будет решением неоднородного уравнения (9.57).
Действительно, подставив y, y  и y в левую часть уравнения
(9.57), получим:
( y  y* )  p ( x) ( y  y* )  q ( x) ( y  y* ) 
 ( y  p ( x) y  q ( x) y)  (( y* )  p ( x) ( y* )  q ( x) y* )  f ( x) .
Выражение в первой из скобок равно нулю, так как y является
решением однородного уравнения, а выражение второй из скобок равно f (x) , так как y * является решением неоднородного уравнения (9.57).
Т е о р е м а 2. Если y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) есть общее решение
однородного уравнения y  p( x) y  q( x) y  0 , а y *  какое-либо частное решение неоднородного уравнения y  p( x) y  q( x) y  f ( x), то
общее решение неоднородного уравнения имеет вид:
(9.64)
y  y  y*  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x)  y* .
Теорема 2 доказывается совершенно аналогично теореме 1 о
структуре общего решения однородного уравнения.
9.8. Линейные однородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами. Комплексные числа.
Формулы Эйлера
Рассмотрим уравнение
(9.65)
y  py  qy  0 ,
в котором p и q  постоянные числа. Будем искать частное решение
этого уравнения методом Эйлера в виде
y  e kx ,
(9.66)
где k  постоянное число. Дифференцируя эту функцию дважды и подставляя выражения для y, y  , y в уравнение (9.65), получим
k 2 e kx  p k e kx  q e kx  0 .
Так как ekx  0 , то сокращая на e kx , получим уравнение
k2  pk  q  0 .
(9.67)
Квадратное уравнение (9.67) для определения коэффициента k
называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения (9.65). Его корни вычисляются по формулам:
196
p
p2
p
p2
(9.68)

q ,
k2   
q .
2
4
2
4
При решении возможны три случая: корни действительные и
различные; корни действительные равные; действительных корней нет.
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1. Корни характеристического уравнения действительные и
различные: k1  k2 .
В этом случае по формуле (9.66) находим два частных решения:
y1  e k1 x , y 2  e k 2 x . Эти два частных решения линейно независимы, так как
y1 e k1 x

 e( k1 k 2 ) x  const при k1  k2 .
y2 e k 2 x
k1  
Следовательно, общее решение уравнения (9.65) согласно формуле (9.62) имеет вид
y  C1e k1 x  C2 e k 2 x .
(9.69)
2. Корни характеристического уравнения равные: k1  k2 .
В случае равных корней имеем k1  k2   p / 2 . По формуле (9.66)
получаем только одно частное решение y1  e

p
x
2 .
Покажем, что вто-
рое частное решение можно брать в форме y2  xy1  x e
найдём производные y2 , y2 :
p
x
2
p
p
 x
p  2x
p2 
xe
y2   p e 2 
xe
,
2
4
Подставим y2 , y2 , y2 в уравнение (9.65):
y2  e

p
x
2
. Для этого
p
x
2 .
p
p
 x
 x
p 2  2p x
p 2  2p x
xe
 pe 2 
xe
 q xe 2 
4
2
p
p
2
2
 x p
 x  p2


p
 x e 2 

 q    x e 2 
 q   0 ,
4
2
4




2
так как p / 4  q  0 . Следовательно, функция y2  x e  px / 2  второе
частное решение уравнения (9.65). Найденные частные решения линейно независимы: y1 / y2  1/ x  const .
Таким образом, в этом случае общее решение уравнения (9.65)
имеет вид
y  e  px / 2 (C1  xC2 ) .
(9.70)
 pe

p
x
2



3. Характеристическое уравнение не имеет действительных
197
p2
q 0.
4
В этом случае корни уравнения (9.67) записывают в виде:
корней:
k1    i  ,
k2    i  ,
(9.71)
где
p
p2
,  q
, i  1 ,  2   2  q ,
(9.72)
2
4
и называют k1 , k 2 комплексными корнями характеристического
уравнения (9.67).
Укажем некоторые сведения о комплексных числах.
О п р е д е л е н и е 1. Комплексным числом z называется выражение
(9.73)
z  a  ib ,
где a и b  действительные числа; i  мнимая единица, определяемая
равенством
(9.74)
i  1 или i 2  1 ;

