МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФБФО ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФБФО
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
2014
Указания к выполнению работы
Графическая работа «Пересечение поверхностей» выполняется по
индивидуальным заданиям. Варианты заданий выдает преподаватель на
установочной лекции. Номер варианта задания соответствует порядковому
номеру студента в журнале группы. На листе чертежной бумаги формата А2
графически решаются две задачи.
Задача №1. Построить линию пересечения плоскости с поверхностью.
Показать видимость линии пересечения.
Задача №2. Построить линию пересечения двух поверхностей. Показать
видимость линии пересечения и заданных поверхностей.
Приступая к решению задач на листе бумаги нужно нанести внутреннюю
рамку и основную надпись в правом углу вдоль длинной стороны формата.
Размеры основной надписи приведены в табл.1
Таблица 1
Работа выполняется в карандаше. В левой половине листа помещается
задача №1, а в правой задача №2. Графическая работа оформляется линиями
разной толщины. Толщина линий видимого контура S принимается равной
0,8мм, невидимого контура – S/2 вспомогательные построения выполняются
линиями толщиной S/3, осевые и центровые проводятся также толщиной S/3.
Проекции точек, определяющих линию пересечения поверхностей,
отмечаются полыми кружками (1,5мм) и обозначаются или прописными
буквами латинского алфавита,
или цифрами (шрифт №5); необходимо
указывать начальные и конечные участки линий связи, соединяющих проекции
отмеченных точек. Проекции точек вспомогательных построений обозначаются
цифрами и отмечаются полыми кружками.
Пример оформления графической работы приведен в конце методических
указаний.
Выполненная работа проверяется на практических занятиях. Если имеются
замечания, то работу по требованию преподавателя следует исправить,
дополнить или переделать полностью.
К экзамену допускаются студенты, получившие положительную
рекомендацию за домашнюю работу и выполнившие в полном объеме задания,
предусмотренные для аудиторных занятий.
Работы, выполненные на компьютере, к проверке не принимаются.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
Построение линии пересечения плоскости с поверхностью применяется
при образовании форм различных деталей строительных конструкций, при
вычерчивании разрезов и планов зданий и сооружений, разрезов и сечений
различных деталей зданий (балок, панелей и плит перекрытий, стен, элементов
конструкций), машин и т.п.
Линия пересечения плоскости с поверхностью является линией,
одновременно принадлежащей плоскости и поверхности. Поэтому для ее
построения необходимо отыскать такие точки, которые одновременно
принадлежат заданной плоскости и данной поверхности.
Рассмотрим в самом общем случае построение линии пересечения
плоскостью многогранной и кривой поверхности.
Линия пересечения плоскости с многогранной поверхностью в общем
случае – ломаная линия, состоящая из прямолинейных элементов. Точки излома
являются точками пересечения ребер многогранной поверхности с секущей
плоскостью. Прямолинейные элементы, соединяющие эти точки, являются
линиями пересечения граней многогранника с секущей плоскостью.
Исходя из этого, линию пересечения плоскости с поверхностью
многогранника можно построить по точкам пересечения ребер многогранника с
секущей плоскостью (задача на построение точки пересечения прямой с
плоскостью).
Линия пересечения плоскости с кривой поверхностью в общем случае –
кривая линия. Для ее построения необходимо, прежде всего, построить опорные
точки. К ним относятся: точки линии пересечения, лежащие на контурных
линиях поверхности и называемые очерковыми точками (проекции этих точек
лежат на линии очертания проекции поверхности и делят проекцию линии
пересечения на видимую и невидимую части); высшая и низшая точки и др.
Остальные точки линии пересечения называют промежуточными.
Все точки искомой линии пересечения принадлежит плоскости. Поэтому
все точки располагаются на образующих (или других линиях) рассматриваемой
поверхности в точках пересечения их с секущей плоскостью. Поэтому способ
построения линии пересечения плоскости с кривой поверхностью основан на
отыскании точек пересечения образующих поверхности с секущей плоскостью
(задача на построение точки пересечения соединяются плавной кривой линией с
плоскостью). Найденные точки пересечения соединяются плавной кривой
линией, являющейся искомой линией пересечения плоскости с кривой
поверхностью.
