Проект по алгебре, 9 класс, тема

МОУ «Екатериновская ООШ»
ПРОЕКТ
по теме:
«КВАДРАТИЧНЫЕ
ФУНКЦИИ»
Учитель: Сбитнева Л. Я.
Работу выполнили:
Борисова Н., Сбитнев А.
2006 год
1) Цель: Обобщить знания по теме «Квадратичные функции»,
показать применение свойств функций в курсе изучения
алгебры и физики, в практической деятельности человека.
2) Задачи: Повторить и систематизировать знания по теме,
показать применение свойств функций в изучении неравенств
второй степени с одной переменной, изучении темы
«Движение тел» в курсе физики.
Этапы работы:
1 Этап
Подготовительный этап.
Приобретение литературы:
Алгебра 8 класс автор Макарычев;
Алгебра 8 класс автор Миндюк;
Алгебра 9 класс автор Макарычев;
Физика 9 класс автор Кикоин;
Курс общей физики автор Савельев
Энциклопедический словарь юного
математика автор Савин.
1) Изучение темы;
2) Консультации учителя математики;
3) Интервью восьмиклассников и девятиклассников.
2 Этап
Исследовательский этап.
1) Квадратный трёхчлен ax2 +bx+c, a не равно 0; и его свойства.
2) Квадратичная функция y=ax2+bx+c, a не равно 0, её график и
свойства.
a) y=ax2
b) y=ax2+n
c) y=a(x-m)2
d) y=a(x-m)2+n
e) y=ax2+bx+c
3) Применение свойств квадратичной функции для решения
неравенств второй степени с одной переменной.
4) Применение свойств квадратичной функции в изучении темы
«Движение тел» в курсе физики.
5) Применение знаний в оборонной промышленности
3 этап.
Практический.
Многочлен вида ax2+bx+c (a-не равное 0 число) называют
квадратным трёхчленом. Числа a, b, c- коэффициенты
квадратного трёхчлена: a- старший , b- второй или средний
коэффициент, с- свободный член. Корнем квадратного трёхчлена
называется значение переменной, при котором значение этого
трёхчлена равно нулю. Чтобы найти корни квадратного
трёхчлена ax2+bx+c, надо решить квадратное уравнение
ax2+bx+c=0. Так как квадратный трёхчлен имеет те же корни, что
и соответствующее квадратное уравнение, то он может иметь 2
корня, 1 корень или не иметь корней. Это зависит от знака
дискриминанта квадратного уравнения D=b2-4ac, который
называется также дискриминантом квадратного трёхчлена. Если
D>0, то квадратный трёхчлен имеет 2 корня; если D=0, то
квадратный трехчлен имеет 1 корень; если D<0, то квадратный
трехчлен не имеет корней.
При решении задач иногда бывает удобно представлять
квадратный трёхчлен ax2+bx+c в виде a(x-m)2+n, где m и nнекоторые числа (m=- b ; n=-b2+4ac). Такое преобразование
2a
4a
Называется выделением квадрата двучлена из квадратного
трёхчлена.
Можно доказать, что квадратный трёхчлен можно разложить на
множители: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2 – корни
квадратного трёхчлена ax2+bx+c.
Квадратичной функцией называется функция, которую можно
задать формулой вида y=ax2+bx+c, где a, b, c- некоторые числа,
причём a- не равное 0.
После линейной функции квадратичная функция – простейшая и
важнейшая элементарная функция.
Простейший её частный случай – функция y=ax2. На рисунке 1
изображены графики функций y=ax2 при различных значениях a.
График функции y=ax2 называется параболой. У всех этих
парабол вершина находится в начале координат; при a>0 это
низшая точка графика (наименьшее значение функции), а при
a<0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение
функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.
Как видно, при a>0 парабола направлена вверх, при a<0 – вниз.
Существует простой и удобный графический способ ,
позволяющий строить любое число точек параболы y=ax2 без
вычислений, если известна точка параболы, отличная от
вершины. Пусть точка M(x0;y0) лежит на параболе y=ax2 (рис.2).
Если мы хотим построить между точками О и М дополнительно
ещё n точек, то делим отрезок ON оси абсцисс на n+1 равных
частей и в точках деления проводим перпендикуляры к оси Ох.
На столько же равных частей делим отрезок NM и точки деления
соединяем лучами с началом координат. Искомые точки
параболы лежат на пересечении перпендикуляров и лучей с
одинаковыми номерами.
Графики функций y=ax2+n, y=a(x-m)2 , y=a(x=m)2+n и y=ax2+bx+c
отличаются от графика функции y=ax2 лишь своим положением
в координатной плоскости и может быть получен просто
перемещением параболы. Это следует из представления
квадратного трёхчлена в виде ax2+bx+c=a(x-m)2+n, где m и n –
координаты вершины параболы (формулы m и n смотри выше), а
ось её симметрии осталась параллельной оси Оy (x=m). Отсюда
следуют очень важные свойства. От дискриминанта
соответствующего квадратного трёхчлена зависит, пересекает ли
график квадратичной функции ось абсцисс или лежит по одну
сторону от неё. Именно, если D<0, то парабола не имеет общих
точек с осью Ох, при этом если а>0, то парабола лежит выше оси
Ох, а если a<0, то ниже этой оси (рис.4). В случаеD>0, график
квадратного трёхчлена пересекает ось абсцисс в двух точках х1 и
х2, которые являются корнями соответствующего квадратного
уравнения.
4 этап.
Применение.
Свойства квадратного трёхчлена лежат в основе решения
квадратных неравенств. Поясним это на примере. Пусть
требуется найти все решения неравенства 3x2-2x-1<0. Найдём
дискриминант соответствующего квадратного трёхчлена,
стоящего в левой части неравенства: D=16, Так как D>0, то
соответствующее квадратное уравнение имеет два различных
корня (они определяются по известным формулам): x1=-1\3;
x2=1. В рассматриваемом квадратном трёхчлене a=3>0, значит,
ветви его графика направлены вверх и значения квадратного
трёхчлена отрицательны лишь в интервале между корнями. Итак,
все решения неравенства удовлетворяют условию -1\3<x<1.
К квадратным неравенствам могут быть сведены разнообразные
неравенства теми же самыми заменами, какими различные
уравнения сводятся к квадратному.
Многие физические зависимости выражаются квадратичной
функцией; например, камень, брошенный вверх со скоростьюv0,
находится в момент времени t на расстоянии
s(t)=-q\2t2+v0t
от земной поверхности (здесь q- ускорение силы тяжести);
количество тепла Q, выделяемое при прохождении тока в
проводнике с сопротивлением R, выражается через силу тока I
формулой
Q=RI2.
Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать
дальность полета тела, брошенного вертикально вверх или под
некоторым углом. Этим пользуются в оборонной
промышленности.
5 этап.
Трудности:
- Большой материал для запоминания;
- незначительная ошибка при подсчёте приводит к совершенно
другому (неправильному) ответу.
- некоторые формулы очень похожи друг на друга (формулы
абсциссы и ординаты вершины параболы, дискриминанта и
корней), это вызывает путаницу и трудность в запоминании.
6 этап
Пути преодоления.
- При изучении темы тщательно разобраться в материале;
- Ставить цель: запомнить надолго;
- Пользоваться словарём или другой вспомогательной
литературой.
- Регулярно повторять для более прочного запоминания.