a называется действительной или вещественной частью, b  мнимой
частью числа z. Их обозначают так:
a  Re z , b  Im z .
Если a  0 , то число 0  i b  i b называется чисто мнимым;
если b  0 , то получается действительное число: a  i 0  a . Два комплексных числа z  a  i b и z  a  i b , отличающиеся только знаком
мнимой части, называются сопряжёнными.
Два комплексных числа z1  a1  i b1 и z2  a2  i b2 считаются
равными z1  z 2 , если a1  a2 , b1  b2 , т. е. если равны в отдельности
их действительные и мнимые части. Комплексное число равно нулю
z  a  i b  0 тогда и только тогда, когда a  0 и b  0 .
Всякое комплексное число z  a  i b можно изобразить на плоскости Oxy в виде точки A (a, b) с координатами a и b , и наоборот,
каждой точке M ( x, y) соответствует комплексное число z  x  i y .
Суммой двух комплексных чисел z1  a1  i b1 и z2  a2  i b2
называется комплексное число, определяемое равенством
z1  z2  (a1  i b1 )  (a2  i b2 )  (a1  a2 )  i (b1  b2 ) .
(9.75)
Разностью двух комплексных чисел z1  a1  i b1 и z2  a2  i b2
называется комплексное число, которое при сложении с z 2 даёт в
сумме комплексное число z1 :
z1  z2  (a1  i b1 )  (a2  i b2 )  (a1  a2 )  i (b1  b2 ) .
198
(9.76)
Произведением комплексных чисел z1  a1  i b1 и z2  a2  i b2
называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая равенство (9.74):
(9.77)
z1z2  (a1  i b1 ) (a2  i b2 )  (a1a2  b1b2 )  i (b1a2  a1b2 ) .
Частным двух комплексных чисел z1  a1  i b1 и z2  a2  i b2  0
называется комплексное число z, которое при умножении на z 2 даёт
число z1  z 2 z :
z1 a1  i b1

 x  i y  a1  i b1  (a2  i b2 ) ( x  i y ) .
z 2 a2  i b2
На практике частное двух комплексных чисел находят путём
умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю:
z1 a1  ib1 (a1  ib1 )( a2  ib2 ) a1a2 b1b2 b1a2  a1b2


 2 2  i 2 2  x  iy . (9.78)
z2 a2  ib2 (a2  ib2 )( a2  ib2 )
a2  b2
a2  b2
З а м е ч а н и е. Если в выражениях (9.75) – (9.78) заменить каждое
комплексное число сопряжённым, то и результаты указанных действий
заменяются сопряжёнными числами. Операции возведения комплексного числа в степень и извлечения корня из комплексного числа выполняются над комплексным числом, записанным в тригонометрической или в показательной формах. Форма записи комплексного числа
в формуле (9.73) называется алгебраической формой.
Пусть z  x  i y . Если x и y  действительные переменные, то z
называется комплексной переменной.
О п р е д е л е н и е 2. Если каждому значению комплексной переменной z из некоторой области комплексных значений соответствует определённое значение другой комплексной величины w , то w
есть функция комплексной переменной z. Функции комплексной переменной обозначают w  f (z ) или w  w (z ) .
Рассмотрим показательную функцию комплексной переменной,
определяемую формулой
w  e xi y  e x (cos y  i sin y ) .
(9.79)
Если в ней положить x  0 , то получим
ei y  cos y  i sin y и e i y  cos y  i sin y .
(9.80)
Это есть формулы Эйлера, выражающие показательную функцию
с мнимым показателем через тригонометрические функции.
Вернёмся к решению линейного однородного уравнения второго
порядка (9.65) в третьем случае, когда характеристическое уравнение
(9.67) имеет два комплексно-сопряжённых корня, определённых фор199
мулами (9.71), (9.72).
В этом случае решениями уравнения (9.65) являются функции
y1  e ( i ) x и y 2  e (i ) x . По формулам Эйлера имеем два комплексных частных решения
y1  e  x  ei  x  e  x cos  x  i e  x sin  x ,
y2  e  x  e i  x  e  x cos  x  i e  x sin  x .
Найдём два действительных частных решения уравнения (9.65).
Для этого составим две линейные комбинации решений y1 и y2 :
y1  y2
y1  y2
 e  x cos  x  ~
y1 ,
 e  x sin  x  ~
y2 .
2
2i
Функции ~
y1 и ~
y2 являются решениями уравнения (9.65), что следует
из п. 9.7, свойство 2, формула (9.59). Эти решения линейно независимы, так как
~
y1 e x cos  x

