Построение сечений многогранников плоскостью
Секущей плоскостью геометрической фигуры называется
плоскость, по обе стороны от которой есть точка данной фигуры.
такая
Сечением называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются
общими для геометрической фигуры и секущей плоскости.
Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам, поэтому
сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами
которого являются указанные отрезки.
Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей
плоскости с ребрами многогранника и соединить каждые две из них, лежащие в
одной грани.
Последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна,
но выполнять построения необходимо с учетом аксиом и теорем стереометрии,
а также правил изображения фигур.
В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на
построение:
а) нахождение линии пересечения двух плоскостей;
б) нахождение точки пересечения прямой и плоскости.
Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две
плоскости α и β, нужно построить две их общие точки, тогда прямая,
проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскости α и β.
Для построения точки пересечения прямой а и плоскости α нужно
построить точку пересечения прямой а и прямой b, по которой пересекаются
плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую a.
Примеры решения задач
Задача № 1. На ребрах AD, CD и СВ треугольной пирамиды DABC даны
точки Т, О и Е соответственно. Точка О не является серединой ребра DC.
Построить сечение пирамиды плоскостью ТОЕ.
Дано: DABC – треугольная
пирамида, ТAD, OCD, TCB,
DOOC.
Построить: сечение
Построение:
Плоскость ТОЕ имеет две общие точки Т и О с гранью ADC, следовательно
пересекает ее по прямой ТО.
Плоскость ТОЕ имеет две общие точки Е и О с гранью ВDC, следовательно
пересекает ее по прямой ОЕ.
Найдем точки пересечения плоскости ТОЕ с гранью АВС. Точка Е у них общая.
Продолжим прямые ТО и АС (лежащие в одной грани) и найдем точку их
пересечения М.
Точка М лежит в плоскости АВС (МАС) и МТО, следовательно, плоскость
ТОЕ пересекает грань АВС по прямой МЕ, а точка Р является точкой
пересечения плоскости ТОЕ и ребра АВ.
Плоскость ТОЕ и грань ABD имеют две общие точки Т и Р, следовательно, они
пересекаются по прямой ТР.
Точки Т, О, Е и Р – точки пересечения плоскости ТОЕ с ребрами пирамиды,
значит, четырехугольник ТОЕР – искомое сечение.
Ответ: ТОЕР
Задача № 2. Дана треугольная призма АВСА1В1С1. Точка А лежит на
продолжении ребра АС, точка О на ребре А1А. Постройте сечение призмы
плоскостью, проходящей через точки F, О и параллельной ребру ВС.
Дано: АВСА1В1С1 - треугольная
призма, FAC, OAA1.
Построить: сечение
Построение:
Точки О и F лежат в одной плоскости, значит, OF – прямая пересечения
сечения и грани АСС1А1, а точка М – точка пересечения плоскости сечения с
ребром СС1.
Через точку М проведем прямую параллельно прямой ВС. Получим точку К –
точку пересечения плоскости сечения с ребром ВВ1.
Соединив точки О и К, получим исходное сечение ОКМ.
Ответ: ОКМ
Задания для самостоятельной работы
1. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В
и С.
2)
3)
5)
6)
1)
4)
9)
7)
8)
10)
2. Постройте изображение многогранника по его ребрам, вершинам и сечению
данного многогранника плоскостью.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
3. Решите задачу на построение:
1) Дан куб ABCDA1B1C1D1. К – середина ребра АВ. Постройте сечение куба
плоскостью, которая содержит точку К и параллельна плоскости ВВ1D1.
2) К – середина ребра А1В1 куба ABCDA1B1C1D1. Через точку К проведите
перпендикуляры к прямым АС и BD.
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
4. Решите задачу на построение:
1) Через точку К стороны АС треугольника АВС проведена плоскость α,
параллельная прямой АВ. Постройте точку пересечения плоскости α и стороны
ВС (точку М).
2) Через боковую сторону АВ трапеции ABCD проведена плоскость α.
Постройте точку пересечения прямой DC и плоскости α.
3) Вне плоскости прямоугольного треугольника дана точка, удаленная от
каждой его вершин на равное расстояние. Постройте проекцию этой точки на
плоскость треугольника.
4) В одной из пересекающихся плоскостей расположены точки А и В.
Проекцией точки А на вторую плоскость является точка А1. Постройте
проекцию точку В на вторую плоскость.