Сопоставляя рассмотренные способы пересечения, видим, что в принципе
способы построения линии пересечения плоскости с поверхностью
многогранника или кривой поверхности одинаковы, так как многогранная
поверхность является прототипом кривой.
Рассмотрим возможный вид линии пересечения секущей плоскостью
некоторых наиболее распространенных кривых поверхностей.
Цилиндрическая поверхностью. Линия пересечения плоскости общего
положения с цилиндрической поверхностью – эллипс, линия пересечения
плоскостью, параллельной образующей цилиндра, - прямые линии (т.е. прямые
образующие, через которые проходит секущая плоскость).
Коническая поверхность. Кривые линии, полученные в результате
пересечения плоскости с конической поверхностью второго порядка,
называются коническими сечениями. К ним относятся окружность, эллипс,
парабола и гипербола.
При пересечении секущей плоскостью всех образующих конической
поверхности в общем случае получается эллипс, при секущей плоскости,
параллельной образующей конической поверхности, будет парабола, при
секущей плоскости, параллельной двум образующим конической поверхности,
получается гипербола, в частном случае при секущей плоскости, проходящей
через вершину конуса, гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые.
Сфера. Линия пересечения плоскости со сферой – окружность.
Рассмотрим примеры полстроения линии пересечения плоскости с
поверхностью.
Задача № 1. Построить линию ℓ пересечения плоскости α(mn) c
поверхностью трехгранной пирамиды (рис.1)
Линия пересечения в данном случае – замкнутая ломаная линия, для
построения которой необходимо найти точки пересечения ребер SA, SB, SC
пирамиды с заданной плоскостью.
Чтобы найти точку K, в которой ребро SA пирамиды пересекает плоскость
α(m  n), в плоскости α выделена прямая t, лежащая в одной фронтально-
проецирующей плоскости с прямой SA. Прямые SA и t пересекаются в искомой
точке K (K1, K2).
Аналогично определены точки L и M, в которых ребра SB и SС пирамиды
пересекают плоскость α. Для удобства организации дальнейших построений на
прямой t отмечена точка 3; фронтальная проекция 32 точки 3 совпадает с
фронтальной проекцией S2 вершины S трехгранной пирамиды.
Данную задачу можно решить и другим способом.
Заключаем ребро SA во фронтально-проецирующую плоскость и ищем
линию пересечения введенной плоскости с заданной α(m  n). Точка K, в которой
ребро SA пирамиды пересекает плоскость α, есть точка пересечения линии
пересечения с ребром SA.
Аналогично определены точки L и M, в которых ребра SB и SС пирамиды
пересекают плоскость α.
Точки K, L, M соединяем между собой отрезками прямых.
Видимость линии пересечения устанавливаем по видимости граней
пирамиды, которым принадлежат отрезки KL, LM, MK. ОтрезкиKL и KM
видимы относительно плоскости П1, а отрезки KL и LM видимы относительно
плоскости П2, отрезок LM невидим относительно плоскости П1, а отрезок KM
невидим относительно плоскости П2.
Рис. 1
Задача №2. Построить линию ℓ пересечения плоскости α(m∩n)
с конической поверхностью (рис.2)
Заданная коническая поверхность представляет собой поверхность второго
порядка. Следовательно, линия ℓ - кривая второго порядка. Для построения этой
линии найдем ряд ее точек, как точек пересечения образующих поверхности с
плоскостью. Среди них – опорные точки на образующих, проекции которых
являются очерковыми линиями (точки K, L, M, N), а также промежуточные
точки T и R.
Для удобства организации построений при решении задачи в плоскости α
проведены прямые a и b, причем у прямой b фронтальная проекция 42 точки 4
совпадает с фронтальной проекцией S2 вершины S конической поверхности.
