IEEE Transactions on Magnetics

1
Анализ надежности систем спутниковой
связи с использованием математического
аппарата цепей Маркова
М.В. Жуков, В.В. Золотухин
Сибирский федеральный университет
660074, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, 26.
mihail.zhukov@list.ru

Основной целью данной работы является анализ
надежности систем спутниковой связи с использованием
цепей Маркова, а также оптимизация структурного
резервирования оборудования с целью достижения
оператором связи максимальной прибыли
Ключевые слова: спутниковая связь, надежность, цепь
Маркова.
Для
большинства
современных
систем
связи
характерными особенностями являются: высокая скорость
передачи и степень автоматизации обслуживания, малое
время задержки и вероятности потерь информации,
высокие требования к качеству функционирования, и, в
частности, к надежности системы. В условиях жесткой
конкурентной борьбы одним из главных решающих
факторов при выборе абонентом оператора связи является
стоимость и качество предоставляемых услуг. Однако,
необходимость обеспечения высокого уровня надежности
средств связи в большинстве случаев требует огромных
капитальных вложений оператора связи в инфраструктуру
сети,
поэтому
выбор
оптимального
варианта
резервирования является очень важной задачей,
требующей грамотного и обоснованного решения [1, 2].
Именно решению проблемы обеспечения надежного
функционирования систем связи посвящена данная
работа.
Актуальность проблемы обеспечения надежной работы
систем спутниковой связи объясняется еще и тем, что
зачастую подобные системы используются в регионах, где
не существует других, альтернативных вариантов
организации связи. Поэтому отказ таких систем может
стать причиной полной информационной изоляции
отдельного региона.
Система спутниковой связи представляет собой
комплекс аппаратно-программных средств, состоящий из
наземной и спутниковой частей. Спутник в данном случае
выступает в роли ретранслятора, передача и прием
осуществляется на наземной части. С одной стороны,
определенная компания выступает в роли провайдера и
обеспечивает должное качество связи с помощью своего
оборудования и систем мониторинга, с другой –
пользователи со спутниковыми системами связи и
клиентским оборудованием. Подобная организация связи
является незаменимой, когда необходимо обеспечить
связь
в
труднодоступных,
отдаленных
от
телекоммуникаций районах. Пользователями такой связи
являются различные спецслужбы, военные, аэронавигация
и метеоагентства, простое население (универсальная
услуга связи - таксофоны) и другие.
В состав системы спутниковой связи входят:
1) Спутник
2) Антенная система
3) Приемо-передающий тракт
4) Спутниковый модем
5) Мультиплексор
6) Оборудование клиента/провайдера
Структурная
схема
исследуемой
системы
спутниковой связи приведена на рис. 1.
Спутниковая часть
Спутник
Передатчик
Модем
Мультиплексор
Приемник
(МШУ)
Провайдер
Наземная часть
Оборудование
клиента
Рис. 1. Обобщенная структурная схема системы
спутниковой связи
С точки зрения теории надежности данную
систему можно рассматривать как сложную систему с
восстановлением отказавших элементов, поэтому для
анализа надежности такой системы предлагается
использовать математический аппарат цепей Маркова.
При анализе систем с использованием цепей
Маркова используют геометрическую интерпретацию
возможных переходов системы из одного состояния в
2
другое в виде графа состояний, состоящего их вершин
графа – возможных состояний системы и направленных
ребер графа – возможных переходов. При анализе
надежности системы спутниковой связи предлагается
использовать следующие возможные состояния:
- состояние S0 – система полностью работоспособна;
- состояние S1 – отключение электричества или
«скачки» питающего напряжения;
- состояние S2 – плохие погодные условия, «увело»
антенну;
- состояние S3 – «зависание» оборудования.
На рис. 2 изображен размеченный граф состояний
исследуемой системы спутниковой связи, на котором
показаны все возможные состояния, а также возможные
переходы из одного состояния в другое.
S0
S1
S2
S3
Рис. 2. Граф состояний исследуемой системы спутниковой
связи
Для получения показателей надежности исследуемой
системы необходимо определить вероятности состояний
системы Pk(t), показывающие вероятность нахождения
системы в k-м состоянии в произвольный момент времени
t. Для решения данной задачи необходимо составить
систему из N дифференциальных уравнений вида:
dPk  t 
dt
n
m
n
 m