 ctg  x  const .
~
y2 e x sin  x
Следовательно, общее решение уравнения (9.65) в случае комплексных
корней характеристического уравнения имеет вид
y  C1 ~
y1  C2 ~
y2  C1 e  x cos  x  C2 e  x sin  x
или
y  e  x (C1 cos  x  C2 sin  x) ,
(9.81)
где C1 и C2  две действительные произвольные постоянные.
П р и м е р 1. Решить уравнение y  6 y  7 y  0 .
Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение. Для этого
достаточно заменить y , y  и y соответственно на k 2 , k и 1: k 2 6k 70 .
Решаем его по формулам (9.68): k1  1 , k2  7 . По формуле (9.69) записываем общее решение данного уравнения: y  C1 e x  C2 e 7 x .
П р и м е р 2. Решить уравнение y  4 y  4 y  0 .
Р е ш е н и е. Соответствующее характеристическое уравнение
k 2  4k  4  0 имеет два равных корня k1  k2  2 . Общее решение записываем по формуле (9.70): y  e 2 x (C1  x C2 ) .
П р и м е р 3. Решить уравнение y  4 y  5 y  0 .
Р е ш е н и е. Имеем: k 2 4k 5  0 , k1 2i , k 2 2i . По формуле
(9.81) получаем общее решение уравнения: y  e 2 x (C1 cos x  C2 sin x) .
Таким образом, нахождение общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (9.65) сводится к нахождению корней характери200
стического уравнения (9.67) и использованию формул (9.69), (9.70) и
(9.81) без вычисления интегралов.
9.9. Линейные неоднородные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида
Рассмотрим теперь уравнение
(9.82)
y  py  qy  f (x) ,
в котором коэффициенты p и q по-прежнему некоторые числа, а правая часть f (x)  известная непрерывная функция. Как было показано
выше в п. 9.7, теорема 2, общее решение уравнения (9.82) представляет
собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения y  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x) и частного решения y * неоднородного уравнения (9.82):
y  y  y*  C1 y1 ( x)  C2 y2 ( x)  y* .
(9.83)
В тех случаях, когда правая часть f (x) уравнения (9.82) имеет
специальный вид, нахождение частного решения неоднородного уравнения можно выполнить методом подбора формы частного решения,
называемым также методом неопределённых коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования. Не приводя выводов, укажем
форму, в которой следует искать частное решение в зависимости от
вида правой части f (x) дифференциального уравнения (9.82).
I. Правая часть уравнения имеет вид:
f ( x)  Ρn ( x)  a0 x n  a1 x n1    an1 x  an ,
(9.84)
где многочлен, в частном случае, может быть числом, отличным от нуля.
Частное решение y * будем искать в аналогичном виде
y *  x r Qn ( x) .
(9.85)
Здесь Qn (x)  многочлен той же степени, что и многочлен Ρn (x) , но с
неизвестными буквенными коэффициентами, а r – число корней характеристического уравнения k 2  p k  q  0 , равных нулю.
П р а в и л о 1. Частное решение y * надо искать в форме
 Qn ( x), если q  0 ,
y*  
(9.86)
 x Qn ( x), если q  0 , p  0.
П р и м е р 1. Найти общее решение уравнения y   3 y   2 y  x 2 .
Р е ш е н и е. Составив характеристическое уравнение k 2 3k 2  0 ,
201
найдём его корни k1  1 , k 2  2 . Отсюда y  C1 e x  C2 e2 x .
Так как f ( x)  x 2  x 2  0  x  0 есть многочлен второй степени и
q  2  0 , то частное решение ищем в форме
y*  A x 2  B x  C .
Находим производные ( y * )  2 A x  B , ( y * )  2 A . Подставляя их в
данное дифференциальное уравнение, получим
2 A  3(2 A x  B)  2( A x 2  B x  C )  x 2 ,
или
2 A x 2  (6 A  2 B) x  (2 A  3B  2C )  x 2 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и
правой частях полученного равенства, придём к системе уравнений
2 A  1 ,

6 A  2 B  0 ,
2 A  3B  2C  0 ,

решая которую, находим: A  1/ 2 , B  3 / 2 , C  7 / 4 . Частное решение будет y*  1 x 2  3 x  7 , а общее решение примет вид
2
2
4
*

x
y  y  y  C1 e  C2 e 2 x  1 x 2  3 x  7 .
2
2
4
П р и м е р 2. Найти общее решение уравнения y  y  5 x  3 .
Р е ш е н и е. Здесь характеристическое уравнение k 2  k  0 имеет корни k1  0 , k 2  1 и, следовательно, y  C1  C2 e  x .
Так как f ( x)  5x  3 – многочлен первой степени и q  0 , то согласно (9.86) частное решение надо искать в форме
y *  ( A x  B) x  A x 2  B x .
Находим производные ( y * )  2 A x  B , ( y * )  2 A . Подставив их в
данное уравнение, получим
2 A  2 A x  B  5x  3 или 2 A x  (2 A  B)  5x  3 .
Полученное равенство является тождеством, поэтому коэффициенты
при одинаковых степенях x в обеих частях равенства должны быть
равны:
2 A  5 ,