При определении точки K пересечения образующей SA с плоскостью α в
плоскости отмечено прямая t, у которой S2A2 t2. Ее горизонтальная проекция t1
построена при помощи точек 4 и 6.
Аналогичным образом получены точки L, M, N. Точки T и R найдены как
точки пересечения произвольно проведенных образующих SE и SF с
плоскостью α.
Точки K, M,T, L, R, N соединяем плавной кривой линией, имея при этом в
виду, что в проекциях K2, L2, M1, N проекции линии пересечения касаются
очерковых линий.
Возможно при решении задачи использовать метод перемены плоскостей.
Для определения видимости линии пересечения достаточно установить
видимость одной точки, например точки T, по видимости проходящей через нее
образующей поверхности. Граничными же точками видимости линии
пересечения относительно плоскостей проекций являются точки K, L, M, N.
Рис. 2
Задача № 3. Построить линию
цилиндрической поверхностью (рис.3).
ℓ пересечения плоскости α(h∩f) с
Рис. 3
Задача на пересечение плоскости с цилиндрической поверхностью
решается аналогично предыдущим задачам (см. задачи №1 и 2).
В данном случае линия пересечения – эллипс. Для построения этой линии
найдем ряд ее точек пересечения образующих поверхности с плоскостью.
Начнем с опорных точек на образующих, проекции которых являются
очерковыми линиями (точки A, B, C, D), а затем построим промежуточные точки
E, F, G, H.
Чтобы найти точку
A, в которой образующая цилиндрической
поверхности пересекает плоскость α(h∩f), в плоскости α выделена прямая t,
лежащая в одной фронтально проецирующей плоскости с прямолинейной
образующей (1-2). Прямые (1-2) и t пересекаются в искомой точке A(A1, A2).
Аналогично определены все остальные точки, в которых прямолинейные
образующие цилиндрической поверхности пересекают плоскость α. При
построении горизонтальных проекций вспомогательных прямых, лежащих во
фронтально-проецирующих плоскостях с соответствующими образующими,
пользуемся тем, что все эти прямые, а следовательно и их проекции,
параллельны.
Точки A, F, D, H, B, G, C, E соединены плавной прямой с учетом
видимости. Видимость линии пересечения устанавливаем по видимости одной
точки, например точки E, лежащей на образующей (9-10), которая видима как
относительно плоскости П1, так и относительно плоскости П2. В проекциях A2,
B2, C1, D1 точек A, B, C, D проекций линии пересечения касаются очерковых
линий, и эти точки являются граничными точками видимости линии пересечения
относительно плоскостей П2 и П1.
Задача № 4. Построить линию ℓ пересечения плоскости α(a b)
со сферой (рис.4)
Известно, что плоскость пересекает сферу по окружности, проекции
которой в общем случае представляют собой эллипсы.
Точки линии пересечения плоскости со сферой можно рассматривать как
точки пересечения окружностей сферы с плоскостью. Если плоскости этих
окружностей параллельны плоскости П1 или П2, то точки пересечения таких
окружностей с плоскостью определяютcя так же, как точка пересечения прямой
с плоскостью.
Как и в предыдущих задачах, при построении линии пересечения
плоскости со сферой сначала определим точки, проекции которых лежат на
очерках сферы.
Для нахождения точек A и Bна экваторе e сферы отметим в плоскости α
прямую h, расположенную в одной горизонтальной плоскости с экватором e.
Окружность e и прямая h пересекаются в точках A и B.
При определении точек C и D на главном меридиане m сферы в плоскости
α проведена прямая f, лежащая в одной фронтальной плоскости с окружностью
m.
Кроме точек A, B, C, D находим точки E и F как точки пересечения
окружности g с плоскостью α.
Проекции построенных точек A, E, C, B, D, F соединяем плавной кривой
линией с учетом видимости.
Рис. 4
ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Поверхности строительных деталей, инженерных сооружений, зданий,
деталей машин представляют собой сочетание различных геометрических
поверхностей: призм, конусов, цилиндров, сфер и других, пересекающихся
между собой по различным линиям. При изображении на чертеже деталей и
сооружений возникает необходимость в построении линий пересечения
поверхностей.