  Pi  t  ik   Pj  t   jk  Pk  t     kj    ki  ,
i 1
j 1
i 1
 j 1

где
n и m – количество предыдущих и последующих
состояний по отношению к текущему состоянию
k;
Pi(t) – вероятность нахождения системы в i-ом
состоянии в момент времени t;
λij и μij – интенсивности перехода из i-го
состояния в j-ое состояние,
которая дополняется нормирующим условием вида:
N 1
 P (t )  1 ,
i 0
i
(2)
то есть сумма вероятностей всех состояний системы равна
единице [3].
При этом, поскольку такая система линейно зависима,
любое из уравнений системы следует заменить
нормирующим условием (2). Общее количество уравнений
системы определяется числом возможных состояний
системы N, которое в данном случае равно четырем.
В качестве исходных данных при расчете используются
интенсивности перехода из i-го состояния в j-ое,
обозначаемые как λij (интенсивности отказа) или μij
(интенсивности восстановления) и представленные в виде
матрицы интенсивностей перехода:
 0

   10
 20

30
 01
0
 02
0
 21
0
0
0
 03 
13 
.
0 

0 
Следует уделить особое внимание вопросу получения
исходных данных – величин λij и μij. Данные величины
были получены авторами работы на основе анализа
статистики, собранной автоматизированной системой
мониторинга Zabbix, которая позволяет определить
моменты наступления отказов отдельных элементов
системы спутниковой связи, а также продолжительность
таких отказов. Для контроля состояния оборудования
используется
протокол
SNMP
(Simple
Network
Management Protocol).
Для исследуемой системы спутниковой связи, граф
состояний которой приведен на рис. 2, система
дифференциальных уравнений Колмогорова будет иметь
следующий вид:
 dP0 (t )
 dt  ( 01   02   03 ) P0 (t )  10 P1 (t )   20 P2 (t )  30 P3 (t ),

 dP1 (t )  (   ) P (t )   P (t )   P (t ),
10
13
1
01 0
21 2
 dt

 dP2 (t )  (   ) P (t )   P (t ),
20
21
2
02 0
 dt
 dP (t )
 3  30 P3 (t )   03 P0 (t )  13 P1 (t ).
 dt
Поскольку в начальный момент времени система
работоспособна, то в качестве начальных условий можно
использовать
следующие
значения
вероятностей
состояний системы:
P0 (0)  1, P1 (0)  0, P2 (0)  0, P3 (0)  0 .
Результатом решения данной системы уравнений
являются финальные вероятности состояний системы
Pk(t).
В результате анализа полученного графа состояний
можно разделить все состояния на две группы: к первой
группе относятся работоспособные состояния системы,
при которых обеспечивается выполнение основных
функций системы, хотя и разным уровнем качества
обслуживания; ко второй группе относятся все
неработоспособные состояния системы. При этом
стационарный коэффициент готовности KГ исследуемой
системы спутниковой связи определяется как сумма
вероятностей всех работоспособных состояний при t→∞:
3
NР
K Г  lim K (t )  lim  Pk (t ) ,
t 
t 
варианта резервирования элементов системы, который бы
обеспечивал получение максимальной прибыли:
k 0
K(t) – нестационарный коэффициент готовности,
равный вероятности работоспособного состояния
системы в момент времени t;
Nр – общее число работоспособных состояний
системы.
В рассматриваемом случае система работоспособна в
состояниях S0 и S2 (с ухудшением качества связи).
Особенностью установившегося режима работы, для
которого рассчитывается стационарный коэффициент
готовности KГ, является равенство производных
dPk (t )
 0 . Таким
вероятностей всех состояний нулю dt
образом, система дифференциальных уравнений в
установившемся режиме работы превращается в систему
линейных алгебраических уравнений следующего вида:
где
0  ( 01   02   03 ) P0 (t )  10 P1 (t )   20 P2 (t )  30 P3 (t ),