2 A  B  3 .
Отсюда находим A  5 / 2 , B  2 . Итак, частное решение имеет вид
y*  5 x 2  2 x , а общее решение – вид
2
202
y  y  y*  C1  C2 e x  5 x 2  2 x .
2
II. Правая часть уравнения f ( x)  e a x Ρn ( x) .
Рассмотренный выше случай f ( x)  Ρn ( x) получается отсюда при a  0 ,
где коэффициент a в показателе – действительное число.
П р а в и л о 2. Частное решение y * надо искать в форме
e a x Qn (x), если a – не корень характеристического уравнения,
y* 
e a x x Qn (x ), если a – корень характеристического уравнения,
(9.87)
e a x x 2 Qn ( x), если a – двойной корень характеристического уравнения.
П р и м е р 3. Найти общее решение уравнения
y  2 y  3 y  e3 x ( x  2) .
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни: k 2  2k  3  0 ; k1  1 , k 2  3 . Общее решение уравнения без правой части имеет вид y  C1 e x  C2 e3 x . Так как среди корней характеристического уравнения имеется только один корень
k2  a  3 , то согласно (9.87) частное решение y * надо искать в форме
y *  e 3 x x ( A x  B)  e3 x ( A x 2  B x) .
Находим ( y * ) и ( y * ) :
( y * )  3e3 x ( A x 2  B x)  e3 x (2 A x  B) ,
( y * )  9e3 x ( A x 2  B x)  6e3 x (2 A x  B)  2 A e3 x .
Подставляя выражения y * , ( y * ), ( y * ) в заданное уравнение и
сокращая на множитель e3 x  0 , получаем тождество
9 ( A x 2  B x)  6(2 A x  B)  2 A  2 [3 ( A x 2  B x)  (2 A x  B)] 
 3 ( A x 2  B x)  x  2 .
После приведения подобных членов имеем равенство
8 A x  ( 2 A  4 B)  x  2 .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получаем
систему уравнений
8 A  1 ,

2 A  4 B  2 ,
из которой находим A  1/ 8 и B  7 / 16 .
Подставляя найденные значения A и B в выражение для y * ,
найдём частное решение уравнения
203
y *  e 3 x  1 x 2  7 x  .
16 
8
Общее решение заданного уравнения находится как сумма вида
3x
y  y  y *  C1 e  x  C2 e3 x  e (2 x 2  7 x) .
16
III. Правая часть уравнения имеет вид:
(9.88)
f ( x)  M cos b x  N sin b x ,
где M, N и b  заданные действительные числа.
П р а в и л о 3. Частное решение y * надо искать в форме
A cos b x  B sin b x,
y*

если
b i – не является корнем
характеристического уравнения,
(9.89)
x ( A cos b x  B sin b x), если b i – чисто мнимый корень
характеристического уравнения.
П р и м е р 4. Найти общее решение уравнения
y  4 y  5 y  2 cos x  sin x .
Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение k 2  4k  5  0 имеет
комплексные сопряжённые корни k1  2  i , k 2  2  i . Поэтому на
основании формулы (9.81)
y  e 2 x (C1 cos x  C2 sin x) .
Так как b i  i не является чисто мнимым корнем характеристического уравнения, то по формуле (9.89) частное решение надо искать в
форме y *  A cos x  B sin x . Дифференцируя, находим
( y * )   A sin x  B cos x , ( y * )   A cos x  B sin x .
Подставляя выражения для ( y * ), ( y * ) и y * в заданное неоднородное
уравнение, получим
 Acos x  B sin x  4( Asin x  B cos x)  5 ( Acos x  B sin x) 
 2 cos x  sin x .
Приводя подобные члены, имеем
(4 A  4B) cos x  (4B  4 A) sin x  2 cos x  sin x .
Написанное равенство является тождеством. Приравнивая коэффициенты при cos x и sin x в обеих частях равенства, получим систему
уравнений
4 A  4 B  2 ,

  4 A  4 B  1 ,
из которой находим A  3 / 8 , B  1/ 8 . Частное решение принимает вид
y*  3 cos x  1 sin x ,
8
8
204
а общее решение заданного уравнения есть
y  y  y*  e2 x (C1 cos x  C2 sin x)  3 cos x  1 sin x .
8
8
В заключение приведём теорему о сложении частных решений.
Т е о р е м а. Если y1*  частное решение уравнения
y  p y  q y  f1 ( x)  e a x Ρn ( x) ,
а y 2*  частное решение уравнения
y  p y  q y  f 2 ( x)  M cos b x  N sin b x ,
то сумма y *  y1*  y2* является частным решением уравнения
y  p y  q y  e a x Ρn ( x)  M cos b x  N sin b x .
(9.90)
Теорема доказывается непосредственной подстановкой в левую
часть уравнения (9.90) суммы y *  y1*  y2* .
205