Графы, в которых окрестности вершин – псевдогеометрические графы для .

Графы, в которых окрестности вершин – псевдогеометрические графы для GQ(3,5) .
А.К. Гутнова, член-корреспондент РАН А.А. Махнев
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Для
вершины a графа через i (a ) обозначим i-окрестность вершины a, то есть, подграф,
индуцированный Г на множестве всех вершин, находящихся на расстоянии i от a.
Положим (a)  1 (a) , a   {a}  (a) . Если граф  зафиксирован, то вместо  (a )
будем писать [a ] . Для множества вершин X графа  через X  обозначим  xX x  . Если
не оговорено противное, то слово «подграф» будет означать «индуцированный подграф».
Пусть F – некоторый класс графов. Граф  назовем локально F-графом, если [a ]
лежит в F для любой вершины a графа  .
Пусть  - граф, a, b   , число вершин в [a]  [b] обозначается через  (a, b)
(  (a, b) ), если a, b находятся на расстоянии 2 (смежны) в  . Далее, [a]  [b] называется
 -подграфом (  -подграфом).
Степенью вершины называется число вершин в ее окрестности. Граф 
называется регулярным степени k, если степень любой вершины a из  равна k. Граф 
назовем реберно регулярным с параметрами (v, k ,  ) , если он содержит v вершин,
регулярен степени k, и каждое его ребро лежит в  треугольниках. Граф  - вполне
регулярный граф с параметрами (v, k ,  ,  ) , если он реберно регулярен с
соответствующими параметрами, и [a]  [b] содержит  вершин для любых двух вершин
a, b , находящихся на расстоянии 2 в  . Вполне регулярный граф называется сильно
регулярным графом, если он имеет диаметр 2. Через K m1 ,,mn обозначим полный
многодольный граф M 1 ,, M n с долями M i порядка mi . Если m1    mn  m , то
указанный граф обозначается K nm .
Система инцидентности с множеством точек P и множеством прямых L
называется  -частичной геометрией порядка ( s, t ) , если каждая прямая содержит s  1
точку, каждая точка лежит на t  1 прямой, любые две точки лежат не более чем на одной
прямой и для любого антифлага (a, l )  ( P, L) найдется точно  прямых, проходящих
через a и пересекающих l (обозначение pG ( s, t ) или pG ). В случае  =1 геометрия
называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ( s, t ) . Точечный граф
геометрии определяется на множестве точек P и две точки смежны, если они лежат на
прямой. Точечный граф геометрии pG ( s, t ) сильно регулярен с v  ( s  1)(1  st /  ) ,
k  s(t  1) ,   s  1  t (  1) ,    (t  1) . Сильно регулярный граф с такими
параметрами называется псевдогеометрическим графом для pG ( s, t ) .
В [1] проведена редукция классификации графов, в которых окрестности вершин
являются псевдогеометрическими графами для pGs2 ( s, t ) к локально псевдо GQ(3,3) -и
GQ(3,5) -графам. В [2] классифицированы псевдогеометрические графы для GQ(3, t ) . В
таких графах окрестность любой вершины – объединение изолированных
многоугольников с числом вершин, кратным 3. В [3] классифицированы локально псевдо
GQ(3,3) -графы. В данной работе классифицированы связные вполне регулярные локально
псевдо GQ(3,5) - графы.
Лемма. Пусть  - сильно регулярный граф с параметрами (64,18,2,6) . Тогда
выполняются следующие утверждения:
1. любой  -подграф из  является кокликой или объединением четырех
изолированных вершин и ребра;
2. если  - регулярный подграф из  степени 6 на n вершинах, xi  xi () ,то
 i  1
 xi  3n 2  43n  64 , 16  n  32 , в случаях n  16 и n  32
x0   
2


имеем x0  0 , и nx0  (64  n)(64  x0 ) / 25 ;
3. если  является K pq -подграфом из  , xi  xi () , то ( p, q)  (3,6) , в
случае p  q  4 имеем x2  56 , в случае p  3 , q  4 либо  содержится
в K 44 -подграфе, либо x1  15 , x2  39 , x3  3 , и в случае p  3 , q  5
имеем x1  3 , x2  48 , x3  5 , { X 1 , X 3 } является K 35 -подграфом, каждая
вершина из X 3 смежна с тремя вершинами степени 3 в графе  и
  X 1  X 3 - регулярный граф степени 6.
Лемма. Пусть  является сильно регулярным графом с параметрами (64,18,2,6) ,
U - трехвершинный подграф из  , Yi - множество вершин из   U , смежных точно с i
вершинами из U , yi | Yi | . Тогда выполняются следующие утверждения:
1. для двух вершин u, w графа  имеем | 2 (u)  2 (w) | 32 ,если u, w не
смежны, | 2 (u)  2 (w) | 30 ,если u, w смежны;
2. y 0  y 3 равно 25, если U является кокликой, и равно 16, если U является
кликой;
3. y 0  y 3 равно 20, если U является 2-путем, и равно 23, если U объединение изолированной вершины и ребра.
Теорема. Пусть  является связным вполне регулярным графом, в котором
окрестности вершин являются псевдогеометрическими графами для GQ(3,5) . Тогда верно
одно из утверждений:
1. диаметр  равен 2,  имеет параметры (245,64,18,16) и собственные
значения 8, -6 кратностей 100, 144;
2.   20 , k 2  144 и k 3  4 ;
3.   18 , k 2  160 и k 3  16 .
Список литературы
1. Гутнова А.К., Махнев А.А.О графах, в которых окрестности вершин
являются псевдогеометрическими графами для pGs2 ( s, t ) //Доклады
академии наук 2010, т. 431, N 3, 300-304.
2. Haemers W., Spence E. The pseudo-geometric graphs for generalized
quadrangles of order (3,t) //Eur. J. Comb. 2001, v. 22, N 6, 839-845.
3. Махнев А.А. О расширениях частичных геометрий, содержащих малые  подграфы //Дискр. анализ и исслед. операций 1996, т. 3, N 3, 71-83.