23 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ВЕКТОРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

23
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
ХАРАКТЕРИСТИК МАГНИТНОГО ПОЛЯ
ДЛЯ
ВЕКТОРНЫХ
Граничные условия
показывают, как
изменяются компоненты
векторов



намагниченности M , напряжённости H и индукции B при переходе через
границу раздела магнетиков. Необходимо отметить, что эти векторы
являются взаимосвязанными, что отражено в формулах (22.10) и (22.12). 
При выводе граничных
условий для векторов намагниченности M и

напряжённости H рассматривают прямоугольный контур, показанный на
рис.44, построенный на границе раздела двух магнетиков с относительными
магнитными проницаемостями  2r и 1r . Высота контура h пренебрежимо
мала по сравнению с его длиной l , и более длинные стороны контура
являются параллельными поверхности раздела двух магнетиков. Единичный

вектор  , касательный к поверхности раздела, задаёт направление обхода

M или
контура
при
движении
в
среде
2
для
вычисления
циркуляции
вектора


H . Единичный вектор N , ортогональный к плоскости контура, образует с

направлением обхода контура правовинтовую систему. Единичный вектор n
направлен от первой среды ко второй перпендикулярно к поверхности
раздела магнетиков.
Предполагают, что в общем случае на поверхности раздела магнетиков
могут существовать как связанные, так и свободные токи.

n
l


h 2r
2
1
1r

N


Рисунок 44 – Контур для вычисления циркуляции векторов M и H
на границе раздела двух магнетиков

Используя соотношение (22.4) и вычисляя циркуляцию вектора M по
контуру, получаем граничное условие для вектора намагниченности
M 2  M 1  iсвяз.пов. ,
 
 
(23.1)
где M 2  M 2 и M 1  M 1 - тангенциальные составляющие векторов
намагниченности во второй и в первой среде относительно границы раздела;
 
I
iсвяз.пов.  jсвяз. Nh  связ.
l
(23.2)
есть линейная плотность поверхностного связанного тока на поверхности
раздела;

j св яз. - плотность связанного тока вблизи границы раздела;
I св яз. - полный связанный ток, охваченный контуром.

Аналогично, на основании теоремы о циркуляции вектора H (22.8),
можно получить следующее граничное условие для вектора напряжённости
магнитного поля:
H 2  H1  iсвоб.пов. .
 
(23.3)
 
Здесь H 2  H 2 и H1  H1 - тангенциальные составляющие векторов
напряжённости во второй и в первой среде относительно поверхности
раздела;


I
iсвоб.пов.  jсвоб. Nh  своб.
l
(23.4)
- линейная плотность поверхностного свободного тока на границе
раздела;

j св об. - плотность свободного тока вблизи поверхности раздела;
I своб. - суммарный свободный ток, охваченный контуром.
Граничное условие для вектора магнитной индукции можно получить на
основании формулы (20.2), оно имеет следующий вид:
B2 n  B1n ,
 

(23.5)
где B2n  B2 n и B1n  B1n - компоненты векторов индукции во второй и в
первой среде, нормальные относительно границы раздела.
Соотношение (23.1) показывает, что изменение тангенциальной
составляющей вектора намагниченности на границе раздела двух сред равно
линейной плотности связанных поверхностных токов, существующих на
границе раздела.
Из граничного условия (23.3) следует, что наличие свободных
поверхностных токов приводит к скачку тангенциальной составляющей
вектора напряженности на границе раздела.
В соответствии с условием (23.5), нормальная составляющая вектора
индукции магнитного поля не изменяется при переходе через границу
раздела двух сред, независимо от наличия каких-либо токов на поверхности
раздела.
Если на границе двух однородных сред свободные токи отсутствуют, то


линии вектора индукции B и линии вектора напряжённости H
преломляются и отклоняются от перпендикуляра к границе раздела при
переходе в среду с большим значением магнитной проницаемости (  2r  1r ).

При этом линии вектора B испытывают преломление без разрыва, и
выполняется соотношение для модулей векторов B2  B1 . Это неравенство

B во второй среде. Что касается
означает большую
густоту
линий
вектора

линий вектора H , то они не только преломляются, но и претерпевают
разрыв. Таким образом, густота линий вектора H во второй среде
уменьшается, поскольку H 2  H1 .
Граничные условия позволяют устранить неоднозначность при вычислении
магнитных полей и найти единственное возможное магнитное поле в каждом
конкретном случае. Это поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла и
граничным условиям.