Приступая к построению на эпюре линии пересечения двух поверхностей,
следует прежде всего выяснить, что она представляет собой в пространстве. Это
позволит избежать лишних операций и достигнуть необходимой точности
построений.
Характер линии пересечения поверхностей зависит от формы
поверхностей и их взаимного расположения. Практически наиболее часто
встречаются следующие случаи пересечения поверхностей:
1) Две поверхности второго порядка пересекаются по пространственной
кривой четвертого порядка. Она может распадаться на две кривые
второго порядка, а также на прямые линии:
2) Поверхности двух многогранников пересекаются в обычных случаях по
одной или двум замкнутым ломанным линиям, которые могут быть как
пространственными, так и плоскими. Эти линии состоят из отрезков
прямых, по которым пересекаются грани поверхностей;
3) При пересечении поверхностей второго порядка и поверхности
многогранника образуются ломаные линии, состоящие из дуг кривых
второго порядка. Среди звеньев линии пересечения могут быть в
частности, отрезки прямых. Возможно получение целых кривых
второго порядка.
Линия пересечения двух любых поверхностей строится по точкам, которые
можно рассматривать как точки пересечения линий одной поверхности с другой
поверхностью или как точки пересечения двух линий этих поверхностей,
принадлежащих какой-либо общей для них плоскости или поверхности.
Рассмотрим примеры.
Задача №5. Построить линию пересечения
поверхности конуса и сферы (рис. 5).
В данной задаче обе поверхности (у конуса – боковая поверхность)
представляют собой поверхности второго порядка и, следовательно, линия их
пересечения – пространственная кривая четвертого порядка. У этих
поверхностей имеется общая плоскость симметрии, и поэтому линия
пересечения будет симметрична относительно этой плоскости.
Построение линии пересечения начнем с определения точек A,B,C,D
проекции которых лежат на очерках проекций поверхностей. Точки А и В
отмечаем в пересечении образующей S1 конуса и главного меридиана f сферы,
расположенных в одной фронтальной плоскости. Точки C и D находим как
точки пересечения экватора h сферы и окружности α поверхности конуса,
лежащих в одной горизонтальной плоскости. Так, точки Е и G строим как точки
пересечения окружностей b и c, принадлежащих одной горизонтальной
плоскости (окружность b отмечена на поверхности конуса, окружность c – на
сфере). Остальные точки линии пересечения построены аналогично точкам Е и
G.
Рис. 5
Можно рассматривать решение данной задачи, используя метод
вспомогательных секущих плоскостей. Введенные плоскости являются
горизонтальными плоскостями и одновременно пересекают заданные
поверхности по окружностям. Как было рассказано выше, точки пересечения
полученных окружностей и являются искомыми точками.
При установлении видимости линии пересечения конуса и сферы следует
помнить что эта линия будет видимой, если она принадлежит видимой части как
поверхности конуса, так и сферы.
Точки А и В отделяют видимую относительно плоскости П2 часть линии
пересечения заданных поверхностей (она проходит через точки А,К,С,Е,В) от
невидимой. В этой задаче фронтальные проекции видимой и невидимой части
линии пересечения совпадают, так как плоскость симметрии  обеих
поверхностей параллельна плоскости П2.
Точки C и D отделяют видимую относительно плоскости П1 часть линии
пересечения от невидимой. Точка А видима относительно плоскости П1, так как
расположена выше экватора сферы, следовательно, часть линии, проходящая
через точки С,К,А,М,D – видима, остальная часть линии – невидима.
Кроме видимости линии пересечения поверхностей показана видимость
очерков проекций конуса и сферы.
Задача №6. Построить линию пересечения прямой четырехугольной
призмы с трехгранной пирамидой (рис.6).
Линия пересечения двух многогранников определяется по точкам
пересечения ребер одного многогранника с гранями другого, и наоборот. Это
известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью.