0  (10  13 ) P1 (t )   01 P0 (t )   21 P2 (t ),

0  ( 20   21 ) P2 (t )   02 P0 (t ),
0  30 P3 (t )   03 P0 (t )  13 P1 (t ).
Решение данной системы линейных алгебраических
уравнений может осуществляться любым известным
методом, например, методами Гаусса или Крамера.
Авторы данной работы для определения вероятностей
состояний Pk(t) использовали программную реализацию
метода Гаусса на языке С++.
Поскольку для оператора связи главной целью является
достижение максимальной прибыли, то предлагается
следующий
вариант
использования
полученных
результатов для расчета дохода предприятия:
I  P0C0  PC
1 1 
N 1
 PN CN   PC
i i ,
i 0
где Pi – вероятность i-го состояния системы спутниковой
связи;
Ci – величина дохода от абонентов в i-м состоянии.
Зависимость дохода оператора связи от номера
состояния системы можно объяснить использованием
таких тарифных планов, при которых стоимость услуг
связи для абонента рассчитывается исходя из объема
полученной информации. А поскольку в разных
состояниях система спутниковой связи способна
передавать в общем случае неодинаковое количество
информации за единицу времени по причине изменения
пропускной способности (максимально возможной
скорости передачи), то и доход оператора связи будет
изменяться.
При этом полученные аналитические выражения могут
быть использованы для оптимизации структуры системы
спутниковой связи, заключающейся в выборе такого
N 1
N 1
i 0
i 0
P  I  S   PC
i i   ki si ,
где I – доход оператора связи от предоставления услуг
связи;
S – затраты на реконструкцию сети с целью добавления
резервных элементов;
ki – число основных и резервных i-х элементов системы;
si – стоимость i-ых элементов системы.
Помимо целевой функции, при решении задачи
оптимизации структурного резервирования необходимо
учитывать существующие ограничения на число
резервных элементов, а также предельно допустимые
финансовые расходы оператора связи на реконструкцию
системы.
Таким образом, процесс оптимизации системы
спутниковой связи заключается в составлении графа
состояний системы, получении исходных значений
интенсивностей перехода λij, составлении системы
дифференциальных
уравнений,
многократном
итеративном решении системы линейных алгебраических
уравнений с целью достижения максимума целевой
функции – прибыли оператора связи. При этом следует
заметить, что в процессе оптимизации необходимо
учитывать еще одно ограничение – минимально
допустимый уровень надежности, который обычно
выражается коэффициентом готовности KГ, для систем
передачи данных равным 0,99.
При этом следует заметить, что результаты, полученные
с использованием теории марковских случайных
процессов, справедливы только при наличии нескольких
ремонтных бригад [1]. В тех многочисленных случаях,
когда устранением неисправности у отдельного оператора
связи занимается всего одна ремонтная бригада,
результаты расчета оказываются менее точными,
поскольку в этом случае процесс устранения всех
предыдущих отказов оказывает непосредственное влияние
на устранение текущего (последнего) отказа, а марковские
цепи, к сожалению, такую предысторию процесса не
учитывают.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1]
[2]
[3]
Дэвид Дж. Смит. Безотказность, ремонтопригодность и риск.
Практические методы для инженеров, включая вопросы
оптимизации надежности и систем, связанных с безопасностью / Д.
Дж. Смит. – М.: ООО «Группа ИДТ», 2007. – 432 с.
Нетес В.А. Надежность сетей связи в период перехода к NGN / В.А.
Нетес. // Журнал «Вестник связи», №9, 2007. – С. 126-130.
Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных
систем / В.А. Каштанов, А.И. Медведев. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
– 608 с.
Жуков Михаил Владимирович – студент 2 курса гр. РФ09-12М
ИИФиРЭ СФУ. С 2010 года занимается исследованиями в области
надежности спутниковых систем связи.
4
Золотухин Вячеслав Викторович – канд. техн. наук, доцент кафедры
«Инфокоммуникации» ИИФиРЭ СФУ. В 2003 году окончил
Красноярский
государственный
технический
университет
по
специальности
«Радиотехника».
С
2004
года
занимается
преподавательской и научной деятельностью в КГТУ, затем в СФУ. С
2003 по 2006 год обучался в аспирантуре КГТУ. Автор более 30
научных публикаций. Основная область интересов: надежность систем
связи, надежность программного обеспечения.