5)
6)
7)
8)
9) Концы отрезка АВ лежат по одну сторону относительно плоскости α. Через
точки А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α
в точках А1 и В1. Постройте точку пересечения прямой АВ и плоскости α (точку
О).
10) Отрезок АВ параллелен плоскости α. Через его концы проведены
параллельные прямые. Прямая, проходящая через точку В пересекает плоскость
в точке В1. Постройте точку пересечения второй прямой с плоскостью α (точку
А1).
5. Решите задачу на построение:
1) Через точку К стороны АВ равностороннего треугольника АВС проведен к
его плоскости перпендикуляр МК. Проведите через точку М перпендикуляр к
прямой АС.
2) Отрезок MD перпендикулярен плоскости трапеции ABCD (AB=CD). Через
точку М проведите перпендикуляр к прямой ВС.
3) Отрезок MN перпендикулярен плоскости прямоугольника ABCD (точка N
принадлежит диагонали BD). Через точку М проведите перпендикуляры к
прямым АВ и ВС.
4) Отрезок MN перпендикулярен плоскости квадрата ABCD (точка N
принадлежит отрезку BD). Через точку М проведите перпендикуляр к прямой
АС.
5) Отрезок MN перпендикулярен плоскости квадрата ABCD (точка N
принадлежит стороне CD). Через точку М проведите перпендикуляры к прямым
CB, AD и АВ.
6)
7)
8)
9)
10) Отрезок МС перпендикулярен плоскости прямоугольной трапеции ABCD
(В=90о). Через точку М проведите перпендикуляры к прямым АВ и AD.
6. Решите задачу:
1) Найти площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда,
высота которого равна 12 см, а стороны основания 8 см и 6 см.
2) ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед. Найдите площадь
сечения, проходящего через сторону АВ и противолежащее ей ребро верхней
грани, если АВ=3 см, а высота параллелепипеда – 4 см.
3) Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды равно 2 см,
сторона большего основания 3 см, высота усеченной пирамиды равна 2 см.
Найти площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
7. Решите задачу:
1) В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение, проходящее
через середины двух смежных боковых ребер параллельно высоте пирамиды.
Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро равно 18 см, а диагональ
основания 16 2 см.
2) . В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р - середины
сторон ВС, АВ и AD. Найдите площадь сечения, проходящего через эти точки,
если сторона основания пирамиды равна 4 см, а боковое ребро равно 6 см.
3) Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 является прямоугольный
треугольник ABC с прямым углом В. Через ребро ВВ1 проведено сечение
BB1D1D, перпендикулярное к плоскости грани АА1С1С. Найдите площадь
сечения, если АА1=10 см, AD = 27 см, DС=12 см.
4) Все ребра пирамиды SABCD равны 2 2 см. На ребре SC взята точка Р такая,
что СР:CS=1:2. Через точку Р проведено сечение, перпендикулярное ребру SC.
Найдите площадь полученного сечения.
5) Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны
друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите
площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно
боковому ребру.
6) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, а
боковое ребро - 3 см. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через две вершины основания и середину бокового ребра.
7) Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равно 4 см. На ребре АВ взята точка Р –
середина этого ребра. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей
через точки С1, Р и D.
8) В правильной шестиугольной пирамиде проведено сечение, проходящее
через середины двух смежных боковых ребер параллельно высоте пирамиды.
Найдите площадь этого сечения, если радиус окружности, описанной около
основания пирамиды, равен 30 см, а боковое ребро 60 см.
9)
10)
8. Решите задачу:
1) Точки Р и Q – середины ребер А1В1 и ВС куба ABCDA1B1C1D1. Длина ребра
куба равна 4 14 см. Найдите расстояние от точки С1 до прямой PQ.
2) На ребрах АВ и AD куба ABCDA1B1C1D1 взяты точки Р и Q – середины этих
ребер, длина ребра куба равна 17 см. Через точки С1, Р и Q проведено сечение
куба. Найдите расстояние от точки С до секущей плоскости.
3) В основании пирамиды SABCD квадрат со стороной 4 2 см, а ее боковое
ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB=AB. Точка Р – середина
ребра AS. Найдите расстояние от точки А до прямой СР.
4) В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный
треугольника с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро равно стороне
АС основания, АС=3 3 см. Точка О – точка пересечения диагоналей АС1 и А1С
грани АА1С1С. Найдите расстояние от точки А1 до прямой ВО.