В данной задаче трехгранная пирамида полностью пронизывает
четырехгранную призму, поэтому в результате такого их взаимного
расположения линия пересечения состоит из двух частей.
Все три боковые ребра пирамиды пересекают грани призмы.
Ребро AD пирамиды пересекает две грани призмы: одну – в точке 1 и
вторую в точке 2. Ребро BD пирамиды пересекает две грани призмы в точках 3 и
4, ребра CD – в точках 5 и 6.
Из четырех боковых ребер призмы только одно пересекает пирамиду.
Чтобы найти точки пересечения ребра t с гранями пирамиды, на поверхности
последней использованы линии a и b, проходящие через вершину пирамиды D и
ребра t. Здесь 71 81 t1, 72 и 82 определяются по принадлежности точек 7 и 8
поверхности пирамиды. Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же
граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников.
Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 1-3-7-5-8-1,
другая – треугольник 2-4-6-2. В проекциях видимы только те их отрезков
многоугольников пересечения, которые принадлежат видимым граням
многогранников; невидимые отрезки обозначают на чертеже штриховыми
линиями.
Во фронтальной проекции отрезки 2-4 и 2-6 линии пересечения 2-4-6-2
видимы. Они принадлежат видимым граням призмы и пирамиды. Отрезок 4-6
является невидимым во фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит
видимой в этой проекции грани призмы и невидимой грани пирамиды. Во
фронтальной проекции также видимы отрезки 1-3 и 1-8 второй линии
пересечения, а отрезки 3-7, 7-5 и 5-8 этой линии – невидимы.
Рис. 6
Задача №7. Построить линию пересечения
Поверхностей призмы и усеченного кругового конуса (рис. 7).
Линию пересечения кривой и многогранной поверхностей начинают с
построения опорных точек, в которых ребра призмы пересекают поверхность
усеченного конуса. Остальные точки, определяющие вид линии пересечения
грани с кривой поверхности, носятся к промежуточным.
Сначала строим опорные точки 1,2,3,4 и 5 пересечения ребер призмы с
поверхностью конуса.
Точку 1 строим на пересечении ребра а(а1а2) с поверхностью конуса, для
чего на поверхности конуса отмечаем параллель m, лежащую в одной
горизонтальной плоскости с ребром а. На эпюре а2  m2, радиус параллели m1 с
центром в точке О1. Искомая точка 1=аm (11=а1m1 и 12 (а2  m2).
\
Аналогично строим точки 2 и 3 (построения ясны из рис. 7). Точки 4 и 5
являются точками пересечения контура l основания конуса с ребрами b и c,
лежащими в плоскости этого основания.
Строим промежуточные точки 6,7,… линии пересечения граней призмы с
поверхностью конуса:
Проводим вспомогательные прямые t и q, лежащие в гранях призмы и
параллельные ее ребрам, и пересекаем эти прямые с поверхностью конуса.
Искомые точки 6=tp; 7=qp; 61=t1p1; 71=q1p1. Точки 62 и 72 лежат на t2q2.
Кривая 4-2-6-1-7-3-5, последовательно соединяющая все построенные
точки и имеющая изломы в опорных точках, является искомой линией
пересечения заданных поверхностей.
Можно решать данную задачу используя метод вспомогательных секущих
плоскостей. Каждое из ребер заключается в горизонтальную плоскость и ищется
точка пересечения ребра призмы с окружностью, являющеюся линией
пересечения введенной плоскости с усечённым конусом. Для уточнения кривой
вводим еще несколько горизонтальных плоскостей пересекающих одновременно
призму и конус.
Полученные точки являются искомыми точками линии пересечения
заданных поверхностей.
Образец выполнения работы
Литература для самоподготовки:
1. Н. Н. Крылов, Г. С. Иконникова, В. Л. Николаев, В. Е. Васильев.
Начертательная геометрия. Учебник для строительных специальностей
вузов, М.,2010.
2. О. С. Бударин, В. Ф. Иванова и др. Начертательная геометрия. Задания и
методические указания для студентов очного и заочного обучения,
СПб.,2009