5) На ребрах куба АВ, AD, CC1 куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно
точки Р, Q и R, являющиеся серединами этих ребер. Через точки Р, Q и R
проведено сечение куба. Длина ребра куба равна 2 11 см. Найдите расстояние
от вершины С1 до секущей плоскости.
6) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 отношение ребер
АВ:AD:AA1=2:4:1, АА1= 3 см. На ребрах AD, А1В1, В1С1 взяты соответственно
точки Р, Q и К – середины этих ребер. Через точку К, параллельно прямым СР и
AQ, проведено сечение. Найдите расстояние от точки D1 до секущей плоскости.
7) Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, а ее боковое
ребро SC перпендикулярно плоскости основания и SC=АВ. На ребре SA взята
точка Р так, что SP:SA=1:4, АВ=8 2 см. Через вершину А перпендикулярно
ребру SB проведено сечение. Найдите расстояние от точки Р до секущей
плоскости.
8) SABCD – правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 2
см. Треугольник AFC – сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
прямую АС и точку F – середину ребра SB. Найдите длину высоты FO
треугольника AFC.
9)
10)
9. Решите задачу:
1) SABC – правильная треугольная пирамида, боковое ребро которой в два раза
больше стороны основания. Точки Т, К, Р и Е – середины ребер SC, SB, BC и
AC соответственно. Найдите длину ломаной TKBPET, если сумма длин всех
ребер пирамиды равна 18 см.
2) ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которой
квадрат с диагональю 4 2 см. Найдите длину пространственной ломаной
АВСС1В1А1, если диагональ боковой грани равна 5 см.
3) SABCD – правильная четырехугольная пирамида, боковое ребро которой в
два раза больше стороны основания. Точки Т, К и Е – середины ребер SB, SA
SD. Найдите длину пространственной ломаной DCBTKED, если площадь
основания пирамиды равна 16 см2.
4) Боковое ребро правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 в два раза
больше стороны основания. Найдите площадь боковой поверхности призмы,
если длина ломаной, образованной отрезками АА1, А1С, СВ1, В1В и ВА, равна
5 ( 5 +2) см.
5) В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны между
собой. Точки Т и К – середины ребер SC и ВС соответственно. Найдите
площадь основания пирамиды, если длина ломаной KTSDK равна 4+ 5 см.
6) ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, в основании которой
квадрат с диагональю 4 2 см. Найдите диагональ боковой грани
параллелепипеда, если длина пространственной ломаной АВСС1В1А1 равна 19
см.
7)
8)
9)
10)
10. Решите задачу:
1) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости
основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под
углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона
основания равна 12 см.
2) Через одну из сторон ромба, диагонали которого равны 6 см и 8 см,
проведена плоскость α под углом 60о к плоскости ромба. Найти площадь
проекции ромба на плоскость α.
3) В основании пирамиды лежит ромб со стороной 15 3 см и острым углом 30о.
Найти площадь сечения, параллельного основанию, если сечение делит высоту
основания в отношении 4:1 (считая от вершины).
4) В правильной треугольной призме через сторону основания проведено
сечение под углом 30о к плоскости основания. Найдите сторону основания
призмы, если площадь сечения равна 8 см2.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11. Решите задачу:
1) В правильной четырехугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного
основанию, разделила высоту пополам. Найти сторону основания пирамиды,
если площадь сечения равна 36 см2.
2) Найдите площадь грани тетраэдра ABCD, если площадь сечения,
проходящего через средины ребер DA, DB и DC равна 6 см2.
3) В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит высоту в отношении
1:1. Площадь основания больше площади сечения на 381 см2. Найдите площадь
основания.
4) Найдите площадь поверхности куба ABCDA1B1C1D1, если площадь сечения,
проходящего через точки А, В1 и С равна 3 см2.
5) Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой
равны между собой, точка К – середина бокового ребра SC. Найдите площадь
основания пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку К и прямую BD равна 2 см2.
6)
7)
8) В правильной четырехугольной пирамиде плоскость сечения, параллельного
основанию, разделила высоту пополам. Найти сторону основания пирамиды,
если площадь сечения равна 36 см2.
9) В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD,
AC=10 см, BD=12 см. Найдите периметр четырехугольника, полученного при
пересечении тетраэдра плоскостью MNP.
10) Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. Найдите площадь
треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
Скачать

Построение сечений многогранников плоскостью